2. Matrices y Determinantes Con Matrices Elementales Sept. 2012 Calibri
Determinantes de matrices elementales
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DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES
Como sabemos, las matrices elementales son aquellas que se
obtienen a partir de una única operación elemental de matrices
sobre la matriz identidad.
De acuerdo a esto podemos obtener el determinante de dichas
matrices elementales de la siguiente manera:
1. Intercambiar dos filas o columnas.
Entonces, sea E1 una matriz elemental obtenida por este método,
tenemos que:
│E1│ = -│I│ = -1
2. Multiplicar la i-ésima fila o columna por α (escalar).
Entonces, sea E2 una matriz elemental obtenida por este método,
tenemos que:
│E2│ = α│I│ = α
3. E3 es una matriz elemental obtenida al sumar α veces la fila o
columna j a la fila o columna i, entonces:
│E3│ = │I│ = 1
Observación: │E│ ≠ 0
EJERCICIOS
Intercambiar dos filas o columnas:
1.
2.
Multiplicar la i-ésima fila o columna por α (escalar):
1.
2.
Sumar α veces la fila o columna j a la fila o columna i:
1.
2.
1 0 0
0 1 0 0 1 0 C1↔C2 1 0 0 = -1
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 0 1 0 1 0 C1↔C3 0 1 0 = -1
0 0 1
1 0 0
1 0 0
α 0 0
0 1 0 F1=αF1 0 1 0 = α
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0 C2=αC2 0 α 0 = α
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 3 0
0 1 0 F1 = F1 + 3F2 0 1 0 = 1 + 0 + 0 = 1
0 0 1 C2 = C2 + 2C3 0 2 1
1 0 0
1 1 4
0 1 0 F1 = F1 + 1F2 0 1 4 = 1 + 0 + 0 = 1
0 0 1 C3 = C3 + 4C2 0 0 1
3.
= (18+10+10) – (15+10+12) = 38 – 37 = 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver los siguientes determinantes:
1)
2)
1 0 0
1 0 0
0 1 0 F2 = F2 + 2F1 2 1 0 =
0 0 1 F3 = F3 + 5F1 5 0 1
1 1 1
C2 = C2 + C1 2 3 2 = (6x3x1)+(1x2x5)+(2x5x1)-(5x3x1)-(2x5x1)-(1x2x6)
C3 = C3 + C1 5 5 6
1 2 3 4 4 3 2 1 =
2 1 4 3 3 4 1 2
0 1 2 3 4 3 2 1 =
2 1 4 3 3 4 1 2
3)
4)
EVALUACIÓN
Obtener el valor de los siguientes determinantes:
1.
10 10 10
5a 5b 5c =
a² b² c²
1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 5 5 5 =
1 3 5 7 7 1 3 5 7 9
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 =
1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 6
2.
3.
abc -ab a²
-b²c
2b² -ab =
b²c²
-
b²c² 3abc
12 1 4 9 9 6 4 0 3 9 3 1 5 0 5 =
2 0 12 7 0 1 23 5 2 9