Determinante de Una Matriz V

7/24/2019 Determinante de Una Matriz V

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Determinantede una Matriz

DOC. ING. VALENTIN FLORES GUZMANMateria : Ale!ra Lineal

Sila : MAT " #$%

Uni&er'idad Ga!riel Ren( M)ren)

&alentin*)re'uzman+mail.,)m

Universidad Autnoma

Gabriel Ren Moreno


2/38

DEFINICIN Y PROPIEDADES.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el

determinante de Ay se suele denotar por |A| o bien det (A)

a la suma de los n productos (signados) formados por nfactores que se obtienen al multiplicar n elementos de la

matriz de tal forma que cada producto contenga un solo

elemento de cada fila y columna de A.

Los determinantes nos proporcionan un mtodo para el calculo de la

inversade una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar smatriz es o no invertible.

Sus aplicaciones son mltiples en todas las ramas de las ciencias quproblemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y determinantes.


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Determinante de una

matriz cuadrada nxn

11 12 1

21 22 2

1 2

Toda matriz cuadrada tiene asociado

un que es un nmero compleEl determinante de la matriz se escribe

...

...

.det

determinante

.

.

...

n

n

n n nn

n n

a a a

a a a

A

a a a

= =

A

A


4/38

Determinante de una

Matriz cuadrada nxn

( ) ( ) ( )

{ } ( )

,1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las permutacione

de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 sepermutacin es par 1 si es impar.

n

n

i iS i

a

n

==

+

A


5/38

Determinante de una

matriz cuadrada 2x2( ) ( ) ( )

{ } ( )

( ) ( )

,

1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las permutaciones

de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 se la

permutacin es par 1 si es impar.

!ermutaciones del 1 y el 2"

1,2 , 2,1

as# que

det

n

n

i i

S i

a

n

=

=

+

A

( ) 11 22 12 21a a a a= A


6/38

Determinante de una

matriz cuadrada 2x2

11 12

11 21 21 1

21 22

En el caso de una matriz cuadrada 2

el determinante es el nmero comple

det

a a

a a a aa a= = = A A


7/38

Determinante de una

matriz cuadrada 3x3( ) ( ) ( )

{ } ( )

( ) ( ) ( )

,

1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las permutaciones

de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 se la

permutacin es par 1 si es impar.

!ermutaciones del 1, 2 y 3

1, 2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2

n

n

i i

S i

a

n

=

=

+

A

( ) ( ) ( )

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13

,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2

as# que

a a a a a a a a a a a a a a a a a + +


8/38

Determinante de una

matriz cuadrada 3x3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

En el caso de una matriz cuadrada 3 3

el determinante es el nmero complejo

det

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= = =

= + +

A A


9/38

Determinante de una matriz 3x$ 3 3 $ 3 3

3 1 % det 3 1 %

& 2 3 & 2 3

$ 3 3

3 1

$ 3 3

3 1 %

%

& 2 3

Truco que solo sirve para matrices 3x

) Se duplican los renglones y !

=


10/38

Determinante de una matriz 3x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

$ 3 3

3 1 %

1$ 1'$ 1 33

3 %& 2 32( % 1

2 3 &3 3 $ 2 % & 1

$ 3 3

3 1 %

3 %3

!) Se multiplican diagonalmente "ac#a aba$o con signo %

y diagonalmente "ac#a arriba con signo &

+=

= +

+

+


11/38

Determinante de una matriz 3x3. Eje

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 % 2

& 1 $

1 1 2

1 % 2 1 % 2

& 1 $

& 3

det & 1 $

2 3 2 2 3 2

1 % 2

& 1 $

2 3 2

2 2& %

% 1$

2 2 %& % 2 1 3 $ 2 1

&

33

+

=

=

+

= +

+

=


12/38

PROPIEDADES

Propiedad 1.

Si una matriz A tiene un rengl'n (o una columna) de ceros, el

determinante deAes cero.

Ejemplo 1:

Sea2) Det=1) Det=

&%1%


13/38

Propiedad 2.

l determinante de una matriz A es igual al determinante de

la transpuesta de A.

sto es

2) Det=1) Det=

&&12


14/38

Ejemplo 2:

Sea

*a transpuesta deAes:


15/38

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una

matriz Aentonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3:Sea

+et -

/ntercambiando los renglones y ! la matriz queda

+et -&


16/38

Propiedad 4.

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas)

iguales entonces detA-0.

Ejemplo 4:

Sea

+et - Det B=


17/38

Propiedad 5.

0uando un solo rengl'n (o columna) de una matriz A se multiplica

por un escalar r el determinante de la matriz resultante

es r veces el determinante de A, r det A.

Ejemplo 5:

Sea

1ultiplicando el tercer 23323 rengl'n

escalar r= 3 se tiene la matriz Bsigui

+et - &3 3 +et

Propiedad 6


18/38

Propiedad 6.

Si un rengl'n de la matriz A se multiplica por un escalar r y se

rengl'n deA, entonces el determinante de la matriz resultante

determinante deA, detA.

*o mismo se cumple para las columnas deA.

Ejemplo 6.

Sea

1ultiplicando la segunda columna deApor

sum4ndola a la columna 3 se obtiene la ma

2!!2%2!


19/38

Propiedad 7.

SiAy B son matrices de n x n, el determinantede productoAB

s igual al producto de los determinantes deAy de B.

sto es

Ej l 7


20/38

Ejemplo 7:

Sean

0on

l producto

5 su determinante es

ntonces


21/38

Propiedad 8.

l determinante de la matriz identidad Ies igual a (uno)

Ejemplo 8:


22/38


23/38

Cmo calcular el determinante

)sando las propiedades 1 a * e+puestarriba, se llea la matriz original a un

-orma triangular cuyo determinante es

el producto de los elementos de la

diagonal

D ll d l d t i t


24/38

Desarrollo del determinante por me

( ) ( )1

ea una matriz cuadrada .

Eligimos una -ila, la ,entonces

det 1

donde es el determinante de la matriz

que resulta de quitar la -ila y la columna

ni j

ij ij

j

ij

n n

i

a M

M

i

+

=

=

A

A


25/38

Menores

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.

.

.

...

n

n

ij

ij

m m mn

a a a

a a a

Ma

a a a

=

D ll d l d t i t


26/38

Desarrollo del determinante por me

( ) ( )1

ea una matriz cuadrada .

Eligimos una columna, la ,entonces

det 1

donde es el determinante de la matriz

que resulta de quitar la -ila y la columna

ni j

ij ij

i

ij

n n

j

a M

M

i

+

=

=

A

A

sarrollo del determinante por menores


27/38

sarrollo del determinante por menores$ 3 3

3 1 %

& 2 3

) Se escoge un rengl'n.

(legimos el primero.

!) Se toman los elementos de ese rengl'n uno por u

(mpecemos por el elemento 6.

3) Se crea un nuevo determinante quitando el rengl'

y la colum

=

/1 %

2 3

na del elemento escogido, es decir

este determinante se le llama menor



28/38


( )

( )1 1

$ 3 3

3 1 %

& 2 3

/1 %/1 $

2 3

78mero de columna%78mero de rengl'n

9) l determinante obtenido (el menor) se

multiplica por el elemento y se pone como

signo &

n este caso+

=



29/38


$ 3 3

3 1 %

& 2 3

6) Se "ace lo mismo con todos los

elementos del rengl'n escogido.

=



30/38


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3

$ 3 3

3 1 %& 2 3

1 % 3 % 31 $ 1 3 1 3

2 3 & 3 &

$ 3 3 0 3 1% 1$ 2( 3% 12

+ + +

=

= + +

= = + =


31/38



32/38


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3

2 $ 3 2 $ 3

1 1 3 det 1 1 32 2 % 2 2 %

1 3 1 3 11 2 1 $ 1 3

2 % 2 % 2

2 * $ * 3 % 12 3% % &2

+ + +

= =

= + +

= = + =



33/38


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2

1 3 1 &

% 3 & 2

1 % 2 2

1 3 2 1

3 2 3 1

% 2 2 1 2 2

1 % 3 2 1 1 3 1 2 1

2 3 1 3 3 1

1 % 2 1 % 2

1 & 1 3 1 1 2 1 3 23 2 1 3 2 3

1 2 2 1 2 2 1 % 2

3 1 2 1 & 1 2 1 2 1 3 2

3 3 1 3 3 1 3 2 3

+ +

+ +

=

= + +

+ + =

= + =



34/38


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 22 1 1 1 1 2

1 2 1 1 2 2 1 $ 2 2 2 03 1 3 1 3 3

3 3 1

1 % 23 1 1 1 1 3

1 3 1 1 % 2 1 1 % 2 2 (2 1 3 1 3 2

3 2 1

1 % 23 2 1 2 1 3

1 3 2 1 % 2 1 13 % 0 2 (2 3 3 3 3 2

3 2 3

= + = + =

= + =

= + =



35/38


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2

1 3 1 &

% 3 & 2

1 % 2 2

1 3 2 1

3 2 3 1

% 2 2 1 2 2

1 % 3 2 1 1 3 1 2 1

2 3 1 3 3 1

1 % 2 1 % 2

1 & 1 3 1 1 2 1 3 2

3 2 1 3 2 3

3 0 & 13 2 2( 2$

+ +

+ +

=

= + +

+ + =

= + =



36/38


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3

1 1 3

2 2 %

1 3 1 3 11 2 1 $ 1 3

2 % 2 % 2

2 * $ * 3 % 12 3% % &2

2 $ 3

+ + +

=

= + +

= = + =

(scogemos un rengl'n, el primero



37/38

p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 2 2 3

2 $ 3

2 2 %

$ 3 2 3 2

1 1 1 1 1 32 % 2 % 2

* * 3 & 1% * * 3 1& &

1 3

2

1

+ + +

= + + = + + + = =

+

"ora escogemos el segundo rengl'n,



38/38


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 3 2 3 3 3

2 $1 1

2 2

1 1 2 $ 2

1 3 1 3

3

1 %2 2 2 2

3 % 3 1& % &2

3

%

+ + +

= + + =

+ + =

"ora escogemos la tercera columna,

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