Desayuno coleccion-2015

Colección de DesayunosEste es una colección de problemas que se propone al comienzo de una clase, cuya solución se

publica posteriormente.

Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

12 de marzo de 2014

Desayuno 1Un cuerpo describe una trayectoria dada por la expresión r (t)=(sin(wt );cos (wt )) , con w=2π .Otro cuerpo, por la expresión r 2(t)=(t 2−1 ; t ) .

Calcule:• La expresión de la aceleración instantánea y la velocidad instantánea• la distancia entre t=0 y t=100 s entre los cuerpos.

Solución

La expresión de la velocidad y aceleración de cada cuerpo son:r(t) v(t) a(t)

r (t)=(sin(wt );cos (wt )) wcos (wt ) i−w sin (wt ) j −w2sin (wt ) i−w2cos (wt ) j

r 2(t)=(t 2−1 ; t ) (2t ;1) 2 i

La distancia entre los cuerpos es el módulo de la diferencia de los vectoresD(t )=√(sin (wt )−(t2−1))

2+(cos (wt)−t)2 para 0<t<100 s tiene la forma.

0 2 4 6 8 10 120

20

40

60

80

100

120

Distancia entre los cuerpos

Distancia

t

D(t

)

12 de marzo de 2014

0 20 40 60 80 100 1200

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Distancia entre los cuerpos

Distancia

t

D(t

)

17 de marzo de 2014

Desayuno 2El tiempo que demora el metro de la linea 1 entre las estaciones Escuela Militar y Manquehue

es del orden de 8 min. La distancia que recorre es de 1.4 km.

Asumiendo que la aceleración de este tres se puede modelar de la forma

a (t)=(a0 t< t

c

0 tc<t<T +t c

−a0 T +t c< t<T f)

donde Tf es el tiempo en recorrer toda la distancia (8 min), tc es el tiempo de aceleración y desaceleración y a0 , es la aceleración.

Asumiendo que tc=0.1Tf, calcule la velocidad en el trayecto tc<t<T+tc, el valor de T y a0.

Realice un gráfico de posición y velocidad en función de tiempo.

Solución

A partir de la expresión de la aceleración, obtenemos la velocidad

v (t )=∫0

ta (t)dt=(

a0t t<tc

a0 tc , tc<t<T +t c

−a0( t−(t c+T ))+aotc T + tc<t<T f

)

La condición que debe cumplir la velocidad es que V(Tf)=0.La posición del metro es

x (t)=∫0

tv (t )dt=(

a0t 2

2, 0<t< tc

a0 tc (t−t c)+

a0tc2

2,t c< t<T +t c

−a0

( t−(T +t c))2

2+a0 t

c(t−(T + tc ))+a0 t

c(T +t c)+

a0tc2

2T +t c< t<T f

)Para la ecuación de la posición x(t), es x(Tf)=1400 m

Escribamos las condiciones que se deben satisfacer

17 de marzo de 2014

v (T f )=0→a0(T f−(t c+T ))+ao tc=0

x (T f )=1400→−a0

(T f−(T +t c))2

2+a0 t

c(T f−(T +t c))+a0 tc(T + tc )+

a0 tc2

2=1400

Las incógnitas son T,a0 y dos ecuaciones.

Con Tf=480 s, tc=48 s, nos da los siguientes resultados:T=384 s y a0=175/3456 m/s2 =0.0506 m/s2.La velocidad constante en el tramo es V=a0T=2.43 m/s= 8.75 km/h

El gráfico de posición

Velocidad

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

Posición en función del tiempo

Tiempo(s)

X(t

)[m

]

0 100 200 300 400 500 6000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Velocidad v/s Tiempo

Tiempo(s)

V[m

/s]

18 de marzo de 2014

Desayuno 3

Un objeto es lanzado hacia arriba, desde el suelo, con velocidad inicial de 100 m/s.

Calcule la altura máxima que alcanza.

Si ahora, se lanza el objeto pero sometido a una aceleración del tipo g (v)=−g j−0.01v j . ¿Cual es

la nueva altura máxima?(g=9.8 m/s2)

Si, la aceleración viniera dado por la g ( y )=−gR

2

R2+ y2

j , calcule la nueva altura máxima.

R=6400 km, radio terrestre.

Desayuno 4 En los años 50 (1950) en plena guerra fría, los estadounidenses desarrollando una cañón que podía lanzar ojivas nucleares: el cañón nuclear

http://m.youtube.com/watch?v=XT5jo7aZzTw

Se sabe, que el alcance máximo es de 40 km, Calcule la velocidad de salida de este cañón suponiendo que corresponde a lanzamiento de proyectil con acelerción de g. Si en realidad, la velocidad de salida es de 700 m/s y la diferencia se debe a que en el movimiento de la trayectoria, además de la gravedad, actúa una aceleración , donde k es una constante positiva,m es la masa y v es la velocidad del proyectil en la trayectoria. Desarrolle las ecuaciones que relaciona la velocidad de salida, con el alcance a 45

Solución

10 de abril de 2014

Desayuno 5Se tiene el siguiente sistema

¿Las masas aceleran?Solución

Primero debemos identificar las fuerzas actuando en cada masa.

Masa (1).

(1)

(2)

m

m

Coeficiente estático 0,8Coeficiente cinético 0,4

m

T

W

N

frX

Y

10 de abril de 2014

Masa (2)

Para contestar la pregunta, debemos adoptar una hipótesis: “el sistema está en equilibrio”

Asumiendo esta hipótesis, la suma de todas las fuerzas sobre cada masa debe ser igual a cero.

Es así que la masa (1)W + T + N + fr=0

Descomponiendo en el sistema de referencia asociado a la masa 1, se obtienen el siguiente sistema deecuaciones

Ecu 1

El sistema de la masa (2)T +w= 0

Descomponiendo en el sistema asociado a la masa 2, se obtiene

Ecu 2Combinando el sistema de ecuaciones 1 con la ecuación Error: No se encuentra la fuente de referencia,obtenemos que

T−mg=0 ; T − fr=0⇒ fr=mg

Además, N=mg. Pero en equilibrio, se debe cumplir que

fr≤μs N

mg=μs mg=0,8 mg⇒1≤0,8

lo cual es una contradicción. Lo que implica que las masas se mueven.

x :T − fr=0y : N−mg=0

y :T −mg=0

m

T

W

X

Y

10 de abril de 2014

Desayuno 6

Un cuerpo de masa M está sobre superficie que gira a una frecuencia w, y a una distancia R del centro

de rotación.

Calcule el valor mínimo del coeficiente de roce estático para que el cuerpo esté a punto de moverse.

R

19 de abril de 2014

Desayuno 7

Consideremos la Tierra como una esfera perfecta, gira en torno su eje.

Encuentre una expresión vectorial de la aceleración de la gravedad en función del ángulo de Latitud.

Grafique la aceleración de gravedad en función del ángulo de Latitud.

Se sabe que la intensidad en el polo es de 9,8322 m/s2; en el ecuador 9,78 m/s2.[1]

Corrija la expresión anterior, asumiendo que la Tierra es un elipsoide; es decir, que la relación que se

cumple es x

2+ y

2

Recu2

+z

2

R pol2

=1 .[2],[3]

Bibliografía

1: , , 2014-, http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio

2: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth

3: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/International_Gravity_Formula

Solución

mar 22 de abril de 2014

Desayuno 8Se sabe que el potencial de una fuerza viene descrito por la expresión U (r )=A(e−2α r

−2e−αr) ,

donde r=√ x2+ y2 . Calcule la expresión de la fuerza F que genera este potencial y los (o el ) puntos de estabilidad.

Calcule el trabajo desde el punto (0,0) al punto (0,a), por un camino que cumple Γ : x= y ( y−a)

Solución:

La fuerza que produce este potencia es F=−∇U=−∂U∂ r

r=−(αe(−α r)−2αe(−2αr )

)A r

Como es una fuerza conservativa (se puede demostrar que ∇ x F=0 ), el trabajo no es mas que el cambio de energía potencial: W=U(0,a)-U(0,0)=U (r )=A(e−2αa

−2e−α a)−A(1−1)=A(e−2αa

−2e−αa)


Desayuno 10

Una masa M desliza sobre una superficie sin roce a una velocidad V0. Sobre la masa hay un gancho, de modo que se una con un resorte que cuelga del techo.

La constante elástica del resorte K, de largo natural H.

Calcule:

• La velocidad justa para que la masa M se desprenda de la superficie.

• Calcule, cuanto se estira el resorte en ese instante

• Si la masa, no desliza, sino está unido a un riel, con la misma velocidad anterior, ¿cuanto se

estira el resorte?

M

V0

g

Resorte, constante K

H

lun 26 de mayo de 2014

Desayuno 11

Se tiene un recipiente de masa M, con las dimensiones que muestra en la figura, con un espeso de S..

Asumamos que el centro de masa de este recipiente esta en el punto (L/2;L) respecto del punto O.

Se agrega un liquido a un cantidad de I kg/s. La densidad del líquido es tal que la masa total contenidaen el recipiente, una vez que se llena es 2M. Calcule una expresión del Centro de masa del sistema recipiente líquido en función del tiempo.

Solución.

La densidad del líquido entrante debe ser igual a ρ=2 M

2L2 s. Además el caudal es I que corresponde a

una razón de materia por unidad de tiempo. Si el tiempo que demora en llenar el estanque es T, el

caudal es I=2 MT

. La cantidad de materia que entra en un tiempo dado en el estanque es M(t)=It.

El centro de masa viene dado por la expresión rcm=

(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+y (t)2

j)

M + It.

El problema es calcula y(t). Pero la densidad es masa por unidad de volumen. El volumen también

L

2L

O

C.M.

lun 26 de mayo de 2014

depende del tiempo V (t)=Ls y (t)=Itρ . Así, y (t)=

ItLsρ

. La ecuación de del centro de masa

queda

rcm=

(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+It2

2Lsρj)

M+ It=L/2 i+

ML j+(It)2 j2Lsρ

M+ It

Como vemos, solo cambia el eje y, la posición x es constante.

Veamos en forma numérica. L=1 m, M=10 krg y s=0.1 m con T=3500; I=20/T. =5.714x10-3 kg/s y la densidad es

La posición en el eje Ycm queda con la expresión

Y cm (t)=L[1+t 2

T 2

1+tT

]Con los valores dados, se ve

mié 11 de junio de 2014

Desayuno 12

El 20 de Julio de 1969 el módulo lunar se posó en la Luna, por primera vez [1].

Suponiendo que el módulo desciende en forma vertical , con una velocidad inicial de m/s, pero a una altura sobre la luna de 9000 m.

Suponiendo que la aceleración de gravedad es constante en la superficie de la Luna, cual debe ser la velocidad de escape de gas, para mantener flotando el módulo.

Utilice los datos y ecuaciones de la página http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete/cohete.html [2], [3]

Solución

La ecuación que gobierna el descenso vertical es

mdvdt

=u D−mg

donde uD es el empuje de los gases.

Pero, para mantener el equilibrio dvdt

=0 , así uD=mg→u=mgD

Figura 1: Modulo lunar, misión apollo 11

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete/cohete.html%5B2%5D,%5B3

mié 11 de junio de 2014

Referencias

[1] “Módulo lunar”, Wikipedia, la enciclopedia libre. 15-may-2014.[2] “Descenso del módulo lunar”. [En línea]. Disponible en:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete/cohete.html. [Accedido: 02-jun-2014].[3] “Movimiento vertical de un cohete”. [En línea]. Disponible en:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete3/cohete3.html. [Accedido: 02-jun-2014].

vie 20 de junio de 2014

Desayuno 13Se tiene el siguiente dispositivo.

El groso de la “paleta” es s, y tiene una masa igual m. La densidad esta uniformemente distribuida en todo el cuerpo. Calcule el valor de R, para que el centro de masa este en el punto O. Calcule el momento de inercia del centro de masa.

Solución

Debemos pensar, que son deos cuerpo por separados.

• La masa del aro es π ((R+s)2−R2)sρ , y el centro de masa según el punto es -(R+s).

• La masa de la barra es Ls2ρ y su centro de masa esta en L/2.

Luego, sumando los centro de masa multicada por cada masa respectivamente, no debe dar 0, en el

L

R

s

R+s

Posición del centro de masa

vie 20 de junio de 2014

origen de nbuestro sistema

−(R+s)π((R+s)2−R

2)sρ+

L2

Ls2ρ=0

De esta ecuación, obtenemos dos valores:

R=−(√(π)√(4 L2

+π s2)+3 π s)

(4 π) ó

ecu 1

El valor positivo es la solución

El momento de inercia, es la suma de los momentos aplicando el teorema de Steiner.

El momento de inercia del aro respecto del punto O: I o=I cm+m(R+s)2 , con

I cm=∫R

R+ s

∫0

2π

r2r dr d θdsρ=ρ s2π(4 sR3

+6 s2R2+4 s3R+s4

)

4

Luego el momento de inercia del aro es ρ s2π(4 sR3

+6 s2R2+4 s3R+s4

)

4+πρ s ((R+s)2−R2

)(R+s)2

Y la barra es mL2

3

Luego, el momento de inercia es:

mL2

3+ρ s2π

(4 sR3+6 s2R2

+4 s3 R+s4)

4+πρ s ((R+s)2−R2)(R+s)2

=

ρLs2 L2

3+ρ s2π

(4 sR3+6 s2R2

+4 s3 R+s4)

4+πρ s((R+s)2−R2)(R+s )2

Con el valor de R de 1, se tiene el valor del momento de inercia, en función de s, L y la densidad.

R=(√(π)√(4 L2

+π s2)−3π s)

(4 π)

6 de agosto de 2014 Mecánica

Objetivo:

El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la

mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

Desayuno 1

Una avión esta volando a una altura H=350 m. En un momento (t=0 s, para un observador en

tierra) suelta una caja, cuyo vector posición viene descrito por al ecuación

rb(t )=[167 t i−4.9t2j+H j ] m

Se quiere lanzar un misil para interceptar el bolso. El vector posición del misil viene descrito

por la ecuación

rm(t )=( 0 t<t0

(550 i+650 j)(t−t0) t⩾t

0)

Sobra la base de los datos entregados,

• Calcule el valor de t0 para que el cohete impacte en el bolso.

• Calcule el tiempo t, tiempo de impacto.

Miguel Bustamante

H

Página 1

6 de agosto de 2014 Mecánica

• Calcule el punto de impacto

• Calcule la velocidad de cada móvil en el momento del impacto.

• Realice un grafico X-Y de las trayectorias de los dos móviles: caja y cohete.

Miguel Bustamante

Página 2

17 de agosto de 2014

Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

Desayuno 2Un objeto es lanzado hacia arriba, desde el suelo, con velocidad inicial de 100 m/s.

Calcule la altura máxima que alcanza:

• asumiendo una aceleración contante g=−9,8 j [m /s2]

• Si ahora, se lanza el objeto pero sometido a una aceleración del tipo g (v)=−g j−0.01v j . ¿Cual es la nueva altura máxima?(g=9.8 m/s2)

• Si, la aceleración viniera dado por la g ( y )=−gR2

R2+ y2 j , calcule la nueva altura máxima.

R=6400 km=6400 000 m, radio terrestre.

Solución

La altura máxima, en un lanzamiento vertical viene descrito por la ecuación de posición

r (t)=0n i+(−12

g t2+v0t ) j , donde g=9,8 m/s2, v0=100 m/s.

Derivando al expresión anterior, se obtiene la velocidad del objeto v (t)=(−g t+v0) j .

Cuando llega a la altura máxima, es cuando la velocidad es iguala cero. Esto implica que el momento

en que ocurre eso es t=v0

g=10,2 s . Reemplazando en la ecuación de posición, en la ordenada y(t)

nos da la altura máxima y (v0

g)=

−12

g( v0

g )2

+v0

2

g=

v02

2 g=510,204m .

Segundo caso, cuando g (v)=−g j−0.01v j . Esta todo contenido en una dirección, por tanto podemos trabajar como una sola dimensión.

ecu 1

Integrando la ecuación 1, se obtiene la solución para

ecu 2

. Integrando nuevamente

g(v)=dvdt

=−g−kv→−dt=dv

g+kv

v (t )=g+k v0

ke−kt

−gk


la velocidad, nos da la posición

ecu 3

. Calculemos cuando la velocidad

v(t)=0. De la ecuación 2, se obtiene que t=−1k

ln( gg+k v0

) . Evaluando este tiempo en la ecuación 3,

da la altura máxima Y max=v0

k−

gk2 ln(1+v0

kg)=477,952 m .

Veamos la aceleración cuando viene dada por al expresión g ( y )=−gR2

R2+ y2 j .

En una, dimensión g( y )=−gR2

R2+ y2=v

dvdy

Esto implica que que se obtiene la siguiente relación

v2( y )−v0

2

2=−g∫

0

yR2

R2+ y2 dy=−gR atang( y

R ) . Luego, cuando v(y)=0, esta en la altura máxima , lo

que implica que

v02

2=gRatang ( y oover R )→ ymax=R tang( v0

2

2 Rg )=510,2040

Entre el primer tipo de lanzamiento y el tercero prácticamente no hay diferencia. Para apreciar alguna diferencia, se debe lanzar el proyectil a una velocidad de 4000 m/s, lo cual es mucho.

Recuerde que el resultado 1 y 3 es sin viscosidad y como se puede apreciar, esta juega un rol importante.

y (t)=−1

k2 (g+k v0 )(e−kt

−1)−gk

t


Objetivo:



Desayuno 3

Los cañones de un barco, tiene una alcance máximo de 40 km. Un barco pirata, se esconde detrás de

una isla para cubrirse los proyectiles.

Según la figura presente, ¿cual es la mínima distancia D para que el Barco pirata este cubierto ?

D esta medio desde el barco, al eje vertical que pasa por la cima.

25 Km

500 m

D

Página 1


Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

Desayuno 4

Una catapulta puede lanzar una roca. El movimiento angular de la catapulta viene descrito por la siguiente fórmula θ(t )=π−π4

t 3

t 03

. El

radio de la catapulta es de 5 m.

Si t es el tiempo medido desde el comienzo y t0, es el momento en que la roca se desprende de la catapulta, encuentre el valor de t0, en función de R y g.

R

R


Solución

La velocidad cuando se desprende de la catapulta es v (t)=−R θ θ . Evaluemos en t=t0. La velocidad v (t 0)=−R(−34

πt 2

t 03 ) θ . El

ángulo en ese instante es θ(t0)=34

π . El vector θ en coordenadas cartesianas en t=t0. θ=−sin ( 34 π) i+cos ( 34 π) j=−√22

i−√22

j

La velocidad en ese instante v=3R4

πt 0

(√22

i+ √22

j)De ese instante, al momento de desprenderse, se comporta como un proyectil. Las ecuaciones son

x (t)=3 Rπ

4 t 0

√22

(t−t 0)−R √22

t>t 0

y (t)=−12

g(t−t 0)2+

3 Rπ

4 t 0

√22

( t−t 0)+R √22

t>t0

Luego, al punto que llega a (R;0).

Utilizando wxmaxima se obtiene los valores de t y t0.

t=(√(3√(2)+4 )(2(3 /2)−3)√((9√(2)+18)π2+(92(7 /2)+96)π+72(9 /2)+160)√(R/ g))

4

t 0=(√(3√(2)+4 )(32(3 /2)−9)π√((9√(2)+18)π2+(92(7 /2)+96)π+72(9 /2 )+160)√(R))

((12π+2(9/2)+16)√(g))

o

t=4.341928670933849(R /g)0.5 y t 0=

(2.14456044399824 R0.5)

g0.5

http://andrejv.github.io/wxmaxima/


Objetivo:



Desayuno 5 Coordenadas Polares

En coordenadas polares, el siguiente movimiento viene descrito por la ecuaciónes:

r (t)=a sin(2θ(t)) con θ(t )=π sin (πt2

t0

2)

Calcule:

• La velocidad para t=t0.

• La velocidad en t=2t0, en coordenadas cartesianas.

• La aceleración en t=t0.

• La curva que describe en:

◦ Coordenadas polares

◦ Coordenadas cartesianas

Solución

Página 1

19 de abril de 2014

Desayuno 7

Consideremos la Tierra como una esfera perfecta, gira en torno su eje.

Encuentre una expresión vectorial de la aceleración de la gravedad en función del ángulo de Latitud.

Grafique la aceleración de gravedad en función del ángulo de Latitud.

Se sabe que la intensidad en el polo es de 9,8322 m/s2; en el ecuador 9,78 m/s2.[1]

Corrija la expresión anterior, asumiendo que la Tierra es un elipsoide; es decir, que la relación que se

cumple es x

2+ y

2

Recu2

+z

2

R pol2

=1 .[2],[3]

Bibliografía

1: , , 2014-, http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio

2: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth

3: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/International_Gravity_Formula

Solución

24 de septiembre de 2014

Objetivo:

El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la

mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

Desayuno 8

Se tiene el siguiente dispositivo de resortes:

Los resortes en paralelo, tienen constante elástica K1, y el resorte unido al soporte fijo, K2. Todos los

resortes tienen el mismo largo natural x0.

Se busca fijar los valores de K1, K2, D y x0 para que cumplan con las siguientes condiciones:

1. Cuando la barra unida a los resortes se ha desplazado una distancia 10 cm, la fuerza que

ejercen los resortes sea de 150 N.

2. Cuando la barra se ha desplazado una distancia de 25 cm, la fuerza neta de los resorte sea de

450 N.

Puede que las condiciones no impongan todos los valores. Usted debe fijar aquellos valores.

Grafique la fuerza de dispositivo en función del desplazamiento de la barra.

0

x0

D

K1

K1

K2

x0

Barra que unida a los resorte

Soporte fijo

Página 1

Solución Página 2

Solución

30 de septiembre de 2014

Objetivo:



Desayuno 9

1. Se tiene el siguiente campo de fuerza, descrito por la expresión F(r)=r r . Pruebe

que es conservativo.

2. Se tiene la siguiente expresión d ella fuerza F(r)=r θ . Calcule el trabajo desde el

punto (0;0) hasta el punto (0;R) por los siguiente camino G1 y G2:

(0;R)

(0;0)

G1

G2

(R;0)

Página 1

14 de octubre de 2014

Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.

Desayuno 10Una partícula se mueve libremente en un aro de circunferencia de radio R (no hay gravedad).

Se sabe que la partícula en =0, tiene una velocidad v=√2 gR . Encuentre la expresión de la velocidad en función del ángulo .Si K=10mg/R, calcule la expresión que debe satisfacer para conocer donde se produce la máxima rapidez.

Si agregamos la gravedad (aceleración de gravedad, g) calcule nuevamente la expresión de la velocidad en función del ángulo , como la expresión para los máximo y mínimos en la rapidez.

R

R/2

Resorte de constante K, y largo natural R


Desayuno 10

Una masa M desliza sobre una superficie sin roce a una velocidad V0. Sobre la masa hay un gancho, de modo que se una con un resorte que cuelga del techo.

La constante elástica del resorte K, de largo natural H.

Calcule:

• La velocidad justa para que la masa M se desprenda de la superficie.

• Calcule, cuanto se estira el resorte en ese instante

• Si la masa, no desliza, sino está unido a un riel, con la misma velocidad anterior, ¿cuanto se

estira el resorte?

M

V0

g

Resorte, constante K

H


b)

Se tiene un recipiente de masa M, con las dimensiones que muestra en la figura, con un espeso de S..Asumamos que el centro de masa de este recipiente esta en el punto (L/2;L) respecto del punto O.

Se agrega un liquido a un cantidad de I kg/s. La densidad del líquido es tal que la masa total contenidaen el recipiente, una vez que se llena es 2M. Calcule una expresión del Centro de masa del sistema recipiente líquido en función del tiempo.

Solución.

La densidad del líquido entrante debe ser igual a ρ=2 M

2L2 s. Además el caudal es I que corresponde a

una razón de materia por unidad de tiempo. Si el tiempo que demora en llenar el estanque es T, el

caudal es I=2 MT

. La cantidad de materia que entra en un tiempo dado en el estanque es M(t)=It.

El centro de masa viene dado por la expresión rcm=

(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+y (t)2

j)

M + It.

El problema es calcula y(t). Pero la densidad es masa por unidad de volumen. El volumen también

depende del tiempo V (t)=Ls y (t)=Itρ . Así, y (t)=

ItLsρ

. La ecuación de del centro de masa

queda

L

2L

O

C.M.


rcm=

(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+It2

2Lsρj)

M+ It=L/2 i+

ML j+(It)2 j2Lsρ

M+ It

Como vemos, solo cambia el eje y, la posición x es constante.

Veamos en forma numérica. L=1 m, M=10 krg y s=0.1 m con T=3500; I=20/T. =5.714x10-3 kg/s y la densidad es

La posición en el eje Ycm queda con la expresión

Y cm (t)=L[1+t 2

T 2

1+tT

]Con los valores dados, se ve


Objetivo:



Desayuno 12

Un cilindro de radio R y masa M, esta sobre un plano inclinado, como se observa en la figura.

Existe roce entre el cilindro y el plano. Calcule el valor del ángulo a para el cilindro esté a punto de

deslizar.

Cuerda, paralela al plano

a

Coeficiente de roce estático µs

Coeficiente de roce cinético µk

g

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20 de noviembre de 2014

Objetivo:



Desayuno 13

Existe una barra de largo L y de masa m, libre en el espacio. Una partícula de masa m viene con

una velocidad v (ver figura 2) y choca con la barra, quedando pegada a esta b(figura 1).

Según los datos entregados, calcule:

• La velocidad de translación del conjunto barra-partícula

• La velocidad angular de rotación.

Ojo: El sistema barra-partícula gira en torno de su centro de masa.

Figura 2: Antes del ChoqueFigura 1: Posterior al choque

v

d

L

d

L

Página 1

Desayuno coleccion-2015

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