DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE...

DETERMINACION DE EXPONENTES

CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA

ALEACION MAGNETICA AMORFA

FeCrCuNbSiB

Ing. Físico

JUAN CARLOS HERNANDEZ PARRA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

Grupo de Magnetismo y Materiales Avanzados

Manizales (Caldas), Colombia

2015

DETERMINACION DE EXPONENTES

CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA

ALEACION MAGNETICA AMORFA

FeCrCuNbSiB

Ing. Físico

JUAN CARLOS HERNANDEZ PARRA

Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito

parcial para optar al título de:

Magister en Ciencias - Físicas

Director (a):

Ph.D. Andrés Rosales Rivera

Línea de Investigación:

Magnetismo Y Materiales Avanzados

Grupo de Investigación:


Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,


Manizales (Caldas), Colombia

2015

“La verdadera lógica de este mundo

está en el cálculo de las

probabilidades”

James Clerk Maxwell

A mis padres, a mi familia, a mis

amigos, y a todos los que contribuyeron

con este logro.

Agradecimientos

El autor quiere expresar su agradecimiento a las siguientes

personas por la contribución en el desarrollo de este trabajo:

A mi familia que me ha permitido iniciar este proyecto para

mi formación personal en las formas en que les ha sido

posible.

Al profesor Andrés Rosales que me ha iniciado en este camino

con sus ideas, las cuales hemos logrado desarrollar y que

nos han traído grandes beneficios y satisfacciones.

A la vida por permitirme conseguir los objetivos que con mi

esfuerzo he podido lograr.

A todas las personas que de una u otra forma han contribuido

para que haya podido lograr las metas propuestas

inicialmente y durante este trabajo.

IX

Resumen

La clase de universalidad del sistema de aleación amorfa

Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. con x = 0, 2, 4, 6, 8, and 10 se estudió

mediante la determinación de los exponentes críticos β y ; y la determinación de las temperaturas críticas de cada una de las

muestras por medio de sus medidas de magnetización en función

temperatura. Los valores de β muestran una dependencia cuasi-

lineal con el contenido de Cromo en las muestras, además, se

observó que el sistema cambia de universalidad pasando de un

modelo Ising (muestra con x=0), XY (muestra con x=2) terminando

finalmente en el modelo de Heisenberg (muestra con x=4). Para las

muestras con alto contenido de cromo (muestras con x=6,8 y 10), el

sistema se aleja de cualquiera de las clases de universalidad

mencionadas anteriormente. Los valores encontrados para el

exponente fueron de 3.8 y 6.1. Así mismo se analizó los posibles mecanismos que conducen a las mencionadas clases de universidad

tales como: interacción espín-orbita, anisotropías de forma,

intercambio directo e itinerante.

Palabras Clave: Transiciones de Fase, Cintas Amorfos, Exponentes

Críticos, Vidrios Metálicos

X DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA

ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB

Determination of critical exponents on

FeCrNbCuSiB amorphous ribbons

Abstract

The universality classes of Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 amorphous alloy

system with x = 0, 2, 4, 6, 8, and 10 are studied by determining

the critical exponents β and and critical temperatures from

magnetization measurements. The β value shows a quasi-linear

dependence on the Chromium content and, interestingly it goes

through values that belong to the Ising (sample with x=0), XY

(sample with x = 2) and Heisenberg (sample with x = 4) models,

respectively, before finally deviating of any of these models in

the high x region (samples with x = 6, 8 and 10). The value found varies between 3.8 and 6.1. The possible mechanisms leading

to such universality classes including the spin-orbit interaction,

shape anisotropies, direct exchange and itinerant exchange was

analyzed.

Keywords: Metallic glasses, FeCrNbCuSiB amorphous ribbons, Curie

temperature, Critical exponents, Universality class, Phase

transitions

11

Contenido Pág.

Resumen ................................................................................................................................................................ IX

Lista de figuras .................................................................................................................................................... 13

Lista de tablas...................................................................................................................................................... 14

Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................................................... 15

Introducción ........................................................................................................................................................ 16

1. Fundamento Teórico ................................................................................................................................ 18 1.1 Fenómenos Críticos ...................................... 18

1.1.1 Variables Críticas ................................. 18 1.1.2 Transiciones de Fase ............................... 18 1.1.3 Temperatura Crítica ................................ 19 1.1.4 Exponentes Críticos ................................ 19

1.2 Efecto Hall ............................................. 19 1.3 Interacción de Intercambio .............................. 19

1.3.1 Interacción Indirecta .............................. 20 1.3.2 Interacción Directa ................................ 20

1.4 Interacción Dipolar Magnética ........................... 21 1.5 Interacción Espín-Orbita ............................... 21 1.6 Formación de Dominio .................................... 21 1.7 Efecto Mössbauer ........................................ 21

2. Materiales y Método Experimental ...................................................................................................... 23 2.1 Método para determinar los Exponentes Críticos .......... 23 2.2 Algoritmo Seudocódigo para calcular los Exponentes

Críticos ..................................................... 24

3. Resultados y Discusión ............................................................................................................................ 25

4. Interpretación y Conclusiones .............................................................................................................. 37

5. El METODO ................................................................................................................................................. 39

5.1 Teoría Utilizada ...................... 39 5.2 Historia del Desarrollo ................................. 39

6. Recomendaciones ..................................................................................................................................... 42 6.1 Recomendaciones ......................................... 42

12 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA


A. Anexo: Producción bibliográfica ........................................................................................................... 43

B. Anexo: Participación en Eventos ........................................................................................................... 43

C. Anexo: Código fuente usado en el método ......................................................................................... 45

Bibliografía ........................................................................................................................................................... 48

Contenido 13

Lista de figuras Pág.

Figura 1. (a,b) Resultado experimental (símbolo) y ajustado (línea) para

la magnetización en función de temperatura en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 8 y 0 para diferentes campos. 25

Figura 2. (a) Gráfica de β como función del campo para el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 0, 4 y 8 para diferentes campos obtenidos del

ajuste individual de las Ec. 1 y 2 a los datos experimentales M(T). (b)

gráfica de la amplitud del parámetro m0 en la Ec. (1) normalizado por la

máxima magnetización Mmax obtenida en T = 300 K. 26

Figura 3. Resultado de β como función del contenido de Cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 28

Figura 4. Resultado de Taver como función del contenido de cromo en el

sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . La escala derecha corresponde al ajuste lineal

del campo Hiperfino medio en función del contenido de cromo para las

distribuciones <BHF>1 y <BHF>2 (véase el contenido principal en el texto). 31

Figura 5. Desviación Estándar de la distribución de Tc como función del

campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . Con x=0,4 y 8 obtenidas

ajustando los datos experimentales M(T) a las ecuaciones (1) y (2); la

línea corresponde al juste por mínimos cuadrados de la Ec.(3). 33

Figura 6. Gráfico Logarítmico de la diferencia CT - 0

CT como función del

campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 0

CT Fue obtenido del

resultado del ajuste en la Ec.(3). 33

Figura 7. Espectro Mössbauer con temperatura ambiente en el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x=0,2,4,6,8 y 10. Grafica derecha. Distribuciones

correspondientes a fases amorfas a “alto” campo medio (línea azul) y

bajo campo medio (línea verde). Grafica izquierda se muestran las

distribuciones. 35

Figura 8. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de los

exponentes críticos para cuando se hacía una modificación buscando el

perfeccionamiento y optimización de la ejecución del código. 39

Figura 9. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de los

exponentes en función del tiempo usado en el desarrollo. 39

Figura 10. Comparación de los exponentes calculados por Matlab y Origin.

Inset: diferencia calculada en H = 3.5(kOe). 40



Lista de tablas Pág.

Tabla1. Comparación de los exponentes críticos para el sistema de aleación

Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y los reportados para el Hierro puro de los modelos Ising,

X-Y y Heisenberg. También se incluyen las temperaturas críticas para este

sistema. 27

Tabla2 .Resultados obtenidos de los datos en las gráficas Mössbauer. 1 y 2

corresponden a los parámetros de las distribuciones amorfas. Los valores

fueron reportados. 35

Contenido 15

Lista de Símbolos y abreviaturas Esta sección se listará los símbolos usados para el desarrollo de

este trabajo.

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición

m0 Parámetro proporcional de la

magnetización

Emu/g ver Ec.1

Taver Temperatura crítica promedio

sobre cada muestra

°𝐾 ver Ec.1

Tc Temperatura Critica de la

muestra

°K Ver Ec. 1

Off

Parámetro de corrección para el

ajuste a los datos

Experimentales

Emu/g Ver Ec. 1

a Constante universal para cada

muestra

1 Ver Ec. 3

Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI Definición

βExponente Critico asociado a la

magnetización

1 Ver ec. 1

Exponente crítico asociado con

el campo magnético y la

temperatura

1 Ver ec. 3

Exponente Critico asociado a el

campo magnético y magnetización

1 Ver ec. 3

Subíndices Subíndice Término

aver Promedio

c Crítico

0 Proporcional de magnetización

Superíndices Superíndice Término

β Exponente, Característico del

material

0 Contribución Intrínseca



Introducción Las transiciones de fase ocurren en una amplia diversidad de

sistemas físicos, como lo son los materiales ferro-eléctricos,

líquidos, cristales, magnéticos, superconductores, superfluidos,

etc. [1,2,3]. Éstos se han convertido en objeto de interés general

en La Física de la Materia Condensada y en la Física Estadística.

Las transiciones de fase en el estado crítico han sido descritas

mediante diferentes métodos que incluyen el cálculo de exponentes

críticos, temperaturas críticas, hipótesis de escalamiento, y

técnicas de grupos de renormalización[2,3]. La temperatura crítica

Tc Desempeña un papel principal en la determinación de los

exponentes críticos asociados a las transiciones de fase.

Particularmente, para una transición de fase de un material

ferromagnético a uno paramagnético, la temperatura crítica ha

estado basada en los conocidos diagramas de Arrot y el método

Kouvel-Fisher [4,5]; estos métodos fueron introducidos a finales

de 1950 y a mediados de 1960, respectivamente. Dichos métodos

funcionan bien para materiales ferromagnéticos homogéneos, los

cuales pueden ser cuantificados en función de una sola temperatura

crítica TC. Sin embargo, existen dificultades cuando se quieren

aplicar estos métodos a materiales ferromagnéticos amorfos [2].

Por ejemplo, las heterogeneidades en los materiales amorfos

conducen a una variación de la Tc cambiando de esta forma el

comportamiento crítico, en algunos casos significativamente. La

Determinación de la temperatura crítica en materiales

ferromagnéticos amorfos y el conocimiento de sus efectos sobre el

comportamiento crítico que ocurre en ellos, son un notable

problema en Física de la Materia Condensada y a su vez se

convierte en un interrogante para las aplicaciones de los

materiales magnéticos. En las últimas tres décadas dos nuevas

aproximaciones para tratar este problema han sido propuestas. Una

es considerar la amorficidad del material como una distribución

Gaussiana del intercambio de interacciones [6] y otra es hacer uso

de la distribución de la temperatura crítica, que a su vez es

asociada a la heterogeneidad del sistema [7,8].

Las cintas de aleaciones de FeCuNbSiB han tenido un interés

tecnológico desde su introducción a finales de 1980 [9], debido a

su alta magnetización de saturación [10], a su alta

magnetostriccion constante [11-13], efecto Hall [14], proceso de

magnetización estructural y dominio de estructura [15-17], y

propiedades magnéticas a baja temperatura [16-18], y

comportamientos magnéticos a alta temperatura [19]. Recientes

estudios [19,20] en los que se analiza el efecto de sustituir el

átomo de Cromo por el átomo de Hierro en el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 indican que la temperatura de Curie Tca(x) en el

estado amorfo disminuye con el incremento del contenido de Cromo.

Contenido 17

Con este trabajo pretendo investigar qué cambios ocurren en el

sistema cuando es incrementando el contenido de cromo con x=

0,2,4,6,8 y 10, mediante la determinación de algunos de los

exponentes críticos a campo cero utilizando las medidas de

magnetización en función de temperatura. La presente investigación

reveló que el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 de aleación en estado

amorfo presenta los comportamientos Ising, XY y Heisenber

asociados a la magnetización con el incremento del contenido de

cromo, así como también, el cambio en la temperatura de transición

se ve afectado cuando se le incrementa el contenido de Cromo sobre

el sistema.



1. Fundamento Teórico

Más allá de ser un completo fundamento teórico, el cual está fuera

de los alcances de este trabajo, en esta sección del documento

introduciremos los principales conceptos mínimos requeridos e

involucrados para el entendimiento de la tesis. Es por tanto deber

del lector la consulta de los demás fundamentos que considere le

hagan falta para la mejor comprensión del trabajo.

1.1 Fenómenos Críticos

Las transiciones de fase donde las propiedades de los sistemas no

son analíticas cerca de un punto crítico son todos los llamados

fenómenos críticos.

1.1.1 Variables Críticas

Son todas las variables involucradas en la caracterización y

descripción de la singularidad de un determinado ensamble o

sistema cuando ocurre una transición de fase.

1.1.2 Transiciones de Fase

Las transiciones de fase son definidas como un punto en el

parámetro de espacio donde los potenciales termodinámicos pueden

ser no analíticos en el límite termodinámico, cuando se asume que

el sistema es un sistema infinito. El que sea no analítico surge

solamente en el límite termodinámico. Las transiciones que ocurren

en singularidades o abruptas son todas las transiciones de tipo

ideal. En un diagrama usual de presión vs temperatura se

encuentran los puntos críticos una para la temperatura y otro para

la presión.

Contenido 19

Fig(i). Diagrama típico de temperatura y presión del material. Igor Herbut – A modern aproach to critical phenomena pag.16

1.1.3 Temperatura Crítica

La temperatura crítica se definirá como la temperatura en la cual

el parámetro de orden, como ejemplo la magnetización en el caso de

un sistema magnético o como ejemplo la densidad en el caso de un

sistema líquido, cambia completamente sus dimensiones de forma

abrupta en este punto.

1.1.4 Exponentes Críticos

También llamados índices críticos son números constantes

universales que describen la singularidad de un sistema cuando

ocurre una transición de fase y que conformarían una constante

universal para el sistema estudiado.

1.2 Efecto Hall

Conocido efecto que ocurre cuando se aplica un voltaje en un

material en presencia de un campo magnético y que da lugar a un

voltaje conocido como voltaje Hall que es perpendicular al voltaje

aplicado.

1.3 Interacción de Intercambio

Conocido fenómeno que ocurre cuando los electrones se solapan sus

funciones de onda cuando están muy próximos y está relacionado con

la repulsión a corto alcance entre átomos o moléculas, y que

impide que la materia colapse. Este fenómeno esta descrito por la

mecánica cuántica, en esencia, es la energía de los electrones o



iones cuando estos se encuentran muy cercanos y depende de la

simetría de sus orbitales, de su distribución en el espacio, y por

tanto de la orientación relativa de sus espines, y de sus momentos

angulares intrínsecos.

Aunque existen varios tipos de interacciones de intercambio en

este documento recordaremos algunas, que consideramos pertinentes

y que se involucran en la explicación de los resultados obtenidos

en este trabajo.

1.3.1 Interacción Indirecta

También conocida como la Interacción RKKY, es un mecanismo de

acoplamiento de momento angular entre momentos magnéticos fijos a

través de electrones deslocalizados, es una manera de establecer

un canje indirecto entre núcleos alejados entre sí por una

distancia conocida y que se puede describir mediante un

Hamiltoniano específico.

𝐽(𝑟) ≈ 𝐹(2𝑘𝑓𝑟) 𝐹(𝑥) =−𝑥 cos 𝑥+ sin 𝑥

𝑥4 (i)

1.3.2 Interacción Directa

Cuando la dinámica interna de un proceso no se conoce bien, o

cuando es demasiado compleja como para tratarla explícitamente, es

muy habitual el uso de hamiltonianos de modelos aproximados, que

se basan en una mecánica ficticia y simplificada para, reproducir

los valores de interés. Entre estos modelos tenemos: el

hamiltoniano para el modelo Ising, Heisenberg y Modelo XY.

�̂� = − ∑ 𝐽𝑖𝑗𝑠𝑖 𝑠𝑗 − 𝐵 ∑ 𝑠𝑖𝑁𝑖

𝑁𝑖,𝑗 (ii)

𝑠𝑖= valor espín en el i-ésimo sitio en la red. 𝑠𝑗: j-ésimo sitio

del vecino más próximo con el que se interactúa. 𝐽𝑖𝑗 Constante de

intercambio entre i-ésimo sitio con j-ésimo vecino. 𝐵= cantidad proporcional a la intensidad del campo Magnético del i-ésimo

sitio.

Tomando s como un vector para el modelo de Ising: s = s[si],

solamente posee una sola componente. Para el modelo XY s posee dos

componentes y sus posibles combinaciones: s = s[sx , sy]; y para el

modelo Heisenberg s posee tres componentes y sus posibles

combinaciones s= s[sx sy sz].

Contenido 21

1.4 Interacción Dipolar Magnética

Una de las interacciones que puede desempeñar un papel importante

en las interacciones de largo alcance es la interacción dipolar

magnética. Ésta se presenta cuando tenemos dos momentos de dipolo

magnético 𝝁𝟏 y 𝝁𝟐 separados por una distancia r donde tenemos

que la energía será igual a:

𝑬 =𝝁𝟎

𝟒𝝅𝒓𝟑[𝝁𝟏 ∙ 𝝁𝟐 −

𝟑

𝒓𝟐(𝝁𝟏 ∙ 𝒓)(𝝁𝟏𝟐 ∙ 𝒓)] (iii)

1.5 Interacción Espín-Orbita

Es la interacción magnética (cuántica) entre un momento magnético

de espín y un momento magnético orbital. Uno de los efectos que

tiene es diferenciar la energía de los estados internos del átomo,

por ejemplo de espín alineado o anti alineado con el movimiento

orbital, que de otra forma serían idénticos en energía. Esta

interacción es responsable de muchos detalles de la estructura

atómica. La interacción espín-órbita así considerada está

directamente relacionada con el desdoblamiento a campo nulo y con

el factor g de Landé.

1.6 Formación de Dominio

La formación de dominios en los materiales, aunque tiene un costo

energético, está asociada principalmente con el ahorro de energía

asociada a los campos dipolares, ya que 𝛁 ∙ 𝐇 = −𝛁 ∙ 𝐌, luego siempre

que M se detiene o se inicia, el campo magnético diverge y esto

produce campos desmagnetizantes que llenan este vacío y que tiene

un costo energético por metro cúbico de 𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎⁄ .

1.7 Efecto Mössbauer

El efecto ocurre cuando los rayos gamma son producto de

transiciones nucleares: entre un estado inestable de alta energía,

a un estado de menor energía. La energía del rayo gamma emitido

corresponde a la energía de la transición nuclear, menos la

cantidad de energía que se pierde en el retroceso (o

desplazamiento) del átomo que la emite. Si la "energía de



retroceso" que se pierde es pequeña comparada con el ancho de la

energía de la transición nuclear, entonces la energía del rayo

gamma todavía se corresponde con la energía de la transición

nuclear, y el rayo gamma puede ser absorbido por un segundo átomo

del mismo tipo que el primero.

De esta forma es posible obtener información acerca de la energía

de las interacciones magnéticas o de otro tipo que resultan cuando

se hace incidir un rayo sobre la muestra a estudiar y

posteriormente se recolecta la información en un espectro para su

análisis.

Contenido 23

2. Materiales y Método Experimental

Las muestras bajo estudio fueron cintas preparadas amorfas

(aproximadamente 30 µm de espesor) de Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x=

0,2,4,6,8 y 10 crecidas por la técnica del melt spinning. El

estado amorfo de cada muestra fue corroborado mediante difracción

de rayos X (XRD) usando un difractómetro Rigaku Miniflex II con

una radiación CuKα (λ= 1.5405 A°) en un rango entre 20° y 100°

(20º ≤2ϴ ≤ 100º) y pasos de 0.02 s^-1. La magnetización como

función de la temperatura de cada muestra fue obtenida mediante un

magnetómetro de muestra vibrante (VSM- VersaLab by Quantum Desing)

fijando campos magnéticos externos (H). H fue aplicado paralelo a

la dirección longitudinal de las cintas en un rango de 20 Oe – 10

kOe. El rango usado de temperatura para la medición fue de 300 –

950K, abarcando de esta forma un rango de temperaturas más amplio

que el ancho de la distribución de las temperaturas propuesto por

el modelo dentro de cada muestra. Los Datos fueron obtenidos en

pasos consecutivos de temperatura con una precisión de ± 2 mK.

Adicionalmente se realizó una espectroscopia Mössbauer a

temperatura ambiente mediante un sistema MOSSDAQ[21]. La fuente

radiactiva usada fue 𝐶𝑜57 en una matriz Rh con 5 mCi. El análisis

espectral fue realizado con el software NORMOS.

2.1 Método para determinar los Exponentes Críticos

Para determinar los exponentes críticos β, y la temperatura

crítica TC de los materiales estudiados empleamos el método

introducido por las referencias [7, 8]. Este método está basado en

la teoría de superposición lineal. La principal suposición en este

método es que la magnetización como función de la temperatura

puede ser descrita como una distribución en una ley de potencias

centradas en la temperatura critica TC.

CCCT

C

C dTTTTT

TTmTM

C

0

(1)

Donde 0m es un factor proporcional a la magnetización de

saturación, β es el exponente crítico asociado a la magnetización

espontanea. θ(x) es la conocida función Heaviside, la cual

garantiza que valores de magnetización por encima de la

temperatura critica sean anulados (M=0, T > TC). Además, ρ(TC)

es considerado una función específica de distribución para cada

muestra en donde se asume que dicha función es una función

Gaussiana de la forma:



2

2

2

1exp

2

1,,

C

averC

C

CaverCT

TT

TTTT

(2)

Donde Taver es considerada como la temperatura de Curie promediada

sobre la muestra y TC es la desviación estándar de la

distribución de TC. Otro modelo importante asumido es, considerar

la variación de la temperatura crítica en función del campo, bajo

la suposición del siguiente modelo:

1

0 aHTHT CC (3)

Donde a es una constante no universal dependiente de la muestra y

= · donde es el exponente crítico isotérmico dado en la relación M(TC, H) ~ H1/. En la expresión (3), el primer término representa la contribución magnética intrínseca del material, que

es independiente del campo, y que está asociado a la variación de

temperatura crítica; lo cual es atribuido a las heterogeneidades

presentes en el material. El segundo término representa el

comportamiento del campo magnético cerca de la transición de fase.

Sintetizando se ha encontrado ref. [7, 8, 22] que este método

permite obtener verdaderos valores de los exponentes críticos

tanto β como y determinar la desviación estándar TC de la

distribución de la temperatura crítica TC de materiales

ferromagnéticos heterogéneos mediante la combinación de diferentes

parámetros ajustables: m0, β, TaverTC.

2.2 Algoritmo Seudocódigo para calcular los Exponentes Críticos

Se debe primero ingresar los valores experimentales en forma

apropiada para el programa que vaya a ser usado en el

regresión no lineal de la Ec.(1).

Se debe crear la o las funciones necesarias que representen

completamente la dinámica de la Ec. (1) y Ec.(3).

Se deben indexar los parámetros iniciales para la búsqueda

de los mejores parámetros finales que mejor ajusten la Ec.

(1) a los datos Experimentales.

Se grafican los datos experimentales con los valores

encontrados y se extraen todos los parámetros del ajuste.

Contenido 25

3. Resultados y Discusión

Ajustando las ecuaciones (1), (2) y (3) a los datos experimentales

de magnetización en función de temperatura M(T) para diferentes

campos, se obtuvieron los parámetros m0, β, Taver,TC y . Los resultados experimentales y numéricos de la magnetización como función de la

temperatura en las muestras con x= 0 y x=8 son presentados en las

figuras 1(a) y (b), respectivamente. El ajuste obtenido de los

respectivos métodos numéricos a los datos experimentales resulta

de tal precisión que su parámetro estadístico, que mide la calidad

del ajuste (R-square), es de un valor de 0.99 como mínimo para

cada una de las muestras. Como se aprecia es claro que cuando la

temperatura incrementa, la magnetización disminuye a cero a través

de una pequeña curvatura en una temperatura crítica no está

definida (un rango de temperaturas); temperaturas en la cual el

sistema presenta una transición de fase ferromagnética –

paramagnética, y es aquí donde nos hemos enfocado en determinar

los exponentes críticos β y asociados con esta transición.

Figura 1. (a,b) Resultado experimental (símbolo) y ajustado

(línea) para la magnetización en función de temperatura en el

sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 8 y 0 para diferentes campos.

Temperatura (K)



Figura 2. (a) Gráfica de β como función del campo

magnético para el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 0, 4 y 8 para diferentes campos obtenidos del ajuste

individual de las Ec. 1 y 2 a los datos experimentales

M(T). (b) gráfica de la amplitud del parámetro m0 en

la Ec.(1) normalizado por la máxima magnetización Mmax

obtenida en T = 300 K.

Campo Magnético (kOe)

Contenido 27

Tabla 1. Comparación de los exponentes críticos para el sistema de aleación

Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y los reportados para el Hierro puro de los modelos Ising, X-Y y

Heisenberg. También se incluyen las temperaturas críticas para este sistema.

Material = · Taver

(K) Refs. Fe

73.5Cu

1Nb

3Si

13.5B

9 0.337 0.010 2.062

0.363

6.12 0.27

613.76 21.50

Aquí

Fe71.5

Cr2Cu

1Nb

3Si

13.5B

9 0.352 0.005 1.967

0.219

5.59 0.01

567.82 22.90

Aquí

Fe69.5

Cr4Cu

1Nb

3Si

13.5B

9 0.365 0.005 1.550

0.533

4.25 0.44 543.48 22.70

Aquí

Fe67.5

Cr6Cu

1Nb

3Si

13.5B

9 0.388 0.005 1.481

0.267

3.82 0.10

500.27 25.36

Aquí

Fe65.5

Cr8Cu

1Nb

3Si

13.5B

9 0.401 0.003 1.836

0.270

4.58 0.13

460.71 24.60

Aquí

Fe63.5

Cr10

Cu1Nb

3Si

13.5B

9 0.423 0.052 1.932

0.454

4.57 0.40

388.95 26.46

Aquí

Fe 0.33 0.015 4.22 0.1 23 0.363 ± 0.004 4.66 0.15

a 1045.86 0.02

24

0.389 ± 0.005 4.35 0.05 1044 0.20 25 3-d Ising 0.32648

0.00018

4.82 0.01a

26

0.3258

0.0014 27

3-d X-Y 0.345 28 3-d Heisenberg 0.3645

0.0025 4.80 0.04

a 29

a Valores obtenidos de la relación de las leyes de escala δ = 1 + /β

Los resultados obtenidos para β y m0/Mmax como función del campo magnético en las muestras con x=0, x=4, y x=8, se muestran en las

figuras 2(a) y 2(b), respectivamente; donde Mmax será la máxima

magnetización usada en todo el rango del ajuste. Todas las curvas

exhiben una tendencia similar. Cuanto más se incrementa el campo,

los valores de β y m0/Mmax,, muestran al inicio una notable

dependencia con el campo hasta cierto valor Hlow (aproximadamente

hasta 800 Oe en cada muestra). Por encima de este valor, esta

dependencia resulta muy pequeña obteniendo un valor cuasi -

constante de β y δ como función del campo. Este comportamiento para altos campos resulta consistente, dentro de la precisión

limitada experimentalmente con las suposiciones teóricas

involucradas en el desarrollo de las ecuaciones (1) y (2) en las



cuales, para β y m0/Mmax no presentan dependencia con el campo. Por otra parte, este resultado no serviría para campos bajos ya que

este comportamiento difiere de estas suposiciones. Este

comportamiento puede ser asociado al hecho en el cual cuando un

material magnético está en presencia de un campo magnético bajo,

no todos los dominios están completamente alineados con el campo.

Como fue primero señalado por Kouvel [4] y posteriormente

corroborado por Aharony [6] donde una condición esencial para

determinar los exponentes críticos en materiales ferromagnéticos

es que todos sus dominios están alineados con el campo aplicado.

Esta condición también es experimentada por nuestras muestras,

debido su naturaleza de muestras amorfas, ya que a campos bajos

los valores de magnetización que existe en la muestra localmente

no implican que estén totalmente influenciados por el campo

aplicado. De acuerdo con esto, los valores de β que hemos

determinado han sido mediante la extrapolación hacia campo cero

de curvas β vs H en las regiones de campo alto (H > Hlow). Los

valores de β obtenidos de esta forma son presentados en la tabla (1) al igual que los valores de = · obtenidos usando la Eq.(3). Los valores para Hierro puro también se anexan para su

comparación.

El efecto del contenido de cromo en las cintas se percibe en el

cambio notable sobre los valores del exponente crítico como se

aprecia en la figura (3).

Los valores de β exhiben una dependencia casi lineal con el

contenido de Cromo, e interesantemente, estos valores pertenecen

a los valores de los modelos de Ising (muestra con x=0), XY

(muestra con x=2) y Heisenberg (muestra con x=4); y para las

muestras con alto contenido de cromo (muestras con x=6,8, y 10),

estas muestras se alejan de las clases de universalidad

mencionadas anteriormente. Los valores encontrados para el

exponente fueron de 3.8 y 6.12, indicándonos que están en el rango de valores determinados experimentalmente (3-6) ref. [1].

Contenido 29

Figura 3. Resultado de β como función del contenido de cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 .

Los resultados de β para x=0 son principalmente comparables al modelo de Ising obtenidos teóricamente (0.32648 ± 0.00018) [26],

mediante simulaciones Montecarlo (0.3258 ± 0.0014) [27], y a los

reportados para el hierro (0.33 ± 0.015) [23]; mientras tanto

para las muestras con x=2, dichos valores de β, son muy cercanos con los valores calculados teóricamente (de 0.345) para el modelo

3-d XY [28]. También se obtuvo valores de 0.3645 ± 0.0025 [29]

para la muestra x=4, asociados al modelo 3-d Heisenberg. En el

caso de x=4, el valor también es comparable con el calculado

experimentalmente por N. Stüsser para el Fe (0.363 ± 0.004) ref.

[24]. Al igual que los resultados de β con x=6 y x=8 con los valores de Fe( 0.389 ± 0.005), pero difieren significativamente

con los valores teóricos del modelo 3-d Heisenberg isotrópicos de

próximos vecinos. Ref. [29]. Los resultados para β con x=10 se alejan ampliamente de cualquiera de las universalidad de clases

mencionadas anteriormente. De los resultados obtenidos se concluye

que el sistema de aleación amorfa Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 posee varias

clases de universalidad y que estas cambian cuando se incrementa

el contenido de cromo sobre la muestra. Esto nos ha llevado a

pensar que existen varias interacciones magnéticas presentes en

las cintas pero que aún no es muy claro cuál y como las

interacciones cambian la clase de universalidad.

Primero introduciremos algunos hechos que pueden ser asociados y

nos pueden brindar un entendimiento a este comportamiento del

Contenido Cr (%)



sistema de aleación estudiada. En materiales blandos magnéticos

amorfos, la anisotropía varia aleatoriamente de un sitio a otro,

tal como aparece en el modelo conocido como modelo anisotrópico

aleatorio (random anisotropy model) y que se ha tenido en cuenta

[10]. Por otra parte, es conocido que el Hierro posee anisotropía

de ion único (single-ion anisotropy) [30] y exhibe efecto Hall

[31]. Otro hecho es el de la interacción espín – orbita y la

presencia de momentos magnéticos localizados que desempeña un

importante papel en el surgimiento del efecto Hall extraordinario

en materiales magnéticos. Además, normalmente se ha considerado

que el Hierro posee comportamiento magnético cuasi – localizado

[1], mientras que el cromo es un ejemplo de un metal de transición

con un notable carácter magnético itinerante. De esta forma,

anticipamos aquí que los recientes experimentos de efecto Hall

[14] en las mismas muestras usadas en este trabajo, indican la

presencia de efecto Hall extraordinario. Basándonos en los

anteriores hechos podemos considerar que la interacción espín –

orbita está presente en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y que ésta

interacción junto con la anisotropía de ion único o interacciones

con anisotropías de intercambio, incluyendo interacciones cuasi

dipolo o una combinación de ambas, pudieran dar el comportamiento

crítico de naturaleza Ising de la muestra con x=0. La anisotropía

magnética puede también estar relacionada con la anisotropía

magneto – elástica y anisotropías de forma provenientes de la

microestructura, inhomogeneidad, geometría y rugosidad de la

superficie de las cintas. También se puede decir que la forma

anisotrópica puede ser de importancia en este caso ya que las

cintas poseen un espesor pequeño comparado con las dimensiones

lineales (cada cinta tiene dimensión de 4mm de largo con 2mm de

ancho y 30µm de espesor).

Por otra parte, los cambios en los alrededores, y el cambio local

de los átomos de hierro en las distancias interatómicas debido a

la sustitución de átomos de hierro por átomos de cromo, causan un

debilitamiento de la fuerza total de intercambio(que incluyen

interacciones espín – orbita, posible activación de interacciones

isotrópicas como intercambio directo e intercambio itinerante

(Interacción RKKY, JRKKY ∞ COS(2KFr/r 3))), la cual comienza a dominar

sobre las interacciones mencionadas, proporcionando así, la

naturaleza Heisenberg del comportamiento crítico de la muestra con

x=4. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones sin embargo,

el intercambio directo es improbable en Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 ya que

éste es débil y puede no ser suficiente la superposición directa

entre los átomos magnéticos más cercanos. En cambio, La

Contenido 31

interacción RKKY puede ser lo suficientemente amplia e isotrópica y

convertirse en un mecanismo importante en la muestra con x=4

debido a que pudieron ocurrir cambios en las distancias

interatómicas como se explicó anteriormente. Este hecho puede ser

explicado por el comportamiento decreciente de los valores del

campo hiperfino medio para los átomos de Fe en el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9, como se observa en espectroscopia Mössbauer sobre

este sistema(ver figura 7). Por otra parte, un balance entre las

interacciones isotrópicas y anisotropicas pudieran dar la

naturaleza 3-d XY al comportamiento crítico para la muestra x=2,

donde esta muestra puede ser un buen ejemplo de un material

magnético que pertenece al modelo 3-d XY, para el cual muy pocos

materiales magnéticos son conocidos. Además, el incremento del

contenido de cromo por encima de x=4, nos produce un fuerte

carácter itinerante del sistema desviando el comportamiento del

sistema de los modelos XY, Heisenberg, e Ising, como ocurren en

las muestras para x= 6, 8, 10. En este caso, el magnetismo del

sistema pudiera principalmente provenir de la itinenrancia en los

electrones cercanos a la superficie de Fermi. Esta interpretación

concuerda con los recientes resultados de los experimentos de

efecto Hall [14], realizados en la misma muestra de Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 en el cual, se encuentra que la contribución del

efecto Hall extraordinario disminuye con el incremento del

contenido de cromo sobre la muestra y que el signo del coeficiente

Hall es positivo en este caso. Es importante recordar que aunque

se han determinado los valores de β y y que esto, no es

suficiente para caracterizar las clases de universalidad de la

muestra. Otro exponente crítico en campo cero es la

susceptibilidad a temperatura constante que nos permitiría

caracterizar más a fondo este sistema pero que aquí no se calcula.

Analizando la discusión mencionada, es importante obtener

información acerca de los parámetros del sistema estudiado. Para

esto, determinamos la temperatura de Curie promediada sobre cada

muestra Taver, ya que la temperatura de Curie está relacionada con

la fuerza de las interacciones de intercambio entre los átomos

magnéticos ya sea para materiales cristalinos o amorfos. Como se

explicó anteriormente Taver y c son parámetros que pueden ser

determinados mediante el ajuste de las Ec. (1) y (2) a los datos

experimentales para cada cinta extrayendo las curvas M(T). Los

resultados para Taver en función del contenido de Cromo se muestran

en la figura (4) y también están incluidos en la Tabla 1. En

general los valores encontrados de Taver para el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 concuerdan con los reportados en la literatura para



el Fe (dentro del error experimental) teniendo en cuenta que esta

aleación es un material metaestable[9].

Figura 4. Resultado de Taver como función del contenido de cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . La escala derecha corresponde

al ajuste lineal del campo medio Hiperfino en función del

contenido de cromo para las distribuciones <BHF>1 y <BHF>2

(véase el contenido principal en el texto).

El decrecimiento de Taver refleja el debilitamiento de la

interacción total de intercambio (incluido la interacción espin-

orbita) con el incremento del contenido de Cromo como se explicó

anteriormente. Este debilitamiento puede interpretarse como el de

la fuerza de interacción entre los momentos de Fe JFe-Fe, y la

aparición de otras interacciones de intercambio entre los momentos

de Fe y los momentos de Cr JFe-Cr; y entre los momentos solo de

Cromo JCr-Cr. Esta interpretación coincide también con los recientes

estudios [32] de la influencia del orden de corto alcance sobre el

magnetismo de las aleaciones Fe-Cr (hecho mediante simulaciones de

estructuras cuasi – aleatorias especiales de Zunger y simulaciones

Montecarlo), las cuales, indican que las energías de intercambio

magnético muestran una dependencia con el contenido de los átomos

magnéticos y la interacción JFe-Fe domina sobre las interacciones

JFe-Cr y JCr-Cr. En este caso las interacciones JFe-Fe son

ferromagnéticas mientras las interacciones JFe-Cr y JCr -Cr son

antiferromagnéticas, tal como en los vidrios de espín que están

asociados con las competencias de interacciones y que se pueden

esperar para las muestras con un alto contenido de Cromo. Estos

hechos pueden también explicar las desviaciones de la clase de

universalidad que son objeto de estudio todavía en el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para las muestras con mayor contenido de cromo.

Como se menciona anteriormente la Eq.(3) involucra una

contribución de la inhomogeneidad de la muestra y una contribución

Contenido Cr (%)

Contenido 33

del campo magnético con la variación en la Tc, luego mediante esta

ecuación es posible determinar c0 y . El comportamiento de c

como función del campo magnético para las muestras x=0,4y8 se

muestran en la fig. 5. Cuanto más se incrementa el campo la

variación c se vuelve mayor, hecho esperado debido al efecto del

campo en la transición de fase. En todas las muestras c0 resulta

siendo una fracción del 5% de la temperatura de Curie, Taver,

siendo proporcional a su naturaleza amorfa de la muestra.

Adicionalmente, verificamos la validez de la suposición de la ley

de potencias en la Eq.(3). Usando una gráfica en escalas

logarítmicas de c - c0 como función del campo (ver figura 6),

donde se nota que los datos pertenecen a una línea recta, dentro

de un error experimental para campos superiores a Hmin(superior a

800 Oe para cada muestra), mostrando así, que nuestra suposición

de la ley de potencias es válida para todas las muestras.

Figura 5. Desviación Estándar de la distribución de Tc como

función del campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 .

Con x=0,4 y 8 obtenidas ajustando los datos experimentales

M(T) a las ecuaciones (1) y (2); la línea corresponde al

juste por mínimos cuadrados de la Ec.(3).




Figura 6. Grafico Logarítmico de la diferencia CT - 0

CT

como función del campo magnético en el sistema

Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 0

CT Fue obtenido del resultado del ajuste

en la Ec.(3).

En la figura 7 se muestran los espectros Mössbauer para todas las

muestras y sus correspondientes ajustes. Se ha usado para el

ajuste un modelo con dos distribuciones correspondientes a sondas 57Fe en fase amorfa. Los dos diferentes ambientes para los átomos

de Fe pueden ser atribuidos, a la separación de fase observada en

vidrios metálicos basados en hierro, durante el rápido proceso de

solidificación [33]. La Tabla 2 contiene los parámetros hiperfinos

y proporción relativa involucrada en nuestros ajustes. Como el

contenido de Cromo incrementa se observa una disminución gradual

en el campo hiperfino medio y un incremento en el contenido de la

fase cristalina junto con una variación de las proporciones

relativas para ambas distribuciones amorfas. Los correspondientes

ajustes lineales para el campo hiperfino medio como función del

contenido de cromo para ambas distribuciones se muestran en la

figura 4 (escala a la derecha).


Contenido 35

Tabla 2 .Resultados obtenidos de los datos en las gráficas Mössbauer. 1 y 2

corresponden a los parámetros de las distribuciones amorfas. Los valores fueron

reportados.

Material <BHF

>1 (T)

< d >1

(mm/s) at.%

probe

<BHF

>2

(T)

< d >2

(mm/s)

at.%

probe

< d >3

(mm/s)

at.%

probe

x = 0 20.4 0.09 65.5 11.9 0.08 33.7 0.06 0.6

x = 2 19.6 0.08 63.0 11.3 0.07 36.4 0.06 0.7

x = 4 19.2 0.08 45.8 10.8 0.07 53.0 0.07 1.2

x = 6 18.6 0.08 41.2 10.2 0.07 57.3 0.07 1.5

x = 8 17.7 0.09 35.7 9.5 0.04 61.1 0.06 3.2

x = 10 17 0.08 21.3 10.3 0.05 74.8 0.04 3.9



Figura 7. Espectro Mösbauer a temperatura ambiente en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9

con x=0,2,4,6,8 y 10. Grafica derecha. Distribuciones correspondientes a fases

amorfas a alto campo medio (línea azul) y bajo campo medio (línea verde).

Grafica izquierda se muestran las distribuciones de las composiciones de los

átomos.

Contenido 37

4. Interpretación y Conclusiones

Mediante el uso de medidas de magnetización y en conjunto con un

método propuesto se pueden extraer verdaderos valores de

exponentes críticos (β,δ) y determinar la desviación estándar de

la distribución c de la Tc para materiales ferromagnéticos

heterogéneos y además hemos presentado varias características del

comportamiento magnético del sistema de aleación amorfa

Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para 0≤x≤10. Se ha encontrado también que el

sistema de aleación anterior puede pertenecer a la clase de

universalidad de los modelos magnéticos Ising, XY, y Heisenberg y

que muestran un desplazamiento del comportamiento pasando del

modelo Ising a XY y a Heisenberg. Este desplazamiento es debido a

la competencia entre interacciones anisotrópicas e isotrópicas

introducidas por la presencia del átomo de Cromo. Este sistema

muestra también un alejamiento del comportamiento crítico de las

clases de universalidad para muestras con alto contenido de Cromo.

Este hecho indica que los cambios en la clase de universalidad de

sistema de aleación amorfa Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 esta acompañado, en

cierta forma, por la naturaleza magnética de los átomos de Hierro

y Cromo. De esta forma parece razonable pensar que la presencia

del Cromo puede introducir interacciones de largo alcance debido a

la naturaleza itinerante de sus electrones magnéticos los cuales

pueden explicar el desplazamiento de los comportamientos

magnéticos desde Ising hacia XY y Heisenberg; asi como también, al

alejamiento de estos modelos para las muestras con mayor contenido

de cromo. De hecho cualquier itinerancia (en este caso debida

principalmente a el átomo de Cromo) así fuese débil, introduciría

a amplias desviaciones de las clases de universalidades discutidas

anteriormente. Todos estos hechos sugieren que el magnetismo de

este sistema de aleación proviene de los momentos cuasi-

localizados de los electrones itinerantes cerca de las superficies

de fermi tanto para bajo contenido de cromo (0≤x≤4) como para alto

contenido de cromo (x>4). Esta interpretación es acompañada por

los resultados del signo positivo en las medidas de efecto Hall y

la disminución del efecto Hall extraordinario con el incremento

del contenido de cromo sobre la muestra bajo estudio. Los

resultados de magnetización y Mösbauer indican que el sistema Fe73.5-

xCrxCu1Nb3Si13.5B9 ostenta un arreglo ferromagnético predominante a

temperaturas ambiente exceptuando a la muestra con x=10. Este

hecho en conjunto con los altos valores de β hacen incierta la transición ferromagnética – paramagnética para la muestra con



x=10. Este comportamiento puede ser asociado con las interacciones

RKKY, que pudieran ser, ferromagnéticas o antiferromagneticas,

dependiendo de las distancias entre los momentos magnéticos. Luego

de esto, diferentes órdenes magnéticos tales como vidrios de espin

y cluster de espín, asociados con la competencia de interacciones,

se esperarían estén presentes en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para

altos contenidos de cromo.

En conclusión, el átomo de cromo desempeña un papel central en el

comportamiento magnético del sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. Como el

contenido de cromo haya sido incrementado, habrá también un

incremento en el carácter itinerante del sistema y un incremento

en el valor del exponente crítico β; a su vez, se esperará una disminución de la temperatura crítica y del valor de campo

Hiperfino medio como se observó anteriormente en la figura 7.

Para cuando el sistema presenta un bajo contenido de Cromo el

comportamiento de estos vidrios metálicos parece ser más

consistente con modelos de momentos localizados; mientras para

cuando la muestra presenta un alto contenido de cromo, la muestra

pudiera ser explicada mediante modelos de electrón itinerante.

Entender el cruzamiento de este sistema cuando pasa por los

comportamientos Ising, XY y Heisenberg ha sido interesante y un

tema poco explorado. Esperamos que este trabajo pueda incentivar

el estudio del comportamiento crítico magnético de los vidrios

metálicos el cual es poco conocido y poco explorado.

Contenido 39

5. El METODO

5.1 Teoría Utilizada

El método usa la teoría de métodos numéricos para regresiones no

lineales por medio del método de mínimos cuadrados; donde el

principal objetivos es el de encontrar la menor diferencia entre

la curva analítica y la curva experimental.

𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝛽) 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖, 𝛽) 𝑆 = ∑ 𝑟2

Donde 𝑓(𝑥, 𝛽)= la curva teórica generada según los parámetros

𝛽(parámetros del ajuste)

𝑦𝑖 = M(T)= magnetización experimental obtenida por el equipo

S = residuo de restar mínimos cuadrados ambas curvas (teórica -

experimental).

5.2 Historia del Desarrollo

El método se empezó a desarrollar primero con las funciones

básicas de programación como lo son ciclos “for” y con las

secuencias condicionales “If” desarrolladas todas las

instrucciones en el lenguaje de programación Matlab.

Posteriormente se fueron optimizando ciclos redundantes que

después de un análisis detallado concluimos que alargaba el

tiempo de ejecución del programa y que de esta manera podíamos

optimizarlo cada vez más. Finalmente luego de varias pruebas y

ensayos encontramos la forma más óptima para la ejecución del

código que nos arrojara unos datos confiables y reproducibles. La

evolución del código generado se muestra en la siguiente gráfica:



0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tie

mp

o S

olu

cio

n (

ho

ras)

Version Codigo

Figura 8. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de

los exponentes en función de la versión del código.

10 8 6 4 2 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tie

mp

o S

olu

cio

n (

ho

ras)

Tiempo (Semanas)

Figura 9. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de

los exponentes en función del tiempo usado en el desarrollo.

Además del tiempo usado en la ejecución del algoritmo la gráfica

número 9 se aprecia el tiempo utilizado para la optimización y las

diferentes comparaciones que se le realizaron al código para su

versión final. Esta grafica demuestra lo difícil que era en un

inicio el cálculo de los exponentes debido al tiempo que se

tardaba para la ejecución del cálculo, lo cual se fue

gradualmente mejorando hasta obtener casi siempre los mismos

tiempos mínimos en la ejecución del algoritmo.

En el software “matlab” se usaron las siguientes librerías que

permiten realizar una regresión no-lineal mediante el método de

mínimos cuadrados (funciones “nlinfit” y “Nolinearmodel.fit”).

Contenido 41

Después se crearon las funciones que me representaban

perfectamente la dinámica de la ecuación (1) y de la ecuación (3).

Una vez conocidas la dinámica de las ecuaciones involucradas en el

desarrollo de la metodología para la obtención de los exponentes

críticos, se procedió también de igual manera, para obtener los

resultados en otros diferentes softwares, entre ellos esta:

Comsol(Software de análisis Elementos Finitos y desarrollo de

ecuaciones en general), Origin (Software principalmente

tratamiento de datos y gráficos, donde también se incluye la

posibilidad de programación en su propio lenguaje.). Los

resultados obtenidos en los diferentes programas se incluyen en la

siguiente gráfica:

0 1 2 3 4 5 6 7 80,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Matlab

Origin

H(kOe)

3,496 3,498 3,500 3,502 3,504

0,38533

0,38544

0,38555

Figura 10. Comparación de los exponentes calculados por Matlab

y Origin. Inset: diferencia calculada en H = 3.5(kOe).

Como se puede apreciar en el inset de la figura 10, la diferencia

en los exponentes calculados desde los dos diferentes programas es

del orden de 10-5 lo que nos indica la precisión en ambos programas

para calcular los mismos exponentes y su poca variación que no

incide con la exactitud de los resultados que finalmente se

usaron; con esto se podía optar por cualquiera de los programas

mencionados para efectuar el cálculo.



6. Recomendaciones

6.1 Recomendaciones

Como todo método experimental es de gran importancia fijar bien

los parámetros iniciales en la búsqueda de los parámetros finales,

ya que el ingreso de parámetros demasiado desviados de los

esperados provocará unos resultados erróneos que no corresponde

con los valores esperados o apropiados.

Sin importar el programa que se use en el ajuste, los valores

siempre deberán tener la misma tendencia variando a partir del

orden de 10-5 para que se conviertan en resultados aceptables,

repetibles y confiables.

La rigidez del ajuste se puede variar tanto como se quiera pero se

encontró que existe un punto donde a mayor rigidez no se obtienen

valores más precisos ni cambios significativos.

Ser rigurosos con la metodología utilizada para el cálculo

propuesto, el no hacerlo puede conllevar a errores en el cálculo y

en el momento de la interpretación del resultado obtenido.

Contenido 43

A. Anexo: Producción bibliográfica

El siguiente artículo titulado “Influence of Chromium on the

Critical Exponents in the FeCrCuNbSiB Metallic Glass” se realizó

durante el desarrollo de la tesis, encuentra en revisión para su

publicación. Journal of Magnetism and Magnetic Materials.

B. Anexo: Participación en Eventos

Este trabajo ha sido presentado en los siguientes eventos:

“21st International Symposium on Metastable, Amorphous and

Nanostructured Materials - ISMANAM 2014” Determination of Critical

Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Cancún, México

“2da Escuela Internacional de Física Estadística

Noviembre 2014, Bogotá, Colombia” Ising and Heisenberg Model

Critical Behavior in an Amorphous Soft Magnetic Alloy System:

FeCrCuNbSiB, Bogotá, Colombia



“20th International Conference on Magnetism - ICM 2015”

Determination of Critical Exponents in a Metallic Glass:

FeCrCuNbSiB, Barcelona, España.

“XXIV IMRC – 2015 IN CANCUN, MEXICO- IMRC 2015” Determination of

Critical Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Cancún,

Mexico.

“XXVI CONGRESO NACIONAL DE FÍSICA COLOMBIANO 2015 ” Determination

of Critical Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Manizales,

Colombia.

Este trabajo ha contribuido con la presentación de los siguientes

trabajos:

“21st International Symposium on Metastable, Amorphous and

Nanostructured Materials - ISMANAM 2014” TH.C-P128 - Critical

Exponents and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic

Glasses, Cancún, México.

“XXIV IMRC – 2015 IN CANCUN, MEXICO- IMRC 2015” Critical Exponents

and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic Glasses,

Cancún, México.

“20th International Conference on Magnetism - ICM 2015” Critical

Exponents and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic

Glasses, Barcelona, España.

Contenido 45

C. Anexo: Código fuente usado en el método

Coodigo usado para la ajustar la ec.(1)

General Information]

Function Name = ajuste2

Brief Description =

Function Source = N/A

Number Of Parameters = 5

Function Type = User-Defined

Function Form = Expression

Path =

Number Of Independent Variables = 1

Number Of Dependent Variables = 1

Function Model = Explicit

[Fitting Parameters]

Names = mo,b,DTc,off,Tave

Initial Values = 0.0005(V),0.35(V),20(V),1e-005(V),280(V)

Meanings = ?,?,?,?,?

Lower Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I,

Off)

Upper Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I,

Off)

Naming Method = User-Defined

Number Of Significant Digits = 0,0,0,0,0

Unit = ,,,,

Format = --,--,--,--,--

CustomDisplay = --,--,--,--,--

[Independent Variables]

x =

[Dependent Variables]

y =

[Formula]

integral(integrando, 240 ,360 ,x ,mo ,b ,DTc ,Tave) + off

[Constraints]

[Initializations][After Fitting]

[Constants]

[Controls]

General Linear Constraints = 0

Initialization Scripts = 0

Scripts After Fitting = 0

Number Of Duplicates = N/A

Duplicate Offset = N/A

Duplicate Unit = N/A

Generate Curves After Fitting = 1

Curve Point Spacing = Uniform on X-Axis Scale

Generate Peaks After Fitting = 1

Generate Peaks During Fitting = 1

Generate Peaks with Baseline = 1

Paste Parameters to Plot After Fitting = 1



Paste Parameters to Notes Window After Fitting = 1

Generate Residuals After Fitting = 0

Keep Parameters = 0

Compile On Param Change Script = 1

Enable Parameters Initialization = 1

Treat All Numbers As Double = 1

[Compile Function]

Compile = 0

Compile Parameters Initialization = 0

OnParamChangeScriptsEnabled = 0.

[Parameters Initialization]

//Code to be executed to initialize parameters

[Origin C Function Header]

[Origin C Parameter Initialization Header]

[Derived Parameter Settings]

Unit =

Names =

Meanings =

[LabTalk Functions Definition and Initializations]

[QuickCheck]

x=280

mo=5E-4

b=0,35

DTc=20

off=1E-5

Tave=280

CODIGO USADO PARA EL AJUSTE DE LA EC. (3)

[General Information]

Function Name = delta

Brief Description =

Function Source = N/A

Number Of Parameters = 3

Function Type = User-Defined

Function Form = Expression

Path =

Number Of Independent Variables = 1

Number Of Dependent Variables = 1

Function Model = Explicit

Analytical Derivatives for User-Defined = 0

[Fitting Parameters]

Names = DTcO,a,eta

Initial Values = 1(V),1(V),1(V)

Meanings = ?,?,?

Lower Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off)

Upper Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off)

Naming Method = User-Defined

Number Of Significant Digits = 0,0,0

Unit = ,,

Format = --,--,--

Contenido 47

CustomDisplay = --,--,--

[Independent Variables]

x =

[Dependent Variables]

y =

[Formula]

DTcO + a * x ^(1/eta)

[Constraints]

[Initializations]

[After Fitting]

[Constants]

[Controls]

General Linear Constraints = 0

Initialization Scripts = 0

Scripts After Fitting = 0

Number Of Duplicates = N/A

Duplicate Offset = N/A

Duplicate Unit = N/A

Generate Curves After Fitting = 1

Curve Point Spacing = Uniform on X-Axis Scale

Generate Peaks After Fitting = 1

Generate Peaks During Fitting = 1

Generate Peaks with Baseline = 1

Paste Parameters to Plot After Fitting = 1

Paste Parameters to Notes Window After Fitting = 1

Generate Residuals After Fitting = 0

Keep Parameters = 0

Compile On Param Change Script = 1

Enable Parameters Initialization = 1

Treat All Numbers As Double = 1

[Compile Function]

Compile = 0

Compile Parameters Initialization = 1

OnParamChangeScriptsEnabled = 0

[Parameters Initialization]

//Code to be executed to initialize parameters

[Origin C Function Header]

[Origin C Parameter Initialization Header]

[Derived Parameter Settings]

Unit =

Names =

Meanings =

[QuickCheck]x=1;DTcO=1;a=1;eta=1



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DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE...

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