Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir

de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Derivadas. Teoremas

2º Bachillerato

Esquema

Tasa de variación media en un intervalo

Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:

f(b) – f(a)b – aTm f[a, b] =

La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente.

Pendiente positiva Pendiente negativa

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo

La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número de afiliados expresado en millones.

El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 es:

f(19) – f(0)

19 = 0,1241

Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 personas por año.

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más pequeños:

TVI (x) = ti(x) = h

xfhxfh

)()(lim

0

−+→

Derivada de una función en un punto

Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es

Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

f '(p) = h→olim

f(p+h) – f(p)h

h→olim

f(p+h) – f(p)h

Interpretación geométrica de la derivada

Al hacer que h → 0, ocurrirá que

• p + h tiende (se acerca) a p

• Q recorre la curva acercándose a P

• La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente

• La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente

Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .

0

( ) ( )lim ( )h

f p h f pf p

h→

+ − ′=

Ecuación de la recta tangente

a

f(a)αt

αt

Entonces:• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

• Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)

t

Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:

y – b = m (x – a)

Ecuación de la recta normal

Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:

Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente:

y – f(p) = f '(p) (x – a)

Pendiente de la normal: mn = –1/f '(p)

Ecuación de la normal:y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y – f(p) = m (x – p)

Derivadas laterales

α

a

β

f '(a+) = tg α > 0

f '(a–) = tg β < 0

Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es derivable en el punto a.

La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,

dado por f '(a+) =

h

xfhxfh

)()(lim

*0

−++→

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y

por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.

La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si

existe, dado por f '(a –) =

h

xfhxfh

)()(lim

0

−+−−→

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.

( ) ( )( ) ( )

f a h f af a h f a h

h

+ −+ − = ⋅

( )0 0

( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h

f a h f af a h f a h

h→ →

+ − + − = ⋅

0 0

( ) ( )lim limh h

f a h f ah

h→ →

+ −= ⋅

( ) 0 0 f a′= ⋅ =

0lim ( ) ( )h

f a h f a→

+ = ( ) es continua en f x x a=

( ) es derivable en f x x= a

Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

f'(0–) = h → 0–lim

f(a + h) – f(a)h =

h → 0–lim

– hh = –1

Relación continuidad y derivabilidad

Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto

f'(0+) = h → 0+lim

f(a + h) – f(a)h =

h → 0+lim

hh = 1

Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto.

= tgα

= tg β

Función derivada

f '(3) = h→0lim

f(3 + h) – f(3)h =

h→0lim

(3 + h)2 – 32

h = h→0lim

h (h + 6) h = 6

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:

f '(x) = h→0lim

f(x + h) – f(x) h =

h→0lim

(x + h)2 – x2

h = h→0lim

h (h + 2x) h = 2x

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:

f '(2) = h→0lim

f(2 + h) – f(2)h =

h→0lim

(2 + h)2 – 22

h = h→0lim

h (h + 4) h = 4

Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x

Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.

Para obtener la derivada en x

Consecuencias de la definición de derivada

• La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada.

Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x)

h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x)

Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas.

Derivadas de operaciones con funciones

Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real.

Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x.

• Además se tiene:

(cf)'(x) = cf '(x)

(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)

(f – g) '(x) = f '(x) – g'(x)

(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

)(

)(')·()()·(')(

2

'

xg

xgxfxgxfx

g

f −=

Demostración de la regla de derivación del cociente

Enunciado: La derivada de un cociente

)(

)()·()()·(

)()()(lim)(·

)()(lim

)()(

1lim

)()()()·(lim

)()·()()(lim

)()(

1lim

)()(

)()()()(

lim)()(

)()()()(

lim

)()(

)()(

lim

)()(

lim)(

2

''

000

000

00

00

'

)()·()()·(

xg

xgxfxgxf

h

hxgxgxfxg

h

xfhxf

hxgxg

h

hxgxfxgxf

h

xgxfxghxf

hxgxg

hhxgxg

hxgxfxghxf

hhxgxg

hxgxfxghxf

h

xgxf

hxghxf

h

xgf

hxgf

xg

f

hhh

hhh

hh

hh

xgxfxgxf

−=

=

+−+−+

+=

=

+−+−+

+=

=++−+

=++−+

=

=

−

++

=

−+

=

→→→

→→→

→→

→→

+−

)(

)(')·()()·(')(

'

2 xg

xgxfxgxfx

g

f −=

Derivada de una función compuesta: regla de la cadena

Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).

La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2

t2 = (2x–1)2 x 2x–1 = t

R Rf

Rg

x (2x–1)2

h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x)

Ejemplo:

Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:

(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)

Ejemplo:

Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒ ⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2

Regla de la cadena: Demostración

[ ]

)('))·(('

)()(lim·

)()(

))(())((lim

)()(lim·

)()(

))(())((lim

·))(())((

lim

))(())((lim'))((

0)()(

00

0

0

)()()()(

xgxgf

h

xghxg

xghxg

xgfhxgf

h

xghxg

xghxg

xgfhxgf

h

xgfhxgf

h

xgfhxgfxgf

hxghxg

hh

h

h

xghxgxghxg

=−+−+−+=

=−+−+−+=

=

−+

=−+=

→→+

→→

→

→

−+−+

Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x) es: f ‘(g(x)) · g’(x)

Derivada de la función inversa

• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.

• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

X

Y

f(x)

f –1(x) • (x, f(x))

(f(x), x)•

Sea f una función definida en un inter-valo abierto D en el que admite fun-ción inversa siendo f derivable. Enton-ces se tiene que, para todo punto xdel dominio de f-1 en el que f-1 es deri-vable y en el que f '(f–1(x)) ≠ 0 la deri-vada de f–1 viene dada por:

))(('

1)()'(

1

1

xffxf

−

− =

Tabla de derivadas de las funciones elementales

Función Derivada

f(x) = sen x f '(x) = cos x

f(x) = cos x f '(x) = – sen x

f(x) = tan x f '(x) = 1

Cos 2 x

f(x) = arcsen x f '(x) = 1

1 – x2

f(x) = arccos x f '(x) = –11 – x 2

f(x) = arctan x f '(x) = 1

1 + x 2

Función

Derivada

f(x) = c (constante)

f '(x) = 0

f(x) = x n

f '(x) = n x n – 1

f(x) = e x f '(x) = e x

f(x) = ax (a > 0) f '(x) = ax ln a

f(x) = ln x f '(x) = 1x

f(x) = loga x, (a > 0) f '(x) = 1

x ln a

Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano

1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o

Sean ( ) y ( ) ln( ).xf x e g x x= =

11

2. Derivada función recíproca

1 ( ) ( ) .

( ( ))f x

f f x−

−′ =

′ } ln

1( )

xg x

e′ =

Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial

La derivada de es

1

x

ln( )x

Demostración de la derivada de la función seno

Vamos a calcular la derivada de sen( )x

0

0

Como

lim cos cos( )2

2 lim 1

2

h

h

hx x

hsen

h

→

→

+ = =

0

sen( ) sen( )(sen( )) = lim =

h

x h xx

h→

+ −′

Usando la definición de derivada:

0

2 cos sen2 2

lim h

h hx

h→

⋅ + ⋅

=

+=

+

=→→

2

2·

2coslim

2

2·

2cos

lim00 h

hsen

hx

h

hsen

hx

hh

La derivada de sen (x) es

Cos (x)

Obtención de la derivada de la función arcoseno

Vamos a calcular la derivada de arcsen( )x

1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o

11

2. Derivada función recíproca

1 ( ) ( ) .

( ( ))f x

f f x−

−′ =

′ }1

( )cos(arcsen( ))

g xx

′ =

Sean ( ) sen( ) y ( ) arcsen( ).f x x g x x= =

La derivada es:

2

1

1 x−Como:

( ) 2 2cos(arcsen ) 1 sen (arcsen ) 1x x x= − = −

Obtención de la derivada de la función arco tangente

Vamos a calcular la derivada de arctg( )x

1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o

11

2. Derivada función recíproca

1 ( ) ( ) .

( ( ))f x

f f x−

−′ =

′} 2

1( )

1 tg (arctg( ))g x

x′ =

+

Sean ( ) tg( ) y ( ) arctg( ).f x x g x x= =

La derivada es:

2

1

1 x+

Como:

( )tg arctg x x=

Diferencial de una función

•

a

f(a)

•

a + h

f(a + h)

h = ∆x

∆x = dx

∆y = f(a + h) – f(a)at

f '(a) . dx

El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h

Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at

Para valores de h = ∆x = dx pequeños∆y ≈ f '(a) . ∆x

Por tanto: ∆y ≈ dy = f '(a) . dx

Y para un x cualquiera:

dy = f '(x) . dx

Una aproximación geométrica al concepto de diferencial

• Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementará en:

∆f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2

• Si h es muy pequeño, h2 es mucho más pequeño.

• Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la función

f(x) = x2 y se ve que ∆f ≈ 2x dx = f '(x) dx El error que se comete al aproximar el

incremento por la diferencial es h2.

Máximos y mínimos relativos

Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3).

• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).

• m(3, -1)1 5

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0

Si la función es constanteentonces f '(c) = 0

Si A es máximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

Si A es mínimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su

pendiente es 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

Teorema de Rolle. Interpretación geométrica

Si una función y = f(x) cumple que:• Es continua en el intervalo cerrado [a, b].• Es derivable en su interior (a, b).• f(a) = f(b).

Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.

Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal.

a

f(a)

b

f(b)

f '(c) = 0

=

ca

f(a)

b

f(b)=

f '(c) = 0

ca

f(a) f(b)

b

=

f '(c) = 0

c

Teorema de Rolle: Demostración

• Demostración:• f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo

absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M.∀ ∃ x1 ∈ [a,b] ∋ f(x1)=M. ∃ x2 ∈ [a,b] ∋ f(x2)=m.

• Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0

• Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2) ≤ f(x) por lo que f presenta un mínimo relativo en x2. (1)

• f es derivable por hipótesis. (2)• De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos

relativos f'(x2)=0 como queríamos demostrar

Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.

Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica

Si una función y = f(x) cumple que:• Es continua [a, b].• Es derivable (a, b).

Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que: f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) =

• Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

• Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en dicho punto.

c

•

•

c'

Pendiente de AB:f(b) – f(a)

b – a

f '(c) = f '(c') = f(b) – f(a)

b – a

c y c' son los puntosque verifican el teorema

ab

afbf

−− )()(

• Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R.

• g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

• Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle=> f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a)

• => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0

• Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h

y por tanto:

Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración

Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c).

ab

bfafh

−−= )()(

ab

afbfhcf

−−=−= )()(

)('

Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x)• 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. • 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). • 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0.• h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k

Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf =−−

)()(

)()(

bgag

afbfk

−−=

0 (c)g'y g(a)g(b) si )('

)('

)()(

)()( ≠≠=−−

cg

cf

agbg

afbf

Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

Consecuencias del teorema del valor medio (I)

• Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en [a, b]:

f(a) = f(b) + (b – a) . f '(c) con c ∈ (a, b).

• Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1).

c

•

a + ha + θh

Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces:f(a + h) = f(a) + h · f '(a + θh) con θ ∈ (0, 1).

Expresión del valor de una función en el entorno de x = a

Consecuencias del teorema del valor medio (II)

Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo.

Caracterización de las funciones constantes

• f(x) es derivable en (a, b).• f(x) tiene derivada nula en (a, b).

En consecuencia: f(x) = k en (a, b).

• Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable).

• No es constante en (a, b).

{ 0 si ( , )0 si ( , )f (x) x a c

x c b∈∈′ =

Consecuencias del teorema del valor medio (III)

Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo.

Relación entre funciones con igual derivada

• En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada.• Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene

de la otra trasladándola paralelamente al eje OY.

Regla de L'Hôpital (I)

Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}.

Una aproximación geométrica al teorema:

Indeterminación del tipo 00

f(C)g(C) =

CACB ≈

CA'CB' =

f '(a)g '(a)

Supongamos que x→ulim f(x) =

x→ulim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u.

Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).

=

)(

)(lim

xg

xfax→ )('

)('lim

xg

xfax→

se verifica que: )(

)(lim

xg

xfax→ )('

)('lim

xg

xfax→

Regla de L'Hôpital (II)

Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}

∞∞

Indeterminación del tipo:

Supongamos que x→ulim f(x) =

x→ulim g(x) = y que g(x) ≠0 en un entorno de u.

Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).

=

)(

)(lim

xg

xfax→ )('

)('lim

xg

xfax→

se verifica que: )(

)(lim

xg

xfax→ )('

)('lim

xg

xfax→

∞

Regla de L'Hôpital (III)

Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}

Supongamos que hemos de calcular: x→ulim [f (x).g(x)]

Indeterminación del tipo 0 · ∞

↓ ↓

Salvando indeterminaciones del tipo 0 . • ∞

[ ]

es 0

0 es

∞∞

==→→→

)(1

)(lim

)(1

)(lim)()·(lim

xf

xg

xg

xfxgxf

uxuxux

Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞

Regla de L'Hôpital (IV)

Salvando indeterminaciones del tipo 1∞, ∞0, 00

Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}

A = x→ulim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L(

x→ulim [f(x)g(x)]).

Supongamos que hemos de calcular: x→ulim [f(x)g(x)]

Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ∞ ó ∞0 ó 00.

De donde: L A = x→ulim L [f (x)g(x)], por ser la función logaritmo continua

Y por las propiedades de los logaritmos L A = x→ulim [g(x) . L f(x)]

Este límite es indeterminado 0 . ∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor

Tendremos: L A = M ⇒ A = eM.

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)

1.– x→0lim

ex–x–1x(ex–1) =

x→0lim

ex–1ex–1 + xex =

x→0lim

ex

2ex + xex =12

Indet 00 L'Hôpital Indet

00 L'Hôpital

2.– x→0lim [sen

x2 . ctg x] =

Indet 0.∞

x→0lim

sen x2

tg x =

Indet 00 L'Hôpital

x→0lim

12 cos

x2

1+tg2x = 12

3.– x→0lim

r

4x – r

2x(erx + 1) =

r > 0

Indet ∞ – ∞

x→0lim

rerx – r4xerx + 4x =

Indet 00 L'Hôpital

x→0lim

r2erx

4erx + 4xrerx + 4 =r2

8

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)

4.- x→1+lim x

1x-1 =

Indet 1∞

A⇒ L A = L

x→1+lim (x

1x–1) =

x→1+lim

L

x 1x–1

=x→1+lim

L xx–1 =

Indet 00 L'Hôpital

x→1+lim

1/x1 = 1

Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e

5.-

x→0+

lim

1

sen x x = A

Indet ∞ 0

⇒ L A = L

x→0+

lim

1

sen x x

=x→0+

lim

L

1

sen x x

=

= x→0+lim

– L sen x 1/x =

Indet ∞∞

L'Hôpital

x→0+

lim ctg x1/x2 =

x→0+lim

x2

tg x =

Indet 00 L'Hôpital

x→0+lim

2x1 + tg2x = 0

Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1

X

Y

Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo

[a

]bx

f(x)

x+h

f(x+h)

h

Función creciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0

X

Y

[a

]b

x

f(x)

Función decreciente en [a, b]

f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0

f(x+h)

x+hh

f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0

Derivadas y curvatura: concavidad

Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava

X

Y

[a

]b

α1

α2

x1 x2

tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)

X

Y

[a

]bx1 x2

α1

α2

Derivadas y curvatura: convexidad

X

Y

[a

]bx1 x2

a1

a2

X

Y

[a

]b

a1

a2

x1 x2

tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa

Puntos de inflexión

X

Y

P(a, f(a))

f" < 0

f" > 0

f"(a) = 0

Son los puntos en los que la función cambia de curvatura