DERIVADAS_PARCIALES
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MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial
1
Departamento de ciencias
Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función
z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito:
x 0
z f ( x x, y ) f ( x, y )lim
x x
el cual se calcula suponiendo y constante.
Se llama derivada parcial de una función z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y
al siguiente límite, si existe y es finito:
y 0
z f ( x, y y ) f ( x, y )lim
y y
el cual se calcula suponiendo x constante.
Observación.- Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivadas.
Interpretación geométrica de la derivada
Si consideramos la superficie que tiene por ecuación ( , )z f x y , el plano y b , corta a la
superficie en la curva ( , )z f x b , La recta tangente a esta curva en el punto x a tiene por
pendiente el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente
0
( , ) ( , )( , ) lim
xh
f a h b f a bf a b
h
y=b
z=f(x, y)
y
x
z
z=f(x, b)
P(a, b, f(a, b))
Corte de z = f(x, y) con y = b
Corte de ( , )z f x y con y b
( , )z f x b
y b
( , )z f x y
( , , ( , ))p a b f a b
x = a
x
z
z=f(x, b)
Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b
sobre el plano ZX
tg = fx(a, b)
Proyección del corte de ( , )z f x b
con y b , sobre el plano ZX
tan ( , )xb f a b
b
z ( , )z f x b
x x a
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial
2
La interpretación geométrica de la derivada parcial de f respecto a y es análoga
Ejemplo.- Dada la función f definida por 2 2 2
f ( x , y ) x ln( xy ) y sin( x y ) Halla
las derivadas parciales con respecto a x y a y
Solución:
2 2 2fln( xy ) 1 2xy cos( x y )
x
;
2 2 2 2 2u 2xsin( x y ) 2 y cos( x y )
y y
Ejemplo.- Dada la función definida porx y sin y
f e
. Halla sus derivadas parciales en el
punto P( 0, 2 )
Solución:
x y sin y
2( 0 , ) 2( 0 , )
fye e
x 2
2( 0 , )
x y sin y
( 0 , 2 )
f( x cos y )e 0
y
Plano tangente y recta normal a una superficie
Se llama plano tangente a una superficie en un punto p Df , al plano que contiene todas las
tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Si la superficie está definida de manera explicita por la ecuación Z=F(x,y), entonces la ecuación
del plano tangente en un punto 0 0 0
P( x , y ,z )de la superficie viene definido por la ecuación:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
f f( x , y ,z )( x x ) ( x , y ,z )( y y ) ( z z ) 0
x y
En el caso que la superficie este definida en forma implícita por f ( x, y,z ) 0 entonces la
ecuación del plano tangente será:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f f f( x , y ,z )( x x ) ( x , y ,z )( y y ) ( x , y ,z )( z z ) 0
x y z
Y la ecuación de la recta normal en ambos casos será:
f ( x, y,z ) 0 LN :
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
fx x t ( x , y ,z )
x
fy y t ( x , y ,z )
y
fz z t ( x , y ,z )
z
;
MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial
3
En el caso en que la superficie S ; este definida por z f ( x, y ) , en la ecuación de la
recta normal se considerará 0 0 0
f( x , y , z ) 1
z
.
Ejemplo.- Halla la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie de
ecuación 2 2 3
z 3x y y 5xy 2x 2 y 4 en el punto P(1,0,4 ).
Solución
Hallamos las derivadas parciales:
2 2 2
(1, 0,4) (1, 0,4)(1,0,4) (1, 0, 4)
6 5 2 2; 6 3 5 2 7z z
xy y x y y xx y
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,0,4) es: 2x 7 y z 2 0 .
Y la recta normal es:
x 1 2 t
y 7 t
z 4 t
Derivadas parciales de órdenes superiores.
Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas
parciales de las derivadas parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
2
2
z z
x x x
;
2z z
y x y x
;
2z z
x y x y
;
2
2
z z
y y y
Si las derivadas parciales de primer orden y las derivadas parciales mixtas son
continuas en algún disco abierto, entonces las derivadas mixtas son iguales.
2 2z z
y x x y
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.
Ejemplo.- Calcular las derivadas parciales primeras de 2 2 x y
f ( x , y ,z ) x y e
Solución
Las derivadas de primer orden son: x yf
2x y ex
;
x yf2 y x e
y
.Las derivadas de segundo orden son: 2
2
2
x yf2 y e
x
;
2
2
2
x yf2 y e
y
;
2
x yf( 1 xy )e
x y
;
2
x yf( 1 xy )e
y x
MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial
4
Diferencial total y cálculo aproximado.
Se llama incremento total de una función ( , )z f x y en un punto ( , )P x y a la
diferencia ( , ) ( , )z f x x y y f x y donde x y y son incrementos
arbitrarios de los argumentos.
Una función 2:f D R R es diferenciable en el punto 0 0
p( x , y ) , si existen 0( , )of x y
x
y 0( , )of x y
y
de modo que para todo vector ( ( , ))x y tal que 0 0( , ) ( , )x y x y D se
tiene que 0 0
0 0
( , ) ( , )( , ) ( , )o of x y f x y
f x y x y x yx y
Diferencial total:-
Si ( , )z f x y es una función diferenciable en 2( , )x y R entonces la diferencial total de f
se define como la función f f
df dx dydx dy
; donde xdx ; dy y
Cálculos aproximados:
La diferencial de una función se puede utilizar como aproximación del incremento.
( , ) ( , ) ( , )z dz f x x y y f x y df x y .
Observación.- Para 3R las definiciones de diferencial total y cálculo aproximado se
definen de manera análoga a 2R .
Ejemplo.- Estimar 2 2f ( x, y ) ( 2,01 ) 2,02 (0,99 )
Solución
Tomamos 2 2f ( x, y ) x y z ,como 0 0 0
p( x , y ,z ) ( 2,2,1 ) ; así 0,01h ; 0,02k ;
0,01r ; luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; además;
2
2 2( 2 ,2 ,1 ) ( 2 ,2 ,1 )
f x 2
y 32 x y z
;
2 2(2,2,1)
(2,2,1)
1
3
f z
z x y z
;
finalmente se tiene que:
2 2 4 1 2 1 1 12,01 2,02 0,99 3 3,023
3 100 3 50 3 100
.
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5
Derivada direccional y vector gradiente.
La derivada direccional de nf : D R R en el punto x D y en la dirección de u
vector unitario de nR denotada por ( )u
D f x Se define por
0
( ) ( )( ) lim
hu
f x hu f xD f x
h
, siempre que exista.
Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces la derivada direccional se
calcula
por la fórmula: 1 1 2
1 2
( ,... ) ......n nu
n
f f fD f x x u u u
x x x
Observación.- En 2R puede tomarse como un vector unitario a (cos ,sin )u
Ejemplo.- Calcula, la derivada direccional de la función en el punto
P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.
Solución
2
( 1,2)
( 1,2)
2 3 14f
x yx
; ( 1,2)
(1,2)
6 12f
xyy
; además
2 2
(1,2) 1 2,
5 51 2
vu
v
,
por lo tanto 1 2 38
(1,2) 14. 125 5 5
u
D f
Gradiente de una función
Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector
definido por 1 2
( ) , ,......,
n
f f ff x
x x x
Propiedades
1.- 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nu
D f x x f x x x u u u
2.- El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto
dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de máxima
disminución.
3.- La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide
con su modulo es decir ( ) max ( )u
f x D f x
MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial
6
Ejemplo.- Dada la función 2 2
f ( x, y ) 2x 3y
a) Calcula ( )u
D f x
en el punto P(1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de
120º con el sentido positivo del eje OX.
b) Calcula máx ( )u
D f x
Solución
a) 1 3
(cos120 ,sin120 ) ,2 2
u
; además
( 1,2)
( 1,1)
4 4f
xx
;
)
( 1, 1)
(1,16 6f
yy
luego
1 3
( ) 4, 6 , 2 3 32 2u
D f x
.
b) (1,1) (4, 6)f 2 2m x ( ) ( ) 2 ( 6) 2 10
uá D f x f x
.
Derivada de la función compuesta
Teorema.- Sea 2:f D R R una función diferenciable, definida por ( , )u f x y y
( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y
x y r s r s
;
Entonces u es una función de r y s es decir ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s , y se tiene:
u u x u y
r x r y r
; u u x u y
s x s y s
.
Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de z
respecto de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la
siguiente fórmula:
dz z dx z dy
dt x dt y dt
Ejemplo.- Dada la función2
f ( x , y ) xy xy donde 2 2x s t ; y st ; hallar
;z z
s t
Solución
Como 2 ; 2 ; 2 2 ; ;f z x x y y
y y xy x s t t sx y s t s t
entonces
2 3 2 3 2( )(2 ) (2 ) (4 3 2 )f f x f y
y y s xy x t t s t s st ts x s y s
2 3 2 2 2( )(2 ) (2 )( ) (2 2 ( 1) 3 )f f x f y
y y t xy x s s s t s s t t tt x t y t