desarrollo unidad 2

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ALUMNA: Nubia Lizet Salgado Román.

PROFESOR: Juan Manuel Rodríguez Vázquez.

UNIDAD: 2 Análisis de redes



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GRUPO: B

FECHA: 07 de Abril del 2011



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C O N T E N I D O

ANÁLISIS DE REDES .............................................................................................................................. 4

2.1.PROBLEMA DEL TRANSPORTE. ...................................................................................................... 4

2.1.1. Método de la Esquina Noroeste. ........................................................................................... 5

2.1.2. Procedimiento de Optimización. ........................................................................................... 7

2.2. PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO. ........................................................................................ 8

2.3. PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO. ........................................................................... 9

Algoritmo de Kruskal. ...................................................................................................................... 9

Algoritmo de Prim. ........................................................................................................................ 11

2.4. PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO. ............................................................................................... 12

2.5. RUTA CRÍTICA. ............................................................................................................................ 14

Lista de Actividades. ...................................................................................................................... 14

Matriz de Secuencias. ................................................................................................................... 14

Matriz de Tiempos......................................................................................................................... 15

Red de Actividades. ....................................................................................................................... 15

Holgura Total. ................................................................................................................................ 17

ADMINISTRACIÓN DEL COSTO DEL PROYECTO: PERT/COSTO. ......................................................... 18

Planeación de Costos Para el Proyecto Tarjeta de crédito: El Sistema PERT/Costo. .................... 18

Suposición del Gasto Uniforme. .................................................................................................... 18

Suposición a fines de Semana. ...................................................................................................... 18

Control de Costos del Proyecto. .................................................................................................... 19

Reporte de Control PERT/COSTO. ................................................................................................. 19

Problemas Potenciales de Implementación. ................................................................................. 20

NOTAS SOBRE LA IMPLEMENTACIÓN. .............................................................................................. 20

Efecto de la Computadora. ........................................................................................................... 20

RESUMEN. ......................................................................................................................................... 21PROBLEMAS DE TRASNPORTE. .......................................................................................................... 22

PROBLEMAS DE RUTA CRITICA. ......................................................................................................... 26

B I B L I O G R A F Í A ................................................................................................. 36



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ANÁLISIS DE REDES

El análisis de redes es el área encargada de analizar las redes mediante la teoría de redes

(conocida más genéricamente como teoría de grafos).

Las redes de transporte son objeto de estudio particular en ciertos casos donde se pretende

analizar el transporte de bienes y personas entre diversas áreas geográficas. Uno de los objetivos

de su estudio es a veces la mejora y la eficiencia del tráfico. En este análisis los nodos suelen ser

las ciudades, los aeropuertos, las estaciones, etc. mientras que los enlaces suelen ser las

carreteras, las autovías, etc. Es objeto de estudio del análisis de redes de transporte se centra en

las características de capacidad tales como la admisión de elementos de transporte: aviones,

coches, etc. la capacidad del flujo de bienes, etc. planificación del transporte, etc.

2.1.PROBLEMA DEL TRANSPORTE.

Un problema de transporte queda definido por la siguiente información:

1. Un conjunto de puntos de oferta. Cada punto de oferta tiene asociado una oferta si.

2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda tiene asociada una demanda

.

3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo

unitario de transporte cij.

Consideremos:



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= número de unidades enviadas desde el punto de oferta al punto de demanda j.

2.1.1. Método de la Esquina Noroeste.

Para encontrar una solución inicial se comienza por la esquina superior izquierda (noroeste) de la

tabla de transporte intentando asignar la máxima cantidad posible a . Evidentemente, el valor

máximo de debe ser el menor entre y . Si , se puede descartar la primera fila

pues ya no podría asignarse más desde el primer punto de oferta, se avanza a la siguiente fila. Al

mismo tiempo, se debe cambiar por d1¡s1, de forma de indicar la cantidad de demanda no

satisfecha en el primer punto de demanda.

En caso que = , se debe descartar la primera columna y cambiar por , , avanzando

una columna. Si = = , se debe avanzar en una columna o en una fila (pero no en ambas).

Se asigna un cero en la dirección escogida y se descarta la otra alternativa.

El método continúa aplicando el mismo criterio desde la esquina noroeste de la tabla restante.

Una vez que están asignadas toda de demanda y oferta disponible, se terminan las asignaciones y

está completa la asignación inicial.

Apliquemos el método al siguiente tabla (notar que no se incorporan los costos pues el método no

los emplea):



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Comenzamos asignando la máxima cantidad posible por fila o por columna en la esquina noroeste.

En este caso, controla la primera columna, luego:

A continuación, avanzamos una columna y en esta celda controla la fila, por lo tanto queda:

En este caso, la esquina más noroeste disponible es la celda 2-2. Aquí, la demanda y la oferta se

igualan. Arbitrariamente se escogerá la celda inferior de la misma columna para asignar un cero:

Luego, la celda más noroeste disponible es la 3-3. En esta celda, controla la demanda de 2 sobre la

oferta de 3, luego:

Finalmente, se completa el tabla haciendo la última asignación factible:



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2.1.2. Procedimiento de Optimización.

Partiendo de una solución inicial factible es necesario probar la optimización de la asignación

evaluando todas las celdas no asignadas (vacías) y determinando la conveniencia de asignar en

ellas. En la evaluación de las celdas vacías para un posible mejoramiento, una ruta cerrada (ciclo)

es seleccionada. La ruta tiene movimientos horizontales y verticales, considerando que las celdas

asignadas y no asignadas pueden ser brincadas en el movimiento para localizar una celda

adecuada.

Con la excepción de la celda que esta siendo evaluada, el resto de las celdas en la ruta deben tener

una asignación. Cuando nos movimientos alrededor de la ruta cerrada, cambios de dirección en

ángulo recto (movimientos verticales y horizontales) son realizados en cada celda que toque la

ruta, que resulta con la adición de una unidad y la resta de una unidad de cada fila, y la columna

incluida en la ruta (con asignación alternada de signos positivos y negativos a los costos de las

celdas en la ruta).

La adición y la resta asegura que las restricciones de la unidad de capacidad y la unidad de

requerimientos no serán violadas.

Para evaluar la celda vacía se realiza la sumatoria de los costos de cada una de las celdas en la

ruta.

Si alguna de estas evaluaciones arrojará un signo negativo (para un problema de minimización),

entonces se deberá asignar en aquella celda con la evaluación más negativa. Esto indicará que una

reducción en el costo total puede lograrse transfiriendo tantas unidades como sea posible a esa

celda.



8

El número de unidades posibles a ser transferido será igual a la mínima cantidad que se encuentra

asignada en las celdas de la ruta con costo negativo. Al realizarse esta transferencia debe

asegurarse que las restricciones de la capacidad y de requerimientos no sean violadas (esto se

hace agregando las unidades encontradas a asignar en las celdas con signo positivo y restando

estas unidades de las celdas con signo negativo).

Si la evolución de todas las celdas vacías arrojan valores positivos, entonces se dice que la

asignación es óptima.

2.2. PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO.

El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma más

económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen

nodos y arcos (bordes) y un costo asociado con cada arco ( a ) en la red. Formalmente, el

problema del camino mas corto es encontrar el camino mas corto (menor costo) desde el nodo de

comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costos de cada arco

recorrido. Defina las variables binarias , donde =1 si el arco ( a ) es sobre el camino mas

corto y = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo

es encontrar el camino mas corto entre el origen y el destino.

El la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodo a otro. Por

ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La función objetivo considera los costos de

moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino. Las restricciones están divididas en tres

grupos. La restricción del nodo de origen dice que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La

restricción del nodo intermedio dice que si siempre que se dirija a un nodo usted deberá dejar ese

nodo. El nodo de destino es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solo

desde los nodos vecinos.



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Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos estén dirigidos en

ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Note que en este caso usted tiene y

variables). El objetivo es encontrar el camino mas corto desde el nodo 1al nodo 7.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programación lineal, los

resultados son:

Ir desde 1 hasta el 3.




Este es el camino mas corto con un total de 22 unidades de longitud.

2.3. PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO.

Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un

loop.

El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es

expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.

Existen tres algoritmos para resolver este tipo de problemas que se explican adelante.

Algoritmo de Kruskal.

El algoritmo de Kruskal permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo valorado (con

capacidades). Hay que seguir los siguientes pasos:

1. Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una, se elige cualquiera de ellas.



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2. De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de una, se elige

cualquiera de ellas.

3. Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas.

4. El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristas

marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n el número de nodos del

grafo.

Ejemplo: Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente grafo:

Siguiendo el algoritmo de Kruskal, tenemos:

a) Elegimos, por ejemplo, la arista (menor valor) y la marcamos.

b) Elegimos la siguiente arista con menor valor y la marcamos.

c) Elegimos la siguiente arista con menor valor y la marcamos, ya que no forma

ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

d) Elegimos la siguiente arista con menor valor y la marcamos, ya que no forma


e) Elegimos la siguiente arista con menor valor y la desechamos, ya que forma

ciclos con las aristas y marcadas anteriormente.

f) Elegimos la siguiente arista con menor valor (2, 5) = 5 y la marcamos, ya que no formaciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente.

g) Elegimos la siguiente arista con menor valor y la marcamos, ya que no forma


h) FIN. Finalizamos dado que los nodos del grafo están en alguna de las aristas, o también

ya que tenemos marcadas aristas .



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Por tanto el árbol de mínima expansión resultante sería:

Algoritmo de Prim.

El algoritmo de Prim permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo valorado (con

capacidades). Hay que seguir los siguientes pasos:

1. Se marca un nodo cualquiera, será el nodo de partida.

2. Seleccionamos la arista de menor valor incidente en el nodo marcado anteriormente, y

marcamos el otro nodo en el que incide.

3. Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida enlace un nodo marcado y otro que no lo

esté.

4.

El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo marcados.

Ejemplo: Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente grafo:

Siguiendo el algoritmo de Prim, tenemos:

a) Elegimos, por ejemplo, el nodo y lo marcamos.



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b) Elegimos la arista con menor valor incidente en , la la marcamos y marcamos

el otro nodo en el que incide, el .

c) Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la

la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el .

d) Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la


e) Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la

(5, 6) = 1 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el .

f) Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la


g) Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la

(5, 4) = 6 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el .h) FIN. Finalizamos dado que tenemos marcados los nodos del grafo.

Por tanto el árbol de mínima expansión resultante sería:

2.4. PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO.

Nos permite conocer(calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que

podemos transportar desde un origen hasta un destino.

Pasos a seguir :

1. Elegir una ruta arbitraria.



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2. En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y transportar por esa ruta

la cantidad escogida.

Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de flujo.

Ejemplo: El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por

las restricciones, el destino solo puede recibir 19 unidades en la ruta AB- BC – CD – DF – FG.



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2.5. RUTA CRÍTICA.

El método de ruta crítica es un proceso administrativo (planeación, organización, dirección y

control) de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe

desarrollarse durante un tiempo crítico y al costo óptimo.

La aplicación potencial del método de la ruta crítica, debido a su gran flexibilidad y adaptación,

abarca desde los estudios iníciales para un proyecto determinado, hasta la planeación y operación

de sus instalaciones. A esto se puede añadir una lista indeterminable de posibles aplicaciones de

tipo específico. Así, podemos afirmar que el método de la ruta crítica es aplicable y útil en

cualquier situación en la que se tenga que llevar a cabo una serie de actividades relacionadas

entre sí para alcanzar un objetivo determinado.

Lista de Actividades.

Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos interrelacionados en un

proyecto total.

Es conveniente numerar progresivamente las actividades para su identificación y en algunos casos

puede denominarse en clave.

Matriz de Secuencias.

Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:

a) Por antecedentes

b) Por secuencias

En el primer caso se preguntará a los responsables de los procesos cuales actividades deben

quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe cuidarse que

todas y cada una de las actividades tenga cuando menos un antecedente. En el caso de ser

iníciales, la actividad antecedente será cero.



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En el segundo procedimiento se preguntará a los responsables de la ejecución, cuales actividades

deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista de actividades. Para este efecto

se debe presentar la matriz de secuencias iniciando con la actividad cero que servirá para indicar

solamente el punto de partida de las demás.

Matriz de Tiempos.

Mediante esta matríz conocemos el tiempo de duración de cada actividad del proyecto. El método

de la ruta crítica utiliza únicamente un tipo de estimación de duración, basada en la experiencia

obtenida con anterioridad mediante una actividad X.

Para asignar el tiempo de duración de una actividad debemos basarnos en la manera más eficiente

para terminarla de acuerdo con los recursos disponibles.

Red de Actividades.

La representación visual del método de la ruta crítica es el diagrama de flechas o red deactividades, que consiste en la ilustración gráfica del conjunto de operaciones de un proyecto y de

sus interrelaciones. La red esta formada por flechas que representan actividades y nudos o

uniones que simbolizan eventos.

Una vez realizada la red de actividades, se debe asignar la duración correspondiente a cada una de

ellas, para calcular la duración total del proyecto y a la determinación de las fechas próximas de

realización de cada actividad.



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Cómo es posible calcular las fechas próximas de iniciación y terminación de cada actividad,

podemos realizar el mismo procedimiento de cálculo para obtener los tiempos remotos de

iniciación y de terminación de cada actividad, de acuerdo, con la duración total del proyecto. El

cálculo de estos tiempos denominados también como fechas, es muy sencillo; lo más pronto que

una actividad se puede iniciar es la fecha más próxima en que todas sus actividades precedentes

se pueden terminar. Lo más pronto que se puede terminar es simplemente la fecha de iniciación

más próxima más el tiempo requerido para la terminación.

1. Primeramente se asigna al evento de iniciación de la primera actividad de la red, un día

hábil igual a cero, el que se anota dl lado izquierdo del evento y es su tiempo próximo

de inicio.

2.

Después se procederá a sumarle la duración de cada una de las actividades que principianen ese evento y se anotan del lado izquierdo del evento de terminación respectivamente.

Siendo también su próximo del inicio.

3. En el caso de actividades cuyo evento de terminación sea el mismo, deberá considerarse el

valor máximo que arrojen los cálculos del paso 2, siéndo éste el tiempo próximo de inicio

de la siguiente actividad.

4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que se calcule el tiempo próximo de realización de todas

las actividades.

5. La cifra final de tiempos próximos de inicio constituye el tiempo en el que se puede llevar

a cabo el proyecto.

El segundo cálculo que se hace es el de los tiempos remotos de terminación. Esta determinación

se efectúa en forma inversa a la anterior, el procedimiento es el siguiente:

1. Se supone que el tiempo remoto de terminación del último evento es igual a su tiempo más

próximo de iniciación. Es decir, se toma como dato inicial la duración total del proyecto y

se anota en el extremo derecho del evento final.

2. Posteriormente se irán restando de dicho valor las duraciones de cada una de las

actividades que terminan en ese evento de iniciación, respectivamente. Siendo estos

valores su tiempo remoto de terminación.



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3. Cuando dos o más actividades tengan el mismo evento de iniciación, debe considerarse el

valor mínimo que arrojen los cálculos del paso 2. Siendo este el tiempo remoto de

terminación de las actividades anteriores.

Holgura Total.

Es el exceso de tiempo disponible con respecto a la duración de una actividad. Para calcularla se

emplea la siguiente expresión:

HT= Holgura total.

TRT= Tiempo remoto de terminaciónTPI =tiempo remoto de inicio.



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ADMINISTRACIÓN DEL COSTO DEL PROYECTO: PERT/COSTO.

Lo satisfactorio de un proyecto por lo regular depende de sus costos totales y de su utilidad. Una

vez que ha sido elegido el proyecto, la administración del costo efectivo incluye dos funciones

importantes: la planeación y el control.

Planeación de Costos Para el Proyecto Tarjeta de crédito: El Sistema

PERT/Costo.

Para una firma es importante poder anticipar las demandas de presupuesto para manejarlo en

forma económica y efectiva. PERT/Costo es una alternativa para contabilizar los costos; esta

organizado sobre la base del proyecto, donde los elementos básicos de control son las actividades.

Suposición del Gasto Uniforme.

La meta del sistema PERT/Costo consiste en diseñar una gráfica de demanda presupuestales a

través del tiempo. Esto requiere el conocimiento de cómo se va a gastara los fondos a lo largo de

al vida de una actividad.

Suposición a fines de Semana.

Realizando una tabla con las demandas presupuestadas según el tiempo si todas las actividades

comienzan en su fecha de inicio mas próxima. Esta tabla se construye asignando un renglón a cada

actividad en la columna adecuada como si se determinase por la fecha de inicio más próxima.

También se realiza una tabla con las demandas si las actividades comienzan en su fecha de inicio

más lejana.

El costo total semanario se determina sumando las demandas de todas las actividades de esa

semana.



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Control de Costos del Proyecto.

El sistema PERT/Costo compara los costos del proyecto real con los costos del proyecto

presupuestad a intervalos regulares, para que el administrador pueda tomar una decisión

temprana si el proyecto no marcha de acuerdo con lo planeado. Entonces el administrador está

en situación de emprender acciones cuando el proyecto no se desarrolla conforme al plan.

Reporte de Control PERT/COSTO.

ACTIVIDAD PORCENTAJE

TERMINADO

PRESUPUESTO [(1)/100] X (2)

COSTO

PRESUPUESTO

A LA FECHA

COSTO

VERDADERO A

LA FECHA

COSTO

SOBREGIRADO

A LA FECHA

A 100 2,100 2,100 2,300 200B 100 5,000 5,000 4,900 (100)C 100 1,800 1,800 1,800 0D 75 4,800 3,600 4,600 1,00E 0 32,000 0 0 0F 100 1,00 1,000 1,200 200G 25 2,800 700 1,400 700H 50 7,000 3,500 5,400 1,900I 20 4,000 800 500 (300)J 0 30,000 0 0 0

K 0 1,500 0 0 0TOTAL 92,000 18,500 22,100 3,600

La tabla e un reporte de control PERT/COSTO preparado 11 semanas después del inicio del

proyecto. El rotulo de la columna indica cómo se preparo el reporte. La columna (4), costo

verdadero y la columna (3), costo presupuestado, proporcionan la información básica que usurará

en la función de control. El costo verdadero se explica por si mismo.



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Problemas Potenciales de Implementación.

La orientación regular con centro en el costo departamental debe revisarse sustancialmente para

manejar el sistema PERT/Costo centrado en le gasto por actividad. Este rediseño puede ser bueno

en lo político, pero costoso en lo material.

NOTAS SOBRE LA IMPLEMENTACIÓN.

Es común la idea de usar métodos de ruta crítica para grandes proyectos de una gran compañía.

Sin embargo pueden aplicarse en actividades que se realizan a intervalos bastante regulares. La

red desempeña importante papel en garantizar que todos los involucrados comprendan las

diversas etapas y sus interrelaciones, así como asegurar que todos los requisitos parciales y

materiales estén disponibles cuando se necesiten.

Efecto de la Computadora.

La computadora ha tenido un efecto muy importante en el uso de PERT ya que grandes proyectos

de construcción pueden requerir 1000 nodos o más. Los grandes cambios en el plan eran en si

mismos el mayor dolor de cabeza y comunicación entre múltiples contratistas era fastidiosa. La

computadora acabo con eso, el análisis se hace ahora mediante ella. En las primeras etapas es

importante garantizar que los pedidos de componentes principales se hagan con suficiente

prontitud. Las actualizaciones regulares basadas en información de los proveedores capacitan al

administrador para preciar cuando es necesario hacer un pedido.



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RESUMEN.

El concepto fundamental consiste en representar un proyecto como red. Se muestra como hacer

como usar una lista de actividades para construir un diagrama de red destinado aun proyecto. Se

muestra como se usa el diagrama de red y los tiempos de actividades esperados para determinara

la ruta critica, que es el trayecto mas largo de l red.

A la administración le gustaría saber la probabilidad d4 que el proyecto en cuestión termine en

una fecha específica. Si se supone que los tiempos de actividad son independientes y que la suma

de éstos es la ruta critica tiene una distribución normal, resulta un ejercicio provechoso calcu8lar

la probabilidad de la fecha precisa. Esta no es la última probabilidad ya que para efectos de la

aleatoriedad podría convenir una ruta que supuestamente no es critica en una que si lo es.

El modelo para el control de gastos del proyecto es un sistema de comparación de costos

verdaderos con los costos presupuestados. El modelo de costo presupuestado maneja la hipótesisde que para las actividades parcialmente concluidas el costo presupuestado es igual al

presupuesto de la actividad terminada multiplicado por la proporción de la actividad que haya sido

terminada.



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PROBLEMAS DE TRASNPORTE.



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PROBLEMAS DE RUTA CRITICA.



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B I B L I O G R A F Í A

http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/2-1-2-

procedimiento-de-optimizacion/

http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/2-1-2-

procedimiento-de-optimizacion/

http://karenbandala.wordpress.com/about/2-3-problema-arbol-expandido-minimo/

http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-3-problema-arbol-expandido-

minimo/

http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-4-problema-flujo-maximo/

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