Desarrollo Prueba 2 Ayudantia
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Desarrollo Prueba N ◦ 2 Ayudant´ ıa 2008 1. (15 puntos) Sea (G, *) un grupo y X un conjunto no vac´ ıo. a ) Verifique que el conjunto Biy(X )= {f : X → X | f funci´ on biyectiva } es un grupo con la composici´ on de funciones. Demostraci´on: (Clausura) Sean f,g ∈ Biy(X ). Veamos que f ◦ g es inyectiva: si f ◦ g(x)= f ◦ g(y) entonces f (g(x)) = f (g(y)), luego por inyectividad de f se tiene g(x)= g(y) y ahora por inyectividad de g se tiene x = y. Veamos ahora la epiyectividad: si y ∈ X entonces, por epiyec- tividad de f existe x ∈ X tal que f (x)= y. Ahora por epiyectividad de g existe z ∈ X tal que g(z )= x. Por lo tanto f ◦ g(z )= f (g(z )) = f (x)= y. Todo esto demuestra que f ◦ g ∈ Biy(X ). (Asociatividad) Dados f,g,h ∈ Biy(X ) se tiene: (f ◦ g) ◦ h(x)= f ◦ g(h(x)) = f (g(h(x))) f ◦ (g ◦ h)(x)= f (g ◦ h(x)) = f (g(h(x))) Por lo tanto (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). (Neutro) Existe la funci´ on Id ∈ Biy(X ) tal que f ◦ Id = Id ◦ f = f , ∀f ∈ Biy(X ). (Inversos) Dado f ∈ Biy(X ) existe la funci´ on inversa f -1 ∈ Biy(X ). Esto demuestra que (Biy(X ), ◦) es un grupo. b ) Suponga que existe un homomorfismo φ : G → Biy(X ). Demuestre que G act´ ua sobre X seg´ un la regla g · x = φ g (x) donde φ g = φ(g) ∈ Biy(X ). Demostraci´on: Si e denota el elemento neutro de G entonces e · x = φ e (x). Como φ es homomorfismo, entonces φ e = φ(e)= Id ∈ Biy(X ). Luego: e · x = Id(x)= x Ahora: g 1 · (g 2 · x)= g 1 · (φ g 2 (x)) = φ g 1 (φ g 2 (x)) = φ g 1 ◦ φ g 2 (x) y como φ es un homomorfismo, entonces φ g 1 ◦ φ g 2 = φ(g 1 ) ◦ φ(g 2 )= φ(g 1 * g 2 )= φ g 1 *g 2 . Por lo tanto: g 1 · (g 2 · x)= φ g 1 *g 2 (x)=(g 1 * g 2 ) · x Esto termina la demostraci´ on. c ) Se dice que la acci´on de G sobre X es fiel si el elemento neutro del grupo G es el ´ unico que deja fijos a todos los elementos del conjunto. Demuestre que la acci´ on definida anteriormente es fiel si y solo si Ker(φ)= {e}. Demostraci´ on: Definamos A = {g ∈ G | g · x = x, ∀x ∈ X }⊆ G. Demostraremos que A = Ker(φ): si g ∈ A entonces φ g (x)= x, ∀x ∈ X . Luego φ g = Id y por lo tanto g ∈ Ker(φ). Por otro lado, si g ∈ Ker(φ) entonces φ g = Id, luego g · x = φ g (x)= x, ∀x ∈ X y por lo tanto g ∈ A. Esto demuestra la igualdad. Finalmente observar que G act´ ua fielmente sobre X si y solo si A = {e} y por lo tanto G act´ ua fielmente si y solo si Ker(φ)= {e}. 2. (15 puntos) Considere el grupo (C, +). 1
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Desarrollo Prueba N2 Ayudanta 2008
1. (15 puntos) Sea (G, ) un grupo y X un conjunto no vaco.a) Verifique que el conjunto Biy(X) = {f : X X | f funcion biyectiva } es un grupo con la
composicion de funciones.
Demostracion: (Clausura) Sean f, g Biy(X). Veamos que f g es inyectiva: si f g(x) =f g(y) entonces f(g(x)) = f(g(y)), luego por inyectividad de f se tiene g(x) = g(y) y ahora porinyectividad de g se tiene x = y. Veamos ahora la epiyectividad: si y X entonces, por epiyec-tividad de f existe x X tal que f(x) = y. Ahora por epiyectividad de g existe z X tal queg(z) = x. Por lo tanto f g(z) = f(g(z)) = f(x) = y. Todo esto demuestra que f g Biy(X).(Asociatividad) Dados f, g, h Biy(X) se tiene:
(f g) h(x) = f g(h(x)) = f(g(h(x)))
f (g h)(x) = f(g h(x)) = f(g(h(x)))Por lo tanto (f g) h = f (g h).(Neutro) Existe la funcion Id Biy(X) tal que f Id = Id f = f , f Biy(X).(Inversos) Dado f Biy(X) existe la funcion inversa f1 Biy(X).Esto demuestra que (Biy(X), ) es un grupo.
b) Suponga que existe un homomorfismo : G Biy(X). Demuestre que G actua sobre X segunla regla g x = g(x) donde g = (g) Biy(X).
Demostracion: Si e denota el elemento neutro de G entonces e x = e(x). Como eshomomorfismo, entonces e = (e) = Id Biy(X). Luego:
e x = Id(x) = x
Ahora: g1 (g2 x) = g1 (g2(x)) = g1(g2(x)) = g1 g2(x) y como es un homomorfismo,entonces g1 g2 = (g1) (g2) = (g1 g2) = g1g2 . Por lo tanto:
g1 (g2 x) = g1g2(x) = (g1 g2) x
Esto termina la demostracion.
c) Se dice que la accion de G sobre X es fiel si el elemento neutro del grupo G es el unico que dejafijos a todos los elementos del conjunto. Demuestre que la accion definida anteriormente es fielsi y solo si Ker() = {e}.
Demostracion: Definamos A = {g G | g x = x,x X} G. Demostraremos queA = Ker(): si g A entonces g(x) = x, x X. Luego g = Id y por lo tanto g Ker().Por otro lado, si g Ker() entonces g = Id, luego g x = g(x) = x, x X y por lo tantog A. Esto demuestra la igualdad. Finalmente observar que G actua fielmente sobre X si ysolo si A = {e} y por lo tanto G actua fielmente si y solo si Ker() = {e}.
2. (15 puntos) Considere el grupo (C,+).
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a) Demuestre que la funcion Re : C R definida por Re(a + ib) = a con a, b R, es un epimor-fismo de grupos.
Demostracion: Veamos primero que es homomorfismo: sean a, b, c, d R. Entonces:pi((a+ bi) + (c+ di)) = pi((a+ c) + (b+ d)i) = a+ c = pi(a+ bi) + pi(c+ di)
Veamos ahora que es epimorfismo (homomorfismo epiyectivo). Dado a R podemos tomara+ 2i C y se cumple:
pi(a+ 2i) = a
b) Demuestre que Ker(Re) = {ib | b R}.
Demostracion: Sea a + bi Ker(pi). Luego pi(a + bi) = a = 0. Por lo tanto a + bi = bi.Esto es:
Ker(pi) = {bi | b R}c) Demuestre que C/Ker(Re) ' R.
Demostracion: Por Teorema del Homomorfismo tenemos:
C/Ker(pi) ' Im(pi) = R3. (15 puntos) Sea (G, ) un grupo.
a) Demuestre que si (K, ) es otro grupo y f : G K es un homomorfismo, entonces Ker(f) / G.
Demostracion: Sea a gKer(f)g1. Luego a = g t g1 donde t Ker(f). Ahora:f(a) = f(g t g1) = f(g) f(t) f(g)1 = f(g) eK f(g)1 = f(g) f(g)1 = eK
Por lo tanto a Ker(f). Esto demuestra que gKer(f)g1 Ker(f), g G. Por lo tantoKer(f) / G.
b) Demuestre que si N / G entonces la funcion pi : G G/N definida por pi(g) = gN es unhomomorfismo. Determine Ker(pi).
Demostracion: Veamos que es homomorfismo:
pi(g1 g2) = (g1 g2)N = (g1N)(g2N) = pi(g1)pi(g2)Ahora:
Ker(pi) = {g G | pi(g) = N}= {g G | gN = N}= {g G | g N}= N
c) Concluya que si N es un subgrupo normal de G entonces existe un grupo K y un homomorfismof : G K tal que Ker(f) = N .
Demostracion: Podemos tomar K = G/N y f = pi definido por pi(g) = gN . Por el ejer-cicio anterior se tiene que f es homomorfismo y Ker(f) = N .
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4. (7 puntos) Sea (G, ) un grupo. Demuestre que si N y M son subgrupos normales de G tales queN M = {e} entonces nm = mn, n N,m M .
Demostracion: Sean n N ym M . Llamemos a = nmn1m1. Notar que nmn1 nMn1 = Mpues M es normal. Luego nmn1 = m y por lo tanto a = mm1 M . Analogamente mn1m1 mNm1 = N pues N es normal. Luego mn1m1 = n y por lo tanto a = nn N . Esto demuestraque a N M y por lo tanto a = e lo que es equivalente a decir que nm = mn.
5. (8 puntos) Sea (G, ) un grupo y H un subgrupo de ndice 2. Demuestre que H / G.
Demostracion: Si H tiene ndice 2 entonces H define 2 coclases izquierdas distinas aH, bH. ComoH = eH siempre es una coclase izquierda podemos considerar aH = H y recordar que en este casoHbH = G. Analogamente H define 2 coclases derechas distintas Ht,Hr y como H = He siemprees una coclase derecha podemos considerar Ht = H y en este caso tenemos HHr = G. Finalmente,si g G entonces hay 2 posibilidades: si g H entonces gH = H = Hg. Y si g / H entoncesgH = bH = Hc = Hr = Hg. Esto demuestra que gH = Hg, g G y por lo tanto H / G.
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