Despacho Con Perdidas

Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨

1

Contenido DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS ............................... 2

INTRODUCCION: ........................................................................................................ 3

DESPACHO ECONOMICO .......................................................................................... 4

CARACTERISTICAS DE LAS UNIDADES GENERADORAS ................................... 4

EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN: ...................................................... 5

CÁLCULO DEL HEAT RATE ...................................................................................... 8

CÁLCULO DE LA FUNCIÓN COSTO DE COMBUSTIBLE .................................... 10

DESPACHO UNINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS ............................................ 10

MÉTODO DEL GRADIENTE ..................................................................................... 14

DIAGRAMA DE FLUJO – METODO DEL GRADIENTE............................................ 18

DESPACHO ECONÓMICO MULTINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS .............. 18

CALCULO DE LAS PERDIDAS POR EL MÉTODO DE LA MATRIZ B ................. 21

MÉTODO ITERATIVO............................................................................................... 23

SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL

GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. .......................................................... 24

EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: ..................................... 26

CONCLUCIONES: ...................................................................................................... 26

BIBLIOGRAFIA/ SITIOS WEB: ................................................................................. 26


2

DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS


3

INTRODUCCION:

Introducción En este capítulo se realiza una introducción al problema de la programación de generación de las

centrales eléctricas. Con ese propósito, se revisan conceptos básicos asociados a los costos de

generación y las perdidas en las líneas de transmisión en la cual debemos saber Qué unidades

generadoras van a estar en servicio en cada momento, Cuánto debe generar cada unidad para

minimizar los costos.

Este problema, fundamental para el correcto funcionamiento de un sistema eléctrico teniendo en

cuenta que en cada momento se debe atender la demanda más las perdidas en el sistema, es objeto

de distintos planteamientos dependiendo del horizonte temporal y del objetivo concreto perseguido:


4

DESPACHO ECONOMICO El problema del “despacho económico” consiste en determinar la potencia que debe suministrar

cada unidad generadora en servicio para una demanda determinada PD, con el objetivo de minimizar el costo total de generación. Para ello, es necesario conocer los costos variables de los

combustibles, los rendimientos térmicos de las unidades, la red de transmisión, etc.

CARACTERISTICAS DE LAS UNIDADES GENERADORAS La descripción de una unidad térmica -generadora comienza con la especificación de la cantidad

de calor de entrada requerida para producir una cantidad de energía eléctrica como salida.

Así, la característica Entrada – Salida de la unidad-generadora, tiene forma cuadrática - convexa,

como en la figura 2.1. En el eje de ordenadas esta la entrada de calor H [Btu/h] y en el eje de abscisas, la potencia de salida P [kW].

Así, la función cantidad de calor H es igual a la siguiente expresión:

H = a + b P + c P

2 [Btu/h]

Multiplicando la cantidad de calor H por el costo de combustible se obtiene la función costo de combustible F [$US/h]. El costo total de producción incluye el costo de combustible, el consumo

propio y el costo de operación - mantenimiento. Se asume que esos costos son un valor o porcentaje

fijo del costo de combustible y generalmente se incluyen en la curva costo de combustible.

Fig. 2.1 Característica Entrada - Salida

Esta información se obtiene, a partir de pruebas que se realizan al grupo turbina-generador, para varios niveles de potencia de salida (100%, 75% y 50%). La tasa de calor o Heat Rate (HR), se

define como la relación entre la entrada de calor en Btu/h dividido por la potencia de salida en kW.

HR = H/P [Btu/kWh]

El Heat Rate es el reciproco de la eficiencia o rendimiento. Se observa en la figura 2.2, que la

máxima eficiencia de la unidad se obtiene en el mínimo de la función HR, que se da para valores próximos a la potencia máxima.

P (KW)SALIDA

F [$us/h]H [Btu/h]

PmaxPmin

PF


5

Fig. 2.2 Tasa de calor o Heat Rate

El Costo Incremental de Combustible (IC) es igual a la derivada de la función costo.

IC = dF/dP = b + 2c P [$US/kWh]

El Costo Medio de Producción es igual a la división de la función costo total de producción por la

potencia máxima de salida. Es decir:

Costo Medio = F/P [$US/kWh]

EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN: Aunque una unidad podría ser eficiente bajo un costo bajo de operación incremental también

podría localizarse lejos del centro de carga. Las pérdidas de transmisión asociadas a esta unidad

podría ser tan altas que la solución del despacho económico requiere que esa unidad disminuya su salida, mientras que otras unidades con mayores costos incrementales de operación pero con

menos pérdidas de transmisión aumenta sus salidas. Cuando se incluyan las pérdidas de

transmisión en el despacho económico la ecuación (6.2) se convierte en:

Pt=P1+P2+…+Pn-Pl (6.9)

Usualmente Pl no es constante sino que depende de las salidas de las unidades P1,P2,…,Pn

0...)...( 2

2

1

1

21

n

n

LLLn dP

P

PdP

P

PdP

P

PdPdPdP

Multiplicando por

0...... 2

2

1

1

21

n

n

LLLn dP

P

PdP

P

PdP

P

PdPdPdP

(6.10) (6.10) restamos (6.5) y obtenemos:

0...2

22

21

11

1

n

n

L

n

nLL dPP

P

P

CdP

P

P

P

CdP

P

P

P

C

(6.11) La ecuación (6.11) se cumple su cada término es igual a cero; es decir

Pmin.

HR

[Btu/Kwh]

P (KW)Pmax.

HR min

P ef.


6 )12.6(

,...,2,1

1

1

0

1

1

i

i

Li

i

L

i

i

dP

dCLi

nP

P

PdP

dC

P

P

dP

dC

Donde Li= factor de penalización.

La ecuación (6.12) es el criterio es despacho económico incluyendo las pérdidas.

Considerando las pérdidas del generador, otra solución del despacho económico (acápite 6.5.1)

sería:

P1 P2 Pn

PT

El problema es encontrar la potencia generada por cada planta, entonces nuestra función costo

objetivo es determinar el costo total de operación que debe ser mínima.

n

i

CiCt1

n

i

iPiiPiiCt1

2 (A)

Esta ecuación está sometida a la siguiente restricción de igualdad.

n

i

PDPi1 (B)

De la primera condición:

011

n

i

k

i

PiPDCtL

(C) Entonces:

0idP

dL

1º condición

0d

dL

2º condición El mínimo de la función no restringida se aumenta en el punto de las demandas


7

Pi

Ci

Pi

Ct

CCCCt

Pi

Ct

Pi

Ct

dP

dL

t

i

....

0)10(

21

De la segunda condición:

iPii

ni

Pi

Ci

2

,...3,2,1

(D)

n

i

PDPi1 (B)

Entonces cuando se desprecian las pérdidas y límites de operación, todas las plantas deben operar al mismo costo incremental mientras sea satisfecha la expresión (B), de la expresión (D), tenemos:

i

iPi

2

(E)

i

i

dP

dC

para maxmin PiPiPi

i

i

dP

dC

para maxPiPi

i

i

dP

dC

para minPiPi

Sustituyendo (E) en (D)

n

i

PDi

i

1 2

(F)

n

i

n

i

i

i

iPD

1

1

2

1

2

(G)

Y de la expresión (F) despejamos (λ)

El valor de λ obtenido en (G) se reemplaza en (E), de esta forma se obtiene la potencia óptima despachada en el generado i, de esta forma se encontró el despacho óptimo analíticamente.

Cuando se consideran las pérdidas, las ecuaciones son no lineales, por lo que se resuelven iterativamente una solución iterativa rápida se obtiene por el método del gradiente que es como

sigue:

1º Escribimos la expresión (F) como función

PDf )(

Expandiendo en la serie de Taylor alrededor de un punto de operación λ(k) y despreciando los

términos de orden superior tenemos:


8

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

K

k

kk

k

k

k

PD

d

df

fPD

PDd

dff

(I)

)(

1

)()(

kn

i

kk

d

dPi

P

(J)

n

i

kk

i

P

1

)()(

2

1

(K) )()()1( kkk

n

i

kkk PiPDPDPDP1

)()()(

La potencia generada por cada generador no debe exceder su límite, ni tampoco debe estar por

debajo de su límite inferior, el problema es entonces encontrar la potencia real generada por cada

planta, de tal forma que la función objetivo sea mínima y sujeta a la ecuación de restricción (B) y a las restricciones de desigualdad dadas por

Pimin ≤ P1 ≤ Pimax , i= 1,2,…n

Las condiciones de Kuhn-Tucker completan las restricciones de Lagrangiano para indicar las restricciones de desigualdad como términos adicionales.

Entonces las condiciones necesarias para el despacho óptimo incluyen las condiciones del generador resultan:

i

i

dP

dC

para maxmin PiPiPi

i

i

dP

dC

para maxPiPi

i

i

dP

dC

para minPiPi

CÁLCULO DEL HEAT RATE Una información importante, para el cálculo de las funciones costo es el dato del Heat Rate de la

turbina, determinada en sitio, a partir de pruebas efectuadas al grupo turbinas a gas-generador.

En la figura 2.3, se observa, que los datos a ser tomados durante las pruebas son las siguientes: temperatura del aire de entrada al filtro de aire de la turbina (temperatura ambiente), presión

atmosférica en el sitio, volumen de gas que ingresa a la cámara de combustión, potencia y energía

activa de salida del generador, medida en bornes, etc.


9

Fig. 2.3 Esquema de medición de la prueba

Ejemplo

Calcule los Heat Rate de la unidad VH1 de la central Valle Hermoso, a partir de los siguientes

datos medidos en las pruebas.

Descripción VHE Temperatura ambiente [°C] 16

Presión atmosférica [mbar] 745 Volumen del gas [pc] 125513

Poder calorífico inferior [Btu/pc] 920

Potencia eléctrica [kW] 18830

Energía activa [kWh] 9428

Consumo específico [Ce] Ce = V / E

Ce = 125513 pc/9428 kWh = 13.31 pc/kWh

Heat Rate en sitio HR = Ce * PCI

HR = 13.31 [pc/kWh] * 920 [Btu/pc] = 12245 [Btu/kWh]

Siendo, PCI el poder calorífico inferior del gas

Heat Rate en condiciones ISO

Ta = 16 °C = 60.8 °F HRISO = HRSITIO / FTH

HRISO = 12245 [Btu/kWh]/1.01 = 12208 [Btu/kWh]

G

Ta,

Pa

Filtro de aire V

P, E


10

Nota: El factor de corrección del heat rate por temperatura se obtiene a partir de las curvas

entregadas por el fabricante de la turbina para ese efecto.

PISO = PSITIO / (fT * fP)

Los factores de corrección de la potencia por temperatura y presión atmosférica son respectivamente fT y fP,.

fP = P [mbar] / 1.013 [mbar]

Remplazando se obtiene la potencia eléctrica de salida de la maquina en condiciones ISO

PISO = 18830 kW / (0.995 * 0.7354 )

PISO = 25733 [kW]

CÁLCULO DE LA FUNCIÓN COSTO DE COMBUSTIBLE La función costo de combustible (F), se determina a partir de las pruebas antes mencionadas, con

la siguiente información:

o Temperatura ambiente en [ºC]

o Presión atmosférica del sitio en [mbar]

o Poder calorífico inferior del gas [Btu/PC]

o Costo del combustible en [$US/Btu] o Potencia de salida del generador en [kWh]

o Heat Rate en [Btu/kWh] para tres estados de operación de la maquina, que son 100%, 75%

y 50% de carga.

La función consumo de combustible generalmente se representa como una función convexa

cuadrática, de la forma,

Hi = ai + bi PGi +ci PGi2

El consumo de calor o rendimiento térmico (Heat Rate), fue antes definido de la siguiente manera. HRi = Hi / PGi

Luego, igualando con la expresión del consumo de combustible se obtiene,

Hi = HRi x PGi = ai + bi PGi + ci PGi2

En esta ecuación cuadrática, son conocidos los rendimientos térmicos para los tres estados de carga mencionados y las potencias de salida respectivas, siendo solo incógnitas los coeficientes de

la función (ai, bi, ci).

Normalmente estos valores se presentan en una tabla expresada para diferentes temperaturas

ambiente y potencias de salida. Pero lo más conveniente es conocer estos valores para condiciones

ISO de operación, cuya conveniencia se verá en un ejemplo.

DESPACHO UNINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS Dado un sistema uninodal de N unidades térmicas de generación, conectadas a una barra simple y

suministrando energía eléctrica a una carga PC.


11

En este análisis se considera un sistema eléctrico sin pérdidas de transmisión y en la figura 2.4,

se observa el sistema uninodal, siendo F1 la función costo y PG1 la potencia eléctrica de salida del generador.

Figura 2.4 Despacho económico uninodal

El costo total de operación del sistema uninodal es igual a la suma de los costos de operación de

cada unidad de generación en [$US/h].

N

i

iT FF1

La restricción principal del sistema a ser cumplida es que la generación sea igual a la demanda

C

N

1i

Gi PP

Entonces el despacho económico consistirá en encontrar el costo mínimo de operación del sistema,

resolviendo un problema de optimización planteado de la siguiente manera:

N

i

t FiF1

min Función objetivo

s.a.

N

i

ic PP1

Restricción de igualdad

Este es un problema de optimización con restricciones que para su mejor comprensión será

resuelto por el “Método de los operadores de Lagrange”. Definimos la función de Lagrange:

TFL

Siendo, el operador de Lagrange y conocido también como el costo incremental de las unidades de generación, y la función puede ser definido de la siguiente manera

Carga

G

F1 TG1

G

F2 TG2

G

F3 TG3

PG1

PG2

PG3


12

N

i

ci PP1

0

La condición para el mínimo de la función es que

0idP

dL 0

idP

dFi

Luego se obtiene la “Ecuación de Coordinación” y es:

idP

dFi

Esta es la condición necesaria para la existencia de un punto de operación a mínimo costo para el

sistema térmico de generación, es decir, que los costos incrementales de todas las unidades sean

iguales.

Condiciones de Kuhn Tucker

Al problema de optimización debe agregarse los límites operativos de las unidades de generación.

Es decir la potencia de salida de cada unidad debe ser mayor o igual que la potencia mínima permitida (por ejemplo el limite técnico) y menor o igual que la potencia máxima permitida en la

unidad de generación. Luego el problema de optimización del despacho económico, se plantea de

la siguiente manera.

N

i

t FiF1


s.a.

N

i

ic PP1

Restricción de igualdad

max

ii

min

i PPP Restricción de desigualdad

Las condiciones de Kuhn Tucker complementan las condiciones del Lagrangiano para incluir las

restricciones de desigualdad como términos adicionales. Así, las condiciones necesarias para el despacho económico sin pérdidas son:

i

i

Pd

Fd para

max

ii

min

i PPP

i

i

Pd

Fd para

max

ii PP

i

i

Pd

Fd para

min

ii PP


13

Ejemplo 1

Dado un sistema uninodal de 3 unidades alimentando a una demanda de 52MW, determine a) la potencia de salida de cada unidad para obtener el despacho económico, b) el costo de operación de

cada unidad, c) el costo de operación total del sistema y d) el Costo Incremental del sistema.

Datos

Unidad H [Mbtu/h] Pmin [MW] Pmax [MW]

1 H1 = 0.234 P12 +2.112 P1 +112.8 12.63 21.05

2 H2 = 0.0022 P22 +8.71 P2 +69.91 11.29 19.50

3 H3 = 0.1032 P32 +6.119 P3 +79.61 12.16 20.23

Donde H es la entrada de calor a la turbina y el costo del combustible es la potencia de salida de

cada máquina es )MMBtu/US($76,1

Solución Multiplicando la entrada de calor por el costo del combustible obtenemos las funciones de costo de

las unidades en $US/h.

F1 = 0.412 P1

2 + 3.72 P1 +198.5

F2 = 0.0039 P22 + 15.33 P2 +122

F3 = 0.182 P32 + 10.77 P3 +140.11

Derivando respecto a la potencia obtenemos el costo incremental de combustible, aplicando la

ecuación de coordinación y la ecuación de balance de potencia, resolvemos el sistema de

ecuaciones siguiente.

dF1/dP1 = 0.824 P1 + 3.72 =

dF2/dP2 = 0.0078 P2 + 15.33 =

dF3/dP3 = 0.364 P3 + 10.77 = P1 + P2 + P3 = 52 [MW]

La solución del sistema es

a) La potencia de salida para el despacho económico de unidades

MW92.15P1

MW39.19P2

MW98.16P3

Se observa que todas las soluciones están dentro los rangos de operación establecidos para cada

unidad en la tabla de datos.

b) El costo de operación de cada unidad

F1 = 362.14 [$US/h] F2 = 434.91 [$US/h]


14

F3 = 370.38 [$US/h]

c) El costo total de operación del sistema

[$US/h]43.1167321 FFFFT

d) El costo incremental de combustible

= 16.84 [$US/MWh]

Solución grafica del problema

Figura 2.5 Costos incrementales iguales

MÉTODO DEL GRADIENTE

El método del gradiente es un método iterativo de búsqueda de la solución, se inicia con dos

valores de , un mejor valor de es obtenido por extrapolación, y el proceso continua hasta que

ΔPi esté dentro de exactitud especificada.

La ecuación de costo incremental, se puede escribir de la siguiente manera

iii

i

i bPcPd

Fd 2

se despeja Pi,

i

i

ic

bP

2

15.00

15.40

15.80

16.20

16.60

17.00

17.40

17.80

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

[$

US

/MW

h]

P [MW]

dF1/dP1 dF2/dP2 dF3/dP3


15

La ecuación de balance de potencia en función de lo anterior

C

N

1i i

i

1

P2c

b)(

g

gN

i

iPf

Expandiendo el primer miembro de la ecuación en serie de Taylor de primer orden, alrededor del

punto de operación (k) y despreciado los términos de orden mayor, resulta

C

k

(k)

(k)PΔ

dλ

dff

O

gn

1i i

kk

2c

1

ΔPΔ

De esta manera kk1k Δ

Donde

gN

1i

(k)

iC

k PPΔP

Este proceso continua hasta que kΔP sea menor que una exactitud especificada.

Ejemplo Las funciones costo de combustible para tres unidades térmicas son informadas

F1 = 0.07020 P1 2 + 0.6336 P1+33.84 [12.63,21.05]

F2 = 0.00387 P2 2 + 15.33 P2+122 [11.29,19.50]

F3 = 0.18200 P3 2 + 10.77 P3+140.11 [12.16,20.03]

g

k(k)k

(k) kn

i

i 1

ΔP ΔPΔ

dPdf

ddλ


16

Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total es Pc = 52 MW. Despreciando las pérdidas y los límites de los generadores, encontrar el despacho económico y el costo total en $/h usando el

método del gradiente

Costos incrementales

10.770.364PdP

dF

15.330.007744PdP

dF

0.63360.1404PdP

dF

3

3

3

2

2

2

1

1

1

Se comienza la solución del problema con un valor inicial para l(1)

14.360.364

10.7716P

86.560.1404

15.3316P

109.450.1404

0.633616P

P2c

bP

16

(1)

3

(1)

2

(1)

1

C

i

iNg

1i

i

(1)

158.37ΔP

210.3752PPΔP

(1)

Ng

1i

(k)

iC

(k)


17

(1)(1))2(

(1)

i

(k)(k)

Δ

1.14

0.364

1

0.007744

1

0.1404

1

158.37Δ

2c

1

ΔPΔ

14.861.1416)2(

24.110.463

77.0114.86P

69.60-0.007744

33.5114.86P

21.05MWPPPP 101.330.1404

0.633614.86P

(2)

1

(2)

2

max

1

(2)

1

max

1

(2)

1

(2)

1

15.470.609614.86

0.6096

0.364

1

0.007744

1

80.4Δ

80.411.2460.6921.0552ΔP

(3)

(2)

(2)

MW 12.910.364

10.7715.47P

MW 18.030.007744

15.3315.47P

(3)

3

(3)

2

0.01 91.2103.8121.0552ΔP(3)

Como ΔP(3)

es menor que la tolerancia de 0.1 MW, se alcanza la convergencia del problema y el costo total de operación del sistema es

h$us 787.42F

309.48399.6678.28F

T

T


18

DIAGRAMA DE FLUJO – METODO DEL GRADIENTE

INICIO

)()( k

iC

k PPp

)(kp

Tii FFP ,,,

SI

NO

FIN

1.0,

,

O

iC FP

LEER

i

i

k

ic

bP

2

)(

)()1()1(

)()(

2

1

kkk

i

kk

c

Pp

DESPACHO ECONÓMICO MULTINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS En la figura 2.6 se muestra un sistema de N unidades térmicas de generación, suministrando potencia a una demanda, a través de una red de transmisión.


19

Figura 2.6 Despacho económico multinodal

A diferencia del despacho uninodal, en este caso se debe incluir las pérdidas de transmisión en el problema de optimización.

N

i

t FiF1


s.a.

N

1i

GiLc PPP Restricción de igualdad

max

ii

min

i PPP Restricción de desigualdad

Definimos la función de Lagrange

TFL ,

el mínimo de la función de Lagrange, hallamos, para:

01

ii

i

i P

L

P

F

P

L

Luego ordenando obtenemos la ecuación de coordinación para el despacho económico multinodal es:


20

i

i

i

i

L

i

i

P

FFP

P

P

P

F

1

1

Siendo:

i

L

P

P

= las perdidas increméntales de trasmisión

i

L

P

P1 = FNi es el factor de pérdidas o factor de nodo

i

L

P

P1

1 = FPi es el factor de penalización

El efecto de las pérdidas del sistema se toma en cuenta en la función objetivo, penalizando al costo

incremental de cada unidad generadora. Es decir, si las pérdidas aumentan para un incremento en

la inyección de la barra i, la perdida incremental es positiva y el factor de penalización es mayor que la unidad.

Un factor de penalización FPi > 1, significa que aumentar la generación, implica un aumento en las perdidas. Luego, el efecto del factor de penalización será aumentar el costo incremental de la

unidad haciendo que parezca más cara, tal como se observa en la figura 2.7. Sin embargo, Un

factor de penalización FPi < 1, significa que aumentar la generación, implica una disminución en las perdidas. Luego, el efecto del factor de penalización será disminuir el costo incremental de la

unidad haciendo que parezca más barata

2.7 Efecto del factor de penalización sobre el costo incremental

Es más complicado resolver el conjunto de ecuaciones que incluyen a las pérdidas de transmisión.

La solución puede plantearse por dos métodos: 1) Expresión matemática para el cálculo de las pérdidas de transmisión como función de la potencia de salida de cada generador, 2) Incorporar

las ecuaciones del flujo de potencia al problema del despacho económico como una restricción de

igualdad.

10121416182022

8 10 12 14 16 18 20 22

dFi

/dP

i

P [MW]

Fpi > 1

Fpi < 1


21

CALCULO DE LAS PERDIDAS POR EL MÉTODO DE LA MATRIZ B Se calcula las pérdidas de transmisión como una función de la potencia de salida de cada unidad

de generación.

PL = PT [B] P + P

T Bo +Boo

Donde: P = Es el vector de potencias de salida de cada generador en [MW]

[B] = Matriz cuadrada de pérdidas de la misma dimensión de P

Bo = Vector de la misma dimensión de P Boo = Constante

La expresión de perdidas puede también escribirse

ooi

j

iojij

j

i

i

L BPBPBPP

Los coeficientes Bij son llamados coeficientes de pérdidas o coeficientes B. Se asume que estos coeficientes son constantes y calculados a partir de las condiciones de operación.

La solución del problema del despacho económico consiste en minimizar el costo total de operación:

Ng

1i

2

iiiii

Ng

1i

iT PcPbaFFmin

s.a. LC

Ng

1i

i PPP

max

ii

min

i PPP

Usando el multiplicador de Lagrange y agregando términos adicionales para incluir las restricciones de desigualdad, obtenemos:

ggg N

1i

mini

Pi

Pmini

u

N

1i

maxi

Pi

Pmaxi

u

N

1ii

PL

PC

PλT

FL

Las restricciones deben ser entendidas como:

ui(max) = 0 cuando Pi < Pi(max)

ui(min) = 0 cuando Pi > Pi(min)

En otras palabras si la restricción no es violada, su variable u asociada es cero. La restricción

únicamente queda activa cuando hay violación.

El mínimo de la función se encuentra para las siguientes condiciones:


22

0P

L

i

0λ

L

0maxPP

maxu

Lii

i

0minPP

minu

Lii

i

Las ecuaciones implican que Pi no se debería permitir que vaya mas allá de sus límites, y cuando

Pi está dentro de sus límites ui(min) = ui(max) = 0 y las condiciones de Kuhn – Tucker quedan lo mismo que un Lagrangiano.

La primera condición queda:

g

i

L

i

T

i

L

i

T

N1,2,......i ; P

P-1λ

P

F

01P

P0λ

P

F

Las perdidas incrementales de transmisión son

ioj

j

ij

i

L BPBP

P

1

2

Remplazando los valores incrementales de costos y perdidas, se obtiene

λ

bB1

2

1PBPB

λ

c

o

λλBPB2λP2cb

i

oi

Ng

ij1j

jijiii

i

oi

Ng

1j

jijiii

Expresado matricialmente, se resuelve el sistema lineal de ecuaciones resultante


23

λ

bB1

.

.

.λ

bB1

λ

bB1

2

1

P

.

.

.

P

P

Bλ

c...BB

...

...

...

B...Bλ

cB

B...BBλ

c

Ng

gN0

202

101

Ng

2

1

NgNg

Ng

Ng2Ng1

2Ng222

21

1Ng12111

MÉTODO ITERATIVO El proceso iterativo se resuelve usando el método del gradiente, a partir de los valores iniciales de

P i (k)

siguientes:

)Bλ2(c

PB2λb)B(1λ

Pii

(k)

i

ij

(k)

jij

(k)

ioi

(k)

(k)

i

Sustituyendo

k

LC

k

(k)

LC

(k)

(k)

LC

Ng

1i ii

(k)

i

ij

(k)

jij

(k)

ioi

(k)

(k)

LC

Ng

1i

(k)

i

PPλf

PPλf

PP)Bλ2(c

PB2λb)B(1λ

PPP

Se expande el lado izquierdo en serie de Taylor alrededor del punto l(k):

k

i

k

k

kk

k

l

k

k

k

dλ

dP

ΔP

dλ

λdf

ΔPΔλ

PPCΔλdλ

λdfλf

Donde:

Ng

1i2

ii

k

i

ij

k

jijiiiioiiNg

1i

k

i

Bλc2

PB2cbBB1c

dλ

dP


24

y así: kk1k Δλλλ

Ng

1i

k

i

k

LC

k PPPΔP

El proceso continua hasta que P(k)

sea menor que la tolerancia especificada.

Si se emplea una formula simplificada de pérdidas, Boi = 0, Boo = 0 y la expresión de Pi se reduce

a:

ii

k

i

i

kk

iBλc2

bλP

Y así también

Ng

!i2

ii

k

i

iiiiNg

1i

k

i

Bλc2

bBc

λ

P

Ejercicio

Determinar el despacho económico de un sistema de tres unidades de generación que suministran

energía a una carga de 190 MW. a) Despacho uninodal sin pérdidas y b) despacho con pérdidas.

Los datos para las unidades de generación son los siguientes:

Unidad H Costo combustible Pmin Pmax

1 0.005 P2 + 8.25 P + 312.5 1.050 50 250

2 0.005 P2 + 8.25 P + 112.5 1.217 5 150

3 0.005 P2 + 8.25 P + 50.0 1.183 15 100

La formula simplificada de perdidas es

PL = 0.000136 P1 + 0.000155 P2 + 0.001615 P3

SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. Ejercicio: Un sistema interconectado tiene 2 unidades que operan con combustible fósil en despacho, los

costos de operación variables de estas unidades están dadas por:

2

2

3

22

2

1

3

11

10.87

10.108

PPC

PPC


25

Determinar la salida de potencia de cada unidad, el coso de operación incremental y el costo de

operación total, que minimiza el costo de operación total cuando la demanda de carga varía de

500ª 1500 MW no se consideran las restricciones de la s unidades generadoras, ni las pérdidas de transmisión.

Solución:

La condición para que el sistema interconectado opere en condiciones de mínimo costo podrá ser que los costos adicionales de operación mínima sean iguales:

Aplicando este criterio:

2

3

2

2

1

3

1

1

10.167

10.208

PdP

dC

PdP

dC

Costo total de operación:

)1(10.16710.208 2

3

1

3

2

2

1

1 PPdP

dC

dP

dC

La condición de restricción que tenemos es que la potencia demandada total es igual a las

potencias demandadas por generadora (hecho pre-conocido)

MWPtP

PPt

PPPt

PP

PPPt

28.279

4

4

51

10.16

1

10.16

10.201

10.16

10.201

)2(

1

13

3

1

3

1

3

1

3

2

21

)/($0089.044.7

28.279

410.208 3

2

2

1

1

hMWPtdP

dC

PtdP

dC

dP

dC

i

i

Costo de operación total:

2

2

3

2

2

1

3

1 10.8710.108 PPPPCt

Determinar el costo operación

Pt P1 P2 dCi/dPi Ct

500 194.4 305.6 11.89 4041

600 238.9 361.1 12.78 5197

700 283.3 416.7 13.67 7335


26

800 327.8 472.2 14.56 7775

900 372.2 527.8 15.45 9197

1000 416.6 583.4 16.34 11875

1100 461.1 638.0 17.23 12308

1200 505.6 694.4 18.12 13998

1300 550.0 750.0 19.01 15775

1400 594.4 805.6 19.90 17641

1500 638.9 861.1 20.79 19597

EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: Cada unidad generadora no debe operar por encima de su capacidad p por debajo de alguna

potencia mínimas, es decir:

ni

PiPiPi

,...,3,2,1

maxmin

En el problema de despacho económico se pude incluir otras restricciones d desigualdad se podría

restringir algunas salidas de las unidades para no sobrecargar ciertas líneas de transmisión u

otros equipos, por situaciones climáticas adversas se podría también limitar la generación de algunas unidades para reducir las emisiones.

Cuando se incluyen restricciones de desigualdad, la solución del flujo de potencia se modifica de la

siguiente manera.

Si una o más unidades alcanzan sus valores límites, entonces dichas unidades se mantienen constantes en sus límites y las demás operan al mismo costo incremental de operación “λ”, es decir

“λ” es común, inclusive para las unidades que no están en sus límites.

CONCLUCIONES: En este trabajo se muestra el despacho económico considerando las perdidas en las líneas

de transmisión en la cual aparece un factor de penalización según a ese factor se consigue la optimización del precio de la energía y un consumo de combustible mínimo, en la cual se

puede aplicar los métodos que se mostró en el tema.

BIBLIOGRAFIA/ SITIOS WEB: http://web.ing.puc.cl/~power/alumno06/CapacityCall/09.htm

http://www.imergia.es/eficiencia-energetica/que-son-las-penalizaciones-electricas

http://www.cne.cl/tarificacion/electricidad/precios-de-nudo-de-corto-plazo

http://web.ing.puc.cl/~power/alumno06/CapacityCall/09.htm

http://www.imergia.es/eficiencia-energetica/que-son-las-penalizaciones-electricas

http://www.cne.cl/tarificacion/electricidad/precios-de-nudo-de-corto-plazo

Despacho Con Perdidas

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