DERIVADAS Y LIMITES AL INFINITO LEONEL JOSÉ ARDILA LAZARO CALCULO II TUTOR: MARIA EUGENIA MONTERO

DERIVADAS

Devirvada en un punto: La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

DERIVADAS

2)Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.1) Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

EJEMPLOS:

DERIVADASDERIVADAS LATERALES:

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

 en x = 0

Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.

FORMAS DE DERIVACIÓN

DERIVADA EN LA VIDA DIARIA6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo  circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

RTA:Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)La derivada es:v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común  ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex

Igualando a 0 nos  da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto  x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)Estudiamos v en los alrededores de 1

v ‘      +        1        -        2y        crece           decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)v(0)=(2-0).1=2v(2)=(2-2).1=0       como da la velocidad  0 aquí se detuvo.

LIMITE AL INFINITO Esto indica que el límite de F® es un número desconocido de gran tamaño. Este tipo de límites es conocido como Límite Infinito. Los límites infinitos significan básicamente que el límite es imaginario, es decir, el valor de la función se puede hacer tan grande como queramos tomando los valores de r suficientemente cerca de 0.

Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y aumenta, 3y también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se vuelve infinito.

Ordenes de Infinito

Ejercicios

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