Investigación Operativa

DESARROLLO DE MODELOS

El problema

Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz

Los recursos son escasos

Los sistemas son cada vez más complejos

Investigación operativa (I.O.)• Es la aplicación del método científico para

asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos

• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones• Requiere un enfoque interdisciplinario

Historia de la I.O.• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:

– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)

– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)

– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)

• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial

Historia de la I.O.• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la

industria, debido a:– competitividad industrial– progreso teórico

• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)

– gran desarrollo de los ordenadores

Actualidad de la I.O.• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos

sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial

• Más información:– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)

• www.cica.es/aliens/seio

– Association of European O.R. Societies (EURO)• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html

– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)• www.informs.org

– International Federation of O.R. Societies (IFORS)• www.ifors.org

El método de la I.O.• Definición del problema• Formulación del problema y construcción del

modelo• Resolución• Verificación, validación, refinamiento• Interpretación y análisis de resultados• Implantación y uso extensivo

A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente

El modelado• Es una ciencia

– análisis de relaciones– aplicación de algoritmos de solución

• Y a la vez un arte– visión de la realidad– estilo, elegancia, simplicidad– uso creativo de las herramientas– experiencia

Definición del problema• Consiste en identificar los elementos de

decisión– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)– alternativas– limitaciones del sistema

• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)

• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles

Formulación del problema• Modelo: representación simplificada de la

realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento

• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación

• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos– hace más claras la estructura y relaciones– facilita el uso de técnicas matemáticas y

ordenadores– a veces no es aplicable

Construcción del modelo• Traducción del problema a términos

matemáticos– objetivos: función objetivo– alternativas: variables de decisión– limitaciones del sistema: restricciones

• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas– heurísticos– simulación

Tipos de modelos

• Determinísticos– Programación

matemática• Programación lineal• Programación entera• Programación dinámica• Programación no lineal• Programación multiobjetivo

– Modelos de transporte– Modelos de redes

• Probabilísticos– Programación

estocástica– Gestión de inventarios– Fenómenos de espera

(colas)– Teoría de juegos– Simulación

Resolución• Determinar los valores de las variables de

decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones

• Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

Verificación y validación• Eliminación de errores• Comprobación de que el modelo se adapta a la

realidad

Interpretación y análisis• Robustez de la solución óptima obtenida:

Análisis de sensibilidad• Detección de soluciones cuasi-óptimas

atractivas

Implantación• Sistema de ayuda y mantenimiento• Documentación• Formación de usuarios

Ejemplo nº1

En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

21 0003000050 x.x.z axM

00001000020005

1553

21

21

21

x,x.x.x.

xx.a.s

El modelo de P.L.

nn xcxcxcz Opt 2211

021

2211

11212111

n

mnmnmm

nn

x,,x,x

bxaxaxa

bxaxaxa.a.s

El modelo de P.L.z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,

Opt CTXs.a.

AX bx 0

Forma canónica

Propiedades del modelo lineal• Proporcionalidad

– La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable

• Aditividad– El coste y las restricciones son la suma directa de

las variables• Divisibilidad

– Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción

Modelos de prog. entera• El modelo matemático es el modelo de P.L.,

pero con algunas variables enteras– Programación entera mixta (MIP)

• x R+, y Z+

– Programación entera pura (IP)• x Z+

– Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)• x {0,1}: variables de asignación, lógicas

• Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.

• El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos• Problema del transporte• Problema de flujo con coste mínimo en red• Problema de asignación• Problema de la mochila (knapsack)• Problema del emparejamiento (matching)• Problema del recubrimiento (set-covering)• Problema del empaquetado (set-packing)• Problema de partición (set-partitioning)• Problema del coste fijo (fixed-charge)• Problema del viajante (TSP)• Problema de rutas óptimas

Problema del transporteMinimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta

Zx,x

m..i,ax

n..j,bx

.a.s

xc Min

ijij

i

n

1jij

j

m

1iij

m

1i

n

1jijij

0

1

1

xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j

ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j

Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en redEmbarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo

Zx,x

m..j,bxx

.a.s

xc Min

ijij

i

m

kki

m

1jij

m

1i

n

1jijij

0

11

xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j

bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0

Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación

10

11

11

,x

m..i,x

n..j,x

.a.s

xc Min

ij

n

1jij

m

1iij

m

1i

n

1jijij

xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j

n tareasm máquinas

Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias

Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea

Problema de la mochila

10,x

bxa

.a.s

xc Max

j

n

1jjj

n

1jjj

n objetos

aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j

b: volumen de la mochila

xj: 1 si se escoge el objeto j

Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible

Problema de emparejamiento

1,0

2..1,1

..

c

2

1

1-i

1k

1-2n

1i

2n

11jij

ij

n

ijijki

ij

x

nixx

as

xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j

i<j

Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.

Problema de recubrimiento

m característicasn actividades

xj=1 si la actividad j se realiza

cj: coste unitario de la actividad j

aij=1 si la característica i está en la actividad j

A: matriz de incidencia

Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de empaquetado

m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i

A: matriz de incidencia

Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de partición

m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i

A: matriz de incidencia

Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema del coste fijo

1,0,0

..1,

..

n

1j

n

1j

1

n

1j

kij

kkjkj

jij

m

kkkjj

yx

mkyMxa

bx

as

yfxcMin xij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j

yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k

bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande

Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda

Problema del viajante

10

1

1

,x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ij

Aj)j/(i,ij

Aj)i/(i,ij

Aj)(i,ijij

xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j

A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos

Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima

Uj,Ui/A)j,i(ij

UVj,Ui/A)j,i(ij

VU/VU,Ux

VU/VU,x

221

221

10

1

1

1

1

1

,x

k,Vj,xx

x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ijk

Ar)r/(j,1jrk

Aj)i/(i,ijk

Aj)(i,ijk

Aj)j/(i,

n

kijk

Aj)i/(i,

n

kijk

n

1k Aj)(i,ijkij

Problema de rutas

221

11

0

11

1

001 00 0

1 0

0 0

0

1 1 1

NS,Sx

m..k,x

k,rdxsxt

k,Qxq

k,j,xx

n..j,x

.a.s

xcxc Min

Si Sj

m

kijk

n

1jojk

kkn

i

n

jijki

n

i

n

jijkij

n

i

n

jkijki

n

i

n

ijikijk

n

i

m

1kijk

n

0i

n

0j

m

k

m

k

n

jojkkijkij

N: clientesM: vehículos

xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j

qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro

k, dok: período tiempo disponible

ck: coste fijo por uso

Minimizar el coste total, visitando todos los clientes

Formulación con var. binariasRestricciones disyuntivas

K de N alternativas deben darse

Restricciones condicionales

Decisiones contingentes

0)(

0)(

xgó

xf

gxg

fxf

)1()(

)(

nnn fxffxffxf

2

222

111

)()()(

1,0,

1

N

jj KN

0)(0)( xgxf 0)( 0)( xgóxfequiv. a

x y y x