Descomposición factorial de polinomios.

Descomposición factorial de polinomios con coeficientes reales

El primer resultado que enunciaremos es el llamado lema de la división euclídea. 

Lema de la división euclídea

Sean  (dividendo) y  (divisor) dos polinomios, existen otros dos polinomios únicos:

(cociente) y  (resto) tales que:

.

Con la particularidad de que  bien el grado de  es menor que el de  o bien .

Dados el polinomio dividendo:  y el polinomio divisor: realizamos la división

euclídea por defecto (que es la usual) y obtenemos como resto:  y cociente: .

Vemos que se cumple:

.

Con las herramientas que hemos definido damos una relación de gran importancia en el conjunto de los

polinomios.

Divisibilidad de polinomios

Un polinomio  es divisible por otro  si es posible hallar un polinomio  de forma que:

. En este caso, también decimos que es factor  de  o bien que  es un

divisor de  .

El polinomio  es divisible por el polinomio  ya que:

.

Por otro lado, el polinomio  no es divisible por  ya que:

.

En otras palabras:  no es factor de .

Es claro que todo polinomio tiene como factores (divisores) a él mismo, a la unidad y a sus respectivos

opuestos.

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Descomposición factorial de polinomios.

El polinomio  tiene como factor a sí mismo  y a la unidad ya que:

Por otro lado, también tiene como factores los opuestos: .

En el caso de que un polinomio de grado positivo no tenga más factores que él mismo, la unidad y los respectivos opuestos, se dice que es irreducible o primo. Hallar si un polinomio de grado positivo [2] y coeficientes reales es irreducible suele resultar complicado. Para ayudarnos en esta tarea empleamos la llamada regla de Ruffini:

Regla de Ruffini

Sea  un número real dado y sea  un polinomio. Podemos hallar siempre un único polinomio

tal que: , siendo . Es decir, el resto de la división euclídea es igual al

valor del polinomio  en el punto .

Dado el polinomio  y el número real  , la regla de Ruffini nos dice que existe  tal que

,

siendo . Para hallar el cociente:  podemos utilizar la división euclídea o bien una tabla donde se colocan en la primera fila y, a partir de la segunda columna, los coeficientes del

dividendo:  en orden decreciente. En la segunda fila y primera columna se coloca el valor real :

2 0 0 1

         

 A continuación  bajamos directamente el primer coeficiente del dividendo a la tercera fila:

2 0 0 1

2

y multiplicamos este coeficiente por , colocando el resultado en la segunda fila y tercera columna:

2

Descomposición factorial de polinomios.

  2 0 0 1

-2

  2

Ahora sumamos el resultado del producto con el número que se halla en la fila superior, colocando el

resultado en la tercera fila y tercera columna:

2 0 0 1

-2

2 -2

El resultado obtenido se multiplica de nuevo por  y se coloca en la segunda fila cuarta columna:

2 0 0 1

-2 2

2 -2

y se reitera el proceso hasta agotar las columnas:

2 0 0 1

-2 2 -2

2 -2 2 -1 (resto)

El valor obtenido en la última fila y última columna ( ) es el resto y el cociente es un polinomio de grado

inferior en uno al dividendo : , cuyos coeficientes en orden ascendente son los

valores de la última fila (a excepción de la última columna): . Así pues:

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Descomposición factorial de polinomios.

.Observaremos que de la regla de Ruffini se deduce el siguiente corolario [3] , que suele denominarse teorema del resto.

 Si un valor real   es raíz de un polinomio  entonces el polinomio  es divisible por .

Comprobar que el polinomio  no es irreducible.

La ecuación:

tiene como una solución real: . Entonces, de acuerdo con el teorema del resto, el polinomio  es divisible por el polinomio . Realicemos esta división por el método tabular ya explicado:

1 0 0 -1

1 1 1

1 1 1 0 (resto)

En definitiva, podemos escribir:

y el polinomio no es irreducible pues posee como factores elementos distintos de él mismo y la unidad.

El teorema fundamental de esta sección es:

Descomposición factorial de polinomios de grado positivo

Todo polinomio de grado positivo y coeficientes reales puede descomponerse como producto de polinomios

irreducibles. Esta descomposición será única si tenemos en cuenta ciertos convenios.

El lector comprenderá que la descomposición factorial de un polinomio de grado positivo en irreducibles no

puede darse si antes no establecemos la forma general de estos irreducibles.

Condición necesaria (no suficiente) de polinomio irreducible

Un polinomio de coeficientes reales, grado positivo e irreducible ha de tener primer o segundo grado.

¿Es irreducible el polinomio ?

La respuesta es no, ya que se trata de un polinomio de tercer grado y es necesario que un polinomio sea de

grado uno o dos para ser irreducible. ¿Cómo podemos descomponer factorialmente este polinomio en

irreducibles?. Para ello, hacemos uso del teorema del resto y buscamos las soluciones reales de la ecuación:

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Descomposición factorial de polinomios.

.

Afortunadamente, esta ecuación se resuelve con sencillez:

.

Sabemos entonces que  es divisible por  y llevamos a cabo esta división mediante la regla de Ruffini:

2 0 0 -1

2 0 (resto)

Nos queda pues la expresión:

.

¿Es esta la expresión en irreducibles de ? En primer lugar, admitimos que todos los polinomios de la

forma  (donde  es un número real) son irreducibles. Por ello:

es un polinomio irreducible. Pero, ¿es irreducible el otro factor:

?

Si lo fuera, tendríamos ya una descomposición de  en irreducibles.

Aplicamos de nuevo el teorema del resto a factor . Primero resolvemos la ecuación:

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Descomposición factorial de polinomios.

y  vemos que no tiene soluciones reales ya que su discriminante es negativo:

.

Esto significa que no tiene como factores a polinomios de primer grado en la forma: . La única opción

que nos queda es que sea divisible por un polinomio irreducible de grado dos. Fácilmente se ve que:

por lo que es divisible por el polinomio:

.

Convenimos en que este último es irreducible ya que no tiene ninguna raíz real (puesto que comparte las

raíces del polinomio ) y no es divisible por ningún otro polinomio de grado dos

distinto de él mismo y sus múltiplos. En resumen, una descomposición factorial de   es:

.También podríamos escribir:

o bien:

pero sólo admitiremos la primera descomposición como válida.

A continuación, daremos unas reglas prácticas para descomponer factorialmente un polinomio  de

coeficientes reales y grado positivo.

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Descomposición factorial de polinomios.

i) Si el polinomio es de grado uno y tiene la forma , entonces es irreducible. Si es de grado uno y tiene

la forma : , lo expresaremos en la forma: , siendo ésta su descomposición factorial.

ii) Si el polinomio es de grado dos o superior buscamos una raíz real de la ecuación .

iii) Si  es la raíz obtenida en el paso anterior, sabemos que el polinomio es divisible por el factor

irreducible , por lo que pasamos a efectuar la división por medio de la regla de Ruffini .

iv) Si en la regla de Ruffini obtenemos de cociente , podemos escribir la igualdad:

 y pasamos a analizar la irreductibilidad del polinomio  con los criterios

expuestos en los pasos anteriores.

La descomposición factorial está muy ligada a la resolución de ecuaciones por lo que en muchas ocasiones no podremos llevarla a cabo al faltarnos medios de resolución de éstas. En el caso de que la ecuación tenga coeficientes enteros es aplicable el siguiente resultado:

 “si una ecuación  tiene una solución racional , entonces  divide a  

(coeficiente director) y  divide a  (término independiente).”

Veámoslo con un ejemplo. Sea la ecuación de coeficientes enteros:

.

Si tuviera una solución racional  entonces  divide a  y  divide a . Escribimos todas las

posibilidades para ambos:

y las combinamos:

.

Eliminando repeticiones nos quedan:

probamos con ellas en la ecuación y vemos que sólo nos sirve  pues:

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Descomposición factorial de polinomios.

.

El lector no debe extraer la conclusión de que con este método siempre va a encontrar una raíz. En todo

caso, si la ecuación tuviera una raíz racional este método permitiría hallarla (al menos en teoría) pero si no

tiene raíz racional no nos lleva a ningún lado.

Descomponer factorialmente el polinomio .

Según las reglas prácticas, como el polinomio es de grado mayor que dos, buscaremos una raíz real de:

.

Observamos que los coeficientes son todos enteros y podemos ensayar el truco anterior. Si tuviera raíz

racional  entonces  divide a  (coeficiente director) y  divide a 1 (término independiente). En

resumen:

.

Al sustituir en la ecuación el valor  resulta , y hemos encontrado una raíz real. Ahora

dividimos por la regla de Ruffini el polinomio entre

1 0 -2 1

1 1 1 -1

1 1 -1 0 (resto)

Esto quiere decir que:

.

Nos toca ahora analizar la irreductibilidad del polinomio . Como es de segundo grado, buscamos

una raíz real de:

.

Analizamos el discriminante de esta ecuación de segundo grado y vemos que:

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Descomposición factorial de polinomios.

.

Esto nos indica que la ecuación tiene dos soluciones reales:

.

Aplicando la regla de Ruffini con la primera raíz:

1 1 -1

  [4]

1 0 (resto)

Obtenemos:

y ésta es la descomposición del factor de segundo grado. Añadiendo este resultado al inicial, quedará:

.

Muchas veces podemos abreviar el proceso de descomposición utilizando el siguiente lema:

“si , , .......,    son raíces reales de la ecuación , entonces resulta que:

,

donde  es un polinomio de grado  y  es el coeficiente director.

Veamos un ejemplo. Para el polinomio de grado tres:

,

comprobamos que los valores  y  son raíces de la ecuación:

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Descomposición factorial de polinomios.

por lo que podemos escribir:

donde el polinomio  es de grado .

Se infiere que, en el caso de conocerse todas las raíces, el polinomio queda ya descompuesto factorialmente

al aplicarle este truco. Así, en el ejemplo anterior vimos que las raíces de  eran:

y el coeficiente director era uno. Por ello:

.

Una vez expuestas las definiciones básicas y los conceptos más relevantes de la descomposición factorial pasamos ahora a la explicar los métodos para la descomposición en fracciones simples de una fracción racional.

[1] Obsérvese que puede n colocarse infinidad de cocientes distintos.[2] En el caso de un polinomio de grado cero (un número) el estudio de su carácter irreducible (primo) se lleva a cabo de la forma usual.[3] Un corolario es un resultado o proposición que se deduce de forma sencilla a partir de otro resultado o proposición.[4] Como es suma por diferencia resulta una diferencia de cuadrados que luego simplificamos

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