ALGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Practica 3Matrices y determinantes (Curso 20102011)

2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintosentre s. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal.(Examen final, junio 2002)

Sea B una matriz que conmuta con A, es decir, AB = BA. Queremos ver que B es diagonal, es decir,bij = 0 si i 6= j.Comparemos los terminos de las matrices AB y BA. El termino en la fila i y columna j de AB es:

nk=0

aikbkj = aiibij

ya que los terminos aik con i 6= k se anulan, por ser A diagonal. Por otra parte el termino en la fila i ycolumna j de BA es:

nk=0

bikakj = bijajj

donde de nuevo los terminos akj con k 6= j se anulan.Como AB = AB, entonces aiibij = ajjbij y (aii ajj)bij = 0. Si i 6= j, entonces aii ajj 6= 0, porquehabamos supuesto que los terminos de la diagonal de A son todos diferentes. Por tanto bij = 0 si i 6= jy concluimos que B es una matriz diagonal.

3. Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de su diagonal principal. SeanA, B, C Mnn(K) (C regular) y IR. Demostrar:

(a) tr(A+B) =trA+trB.

Esto es evidente sin mas que tener en cuenta que los terminos de la diagonal de A + B se obtienensumando los terminos de la diagonal de A con los terminos de la diagonal de B. Formalmente, siD = A+B:

tr(A+B) =nk=1

dkk =nk=1

(akk + bkk) = (nk=1

akk) + (nk=1

bkk) = tr(A) + tr(B)

(b) tr(A) = trA.

De nuevo solo hay que tener en cuenta que los terminos de la diagonal de (A) se obtienen multiplicandopor los terminos de la diagonal de A. Formalmente, si D = A:

tr(A) =nk=1

dkk =nk=1

(akk) = nk=1

akk = tr(A)

5. Sea A la matriz cuadrada de tamano n n (n 2) cuyos elementos son

aij ={a si i = jb si i 6= j

Hallar a y b para que se verifique la relacion A2 = I, siendo I la matriz identidad n n.(Examen final, junio 1998)

Como A2 = I, los terminos de la diagonal de A2 son 1 y los terminos fuera de la diagonal se anulan.Teniendo en cuenta como esta definida A y haciendo el producto A A tenemos:

1 =nk=1

aikaki = (n

k=1,k 6=iaikaki) + aiiaii = (

nk=1,k 6=i

b2) + a2 = (n 1)b2 + a2

0 =nk=1

aikakj = (n

k=1,k 6=i,k 6=jaikakj) + aiiaij + aijajj = (n 2)b2 + 2ab (si i 6= j)

Ahora solo queda discutir las posibles soluciones del sistema de ecuaciones:

- Si b 6= 0, podemos dividir por b en la segunda ecuacion. Obtenemos a = b(2 n)2

. Sustituyendo estevalor de a en la primera, queda una ecuacion de segundo grado. Resolviendola llegamos a:

b = +2n, a = +

2 nn

, o

b = 2n, a = 2 n

n

- Si b = 0, entonces obtenemos a2 = 1, es decir:

b = 0, a = +1, ob = 0, a = 1

6. Sea X una matriz cuadrada de tamano n n y elementos reales. Sea k un numero par. Probar que siXk = Id, entonces n es tambien un numero par.Si se cumple que Xk = Id, aplicando determinantes obtenemos que

det(Xk) = det(Id).Pero det(Xk) = det(X)k y det(Id) = (1)n. Por tanto:

det(X)k = (1)n

Como k es par, det(X)k es positivo; entonces (1)n ha de ser positivo y en consecuencia n tiene queser un numero par.

7. Hallar An, para n IN, donde:

A =

1 1 00 1 10 0 1

Metodo I: Calculemos las potencias bajas de A:

A2 =

1 2 10 1 20 0 1

, A3 = A2 A = 1 3 30 1 3

0 0 1

, A4 = A3 A = 1 4 60 1 4

0 0 1

,A5 = A4 A =

1 5 100 1 50 0 1

, . . .

Nos fijamos en que la potencia n-sima de A parece tener la siguientes expresion:

An =

1 n n(n 1)20 1 n0 0 1

.El termino en la posicion 1, 3 corresponde a la suma de los n 1 primeros numeros enteros positivos:

1 + 2 + 3 + . . .+ (n 1) = n(n 1)2

.

Utilizando induccion, probemos que esta formula es cierta:

- Para n = 1 esta claro que se cumple.

- Supongamos que es cierta para n 1 y probemosla para n:

An = An1 A =

1 n 1 (n 1)(n 2)20 1 n 10 0 1

1 1 00 1 1

0 0 1

= 1 n n(n 1)20 1 n

0 0 1

.Metodo II: Descomponemos A como:

A = Id+B; con B =

0 1 00 0 10 0 0

.Dado que Id y B conmutan podemos aplicar la formula del binomio de Newton:

An = (Id+B)n =nk=0

(n

k

)BkIdnk =

nk=0

(n

k

)Bk.

Pero:

B2 =

0 0 10 0 00 0 0

; B3 = B2 B = 0 0 00 0 0

0 0 0

= ,y por tanto en general,

Bk = , si k 3.La expresion anterior queda:

An = B0 + nB1 +(n

2

)B2 = Id+

0 n 00 0 n0 0 0

+ 0 0 n(n 1)20 0 0

0 0 0

= 1 n n(n 1)20 1 n

0 0 1

.

9. Determinar el rango de la siguiente matriz segun los valores de a y b : 3 b a b 2 1 aa a a ab a b a

Utilizaremos que el rango se conserva por operaciones elementales. Buscamos simplificar la matriz: 3 b a b 2 1 aa a a ab a b a

12(1) 32(1) 42(1) 3 b+ a a b a 2 b a 10 a 0 0b+ a a b b a

14(1)

2 a b a 2 b a 10 a 0 0

0 a b b a

11/2 1 a b a 2 b a 10 a 0 0

0 a b b a

21(a) 31(b+a+2) 41(b+a+1)

1 0 0 00 a 0 00 a b b a

H32(1) 1 0 0 00 a 0 0

0 0 b b a

Vemos entonces que:

- Si a, b 6= 0 tenemos un menor 3 3 de determinante no nulo, formado por las primeras tres filas ycolumnas. El rango es 3.

- Si a = 0 y b 6= 0 nos queda la matriz: 1 0 0 00 0 0 00 0 b b

No puede ser de rango 3 porque una fila es nula y el menor 2 2 formado por la primera y tercera filasy columnas, tiene determinante no nulo. El rango es 2.

- Si b = 0 y a 6= 0 nos queda: 1 0 0 00 a 0 00 0 0 a

El menor formado por las tres primeras filas y las columnas 1,2,4 tiene determinante no nulo. El rangoes 3.

- Si a = b = 0, entonces queda: 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

El rango es 1.

Resumiendo:

rango =

3 si a 6= 0,2 si a = 0 y b 6= 0,1 si a = b = 0.

10.

(a) Describir todas las matrices singulares reales simetricas 2 2, cuya traza es nula.Supongamos que A es una matriz simetrica singular de traza nula y dimension 2 2. Por ser simetricacoincide con su traspuesta y puede escribirse como:

A =(a bb c

)Por tener traza 0 se verifica que a+c = 0 y por ser singular, su determinante es nulo, es decir acb2 = 0.Analizamos el sistema:

a+ c = 0

ac b2 = 0De la primera ecuacion obtenemos a = c y sustituyendo en la segunda, a2 b2 = 0, es decir,a2 + b2 = 0. Pero como a2 y b2 son no negativos, la unica posibilidad es a = b = 0. Deducimos que launica matriz singular real simetrica de dimension 2 2 cuya traza es 0 es la matriz nula .

(b) Describir todas las matrices singulares reales hemisimetricas 2 2, cuya traza es nula.

Ahora si A es una matriz hemisimetrica de dimension dos, puede escribirse como:

A =(

0 bb 0

)La traza siempre es 0. Si su determinante es nulo, queda b2 = 0. Por tanto de nuevo la unica matrizposible es la matriz nula.

11. Sea n > 2 y A Mnn(IR), una matriz inversible. Sea adj(A) su matriz adjunta. Probar que:(a) det(adj(A)) = det(A)n1.

Sabemos que:

A1 =1

det(A)adj(A).

De donde:adj(A) = det(A) A1.

Aplicando determinantes queda:

det(adj(A)) = det(det(A) A1) = det(A)ndet(A1) = det(A)n

det(A)= det(A)n1.

(b) adj(adj(A)) = det(A)n2 A.Como antes sabemos que:

adj(A) = det(A) A1.Entonces:

adj(adj(A)) = det(adj(A))adj(A)1 = det(A)n1(det(A)A1)1 = det(A)n1det(A)1A = det(A)n2A.

13. Hallar el siguiente determinante para n 2

An =

x1 + y1 x1 + y2 x1 + y3 x1 + ynx2 + y1 x2 + y2 x2 + y3 x2 + ynx3 + y1 x3 + y2 x3 + y3 x3 + yn

......

.... . .

...xn + y1 xn + y2 xn + y3 xn + yn

Restamos a las filas 2, 3, . . . , n la primera fila. Queda:

An =

x1 + y1 x1 + y2 x1 x1 x1 x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x3 x1 x3 x1 x3 x1 x3 x1

......

.... . .

...xn x1 xn x1 xn x1 xn x1

Vemos que en cada fila 2, 3, . . . , n los terminos son iguales. Por las propiedades del determinante,podemos sacarlos fuera:

An = (x2 x1)(x3 x1) . . . (xn x1)

x1 + y1 x1 + y2 x1 x1 x1 x11 1 1 11 1 1 1...

......

. . ....

1 1 1 1

Entonces si n > 2, hay dos o mas filas iguales y por tanto el determinante es 0.

Si n = 2 queda:

A2 = (x2 x1)x1 + y1 x1 + y21 1

= (x2 x1)(y1 y2)(Primer parcial, febrero 2003)

14. Dado a R y para cada n entero positivo definimos las matrices An Mnn(R):

An =

3 a a . . . a aa 3 a . . . a aa a 3 . . . a a...

......

. . ....

...a a a . . . 3 aa a a . . . a 3

(a) Calcular en funcion de a, det(A4).

(b) Calcular en funcion de a y n, det(An).

Calculemos en general el det(An). Si sumamos todas las filas a la primera queda:

det(An) =

3 + (n 1)a 3 + (n 1)a 3 + (n 1)a . . . 3 + (n 1)a 3 + (n 1)aa 3 a . . . a aa a 3 . . . a a...

......

. . ....

...a a a . . . 3 aa a a . . . a 3

=

= (3 + (n 1)a)

1 1 1 . . . 1 1a 3 a . . . a aa a 3 . . . a a...

......

. . ....

...a a a . . . 3 aa a a . . . a 3

Ahora le restamos la primera fila multiplicada por a a todas las demas:

det(An) = (3 + (n 1)a)

1 1 1 . . . 1 10 3 a 0 . . . 0 00 0 3 a . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 3 a 00 0 0 . . . 0 3 a

= (3 + (n 1)a)(3 a)n1

En particular:det(A4) = (3 + 3a)(3 a)3 = 3(1 + a)(3 a)3.

16. Encontrar la (unica) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:

Si A Mnn(IR) entonces. A simetrica A antisimetrica.

FALSO. Ejemplo: A = Id es simetrica, pero A = Id no es antisimetrica. A simetrica Ak simetrica, para cualquier k N .

VERDADERO. Como A es simetrica, entonces At = A y:

(Ak)t = (A A . . . A k veces

)t = At At . . . At k veces

= (At)k = Ak.

Luego Ak coincide con su traspuesta y as es simetrica.

A simetrica A no es antisimetrica.FALSO. A = es simetrica y antisimetrica al mismo tiempo.

Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.FALSO.

(b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso.

Su determinante queda multiplicado por 1.FALSO. Por ejemplo si la matriz es de orden 1 su determinante no vara.

Su determinante queda invariante.FALSO. Por ejemplo si la matriz es no singular de orden 2, invertir el orden de sus filas es hacerexactamente un unico cambio de posicion de dos de ellas, por tanto el determinante cambia de signo.

Su determinante queda multiplicado por (1)n.FALSO. De nuevo no se cumple para matrices no singulares de orden 2.

Ninguna de las restantes respuestas es correcta.VERDADERO. Motivo I: Todas falsas hasta ahora... pues entonces es cierta. Motivo II Demos unarespuesta mas completa. Que es lo que pasa realmente? Para saber si cambia de signo hay que contarcuantos cambios de posicion de filas se hacen para invertir el orden completamente:

- Si n es par (n = 2k), entonces intercambiamos posiciones de las filas 1 y n; 2 y n 1; . . . ; k y k + 1.Es decir hacemos k cambios. Por tanto el determinante queda multiplicado por (1)k. Si k es par, semantiene igual; si k es impar cambia de signo.

- Si n es impar (n = 2k+ 1), entonces hacemos intercambios de las filas 1 y n; 2 y n 1; . . . ; k y k+ 2.El determinante queda multiplicado por (1)k. Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia designo.

En definitiva el determinante cambia de signo solo cuando n = 2k o n = 2k + 1 con k impar.Equivalentemente, cuando n es de la forma n = 4m+ 2 o n = 4m+ 3.

(Examen final, junio 2000)

(c) Sea A Mnn(IR). A2 = A = .

FALSO. Por ejemplo tomando A =(

0 10 0

)se cumple A2 = , pero A 6= .

A2 singular A singular.VERDADERO. Si A2 es singuar, |A2| = 0. Pero |A2| = |A|2, luego A es tambien singular.

A2 simetrica A simetrica.FALSO. Motivo I: Ya encontramos la verdadera. Motivo II.: Otra vez el ejemplo del primer apartado,

A =(

0 10 0

)no es simetrica pero su cuadrado si lo es.

A2 triangular inferior A triangular inferior.

FALSO. El mismo ejemplo de los puntos anteriores.

(Primer parcial, febrero 1999)

(d) Sean A y B matrices reales invertibles n n. Indicar la proposicion falsa. Si A y B conmutan entonces A1 y B conmutan.

VERDADERA. Se tiene:

AB = BA A1ABA1 = A1BAA1 BA1 = A1B

Si A y B conmutan entonces A1 y B1 conmutan.VERDADERA. Se tiene:

AB = BA (AB)1 = (BA)1 B1A1 = A1B1

La matriz (A1 B)t siempre tiene inversa.VERDADERA. Ya que si A y B son inversibles su determinantes es no nulo. Por tanto

det(A1 B) = det(A)1det(B) 6= 0 (A1 B)t siempre tiene inversa

la matriz (A1 +B)t siempre tiene inversa.FALSA. Por ejemplo: A = (1) y B = (1).

ALGEBRA LINEAL I Soluciones a los problemas adicionalesMatrices y determinantes (Curso 20102011)

II. Calcular las potencias n-simas de las siguientes matrices:

El metodo (de momento!) mas usual es hacer a mano las primeras potencias y luego encontrar unaregla general:

(a) A =

1 0 00 3 02 0 1

Calculamos las primeras potencias

A2 =

1 0 00 9 04 0 1

, A3 = 1 0 00 27 0

6 0 1

, A4 = 1 0 00 81 0

8 0 1

, . . .Parece razonable pensar que, en general:

An =

1 0 00 3n 02n 0 1

Hay que comprobarlo. Se hace por induccion. Para ello:

- Vemos que se cumple para A1.

- Comprobamos que, si suponemos cierta la formula para n 1, entonces se cumple para n, es decir:

An = A An1 = A 1 0 00 3n1 0

2(n 1) 0 1

= 1 0 00 3n 0

2n 0 1

(b) B =(

1 11 1

)Calculamos las primeras potencias:

B2 =(

0 22 0

), B3 =

(2 22 2

), B4 =

(4 00 4

)= (4)Id

Ahora es facil continuar porque:

B5 = B B4 = (4)B; B6 = (4)B2; B7 = (4)B3; B8 = (4)2Id; . . .

En general, el exponente n siempre lo podemos escribir como n = 4d+ r donde r es el resto de dividirn entre 4 y por tanto es un numero entero comprendido entre 0 y 3. Tendremos:

Bn = B4d+r = (B4)d Br = (4)dId Br = (4)dBr

En definitiva escribimos el resultado dependiendo de los 4 posibles valores de r:

Bn = (4)d (

1 00 1

), si n = 4d;

Bn = (4)d (

1 11 1

), si n = 4d+ 1;

Bn = (4)d (

0 22 0

), si n = 4d+ 2;

Bn = (4)d (2 22 2

), si n = 4d+ 3;

(c) C =

0 a 00 0 bc 0 0

Hacemos las primeras potencias:

C2 =

0 0 abbc 0 00 ac 0

, C3 = abc 0 00 abc 0

0 0 abc

= abc 1 0 00 1 0

0 0 1

Paramos en la tercera potencia. Nos fijamos que C3 = abcId. Ahora es muy facil multiplicar por C3.Podemos en general hacer lo siguiente. Dado n > 0, sabemos que n = 3q + r, donde q es el cociente yr < 3 es el resto de dividir n por 3. Por tanto:

Cn = C3q+r = (C3)qCr = (abcI)qCr = aqbqcqCr

y,

Cn =

aqbqcq 0 00 aqbqcq 00 0 aqbqcq

, si n = 3q;

Cn =

0 aq+1bqcq 00 0 aq + bq+1cqaqbqcq+1 0 0

, si n = 3q + 1;

Cn =

0 0 aq+1bq+1cqaqbq+1cq+1 0 00 aq+1bqcq+1 0

, si n = 3q + 2.

(d) D =

a2 ab acab b2 bcac bc c2

. Hacemos las primeras potencias:

D2 =

a4 + a2b2 + a2c2 a3b+ ab3 + abc2 a3c+ ab2c+ ac3a3b+ ab3 + abc2 a2b2 + b4 + b2c2 a2bc+ b3c+ bc3a3c+ ab2c+ ac3 a2bc+ b3c+ bc3 a2c2 + b2c2 + c4

= (a2 + b2 + c2)D

Ahora es facil seguir haciendo las potencias de D, porque:

D3 = D2D = (a2 + b2 + c2)D2 = (a2 + b2 + c2)2D

D4 = D3D = (a2 + b2 + c2)2D2 = (a2 + b2 + c2)3D. . .

En general vemos que;Dn = (a2 + b2 + c2)n1D

De nuevo hay que comprobarlo por induccion:

- Para n = 1 es cierto, ya que D1 = (a2 + b2 + c2)11D = D.

- Lo suponemos cierto para n 1 y lo probamos para n:

Dn = Dn1 D = (a2 + b2 + c2)n2D D = (a2 + b2 + c2)n2D2 == (a2 + b2 + c2)n2(a2 + b2 + c2)D = (a2 + b2 + c2)n1D.

IV. Demostrar que, si A y B son matrices regulares, se cumple que

|A1 +B1| = |A+B||AB|

(Primer parcial, febrero 2000)

Basta probar que |A1 +B1||AB| = |A+B|.Tenemos:

|A1 +B1||AB| = |(A1 +B1)||A||B| = |A||(A1 +B1)||B|Utilizando ahora que el producto de los determinantes es el determinante del producto:

|A||(A1 +B1)||B| = |A(A1 +B1)B| = |AA1B +AB1B| = |A+B|

VII. Dados x R, x 6= 0 y la matriz

A =

0 1 1 11 0 x x1 x 0 x1 x x 0

,calcular det(A3) y det(A1).

Por las propiedades del determinante:

det(A3) = det(A)3

det(A1) =1

det(A)

por lo que nuestro problema se reduce a calcular el det(A):

det(A) = det

0 1 1 11 0 x x0 x x 00 x 0 x

= det 1 1 1x x 0x 0 x

== det

1 0 0x 2x xx x 2x

= det(2x xx 2x)

= (4x2 x2) = 3x2.

y en definitiva:

det(A3) = (3x2)3 = 27x6, det(A1) = 13x2

.

IX. Encontrar la (unica) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:

(a) Sean A,B dos matrices cuadradas reales de dimension 2 2 tales que A B = . Entonces: A = o B = .

FALSO. Por ejemplo, si A =(

1 00 0

)y B =

(0 00 1

).

rango(A) < 2.FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = .

rango(A) + rango(B) < 3.VERDADERO. Veamos los casos posibles:

- Si rango(A) = 2 entonces A es inversible, y

A B = A1 A B = A1 B = rango(B) = 0

por tanto rango(A) + rango(B) = 2 < 3.

- Si rango(B) = 2 entonces razonando como antes, volvemos a obtener rango(A) + rango(B) = 2 < 3.

- En otro caso, rango(A) 1 y rango(B) 1 y por tanto rango(A) + rango(B) 2 < 3. A = B = .

FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = .

(b) Sea la matriz real de dimension n n:

A =

0 0 . . . 0 10 0 . . . 1 0...

.... . .

......

0 1 . . . 0 01 0 . . . 0 0

Su determinante es:

Si vamos desarrollando el determinante, sucesivamente por la primera fila tenemos que ir mutiplicandoen cada paso por:

(1)n1, (1)n2, (1)n3, . . .hasta llegar a (1)1. Por tanto el exponente de (1) sera la suma de los n1 primeros numeros enterospositivos, es decir:

n(n 1)2

(1)FALSO.

(1)nFALSO.

(1)n(n1)2VERDADERO.

(1)n(n+1)2FALSO.

(c) Dada una matriz A Mnn que cumple A2 + A+ I = si = 0, A es siempre regular.

FALSO. Por ejemplo si = = 0 y A = se verifica la ecuacion, pero A no es regular.

si = 0, A es siempre singular.FALSO. En este caso la ecuacion puede escribirse. A(A+ I) = . Vemos por ejemplo que si = 1,y A = I, la ecuacion se cumple pero A no es singular.

si 6= 0, A puede ser singular.FALSO. La ecuacion puede escribirse A(A + I) = I. Si A fuese singular, aplicando determinantestendramos que | I| = |A||A+ A| = 0. Pero en realidad | I| = (1)n 6= 0.

si 6= 0, A puede ser singularVERDADERO. Motivo I: Si el enunciado no miente y las demas son falsas esta ha de ser verdera.Motivo II: (MEJOR) Por ejemplo, si = 0 y A = 0 la ecuacion se cumple y A es singular (hay quefijarse, en que nos dicen que A puede ser singular, no que necesariamente lo sea).

(Primer parcial, febrero 2001)