Determina la probabilidad de eventos mediante diferentes ... · Se arroja un dado sin truco y se...

Tiempo asignado: 18 horas

Determina la probabilidad de eventos mediante diferentes técnicas de conteo.

Competencias profesionales: x Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos

establecidos o situaciones reales. x Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,

mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. x Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su

comportamiento. x Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades

físicas de los objetos que lo rodean. x Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: x Estructura ideas y argumenta de manera clara y coherente, los resultados de la probabilidad conjunta, mediante el

uso de técnicas de conteo. x Identifica los tipos de eventos y las reglas de probabilidad, para resolver problemas en situaciones de la vida

cotidiana. x Utiliza el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos. x Identifica las diferentes formas de contar agrupaciones de objetos, para resolver problemas relacionados con su

entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye

al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su

relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

distintos equipos de trabajo.

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DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Secuencia didáctica1. Cálculo de probabilidades de eventos simples

y eventos compuestos.

�Inicio��

Responde a los siguientes cuestionamientos. 1. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de

satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla.

Satisfecho con la carrera

Satisfecho con su progreso TOTAL

Si No Si 362 350 712 No 18 70 88 Total 380 420 800

Si se elige una encuesta al azar, determina la probabilidad de que: a) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera. b) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma. c) El alumno no se encuentre satisfecho ni con la carrera ni con su progreso.

d) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera, pero no con su progreso. 2. Normalmente en una moneda mexicana, el águila es el sello (s) emblema de nuestra bandera, y cara (c) es

la imagen del rostro del personaje que aparece en cada moneda. Si se lanzan dos monedas normales al aire, determina la probabilidad de que una de ellas sea cara y otra sello.

3. Se arroja un dado sin truco y se observa el número de puntos que muestra la cara superior, ¿cuál es la

probabilidad de que el número observado sea par?

Actividad: 1

11 BLOQUE 1

��

Evaluación Actividad: 1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:

Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal

Distingue los distintos métodos de asignar probabilidades.

Calcula probabilidades empleando las propiedades de la misma.

Muestra interés siguiendo instrucciones de manera reflexiva

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

4. Una escuela de idiomas necesita delimitar espacios para aquellas personas que estudian

sólo un idioma. Distribuye en el diagrama de Venn la siguiente información y responde a los siguientes cuestionamientos. 25 personas estudian francés (conjunto 𝐹); 45 estudian inglés (conjunto 𝐼); 10 estudian alemán (conjunto 𝐴); 12 estudian francés e inglés; 5 estudian los tres idiomas; y 8 estudian francés y alemán. Si se elige una persona al azar, determina la probabilidad de que:

a) Estudie los tres idiomas. b) Estudie francés o alemán.

c) Estudie solamente inglés. d) Estudie francés e inglés, pero no alemán. e) Estudie alemán e inglés. f) Estudie francés, pero no inglés.

Actividad: 1 (continuación)

12


�Desarrollo

Métodos para asignar Probabilidades. En el curso pasado de Probabilidad y Estadística 1, viste que la probabilidad de un evento, siendo ésta una medida numérica de la verosimilitud del evento, se determina de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente. Los siguientes ejemplos con eventos simples te harán recordar y aclarar la diferencia entre estas dos interpretaciones de la probabilidad. Ejemplo 1. Si se lanza una moneda al aire, determina la probabilidad de que caiga con la cara hacia arriba. No hay razón aparente para que uno de los lados de la moneda, a la larga, caiga hacia arriba con mayor frecuencia que el otro, de modo que normalmente se supone que cara y sello son igualmente probables de salir. Esta suposición puede remarcarse si la moneda está no defectuosa o alterada. Ahora el experimento aquí es el lanzamiento de una moneda con estas características. El espacio muestral es:

𝑆 = {𝑐, 𝑠} y el evento de que caiga cara, cuya probabilidad se busca, se llama 𝐸 = {𝑐}. Como uno de los dos resultados posibles es cara, la probabilidad es el cociente de 1 y 2:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑐𝑎𝑟𝑎) = .

De manera simbólica, esto se expresa como:

𝑃 (𝐸) = .

Ejemplo 2. Si se lanza al aire una taza de plástico, determina la probabilidad de que caiga hacia abajo. Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado, mucho más a menudo que hacia arriba o hacia abajo. Pero no queda claro exactamente qué tan a menudo. Para tener una idea, se realiza el experimento de lanzar la taza 50 veces, y observar la frecuencia de los resultados. Supóngase que cayó de lado 44 veces, boca abajo 5 veces y hacia arriba sólo una vez. Por la frecuencia de “éxitos” en este experimento, se concluye que:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑(𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜) = = . Observa en el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa, el número de resultados posibles es obviamente dos, ambos igualmente probables, y uno de los resultados es una cara. No se requirió un experimento real. La probabilidad deseada se obtuvo teóricamente. Las probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento de dados, juegos de cartas, ruletas, lotería, etc.), y aparentemente también a muchos fenómenos de la naturaleza. Laplace, en su famosa Teoría Analítica de la Probabilidad, publicada en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral 𝑆 sea finito y los resultados sean igualmente probables, es decir, sean equiprobables.

Pierre Simon Maqués de Laplace (1749 -1827).

Astrónomo, físico y matemático francés, conocido por el Teorema de Laplace, Transformada de Laplace y Determinismo científico

http://es.wikipedia.org/wiki/Astr%C3%B3nomo

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pierre-Simon_Laplace.jpg

13 BLOQUE 1

Fórmula de la probabilidad teórica Si todos los resultados en un espacio muestral 𝑆 son igualmente probables, y 𝐸 es un evento en 𝑆, entonces la probabilidad teórica del evento 𝐸 está dada por:

𝑃(𝐸) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

Por otra parte, en el ejemplo 2 implicó tener que lazar una taza al aire, donde las probabilidades de los diferentes resultados no estaban claras intuitivamente. Se efectuó un experimento real para llegar a un valor de probabilidad de un décimo. Este valor se encontró de acuerdo con la fórmula de la probabilidad experimental o empírica. Fórmula de la probabilidad empírica Si 𝐸 es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento 𝐸 está dada por:

𝑃(𝐸) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑢𝑣𝑜𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐸

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧ó𝑒𝑙𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

En la cual la asignación de las probabilidades de los sucesos o eventos de interés se basan en la información observada y no en el conocimiento previo del proceso. Por lo general, en las aplicaciones queda claro cuál de las dos fórmulas de probabilidad debe usarse. Más ejemplos al respecto: Ejemplo 3. Claudia quiere tener exactamente dos niñas. Suponiendo que niño y niña son igualmente probables, determina la probabilidad de éxito en cada uno de los casos siguientes: a) En total tiene dos hijos.

Aquí, la suposición de igual probabilidad permite el uso de probabilidad teórica. Observa que el espacio muestral lo forman las parejas:

𝑆 = {(𝑚𝑚), (𝑚ℎ), (ℎ𝑚), (ℎℎ)} El único resultado favorable para el evento 𝐸, que sean exactamente dos mujeres: es la pareja 𝐸 = {(𝑚,𝑚)}. Por medio de la fórmula de probabilidad teórica:

𝑃(𝐸) = .

b) En total ella tiene tres hijos. Ahora el espacio muestral para este caso es:

𝑆 = {(𝑚𝑚𝑚), (𝒎𝒎𝒉), (𝒎𝒉𝒎), (𝑚ℎℎ), (𝒉𝒎𝒎), (ℎ𝑚ℎ), (ℎℎ𝑚), (ℎℎℎ)}

De modo que son tres los casos favorables al evento exactamente dos niñas, indicadas en el espacio muestral con negritas. Luego la probabilidad de 𝐸 es:

𝑃(𝐸) = .

14


Aunque en este ejemplo se supuso que tanto niños como niñas tienen la misma probabilidad de ocurrir, por lo común, los nacimientos de niños ocurren con un frecuencia un poco mayor. A la vez, por lo regular hay siempre más mujeres en cualquier momento dado, debido al mayor índice de mortalidad entre hombres y a la esperanza de vida más larga en las mujeres, en general. Para cerciorarte de este comentario consulta los censos poblacionales del INEGI en la página:

http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/mujeresyhombres.aspx?tema Ejemplo 4. En un año reciente, los nacimientos en México incluían 1, 613 millones de hombres y 1, 531 millones de mujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona fuese hombre? Ya que los nacimientos de hombres y mujeres no son igualmente probables, y se tiene información específica experimental que respalda este hecho, se calcula la probabilidad empírica.

𝑃(ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠𝑛𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠𝑒𝑠𝑒𝑎ñ𝑜𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑒𝑠𝑒𝑎ñ𝑜

𝑃(ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒) =1,613,000

1,613,000 + 1,531,000= 0.513

Ahora piensa nuevamente en la taza del ejemplo 2. Si se lanza 100 veces en lugar de 50, el nuevo valor sería probablemente diferente (al menos un poco) del que se obtuvo. Aún sería una probabilidad empírica, pero sería mejor en el sentido de que se basa en un conjunto mayor de resultados. Conforme el número de lanzamientos se hace cada vez más grande, los valores de la probabilidad empírica resultante pueden aproximarse a algún valor particular. Si es así, ese número puede definirse como la probabilidad teórica de que esa taza caiga boca abajo. Este valor “limite” sólo puede ocurrir cuando el número real de lanzamientos observados se aproxime al número total de lanzamientos de la taza. Como potencialmente existe un número infinito de posibles lanzamientos, en realidad nunca se encontraría la probabilidad teórica que se pretende. Pero aún se puede suponer que tal número existe, y cuando el número real de lanzamientos observados aumente, la probabilidad empírica resultante debe tender a estar más cerca del valor teórico. Este importante principio se conoce como ley de los grandes números o en algunas ocasiones como ley de los promedios. Ley de los grandes números Cuando un experimento se repite más y más veces, la proporción de resultados favorables a cualquier evento tenderá a estar cada vez más próxima a la probabilidad teórica de ese evento. Ejemplo 5. ¿Una moneda no defectuosa se lanzó 35 veces, produciendo la siguiente secuencia de resultados.

𝑠, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑠, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑐, 𝑠, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑠, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑐, 𝑠, 𝑠, 𝑠, 𝑐, 𝑐, 𝑠, 𝑐, 𝑐

Calcular la razón del número de caras al número total de lanzamientos, después del primer lanzamiento, el segundo lanzamiento, el tercer lanzamiento y así, sucesivamente, hasta completar los 35 lanzamientos, y con ayuda del Excel mostrar estas razones en una gráfica. Para obtener las razones se toma en cuenta que los dos primeros resultados son sellos, de ahí que los dos primeros lugares sean 0.00. Luego el tercer resultado es cara, es decir, 1 3 = 0.33, el cuarto lanzamiento vuelve a ser cara, por lo que 2 4 = 0.50. El quinto lanzamiento nuevamente es cara, así que la razón es 3 5 = 0.60, el sexto lanzamiento es sello, de ahí que la razón sea 3 6 = 0.50, y así sucesivamente. Las primeras razones a dos lugares decimales, son 0.00, 0.00, 0.33, 0.50, 0.60, 0.50,…resultado de dividir respectivamente , , , , , , etc. La gráfica muestra cómo las fluctuaciones alrededor del 0.50 son más pequeñas,

15 BLOQUE 1

conforme el número de lanzamientos aumenta, y la razón parece que se aproxima a 0.50 en la parte derecha de la gráfica, de acuerdo con la ley de los grandes números.

Observa que la ley de los grandes números proporciona una conexión importante entre las probabilidades empírica y teórica. Conocer la probabilidad empírica para un evento permite estimar su probabilidad teórica. Entre más grande sea el número en que se basa la estimación, más confiable será esta. De manera similar, conocer la probabilidad teórica de un evento permite predecir la fracción de veces que ocurrirá en una serie de experimentos repetidos, simplemente por deducción. La predicción será más precisa, claro está, para un número grande de repeticiones. Propiedades de la probabilidad. De la fórmula de probabilidad teórica se deducirán algunas propiedades de la probabilidad. Para el experimento de lanzar dos monedas al aire no defectuosas se tiene el espacio muestral:

𝑆 = {(𝑐𝑐), (𝑐𝑠), (𝑠𝑐), (𝑠𝑠)} La probabilidad del evento 𝐴: que salgan dos caras es:

𝑃(𝐴) = , en tanto que si se considera el espacio muestral con resultados no igualmente probables, se tiene que:

𝑆 = {𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠, 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜𝑠, 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜} La probabilidad de que salgan dos caras: 𝑃(𝐴) = , lo cual es incorrecto, ya que la expresión que calcula la probabilidad, aplica para espacios con igual probabilidad (equiprobables). Para que te convenzas de que 1 4 es mejor que 1 3 , realiza el experimento de lanzar dos monedas no defectuosas 100 veces y calcula esta probabilidad de forma empírica. Como cualquier evento 𝐴 es subconjunto de 𝑆, se sabe que el número de elementos del conjunto 𝐴 es mayor que cero, pero menor que el número de elementos de 𝑆. Esto se puede expresar mediante la cardinalidad de un conjunto como sigue 0 ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆), donde 𝑛(𝐴) es el número de elementos del conjunto 𝐴 en este caso. Al dividir todo entre el número de elementos del espacio muestral queda:

( )≤ ( )

( )≤ ( )

( ) o 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.

16


En palabras esto significa que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive. Si el evento 𝐴 es imposible (no puede suceder), entonces el número de elementos de ese conjunto debe ser 0 (𝐴 es el conjunto nulo o vacío), por lo tanto 𝑃(𝐴) = 0. Por otro lado, si un evento 𝐴 es seguro (es inevitable que ocurra), entonces el número de elementos de 𝐴 es igual al número de elementos del espacio muestral, por lo que:

( )( )

= ( )( )

= 1.

Estas propiedades se resumen a continuación: Sea 𝐴 un evento en el espacio muestral 𝑆, esto es, 𝐴es un subconjunto de 𝑆. Entonces:

1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive. 2. 𝑃(𝜙 ) = 0. La probabilidad de un evento imposible es cero. 3. 𝑃(𝑆 ) = 1. La probabilidad de un evento seguro es uno.

Ejemplo 6. En el lanzamiento de un dado regular (sin truco) determina la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: Para cada caso se obtiene primeramente el espacio muestral, para luego marcar dentro de este los casos favorables del evento simple en cuestión:

a) 𝐴: Obtener el número 2. 𝑆 = {1, 𝟐, 3,4,5,6}

𝑃(𝐴) = .

b) 𝐵: Obtener un número distinto de 2.

𝑆 = {𝟏, 2, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}

𝑃(𝐵) = .

c) 𝐶: Obtener el número 7. 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}

𝑃(𝐶) = = 0.

d) 𝐷: Obtener un número menor que 7.

𝑆 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}

𝑃(𝐷) = = 1.

Observa que los incisos c) y d) del ejemplo anterior ilustran las propiedades 2 y 3 respectivamente. Observa también que los eventos en los incisos a) y b) son complemento uno del otro y que sus probabilidades suman 1, lo cual es cierto para cualesquiera dos eventos complementarios; esto es, 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ) = 1. Reagrupando términos, se puede escribir esta ecuación de dos formas equivalentes, de las cuales, la más útil se indica en la siguiente regla. Regla del complemento de la probabilidad. La probabilidad de que un evento 𝐴 ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra.

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴 )

17 BLOQUE 1

El siguiente ejemplo ilustra la forma en que la regla del complemento permite calcular probabilidades de forma indirecta, cuando ello resulta más sencillo. Ejemplo 7. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey? Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:

espadas negras, corazones rojos, diamantes rojos, tréboles negro.

El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K. Dependiendo del juego el As también es considerado como la última carta. Es más fácil contar las cartas que son reyes, que las que no son reyes. Sea 𝐸 el evento de no tomar un rey. Por lo tanto:

𝑃(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐸 ) = 1 − = = . Donde 𝐸 es el evento tomar un rey. Ahora se considerarán ejemplos de eventos compuestos, recuerda que estos eventos se caracterizan por combinar eventos simples mediante conectivos lógicos como “o”, “y”, por mencionar algunos. En tu curso de probabilidad pasado se desarrolló la teoría de conjuntos, donde se vieron ejemplos de operaciones con conjuntos (unión, intersección) que en teoría de probabilidad equivale a eventos compuestos. En esta secuencia, el objetivo es calcular la probabilidad de estos eventos compuestos, por ejemplo: para los eventos simples 𝐴 y 𝐵, se desea calcular 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) o 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), recuerda que "𝐴 ∪ 𝐵" es el evento en el que ocurre por lo menos uno de los dos eventos simples. Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o” Ejemplo 8. Se escoge un número de manera aleatoria del conjunto:

𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Determina la probabilidad de que sea un número impar o múltiplo de 3. Primeramente se dará nombre a los eventos simples de la siguiente manera: 𝐴: que el número sea impar y 𝐵: que el número sea múltiplo de 3. Se tienen entonces de cada evento los siguientes elementos:

𝐴 = {1,3,5,7,9} 𝑦 𝐵 = {3,6,9} Distribuyendo los elementos de estos conjuntos en un diagrama de Venn quedan.

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El diagrama muestra la posición de los 10 elementos dentro del espacio muestral y se ve que 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,3,5,6,7,9}. El evento compuesto 𝐴 𝑜 𝐵 corresponde al conjumto 𝐴 ∪ 𝐵. Por lo tanto, mediante la fórmula de la probabilidad teórica,

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =610

=35

En general, no se puede tan sólo sumar probabilidades individuales de cada uno de los eventos simples que intervienen en el evento compuesto de la forma 𝐴 𝑜 𝐵. Si se hubiera hecho así, en este ejemplo el resultado que se hubiera obtenido sería.

510

+310

=810

=45

Lo cual es incorrecto ya que se estarían contando los resultados que están dentro de la intersección dos veces. Los enteros 3 y 9 son tanto números impares como múltiplos de 3. La regla correcta se establece de la siguiente forma. (Ya que los conectivos lógicos “o” e “y” corresponden a las operaciones de conjuntos ∪(unión) e ∩ (intersección) respectivamente, se puede establecer dos versiones de esta regla). Regla general para la suma de probabilidades Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos cualesquiera, entonces:

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Enseguida se muestra un ejemplo del uso de esta regla. Ejemplo 9. De los 20 programas de televisión que se presentarán esta noche, Paco planea ver uno que elegirá de forma aleatoria cerrando los ojos y seleccionando con el dedo el desplegado impreso de la programación televisiva. Si 8 de los programas son educativos, 9 son interesantes y 5 son educativos e interesantes, determina la probabilidad de que el programa que vea tenga por lo menos uno de estos atributos. Si 𝐸: que el programa sea educativo, 𝐼: que el programa sea interesante, que un programa tenga por lo menos uno de estos atributos significa: o que el programa es educativo o que es interesante. Así que se pide calcular la probabilidad de 𝐸 𝑜 𝐼. Utilizando la regla general de la suma de probabilidades se tiene:

𝑃(𝐸 𝑜 𝐼) = 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐼) − 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) Por otra parte 𝑃(𝐸) = , 𝑃(𝐼) = y 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = . Por lo que:

𝑃(𝐸 𝑜 𝐼) = + − = = . Ejemplo 10. Supóngase que se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. Determina la probabilidad de que sea espada o roja.

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Recuerda, la baraja inglesa consta de 26 cartas rojas (diamantes y corazones) y 26 negras (espadas y tréboles), y hay 13 cartas por palo como se muestra en la figura.

Sea 𝐸: que la carta sea espada y 𝑅: que la carta sea roja, pero el evento de que la carta seleccionada sea espada y roja, no es posible que pueda suceder, ya que no existen cartas de espadas rojas (todas las espadas son negras). Por lo tanto, el tercer término de la fórmula para la suma será 0 (por la propiedad 2 de la probabilidad) por lo que puede omitirse. De ahí que:

𝑃(𝐸 𝑜 𝑅) = + = = .

En este ejemplo se vio que el evento sea “espada y roja” tiene probabilidad cero porque, al tomar sólo una carta no es posible que la espada y el color rojo salgan al mismo tiempo. De forma general, cuando dos eventos no pueden darse al mismo tiempo se dice que son mutuamente excluyentes. (En teoría de conjuntos recuerda que a dichos eventos se les denomina “ajenos” o “disjuntos”). Para cualesquiera dos eventos 𝐴 𝑦 𝐵 mutuamente excluyentes, la regla de la suma de probabilidades adquiere una forma más sencilla. Regla especial para la suma de probabilidades Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes en un experimento dado, entonces:

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

A menudo es posible encontrarse con casos en los que necesitan considerarse composiciones de más de dos eventos. Cuando cada evento asociado es mutuamente excluyente de todos los demás, puede aplicarse una extensión de la regla especial de la suma. Ejemplo 11. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan sólo una hora esta noche. De hecho, si ℎ representa el número de horas dedicadas a la tarea, entonces ella asigna probabilidades a los diferentes valores de ℎ, como se muestra en la siguiente tabla:

ℎ: ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑃(ℎ)

1 0.05 2 0.10 3 0.20 4 0.40 5 0.10 6 0.15

20


(Se está suponiendo que el tiempo real necesario se redondeará a la hora más cercana y que no tomará menos de una hora ni más de 6. Los 6 períodos determinados son mutuamente excluyentes entre sí, ya que si Ana requiere de 3 horas para hacer su tarea, entonces no necesitará ni 2 horas, ni 4 horas, ni cualquiera de las otras opciones, para terminar su tarea). Determina la probabilidad de que Ana termine su tarea en cada uno de los siguientes períodos:

a) Menos de 3 horas. “Menos de 3 horas” significa 1 o 2, esto se puede expresar con la siguiente desigualdad (ℎ < 3). Por lo tanto

𝑃(ℎ < 3) = 0.05 + 0.10 = 0.15. b) Más de 2 horas.

Utilizando una desigualdad como el caso anterior “más de 2 horas” se expresa (ℎ > 2)significando esto que sean 3 o 4 o 5 o 6 horas, por lo que:

𝑃(ℎ > 2) = 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6)

𝑃(ℎ > 2) = 0.20 + 0.40 + 0.10 + 0.15 = 0.85.

c) Más de una hora, pero no más de 5. Es decir estudiar 2 o 3 o 4 o 5, esto es (2 ≤ ℎ ≤ 5), por lo que

𝑃(2 ≤ ℎ ≤ 5) = 0.10 + 0.20 + 0.40 + 0.10 = 0.80 Eventos compuestos que incluyen el conectivo “y” En el párrafo anterior se desarrollaron reglas para determinar la probabilidad de eventos de la forma 𝐴 𝑜 𝐵. Básicamente se sumaron las probabilidades del evento 𝐴 y del evento 𝐵, cuando los eventos son mutuamente excluyentes o ajenos, debiendo ajustar la fórmula restando la probabilidad del evento 𝐴 𝑦 𝐵 en aquellos casos donde los eventos no son mutuamente excluyentes. Ahora se considera, de manera general, cómo determinar la probabilidad de cualquier evento de la forma 𝐴 𝑦 𝐵. Ejemplo 12. En una clase universitaria de ciencias hay 30 alumnos, de los cuales 5 estudian física, 15 matemáticas y 10 biología. De estos mismos, 22 son mujeres y el resto hombres. Si se escoge un estudiante al azar para pasar al pizarrón, ¿cuál sería la probabilidad de que este sea hombre y estudiante de matemáticas?

De acuerdo al diagrama de árbol, la tarea consta de dos etapas. Primero se calculará la probabilidad del evento 𝐻: que sea hombre. Para esto se sabe que son 30 alumnos (casos posibles) y que de ellos 22 son mujeres, por lo que 8 son hombres (casos favorables). Por medio de la fórmula de probabilidad teórica se tiene:

𝑃(𝐻) =830

.

22 mujeres

8 hombres

5

15

10

Física

Matemáticas

Biología

5

15

10

Física

Matemáticas

Biología

21 BLOQUE 1

Ahora se calculará la probabilidad del evento 𝑀: ser estudiante de matemáticas. Recuerda que 30 son los casos posibles, y que de estos, 15 estudian matemáticas (casos favorables). Así se tiene que:

𝑃(𝑀) =1530

=12.

La probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente, será el producto de las probabilidades de cada suceso. Es decir:

𝑃(𝐻 𝑦 𝑀) =830

12

=860

=215

.

Ejemplo 13. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, determine la probabilidad de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3. El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado

𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

Sea 𝐴: que el número sea par y 𝐵: que el número sea múltiplo de 3, entonces:

𝐴 = {2,4,6,8,10} 𝑦 𝐵 = {3,6,9} El evento compuesto 𝐴 𝑦 𝐵 corresponde al conjunto (𝐴 ∩ 𝐵) = {6}. Por lo tanto por medio de la fórmula de probabilidad teórica,

𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = . La fórmula general de probabilidad del evento 𝐴 𝑦 𝐵, que se verá más adelante, exigirá que se multipliquen las probabilidades individuales del evento 𝐴 𝑦 𝐵. Pero, como se muestra en el ejemplo 13, eso debe hacerse con precaución. Aunque 𝑃(𝐴) = y 𝑃(𝐵) = , al multiplicar simplemente estos dos números se hubiera obtenido

× = = .

Lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de que ha ocurrido el primer evento (o está ocurriendo u ocurrirá, pues el tiempo carece aquí de importancia). Este tipo de probabilidad, calculada bajo alguna suposición especial, se conoce como probabilidad condicional, que se estudiará en el siguiente bloque.

22


En equipo resuelvan los siguientes problemas.

1. Se considera el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) comprada por cinco clientes de

una tienda. Si la probabilidad de que a lo más uno compre secadora eléctrica es de 0.087. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 compren secadora eléctrica?

2. El evento 𝐴 es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro que no es de ficción y 𝐵 que sea de

ficción. Supongamos que 𝑃(𝐴) = 0.35 y 𝑃(𝐵) = 0.50. a) Calcula 𝑃(𝐴 )

b) Calcula 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵)

3. Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son:

x Transmisión automática (𝐴) x Dirección hidráulica (𝐵) x Seis cilindros (𝐶)

Se sabe que: el 70% de los compradores piden 𝐴; el 80% pide el tipo 𝐵, 75% piden 𝐶; 85% piden 𝐴 𝑜 𝐵; 90% 𝐵 𝑜 𝐶; 98% piden 𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶. a) Elabora un diagrama de Venn Euler para representar los tres eventos.

Actividad: 2

23 BLOQUE 1

Evaluación Actividad: 2 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Reconoce las propiedades y reglas de la probabilidad.

Calcula la probabilidad de eventos simples y compuestos mediante las propiedades y reglas de la probabilidad.

Aporta ideas y respeta las aportaciones de sus compañeros.


docente

Sitios Web recomendados:

Ingresa a los siguientes sitios para que consultes y dispongas de información de interés: http://www.wiris.net/planetamatematico.com/whiteboard/es/index-sta.htm http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8 http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560 http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08 http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsr

b) Determina la probabilidad de que un comprador elija al menos una de las tres opciones. c) Determina la probabilidad de que un comprador no seleccione ninguna de las tres opciones. 4. La madrina de recuerdos de una boda ha comprado dos tipos de arreglos: 50 velas y 50 centros de mesa

para los invitados, ¿cuál es la probabilidad de que a un invitado le toque recuerdo de vela o centro de mesa, si es que llegaron 150 invitados y a cada uno sólo le obsequian un recuerdo?

5. Si se lanzan 2 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos?


http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI

http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k

http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8

http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560

http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08

http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsr

24


�Cierre� �

Resuelve los siguientes problemas.

1. En el último año las compañías de teléfonos han hecho grandes esfuerzos para atraer nuevos

clientes. Supón que en una muestra de 400 familias una compañía telefónica obtuvo información sobre el interés de planes de larga distancia y sobre las necesidades semanales de realizar llamadas de larga distancia internacional. Los datos de esta encuesta se presentan en la siguiente tabla.

Necesidad de llamar semanalmente al exterior Adherido a algún plan de larga distancia

Total Si No

Si 120 120 240 No 30 130 160

TOTAL 150 250 400

A partir de la información de la tabla: a) Proporciona un ejemplo de evento simple y determina su probabilidad

b) ¿Cuál es el evento complemento de tener necesidad de llamar semanalmente al exterior?, ¿qué probabilidad tiene?

Si se selecciona una familia de las encuestadas al azar: c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga necesidad de llamar al exterior y esté adherida a un plan de

larga distancia?

Actividad: 3

25 BLOQUE 1

d) ¿Cuál es la probabilidad que la familia seleccionada no se haya adherido a ningún plan de

larga distancia? e) Di si los eventos 𝐴 ∶ Está adherido a un plan de larga distancia y 𝐵: Tiene necesidad de llamar al exterior

semanalmente, son mutuamente excluyentes. Justifica tu respuesta. 2. De 46 alumnos de un grupo, 18 juegan futbol, 16 juegan beisbol y 14 volibol. 2 alumnos juegas los 3 deportes 3 alumnos juegan futbol y beisbol 2 alumnos juegan futbol y voleibol 3 alumnos juegan beisbol y voleibol Elabora un diagrama de Venn Euler. Si escogemos al azar un alumno: ¿Cuál es la probabilidad de que…: a) juegue futbol o beisbol? b) juegue volibol? c) no juegue volibol? d) practique los tres deportes? e) juegue futbol o volibol? f) no juegue volibol o beisbol? 3. Simultáneamente se arrojan un dado y una moneda. Escribe el espacio muestral y contesta a las siguientes

preguntas. a) Las parejas resultantes son: b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 4?


26


��

��



Comprende las propiedades y reglas de la probabilidad, tanto en eventos simples como en compuestos.

Aplica propiedades y reglas de probabilidad para calcular la probabilidad de eventos.

Realiza la actividad mostrando interés en la misma, externando sus ideas.


docente

c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un sello?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 y un sello? e) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan una cara y un 5? 4. Un cubo de madera se pinta de blanco y lego se separa en cubitos (como indica la figura) Si se escoge uno

de estos cubitos al azar, ¿qué probabilidad hay de que…:

a) tenga 6 caras blancas? b) tenga 3 caras blancas?

c) tenga una cara blanca? d) no tenga caras blancas?

e) no tenga ninguna cara blanca?


27 BLOQUE 1

Secuencia didáctica 2. Principio fundamental de conteo.

�Inicio�

Desarrolla lo que se solicita. 1. Considera un club con cinco miembros: Andrea, Beto, Carla, Daniel y Eva, para abreviar

usaremos las letras 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷, 𝐸 (suponiendo que todos los miembros son elegibles).

a) Elabora una lista de las diferentes formas de elegir estos tres puestos.

Presidente, secretario, tesorero _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______

b) Si se eligen dos personas como representantes del Club, en la presentación de una conferencia, ¿de cuántas

y cuáles formas se pueden elegir? Utiliza la siguiente tabla como apoyo para la selección.

A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva

2. Escribe en la tabla todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los números {1,2,3}.

2do. dígito

1er.

dígi

to

1 2 3

1

2

3

Actividad: 1

28


3. En una tabla escribe todos los posibles resultados que se obtienen cuando se lanzan dos

dados comunes.

4. A: Andy, B: Betty, C: Clau y D: Dany, tienen boletos para cuatro asientos reservados en primera fila para un concierto de rock. Escribe 3 maneras diferentes en las que pueden sentarse, de modo que Andy y Betty estén juntos.

_________,________,_______,__________

_________,________,_______,__________

_________,________,_______,__________

5. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? Comenta con tus compañeros la forma de conteo que utilizaste para obtener la respuesta.

________ triángulos.


29 BLOQUE 1

Evaluación Actividad: 1 Producto: Esquemas. Puntaje:


Identifica diferentes formas de conteo.

Construye los posibles resultados de un proceso de conteo.

Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad.


docente

6. En un restaurante se prepara un menú que consta de 3 sopas (tortillas, verduras y fideos), 2

guisados (estofado y pescado) y 3 sabores de helado como postre (nuez, chocolate y queso). Apoyándote del esquema, escribe 5 formas diferentes en las que puedes combinar los platillos del menú.

_________,________,_______

_________,________,_______

_________,________,_______

_________,________,_______

_________,________,_______


30


�Desarrollo

Conteo mediante una lista sistemática. En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la parte de la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en que pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se toman todos o algunos de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, objetos, empresas, artículos producidos por una fábrica, entre otros. La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo de composición de los elementos, teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. Para ello, distingue básicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones y Combinaciones. Para calcular probabilidades, es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado, o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa, sin embargo, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria. Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas. Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas. Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{1,3,5,7}. Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden representarse en una tabla de la siguiente manera:

2do. dígito

1er.

dígi

to 1 3 5 7

1 11 13 15 17 3 31 33 35 37 5 51 53 55 57 7 71 73 75 77

Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,13, 15, 17, 31, 33, 35,37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77. Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos. Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 2. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatro conmutadores en hilera. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse, si ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado al mismo tiempo?

31 BLOQUE 1

Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos, como son los equipos de computación, los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. En el diagrama de árbol se representa el “encendido” con el número 1, y “apagado” con el 0 (una práctica común).

Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol, el siguiente conmutador sólo puede estar encendido (1). Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. Por tanto, son 8 las configuraciones diferentes que pueden seleccionarse. Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad, y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición? El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados. Existen dos etapas para esta tarea; se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones para la segunda (número de dormitorios). Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición. Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos comprende la figura?

1er. Conmutador

2do. Conmutador

0 1

1

0

1

0

1

3er. Conmutador

1

0 1

4to. Conmutador

1 0

0 1

1 0 1

1

Configuración de los

conmutadores 0101 0110 0111 1010 1011 1101 1110 1111

G F

D

C B A

E

H I

1 Dormitorio

Casa

Apartamento

2 Dormitorios

3 Dormitorios

1 Dormitorio

2 Dormitorios

3 Dormitorios

32


Un método sistemático es marcar los puntos, como se muestra en la figura, iniciando con A, luego proceder en orden alfabético para escribir todas las combinaciones de tres letras y, finalmente, tachar las que no son triángulos en la figura.

Por último en la figura hay 16 triángulos diferentes ¿Por qué no están incluidas las ternas 𝐴𝐶𝐵 y 𝐶𝐵𝐹 (y muchas otras) en la lista? Otro método podría ser identificar primero los triángulos que constan cada uno de una sola región: 𝐴𝐵𝐼, 𝐵𝐶𝐼, 𝐶𝐷𝐼, 𝐷𝐸𝐼, 𝐸𝐹𝐼, 𝐹𝐺𝐼, 𝐺𝐻𝐼, 𝐴𝐻𝐼. Luego, listar los que constan de dos regiones cada uno: 𝐴𝐶𝐼, 𝐶𝐸𝐼, 𝐸𝐺𝐼, 𝐴𝐺𝐼; y los de cuatro regiones cada uno: 𝐴𝐶𝐸, 𝐴𝐸𝐺, 𝐶𝐸𝐺, 𝐴𝐶𝐺. No hay triángulos de tres regiones. El total es nuevamente 16 triángulos. Observa en todos estos ejemplos que utilizar un sistema definido asegurará una lista completa de todos los posibles resultados para varias tareas. Sin embargo, si el número total de posibles resultados es todo lo que necesitas saber, entonces no es necesario elaborar una lista, ya que con frecuencia es muy tedioso y díficil obtenerla, en especial cuando la lista es larga, como es el caso del ejemplo 3. Enseguida, verás formas de calcular “cuántos” por medio del principio fundamental de conteo.

En equipos de cuatro, desarrollen lo que se solicita.

1. De todos los posibles resultados del lanzamiento de dos dados, escriban las parejas de

números para los que la suma (de los puntos de la cara de ambos dados) sea la siguiente:

Suma Resultados

2

8

Par

Entre 6 y 10

De 6 a 8

Menor que 5

Impar

7 2. Elaboren una tabla donde escriban todos los posibles números de 2 dígitos que se pueden formar con el

conjunto de números {1,2,3,4,5,6}, suponiendo que: a) Se permite repetir los dígitos.

Actividad: 2

33 BLOQUE 1

b) No se permite repetir los dígitos. 3. De los treinta y seis números de la tabla del problema 2, listen los que pertenecen a cada una de las

siguientes categorías. a) Números impares. b) Números primos. c) Números con dígitos repetidos. d) Potencias de dos. e) Múltiplos de 6. f) Números cuadrados. 4. Elaboren un diagrama de árbol donde se muestren todos los resultados posibles cuando se lanzan tres

monedas. Luego listen los resultados:

a) Al menos dos caras. b) Menos de dos caras. c) Más de dos caras. d) No más de dos caras.


34


Evaluación

Actividad: 2 Producto: Listas sistemáticas de conteo Puntaje:



Representa sistemáticamente los posibles resultados de un proceso de conteo.

Aprecia la facilidad de la sistematización en el conteo. Es respetuoso con sus compañeros y aporta ideas en la resolución de la actividad.


docente

5. En el patrón que se observa abajo, los puntos están a una unidad de distancia, tanto horizontal

como vertical. Si un segmento puede unir dos puntos cualesquiera, ¿cuántos segmentos pueden dibujarse con cada una de las longitudes siguientes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

________, _________, __________, ____________, _________ 6. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo

que no hay restricciones para los interruptores elaboren un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel.

7. Cuando se lanzan dos dados se tienen 36 resultados diferentes, ¿cuántos habrá si se tiran tres dados?


35 BLOQUE 1

Principio fundamental de conteo. El principio fundamental de conteo también conocido como regla de la multiplicación se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando una tarea consta de varias etapas, esto es, que hay dos o más características que pueden variar. Este principio establece que todos los posibles resultados en una situación dada se pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento.

Ejemplo 1. ¿Cuántos números de dos dígitos hay en nuestro sistema (base diez) de números naturales? La “tarea” es seleccionar, o diseñar, un número de dos dígitos. Esta labor consta de dos partes o etapas. Primera etapa: Seleccionar el primer dígito. Aunque 80 es un número de dos dígitos, 08 no lo es; por lo que hay nueve formas de seleccionar el primer dígito (de 1 a 9). Segunda etapa: Seleccionar el segundo dígito. Como ya se mencionó, el cero es posible para esta etapa; de aquí que haya 10 formas de seleccionar el segundo dígito (de 0 a 9). Por lo tanto, el número total de posibilidades es 9 × 10 = 90. En este ejemplo, el segundo dígito podría haberse elegido primero, con diez opciones posibles. Luego, hay nueve opciones para el primer dígito. Nuevamente, el total es 10 × 9 = 90. Ejemplo 2. ¿Cuántos números de dos dígitos no contienen dígitos repetidos? (por ejemplo 66 no se permite). La tarea básica, de nuevo, es seleccionar un número de dos dígitos y hay dos etapas o partes para hacerlo. Primera etapa: Elegir el primer dígito. Como el número debe estar formado por dos dígitos, no se considera el cero para esta etapa, ya que, 01, 02, 03, en realidad son números de un dígito. Por lo tanto hay nueve opciones posibles para el primer dígito (de 1 a 9). Segunda etapa: Elegir el segundo dígito. La restricción del número de dos dígitos es que estos no se repitan, por lo tanto, se debe de descartar el dígito seleccionado en la primera etapa, esto daría como resultado 8 opciones, pero se debe considerar el 0 como una opción para el segundo dígito, ya que si tiene sentido hablar de 20, 30, 40 como números de dos dígitos por ejemplo. Luego quedan nueve opciones para el segundo dígito. Por lo que el número total de posibilidades de elegir un números de dos cifras de las cuales estas no se repitan es 9 × 9 = 81.

𝑛 × 𝑛 × 𝑛 ×⋯× 𝑛

Principio fundamental de conteo Cuando una tarea consiste en 𝑘 etapas separadas, si la primera puede realizarse en 𝑛 formas, la segunda en 𝑛 formas, etc., hasta la 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa, que puede hacerse de 𝑛 formas, entonces el número total de resultados posibles para completar la tarea está dado por el producto

36


Si se hubiera empezado por el segundo dígito en el ejemplo 2, como en el caso anterior, se habrían tenido problemas, porque después de observar que existen 10 opciones para el segundo dígito, no sería posible decidir el número de opciones para el primer dígito, ya que no hay manera de saber si el segundo dígito fue cero u otro distinto de cero. Para evitar esta clase de ambigüedades, es mejor empezar por cualquier parte de la tarea que tenga alguna restricción especial. En ambos ejemplos el primer dígito está restringido a que no puede ser cero, así que considéralo primero. Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras puede un grupo escolar elegir de entre 5 candidatos, 3 mujeres y 2 hombres, a su presidente, secretario y tesorero, si el secretario debe ser hombre? Como la restricción especial se aplica al secretario, considera primero ese cargo. Hay dos opciones, luego quedan cuatro opciones para presidente (las tres mujeres junto con el hombre que no quedó como secretario). Por último hay tres opciones para tesorero (las tres personas que hasta el momento no han sido elegidas para un cargo). El número total de formas es 2 × 4 × 3 = 24. Ejemplo 4. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en nuestro sistema de números de conteo (naturales)? La tarea de seleccionar un número de cuatro dígitos se compone de cuatro etapas. No hay restricción asociada, salvo que el primer dígito debe ser distinto de cero. Por lo que hay 9 × 10 × 10 × 10 = 9,000 posibles números de cuatro dígitos. Ejemplo 5. La numeración de las placas de matrícula para carros particulares en México, se compone de 3 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes son posibles, antes que sea necesario un nuevo esquema? La tarea básica es diseñar una numeración que conste de tres letras seguidas por tres dígitos. Hay seis partes o etapas que componen esta tarea. Como no hay restricciones sobre las letras o los dígitos que se utilizarán, considerando que el alfabeto tiene 26 letras, el principio fundamental de conteo muestra que existen.

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 17,576,000 placas.

Mediante el principio fundamental de conteo resuelve lo siguiente:

1. Explica con tus propias palabras el principio fundamental de conteo.

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

2. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo

que no hay limitaciones para los interruptores, utiliza el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones.

Actividad: 3

37 BLOQUE 1

3. Suponiendo que no hay restricciones, elabora un diagrama de árbol para listar todas las

posibles activaciones del panel del problema 2. 4. Del problema 2, considera que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado. Puedes usar

el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. Argumenta tu respuesta.

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

5. Construye un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel con la restricción del

problema 4. 6. El club de porristas formado por los siguientes elementos {𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑠, 𝐵𝑒𝑡𝑜, 𝐶𝑎𝑡ℎ𝑦, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑, 𝐸𝑚𝑚𝑎}, se está

preparando para una presentación en su escuela. a) ¿De cuántas maneras pueden alinearse en una fila los cinco miembros para una fotografía?

b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos miembros uno para iniciar la presentación y otro para clausurarla, dado que Beto no estará presente?

c) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse un hombre y una mujer para que hagan la decoración del escenario?


38


Factoriales. La cantidad de números de cuatro dígitos diferentes que se pueden formar puedes calcularla como sigue 4 × 3 × 2 ×1 = 24. Como este tipo de producto aparece con mucha frecuencia en las aplicaciones, se le conoce con un nombre y un símbolo.

Por ejemplo evalúa el factorial de las siguientes cantidades:

a) 6! = 6 × (6 − 1) × (6 − 2) × (6 − 3) × …× 2 ×1. = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

b) (6 − 3)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

c) ! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

d) 6! − 3! = 720 − 6 = 714.

e) !!= × × ×⋯× × ×

× ×= 217,945,728,000

Observa las diferencias entre los incisos c) y e) y entre los incisos b) y d) anteriores. Con el fin de que el factorial sea definido para todos los números naturales, incluido el cero, se define el cero factorial de la siguiente manera.

Más adelante te darás cuenta que esta definición especial hace que otros resultados sean más fáciles de expresar. Siempre que necesites conocer el número total de formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos, puedes utilizar un factorial, el principio fundamental de conteo lo hace, como ya lo vimos con anterioridad, pero los factoriales proporcionan una forma más corta.



Comprende el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos.

Utiliza el principio fundamental de conteo para solucionar problemas cotidianos.

Se interesa en el análisis de los problemas.


docente

Fórmula de factorial Para cualquier número natural (número de conteo) 𝑛, el producto de todos los números naturales de 𝑛 a 1, se denomina 𝒏 factorial, se denota con 𝑛! y está dada por:

𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × (𝑛 − 3) × …× 3 × 2 × 1.

0! = 1

39 BLOQUE 1

Ejemplo 1. Emilia tiene nueve trabajos que incluir en su portafolio de evidencia en la asignatura de química. ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos? Si el portafolio tuviera secciones como folders, para acomodar el primer trabajo, Emilia tendría nueve posibles lugares donde acomodarlo; para el segundo trabajo tendría ocho posibles lugares, puesto que el primero ya ocupa un lugar, para el tercero tendría siete posibles lugares, y así sucesivamente hasta acomodar el último trabajo que sólo tendría una opción de acomodo. Por lo que el número de formas de acomodar nueve objetos distintos es.

9 × 8 × 7 × …× 1 = 9! = 362,880.

Ejemplo 2. Cada vez que Ana, bibliotecaria de una escuela, tiene que acomodar las nuevas adquisiciones de libros, lo hace de tal manera que todos los libros de la misma asignatura queden juntos. Si le llegaron 12 libros de Álgebra de distintas editoriales, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos? Doce libros de Álgebra pueden acomodarse entonces de:

12! = 479,001,600.maneras diferentes.

Si compruebas este resultado con el principio fundamental de conteo, te darás cuenta que, para acomodar el primer libro tiene 12 maneras distintas de hacerlo, luego para acomodar el segundo libro tiene 11 maneras de hacerlo puesto que el primer libro ya ocupó un lugar, para el tercer libro entonces, tiene 10 maneras de colocarlo, siguiendo este proceso, al colocar el último libro, éste tendrá sólo una manera de ser colocado, por lo que las 479,001,600maneras diferentes de acomodar los 12 libros de álgebra puede ser expresada por el producto:

12 × 11 × 10 × 9 × …× 1 = 479,001,600.

Para facilitar la tarea de cálculo del factorial de un número, las máquinas calculadoras cuentan con una tecla que te proporciona el resultado directo. La función 𝑛! o 𝑥!, dependiendo del modelo, se activa presionando la tecla de segunda función (que en algunas máquinas es la tecla SHIFT, 2nd F o INV). Así, para calcular 12! tienes que presionar primero el número, después la tecla de factorial 𝑛! previamente activada con SHIFT.

𝑛!

Ordenamiento de 𝒏 objetos El número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos es :

40


Contesta a los siguientes cuestionamientos.

1. Describe de qué manera conviene usar el factorial en problemas de conteo.

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

2. Explica si los siguientes resultados son o no verdaderos, en general, y justifica tu respuesta con ejemplos

específicos. a) (𝑚 + 𝑛)! = 𝑚! + 𝑛! b) (𝑚 ∙ 𝑛)! = 𝑚! ∙ 𝑛! 3. Sin utilizar calculadora evalúa las siguientes expresiones. a) 4!

b)!

( )!

c)!!

d)!

!( )!

e)!

!( )!

Actividad: 4

41 BLOQUE 1

Evaluación Actividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Reconoce y describe la utilidad del factorial.

Aplica la definición de factorial para obtenerlo.

Realiza el ejercicio con limpieza y claridad.


docente

4. Emma tiene siete ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentes

puede acomodarlos?

5. Cada vez que Laura lleva al parque a los nueve niños que tiene a su cuidado, todos ellos quieren estar

siempre al frente de la fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?


Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes e interactúes, calculando el número de formas en las que se pueden agrupar un número de objetos. http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/ http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/

http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

42


�Cierre


1. El código postal de Nicasio Mendoza es 83120. ¿Cuántos códigos postales de cinco dígitos

en total pueden formarse utilizando todos los dígitos del código postal de Nicasio?

2. El restaurante La Casa Loma ofrece cuatro opciones en la categoría de sopa y ensalada (dos sopas y dos

ensaladas), dos opciones en la categoría de pan, y tres opciones en la categoría de platillo fuerte. Determina el número de comidas disponibles en cada uno de los siguientes casos:

a) Se debe incluir un elemento de cada una de las tres categorías.

b) Sólo se incluirá una sopa y un platillo fuerte.

c) Sólo se incluirá una sopa, un pan y una ensalada.

3. Un distribuidor de equipo musical tiene diez guitarras diferentes, cuatro estuches para guitarra, seis

amplificadores y tres procesadores de efectos, con todos los artículos compatibles y todos adecuados para principiantes. ¿Cuántos equipos completos puede Leo seleccionar para iniciar su carrera musical?

4. Jorge guarda cuatro libros de texto y tres novelas en su escritorio. ¿De cuántas maneras diferentes los puede acomodar en una hilera? si:

a) Los libros de texto deben estar a la izquierda de las novelas.

b) Las novelas deben ir juntas.

c) Ningún par de novelas debe estar junto. 5. Andy (A), Betty (B), Claudia (C), David (D), Emma (E) y Fernando (F) tenían reservados seis lugares en la fila

de un teatro, iniciando en un asiento de pasillo. a) Si A se sentó primero, ¿cuántos asientos están disponibles para él?

b) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para B?

c) Ahora, ¿cuántos para C?

Actividad: 5

43 BLOQUE 1

d) Ahora, ¿cuántos para D?

e) Ahora, ¿cuántos para E?

f) Ahora, ¿cuántos para F?

g) Ahora multiplica las seis respuestas anteriores. 6. ¿De cuántas formas pueden sentarse de modo que Andy y Betty estén juntos? Apóyate de siguiente

esquema, primero da respuesta a la siguiente serie de preguntas.

1 2 3 4 5 6 X X — — — — — X X — — — — — X X — — — — — X X — — — — — X X

a) ¿Cuántos pares de asientos pueden ocupar A y B? b) Ahora, dados los dos asientos para A y B, ¿en cuántos órdenes pueden sentarse ellos? c) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para C? d) ¿Cuántos para C? e) ¿Cuántos para D? f) ¿Cuántos para E? g) ¿Cuántos para F?


44




Distingue el uso del principio fundamental de conteo y factoriales en problemas de aplicación.

Aplica el principio fundamental de conteo en la resolución de problemas cotidianos.

Expresa sus dudas y corrige sus errores.


docente

7. Rodrigo es estudiante de Ciencias en Computación, está preparando su calendario de clases

del próximo semestre, que debe incluir una clase de cada una de las cuatro categorías que se muestran aquí.

Inscripción en universidades locales, 2005.

Categoría Opciones Número de opciones Inglés Literatura contemporánea 3 Redacción Poesía moderna Matemáticas Álgebra 2 Trigonometría

Ciencias de la computación

Introducción a las hojas de cálculo Procesadores avanzados de texto Programación en C Programación en R

4

Sociología Problemas sociales Sociología de Latinoamérica

4

La mujer en la cultura hispana Minorías étnicas Total 13

Origen: Datos ficticios, solamente a modo de ilustración.

Utiliza la tabla para que determines el número de formas que tiene Rodrigo de elegir su horario, si: a) Todas las clases mostradas están disponibles.

b) No puede tomar Álgebra ni Programación en R.

c) Todas las secciones de Minorías étnicas y la mujer en la cultura hispana ya están llenas.

d) No cumple con los requisitos previos para la literatura contemporánea y programación en C. e) Se retiraron los fondos para tres de los cursos de computación y para dos de los cursos de sociología.


45 BLOQUE 1

Secuencia didáctica 3. Teoría combinatoria.

�Inicio�

9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 46 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

=

3 ∙ 2 ∙ 14 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

=

15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 1012 ∙ 11 ∙ 10

=

Desarrolla lo que se solicita. 1. Simplifica las siguientes expresiones:

2. Evalúa cada expresión con ayuda de una calculadora. a) 15!

b)!

( )!

c)!!

d)!

!∙ !

Actividad: 1

46


3. Melvin quiere comprar cuatro libros diferentes, supongamos A, B, C, y D, pero sólo se puede costear 2. Escribe en una lista las opciones de compra que Melvin puede hacer, y determina cuántas son.

4. El club de porristas formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, quiere elegir a un presidente y a un secretario, ¿de cuántas maneras pueden ser elegidos si nadie puede ocupar más de un cargo?

5. ¿Cuántos comités diferentes de tres miembros pueden elegirse del club de porristas del problema 4 de modo que haya sólo una mujer en el comité?

6. Del conjunto formado por las letras {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑}, elabora una lista de todas las permutaciones de tres elementos

que se puedan formar. Anótalos en la siguiente tabla.

7. Del mismo conjunto del problema 1, lista ahora los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar. Considerando que los subconjuntos (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑎, 𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑎, 𝑐) por ejemplo, son el mismo.


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Evaluación

Actividad: 1 Producto: Ejercicios y problemas aplicados. Puntaje:



Determina el número de posibles resultados mediante principio fundamental de conteo y factoriales.

Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad.


docente

8. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la

probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey? Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:

Espadas negras. Corazones rojos.

Diamantes rojos. Tréboles negros. El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K.

9. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada abajo. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra, blanca y gris, en ese orden (sabiendo que la urna contiene 3 bolas grises, 10 negras y 7 blancas).

10. Si se sacan cinco cartas, sin reemplazo, determina la probabilidad de que todas sean de corazones. 11. Elabora una lista de los comités diferentes de tres miembros que podrían designar el club formado por

Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, de modo que haya sólo un hombre.

_________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______

Actividad: 1

48


�Desarrollo

Permutaciones. En el bloque anterior viste el factorial como una manera de contar el número de ordenamientos o arreglos de un determinado conjunto de objetos. Refrescando un poco la memoria, un ordenamiento es el número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos, es decir, es el número total de arreglos o disposiciones diferentes que se pueden formar con 𝑛 objetos. Por ejemplo, el club integrado por Andrés, Beto Cathy, David y Emma puede acomodarse en una fila para tomarse una fotografía, en 5! = 120 formas diferentes. {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸}, {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐸, 𝐷}, {𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐸, 𝐶},{𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐶, 𝐸} son sólo 4 arreglos o disposiciones, escritos de manera abreviada, de los 120 que hay. Usar el factorial, por lo común es más eficaz que aplicar el principio fundamental de conteo. También has utilizado listas, diagramas de árbol, tablas y el principio fundamental de conteo para responder preguntas como: ¿de cuántas formas puede elegir el club a un presidente, un secretario y un tesorero, sin que nadie pueda ocupar más de un cargo? Una vez más, esto es cuestión de ordenamientos o arreglos. La diferencia es que sólo tres de los miembros, en lugar de los cinco, están incluidos en cada caso.

Observa, el club tiene 5 maneras de elegir al presidente, cualquiera de ellos podría ser, una vez elegido al presidente, ya que nadie puede ocupar más de un cargo, el club tiene 4 formas para elegir al secretario y 3 maneras de elegir al tesorero. Algunos arreglos o disposiciones de esta elección, considerando que la primera entrada corresponde al cargo de presidente, la segunda al secretario y la tercera al tesorero, son: {𝐴, 𝐵, 𝐶, }, {𝐴, 𝐵, 𝐷}, {𝐴, 𝐵, 𝐸}, {𝐴, 𝐶, 𝐷},{𝐴, 𝐶, 𝐸}, {𝐴, 𝐷, 𝐵}. La respuesta, según el principio fundamental de conteo, es 5 × 4 × 3 = 60 formas o arreglos diferentes de hacer la elección. Los factores empiezan con el 5 y continúan de manera decreciente, al igual que en un producto factorial, pero sin llegar a 1. (En este ejemplo, el producto se detiene cuando hay tres factores.) Otra forma de elaborar la misma pregunta es: ¿cuántos arreglos o disposiciones hay de cinco cosas tomadas de tres en tres? En el contexto de los problemas de conteo, con frecuencia los arreglos se conocen como permutaciones; el número de permutaciones de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, se denota por 𝑃 𝑜 𝑃 , 𝑜 𝑃(𝑛, 𝑘). Como el número de objetos que se acomodará no puede exceder el número total disponible, para este propósito se supone que 𝑘 ≤ 𝑛. Al aplicar el teorema fundamental de conteo para arreglos de este tipo, se obtiene:

𝑃 = (𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… [𝑛 − (𝑘 − 1)] Al simplificar el último factor se obtiene la fórmula siguiente.

Los factores de este producto empiezan de 𝑛 y descienden hasta que el número total de factoresque son 𝑘. Esto se debe a que el primer lugar del grupo puede estar ocupado por uno cualquiera de los 𝑛 elementos, mientras el segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los elementos que no están en el primer lugar, es decir, por uno de los (𝑛 − 1) elementos restantes, ya que los 𝑘 elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupado por cualquiera de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por uno cualquiera de los(𝑛 − 2) elementos restantes. Si se continúa el razonamiento, para ocupar el 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 lugar se tendrán (𝑛 − 𝑘 + 1) elementos posibles.

𝑃 = (𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘 + 1)

Fórmula para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 ≤ 𝑛, está dada por:

49 BLOQUE 1

Ahora, el número de formas en las que el club puede elegir a un presidente, un secretario y un tesorero puede denotarse por:

𝑃 = (𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) = 5(5 − 1)(5 − 2) = 5(4)(3) = 60. Observa que en estos arreglos de 𝑛objetos distintos tomados en grupos de𝑘 a la vez, se cumple que:

x No entran todos los elementos. x Sí importa el orden. x No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los 𝑘 elementos son distintos.

Ejemplo 1. Evalúa cada permutación:

a) 𝑃 = (4)(3) = 12; Empieza en 4, disminuye hasta que haya dos factores.

b) 𝑃 = (5)(4) = 12; Empieza en 5, disminuye hasta que haya dos factores.

c) 𝑃 = (7)(6)(5) = 210; Empieza en 7, disminuye hasta que haya tres factores.

d) 𝑃 = (8)(7)(6)(5)(4) = 6,720; Empieza en 8, y utiliza cinco factores.

e) 𝑃 = (5)(4)(3)(2)(1) = 120; Empieza en 5, y utiliza cinco factores.

Observa que 𝑃 = 5!. Para todos los números enteros positivos se cumple que:

𝑃 = 𝑛!. (Esto es el número de posibles resultados de 𝑛 objetos distintos tomados todos a la vez). En general las permutaciones también pueden relacionarse con los factoriales de la siguiente manera. Recuerda que:

𝑃 = (𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘 + 1) Al ampliar este producto hasta llegar a 1 se obtiene:

(𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 − 1)… (2)(1) Multiplicando la expresión de permutaciones 𝑃 , por un uno conveniente como se observa a continuación:

𝑃 = (𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 − 1)⋯ (1)(𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 − 1)⋯ (1)

Tenemos en la parte del numerador de manera completa el factorial de 𝑛, mientras que en la parte del denominador se tiene el factorial de 𝑛 − 𝑘.

(𝑛)(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)⋯(𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 − 1)⋯(2)(1)(𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 − 1)⋯ (2)(1)

Este cociente es igual a !( )!

, y como se obtuvo multiplicando y dividiendo por la misma cantidad la expresión de

𝑃 , por lo que debe ser igual a 𝑃 . Esta fórmula siempre puede utilizarse para evaluar permutaciones.

50


Si 𝑛 y 𝑟 son muy grandes, una calculadora con una tecla para factorial y ésta fórmula ahorrarán mucho trabajo cuando se determinen permutaciones. O mejor aún, una calculadora con la tecla de cálculo directo para permutaciones. La fórmula anterior también muestra que cuando(𝑘 = 𝑛). El número de permutaciones de 𝑛 elementos tomados de 𝑛 en 𝑛, (o todos a la vez) se calcula:

𝑃 =𝑛!

(𝑛 − 𝑛)!=𝑛!0!

= 𝑛!

O también,

𝑃 =𝑛!

(𝑛 − 0)!=𝑛!𝑛!

= 1

En otras palabras, el número de 𝑛 objetos tomados en grupos de 0 a la vez, es 1. Esto es razonable, puesto que, hay una sola forma en que no se puede acomodar ninguno de los 𝑛 objetos. Ejemplo 2. Calcular las permutaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

𝑃 = 6(5)(4) = 120. O bien,

Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: {1, 2, 3, 4, 5}? Observa que se cumple inmediatamente que: No entran todos los elementos. De los 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Es decir, los números 123, 231, 321 son distintos entre sí. No se repiten los elementos. El enunciado pide que las cifras sean diferentes. Utilizando la fórmula de factorial para las permutaciones, se tiene que:

𝑛 = 5, 𝑘 = 3; 𝑘 ≤ 𝑛

Por lo que la cantidad de números de tres cifras diferentes que se pueden formar son:

𝑃 = 5 × 4 × 3 = 60. Ejemplo 4. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5 }? Del problema tienes que𝑛 = 6, 𝑘 = 3; 𝑘 ≤ 𝑛. Para dar respuesta al problema, se tratará la situación por partes. Se sabe que el número a formar se compone de tres dígitos, cdu, el primero de ellos es el dígito de las centenas, el segundo las decenas y el tercero las unidades. Si notas en el conjunto de dígitos a seleccionar se encuentra el 0; el número que se quiere formar de tres cifras diferentes, no puede comenzar por cero (excepto los de las matrículas, los de la lotería y otros casos particulares), lo que significa que el primer dígito de la cifra (las centenas) lo puede ocupar sólo uno de los 5 números 1, 2, 3, 4 ó 5. Así que las formas en que se puede elegir el primer dígito con𝑛 = 5, 𝑘 = 1, es:

𝑃 = 5.

𝑃 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Fórmula factorial para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 ≤ 𝑛, puede calcularse como:

51 BLOQUE 1

El segundo dígito del número de tres cifras, (las decenas) lo puede ocupar cualquier número del conjunto de dígitos, menos el que se ocupó en las centenas, ya que los dígitos no se pueden repetir. De esta manera, con 𝑛 = 5, 𝑘 = 2las formas en las que se puede seleccionar este segundo dígito son:

𝑃 = 5 × 4.

Si te fijas, en el cálculo de esta última permutación van incluidas las formas en las que se puede seleccionar el dígito de las unidades, que son 4, ya que el factor 5 representa el número de formas en las que se puede seleccionar el dígito de las decenas. (Cabe mencionar que el 0 si puede ocupar el dígito de las decenas o el de unidades). En la expresión de las permutaciones 𝑃 , esta calcula la cantidad de números de dos dígitos, es decir, los números que se componen de decenas y unidades. Por lo que la cantidad de números de tres cifras que se pueden formar con los 6 dígitos, es:

𝑃 × 𝑃 = 5 × 5 × 4 = 100.

Ejemplo 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas, entre ellas la obra de un novelista mexicano. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit (mención honorífica). a) ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora?

a) De la información que proporciona el problema, 10 candidatos hacen que 𝑛 = 10, y 3 conforman el cuadro de

honor significa que 𝑘 = 3. No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista. No se repiten los elementos. Se supone que cada candidato presenta una sola obra.

𝑃 = !( )!

= × × × !!

= 10 × 9 × 8 = 720cuadros de honor.

b) Recuerda que la probabilidad de un evento se calcula dividiendo los casos favorables entre los casos totales.

Así que de los 720 cuadros de honor que se pueden formar, en sólo 72 de ellos aparece el novelista mexicano como ganador. Ya que si el mexicano es ganador, la posición de finalista la puede ocupar cualquiera de los 9 candidatos que quedan, y la posición de accésit puede ser ocupada por cualquiera de los 8 candidatos que no han logrado una posición en el concurso. Por lo que la probabilidad de que 𝐴: en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora es:

𝑃(𝐴) =72720

=110

= 0.1

Ejemplo 6. De una caja que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2 sin reposición, es decir, sin devolverlas a la caja. a) ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si se supone que interesa el orden de extracción?

𝑛 = 10, 𝑘 = 3. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones diferentes, se extraiga primero la bola 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones, la suma de los números de las bolas sea un número par? a) Las diferentes posibilidades son todas las agrupaciones o arreglos de 2 bolas seleccionadas de las 4 que hay, es

decir, todos los pares ordenados posibles: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).

𝑃 = 4 × 3 = 12 extracciones diferentes.

52


b) De los pares ordenados posibles que han sido listados anteriormente, observa que solo en tres de ellos, aparece la bola 4 en primer lugar de extracción, de modo que, la probabilidad de que 𝐵: de los pares ordenados se extraiga primero la bola 4, es.

𝑃(𝐵) =312

=14= 0.25

c) De la misma manera, de los pares ordenados, observa que cuatro son los pares que sumados sus números

dan un número par, por lo que la probabilidad que 𝐶: de las extracciones la suma de un número par, es.

𝑃(𝐶) =412

=13= 0.33

Mediante la fórmula de permutaciones resuelve lo siguiente:

1. Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios.

a) 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez. b) 12 objetos tomados en grupos de 3 a la vez. c) 41 objetos tomados en grupos de 2 a la vez. 2. ¿Cuántas placas para carros de trabajo se pueden hacer, si cada placa consta de dos letras diferentes

seguidas de 3 dígitos diferentes? Considera que el alfabeto tiene 26 letras. 3. Del problema anterior, ¿cuántas placas pueden hacerse si el primer dígito no puede ser cero? 4. Explica cómo están relacionados los factoriales con las permutaciones. _________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

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Actividad: 2

53 BLOQUE 1



Conoce las características de los arreglos a formar de un conjunto de objetos.

Resuelve permutaciones mediante problemas aplicados.

Aprecia la facilidad de utilizar permutaciones en el conteo de arreglos.


docente

5. En una carrera intervienen 3 nadadores: A, B y C. ¿Cuáles son los resultados posibles de la

carrera y cuántos son? 6. ¿Cuántos números distintos de 5 dígitos, se pueden formar con los dígitos del conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8}?

5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de cada una de las palabras? a) Tema b) Campana c) Estadística


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Combinaciones. Hasta aquí, has estudiado las permutaciones para evaluar el número de arreglos de 𝑛 objetos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, en donde no se permiten las repeticiones. El orden de los elementos fue importante. Recuerda que el club formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, podía elegir a 3 directivos de:

𝑃 = 5(4)(3) = 60 formas diferentes. Por otro lado, con comités de tres miembros el orden no es importante. Los comités (𝐵𝑒𝑡𝑜, 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙, 𝐸𝑙𝑠𝑎) y (𝐸𝑙𝑠𝑎, 𝐵𝑒𝑡𝑜, 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙) no son diferentes. El número posible de comités no es el número de arreglos de tamaño 3, sino que es en realidad, el número de subconjuntos de tamaño 3 (ya que el orden de los elementos que se listan en un conjunto no tiene importancia). Los subconjuntos en este nuevo contexto se denominan combinaciones. El número de combinaciones de 𝑛 objetos tomados en grupos de 𝑘 a la vez (esto es el número de subconjuntos de tamaño 𝑘, dado un conjunto de tamaño 𝑛) se escribe 𝐶 𝑜 𝐶 , 𝑜 𝐶(𝑛, 𝑘). La lista de todos los comités de tamaño 3 (subconjuntos) del club (conjunto) formado por {Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa} es:

{𝐴, 𝐵, 𝐶}, {𝐴, 𝐵, 𝐷}, {𝐴, 𝐵, 𝐸}, {𝐴, 𝐶, 𝐷}, {𝐴, 𝐶, 𝐸}, {𝐴, 𝐷, 𝐸}, {𝐵, 𝐶, 𝐷}, {𝐵, 𝐶, 𝐸}, {𝐵, 𝐷, 𝐸}, {𝐶, 𝐷, 𝐸}.

Hay 10 subconjuntos de 3 elementos, de modo que diez es el número posible de comités de 3 miembros. Lo mismo que con las permutaciones, las repeticiones no se permiten. Por ejemplo, {𝐸, 𝐷, 𝐸} no es un subconjunto válido de tres elementos, al igual que {𝐸, 𝐸, 𝐵} no es un comité válido de tres miembros. Para ver cómo encontrar el número de tales subconjuntos sin listarlos todos, observa que cada subconjunto (combinación) de tamaño 3 da origen a seis arreglos (permutaciones) de tamaño 3. Por ejemplo, con la combinación {𝐴, 𝐷, 𝐸} se obtienen las 6 permutaciones {𝐴, 𝐷, 𝐸}, {𝐷, 𝐴, 𝐸}, {𝐸, 𝐴, 𝐷}, {𝐴, 𝐸, 𝐷}, {𝐷, 𝐸, 𝐴 }, {𝐸, 𝐷, 𝐴}. Así, hay seis veces más permutaciones de tamaño 3, o desde otro punto de vista, hay un sexto más de combinaciones que de permutaciones. Por lo tanto,

𝐶 =𝑃6

=5 ∙ 4 ∙ 3

6= 10

El 6 aparece en el denominador ya que existen seis formas diferentes de acomodar un conjunto de tres objetos (puesto que 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6). Generalizando de este ejemplo, 𝑘 objetos pueden acomodarse de 𝑘! formas diferentes, con lo que se obtiene la fórmula siguiente.

Con anterioridad viste que las permutaciones se pueden expresar completamente en términos de factoriales:

𝑃 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Empleando esta fórmula, se obtiene:

𝐶 =𝑃𝑘!

=!

( )!

𝑘!=

𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

𝐶 =𝑃𝑘! =

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)… (2)(1)

Fórmula de las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 ≤ 𝑛, está dada por:

55 BLOQUE 1

Con este resultado, las combinaciones también pueden calcularse mediante factoriales. Empleando esta fórmula y considerando el hecho de que 0! = 1, para cualquier número entero positivo 𝑛:

𝐶 =!= !

!( )!= !

∙ != !

!= 1.

Esto significa que hay exactamente una combinación de 𝑛 objetos tomados en grupos de 0 a la vez. Lo que significa que un subconjunto de 𝑛 objetos tiene exactamente un subconjunto “vacío”. Observa que en estos subconjuntos de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, se cumple que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los 𝑘 elementos son distintos. Ejemplo 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

𝐶 =10 × 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1

= 210. Utilizando factoriales queda:

𝐶 =10!

4! × (10 − 4)!=10 × 9 × 8 × 7 × 6!4 × 3 × 2 × 1 × 6!

= 210.

Ejemplo 2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Como en una combinación: No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana o Ana, Juan forman el mismo comité. No se repiten los elementos. Una persona no puede ocupar dos puestos diferentes dentro del comité.

𝐶 =35!

3! × (35 − 3)!35 × 34 × 33 × 32!3 × 2 × 1 × 32!

= 6,545.

Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números del sorteo melate? ¿Cuál es la probabilidad de ganar el sorteo? Para jugar en el sorteo melate se tienen que elegir 6 dígitos entre los números del 1 al 54. El orden de los dígitos que conforman el número elegido no importa, es decir, las posibilidades (2, 7, 18, 45, 34, 54), (34, 7, 54, 45, 2, 18), (7, 2, 34, 45, 18, 54), (2, 7, 18, 45, 34, 54), (54, 45, 18, 7, 34, 2), por mencionar algunas, son cubiertas por la sexteta (2, 7, 18, 45, 34, 54). Para dar respuesta a la primera pregunta del problema, hay que tener en cuenta en los subconjuntos a formar que: No entran todos los elementos, sólo 6 de los 54 números. No importa el orden como ya vimos anteriormente. No se repiten los elementos, es decir, no se repiten los números dentro de cada sexteta, por lo que hay:

𝐶 =54!

6! × (54 − 6)!=54 × 53 × 52 × 51 × 50 × 49 × 48!

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 48!= 25,827,165,

maneras de elegir los números en el sorteo melate.

𝐶 =𝑃𝑘! =

𝑛!𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Fórmula factorial para las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de𝑘 a la vez, donde 𝑘 ≤ 𝑛, puede calcularse como:

56


Entonces la probabilidad de 𝐴: ganar el sorteo melate, es:

𝑃(𝐴) =1

25,827,165

¿Conviene jugar al melate sabiendo que son tantas las opciones a elegir? Como has visto a lo largo de este bloque, muchos problemas de conteo comprenden la selección de algunos elementos de un conjunto dado. Las condiciones particulares del problema determinarán qué técnica específica utilizar. Como la selección de la técnica apropiada es fundamental, considera las siguientes sugerencias.

1. Si los elementos seleccionados se pueden repetir, utiliza principio fundamental de conteo.

Ejemplo: ¿Cuántos números de cinco dígitos existen? 9 × 10 × 10 × 10 × 10 = 90,000.

2. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden es importante, utiliza permutaciones.

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden formar en una fila de una taquilla tres de siete personas? 𝑃 = 7 × 6 × 5 = 210.

3. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden no es importante, utiliza combinaciones.

Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede seleccionar un comité de cuatro de un grupo de 10 personas?

𝐶 =10 × 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1

= 210.

Mediante la fórmula de combinaciones resuelvan lo siguiente:

1. Explica en qué se diferencian las permutaciones y las combinaciones.

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuántos comités diferentes de cinco miembros podrían formarse de los 100 senadores de Estados Unidos? 3. Si dos puntos cualesquiera determinan una línea, ¿cuántas líneas están determinadas por siete puntos en un

plano, en el que ningún conjunto de tres puntos es colineal? 4. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de

veinticuatro reproductores? 5. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de

tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?

Actividad: 3

57 BLOQUE 1

��

�Cierre



Conoce las características de los subconjuntos a formar de un conjunto de objetos.

Resuelve combinaciones mediante problemas aplicados.

Reconoce la facilidad de utilizar combinaciones en el conteo de subconjuntos. Expone sus dudas.


docente

Sitios Web recomendados:

Ingresa a los siguientes sitios de internet para que experimentes e interactúes los temas vistos aquí. http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/ http://miwikideaula.wikispaces.com/Applets http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=118&Itemid=158

6. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un

cargamento de veinticuatro reproductores? 7. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de

tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos? 8. ¿Cuántos triángulos están determinados por veinte puntos en el plano, en donde ningún conjunto de tres

puntos es colineal? 9. En la lotería conocida como 7 39, tú eliges siete números distintos del conjunto formado por los números

del 1 al 39, en donde el orden no tiene importancia. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacer tu elección?


http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/

http://miwikideaula.wikispaces.com/Applets

http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=118&Itemid=158

http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=118&Itemid=158

58



1. ¿Es posible evaluar 𝑃 ? Explica tu respuesta.

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

2. Considera que ciertos números de cuenta constan de dos letras seguidas por cuatro dígitos y luego tres

letras más, donde las repeticiones de letras o dígitos no se permiten dentro de cada uno de los tres grupos, pero el último grupo de letras puede contener una o ambas letras de las usadas en el primer grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que a un cuentahabiente le toque la numeración AG3645ZH? (Considera el alfabeto con 26 letras).

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? 4. ¿De cuántas formas podrían dividirse veinticinco personas en cinco grupos que comprendan,

respectivamente a tres, cuatro, cinco, seis y siete personas? 5. ¿Cuántas cartas deben sacarse (sin reposición) de una baraja de 52 cartas, para garantizar que al menos

dos de ellas sean del mismo palo? 6. Roberto, un contratista, construye casas de ocho modelos diferentes y actualmente tiene cinco lotes para

construirlas, ¿cuál es la probabilidad de que a un comprador le toque una casa en esos lotes? Suponga que se construirán cinco modelos diferentes.

Actividad: 4

59 BLOQUE 1

7. ¿De cuántas maneras puede presentarse el primero, segundo y tercer lugar en una carrera en

la que compiten seis corredores? 8. Del problema 7, ¿cuál es la probabilidad de que Ángel, uno de los competidores, llegue en cualquiera de los

tres lugares? 9. ¿Es posible evaluar 𝐶 ? Explica tu respuesta. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10. Se elegirá un comité de cuatro congresistas de un grupo de siete demócratas y tres republicanos.

Determina el número de formas de obtener cada uno de los puntos siguientes: a) Solamente dos demócratas b) Sólo cuatro demócratas c) Exclusivamente cuatro republicanos d) Dos demócratas y dos republicanos 11.De los Coyotes, un equipo joven en una liga de béisbol, forman parte siete jugadores que sólo lanzan; y doce

jugadores más que pueden jugar cualquier posición, excepto la de lanzador. Para el juego del sábado, el entrenador aún no ha determinado cuáles serán los nueve jugadores que utilizará ni qué orden de bateo tendrán, excepto que el lanzador bateará al final. ¿Cuántas órdenes de bateo diferentes puede haber?


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12. Si se lanzan 5 monedas al aire, ¿de cuántas formas diferentes podrían obtenerse tres caras?

13. Del problema 12, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan tres caras? 14. En un grupo de 10 personas se incluyen seis mujeres y cuatro hombres. Si se eligen al azar cinco personas

para que llenen un cuestionario, ¿cuántas muestras diferentes de cinco personas son posibles? 15. De entre todas las posibles muestras de las cinco personas en el problema 14, ¿cuál es la probabilidad de

seleccionar un grupo que conste exactamente de dos mujeres y tres hombres? 16. En la “Super Lotto”, un juego de lotería de California, se eligen seis números distintos de entre los números

1 a 51, con la esperanza de que la elección coincida con la lista seleccionada al azar por los funcionarios de la lotería. ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería?

17. Los números de identificación en ciertos proyectos de investigación científica constan de tres letras

seguidas de tres dígitos y luego de tres letras más. Suponga que no se permite repetición dentro de cualquiera de los tres grupos, pero las letras del primer grupo pueden aparecer en el último grupo de tres. ¿Cuál es el porcentaje de números de identificación que empiece con las letras ABC? (Considera que el alfabeto tiene 26 letras).


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Evaluación Actividad: 4 Producto. Problemas aplicados. Puntaje:


Identifica las características de las diferentes formas de agrupar objetos de un conjunto dado.

Calcula probabilidades mediante problemas de aplicación usando permutaciones y combinaciones.

Realiza la actividad mostrando interés en la misma, externando sus dudas.


docente

18. Diana siempre incluye su edad y la edad de su esposo como dos de los números en la

selección de Super Lotto. ¿De cuántas formas diferentes puede completar su lista de seis números? ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería con esta estrategia?

19. En una ciudad para ir del punto A al punto B hay 6 caminos, y de B a C hay 4 caminos. a) ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B? b) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? c) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez?

Actividad 4: (continuación)

Determina la probabilidad de eventos mediante diferentes ... · Se arroja un dado sin truco y se...

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