Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El...
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DeterminantesGeometrıa I. Curso 2015-2016
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Objetivos
Definir el determinante de una matriz cuadradaEstudiar propiedades y metodos de calculoAplicaciones: inversas, rangos y regla de Cramer
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Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
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Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
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Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
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Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
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Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
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Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)
El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
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Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
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Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
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Determinantes en general
Hay varias formas de definir el determinante de una matriz cuadrada
La mas elegante utiliza formas multilineales alternadas
Aquı usaremos un enfoque aritmetico de naturaleza inductiva
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativo
El determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|
Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j
• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
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Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
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Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
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Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
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Determinantes de orden 3
Caso n = 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|
= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)
+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)
= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31
+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31
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Determinantes de orden 3
Caso n = 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|
= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)
+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)
= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31
+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31
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Regla de Sarrus
|A| = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
− a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33
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Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
![Page 27: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/27.jpg)
Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
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Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
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Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
![Page 30: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/30.jpg)
Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
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Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
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Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
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Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 34: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/34.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 35: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/35.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 36: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/36.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 37: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/37.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 38: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/38.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 39: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/39.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 40: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/40.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 41: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/41.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 42: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/42.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
![Page 43: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/43.jpg)
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
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Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
![Page 45: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/45.jpg)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
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Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
![Page 47: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/47.jpg)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0
Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
![Page 48: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/48.jpg)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
![Page 49: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/49.jpg)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣
Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
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Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
![Page 51: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/51.jpg)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
![Page 52: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/52.jpg)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
![Page 53: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/53.jpg)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
![Page 54: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/54.jpg)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
![Page 55: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/55.jpg)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
![Page 56: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/56.jpg)
Matriz inversa y determinantes
Ejercicio: Demostrar que 1 2 32 3 43 4 6
−1
=
−2 0 10 3 −21 −2 1
![Page 57: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/57.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
![Page 58: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/58.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
![Page 59: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/59.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
![Page 60: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/60.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
![Page 61: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/61.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
![Page 62: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/62.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
![Page 63: Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El determinante de A 2Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o jAj Lo definiremos por induccion](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022041822/5e5eaaa4906c0f5597201a53/html5/thumbnails/63.jpg)
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
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Rango y determinantes
Ejercicio: Calcular el rango de
A =
3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7
usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes
Otra consecuencia interesante es esta:
B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde
A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)
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Rango y determinantes
Ejercicio: Calcular el rango de
A =
3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7
usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes
Otra consecuencia interesante es esta:
B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde
A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)
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Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
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Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · b
En la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
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Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
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Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
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Regla de Cramer
Ejercicio: Estudiar, en funcion de a ∈ R, cuando el SEL dado pora x + y + z = 1x + a y + z = ax + y + a z = a2
es de Cramer. Para tales valores resolverlo por la regla de Cramer
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Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣
Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
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Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣
Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
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Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
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Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
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Referencias
Todas las demostraciones se pueden encontrar en
Luis Merino y Evangelina SantosAlgebra lineal con metodos elementalesEdiciones Paraninfo, S.A; edicion 1 (17 de abril de 2006)