7/24/2019 Determinante de Una Matriz V
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Determinantede una Matriz
DOC. ING. VALENTIN FLORES GUZMANMateria : Ale!ra Lineal
Sila : MAT " #$%
Uni&er'idad Ga!riel Ren( M)ren)
&alentin*)re'uzman+mail.,)m
Universidad Autnoma
Gabriel Ren Moreno
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DEFINICIN Y PROPIEDADES.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el
determinante de Ay se suele denotar por |A| o bien det (A)
a la suma de los n productos (signados) formados por nfactores que se obtienen al multiplicar n elementos de la
matriz de tal forma que cada producto contenga un solo
elemento de cada fila y columna de A.
Los determinantes nos proporcionan un mtodo para el calculo de la
inversade una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar smatriz es o no invertible.
Sus aplicaciones son mltiples en todas las ramas de las ciencias quproblemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y determinantes.
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Determinante de una
matriz cuadrada nxn
11 12 1
21 22 2
1 2
Toda matriz cuadrada tiene asociado
un que es un nmero compleEl determinante de la matriz se escribe
...
...
.det
determinante
.
.
...
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A
a a a
= =
A
A
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Determinante de una
Matriz cuadrada nxn
( ) ( ) ( )
{ } ( )
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutacione
de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 sepermutacin es par 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
==
+
A
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Determinante de una
matriz cuadrada 2x2( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )
,
1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 se la
permutacin es par 1 si es impar.
!ermutaciones del 1 y el 2"
1,2 , 2,1
as# que
det
n
n
i i
S i
a
n
=
=
+
A
( ) 11 22 12 21a a a a= A
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Determinante de una
matriz cuadrada 2x2
11 12
11 21 21 1
21 22
En el caso de una matriz cuadrada 2
el determinante es el nmero comple
det
a a
a a a aa a= = = A A
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Determinante de una
matriz cuadrada 3x3( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( ) ( )
,
1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los nmeros 1,2,3,..., y sgn es 1 se la
permutacin es par 1 si es impar.
!ermutaciones del 1, 2 y 3
1, 2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2
n
n
i i
S i
a
n
=
=
+
A
( ) ( ) ( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13
,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2
as# que
a a a a a a a a a a a a a a a a a + +
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Determinante de una
matriz cuadrada 3x3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
En el caso de una matriz cuadrada 3 3
el determinante es el nmero complejo
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= = =
= + +
A A
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Determinante de una matriz 3x$ 3 3 $ 3 3
3 1 % det 3 1 %
& 2 3 & 2 3
$ 3 3
3 1
$ 3 3
3 1 %
%
& 2 3
Truco que solo sirve para matrices 3x
) Se duplican los renglones y !
=
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Determinante de una matriz 3x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
$ 3 3
3 1 %
1$ 1'$ 1 33
3 %& 2 32( % 1
2 3 &3 3 $ 2 % & 1
$ 3 3
3 1 %
3 %3
!) Se multiplican diagonalmente "ac#a aba$o con signo %
y diagonalmente "ac#a arriba con signo &
+=
= +
+
+
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Determinante de una matriz 3x3. Eje
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 % 2
& 1 $
1 1 2
1 % 2 1 % 2
& 1 $
& 3
det & 1 $
2 3 2 2 3 2
1 % 2
& 1 $
2 3 2
2 2& %
% 1$
2 2 %& % 2 1 3 $ 2 1
&
33
+
=
=
+
= +
+
=
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PROPIEDADES
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un rengl'n (o una columna) de ceros, el
determinante deAes cero.
Ejemplo 1:
Sea2) Det=1) Det=
&%1%
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Propiedad 2.
l determinante de una matriz A es igual al determinante de
la transpuesta de A.
sto es
2) Det=1) Det=
&&12
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Ejemplo 2:
Sea
*a transpuesta deAes:
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Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una
matriz Aentonces el determinante cambia de signo.
Ejemplo 3:Sea
+et -
/ntercambiando los renglones y ! la matriz queda
+et -&
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Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas)
iguales entonces detA-0.
Ejemplo 4:
Sea
+et - Det B=
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Propiedad 5.
0uando un solo rengl'n (o columna) de una matriz A se multiplica
por un escalar r el determinante de la matriz resultante
es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5:
Sea
1ultiplicando el tercer 23323 rengl'n
escalar r= 3 se tiene la matriz Bsigui
+et - &3 3 +et
Propiedad 6
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Propiedad 6.
Si un rengl'n de la matriz A se multiplica por un escalar r y se
rengl'n deA, entonces el determinante de la matriz resultante
determinante deA, detA.
*o mismo se cumple para las columnas deA.
Ejemplo 6.
Sea
1ultiplicando la segunda columna deApor
sum4ndola a la columna 3 se obtiene la ma
2!!2%2!
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Propiedad 7.
SiAy B son matrices de n x n, el determinantede productoAB
s igual al producto de los determinantes deAy de B.
sto es
Ej l 7
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Ejemplo 7:
Sean
0on
l producto
5 su determinante es
ntonces
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Propiedad 8.
l determinante de la matriz identidad Ies igual a (uno)
Ejemplo 8:
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Cmo calcular el determinante
)sando las propiedades 1 a * e+puestarriba, se llea la matriz original a un
-orma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
D ll d l d t i t
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Desarrollo del determinante por me
( ) ( )1
ea una matriz cuadrada .
Eligimos una -ila, la ,entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la -ila y la columna
ni j
ij ij
j
ij
n n
i
a M
M
i
+
=
=
A
A
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Menores
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
ij
ij
m m mn
a a a
a a a
Ma
a a a
=
D ll d l d t i t
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Desarrollo del determinante por me
( ) ( )1
ea una matriz cuadrada .
Eligimos una columna, la ,entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la -ila y la columna
ni j
ij ij
i
ij
n n
j
a M
M
i
+
=
=
A
A
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores$ 3 3
3 1 %
& 2 3
) Se escoge un rengl'n.
(legimos el primero.
!) Se toman los elementos de ese rengl'n uno por u
(mpecemos por el elemento 6.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el rengl'
y la colum
=
/1 %
2 3
na del elemento escogido, es decir
este determinante se le llama menor
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( )
( )1 1
$ 3 3
3 1 %
& 2 3
/1 %/1 $
2 3
78mero de columna%78mero de rengl'n
9) l determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo &
n este caso+
=
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
$ 3 3
3 1 %
& 2 3
6) Se "ace lo mismo con todos los
elementos del rengl'n escogido.
=
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
$ 3 3
3 1 %& 2 3
1 % 3 % 31 $ 1 3 1 3
2 3 & 3 &
$ 3 3 0 3 1% 1$ 2( 3% 12
+ + +
=
= + +
= = + =
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sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
2 $ 3 2 $ 3
1 1 3 det 1 1 32 2 % 2 2 %
1 3 1 3 11 2 1 $ 1 3
2 % 2 % 2
2 * $ * 3 % 12 3% % &2
+ + +
= =
= + +
= = + =
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2
1 3 1 &
% 3 & 2
1 % 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
% 2 2 1 2 2
1 % 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 % 2 1 % 2
1 & 1 3 1 1 2 1 3 23 2 1 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 % 2
3 1 2 1 & 1 2 1 2 1 3 2
3 3 1 3 3 1 3 2 3
+ +
+ +
=
= + +
+ + =
= + =
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 22 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 $ 2 2 2 03 1 3 1 3 3
3 3 1
1 % 23 1 1 1 1 3
1 3 1 1 % 2 1 1 % 2 2 (2 1 3 1 3 2
3 2 1
1 % 23 2 1 2 1 3
1 3 2 1 % 2 1 13 % 0 2 (2 3 3 3 3 2
3 2 3
= + = + =
= + =
= + =
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2
1 3 1 &
% 3 & 2
1 % 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
% 2 2 1 2 2
1 % 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 % 2 1 % 2
1 & 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
3 0 & 13 2 2( 2$
+ +
+ +
=
= + +
+ + =
= + =
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
1 1 3
2 2 %
1 3 1 3 11 2 1 $ 1 3
2 % 2 % 2
2 * $ * 3 % 12 3% % &2
2 $ 3
+ + +
=
= + +
= = + =
(scogemos un rengl'n, el primero
sarrollo del determinante por menores
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p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3
2 $ 3
2 2 %
$ 3 2 3 2
1 1 1 1 1 32 % 2 % 2
* * 3 & 1% * * 3 1& &
1 3
2
1
+ + +
= + + = + + + = =
+
"ora escogemos el segundo rengl'n,
sarrollo del determinante por menores
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sarrollo del determinante por menores
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 3 2 3 3 3
2 $1 1
2 2
1 1 2 $ 2
1 3 1 3
3
1 %2 2 2 2
3 % 3 1& % &2
3
%
+ + +
= + + =
+ + =
"ora escogemos la tercera columna,
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