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DESARROLLO DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD

En un sistema lineal como se muestra en la figura:

La ecuacin de conservacin de la masa es:

(Masa entra) - (masa sale) = (acumulacin)

dividiendo (1) por Dx y Dt, y tomando lmites cuando Dx-->0 y Dt-->0:

sustituyendo la Ley de Darcy, ecuacin (2), en (3) obtenemos:

suponiendo que k, m y A son constantes:

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desarrollando el trmino:

obtenemos: Ahora necesitamoscalcular

Procedemos como sigue:

Primero tenemos que la compresibilidad isotrmica est definida como:

obtenemos:

derivando (7) con respecto al tiempo, obtenemos:

Por otro lado, lacompresibilidad de la roca esta definida por:

Integrando (9) y derivando con respecto al tiempo, obtenemos:

Sustituyendo (8) y (10) en (5), obtenemos:

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Definiendo

obtenemos: Ahora, podemos

decir que: Finalmente

obtenemos: La ecuacin (13) es la ecuacin de

difusividad en un sistema lineal.

Observe que en esta ecuacin hay una derivada parcial con respecto al

tiempo y una segunda derivada con respecto a la distancia (espacio).

En un sistema cartesiano 3D, la ecuacin (13) se puede escribir como

sigue:

donde, el operador V esta definido por:

En coordenadas radiales, el operador V esta definido por:

y la ecuacin de difusividad se convierte en:

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