Producto matricial y matrices regulares Geometría I. Curso...
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Producto matricial y matrices regulares Geometr´ ıa I. Curso 2015-2016
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Producto matricial y matrices regularesGeometrıa I. Curso 2015-2016
Producto de matrices
K = cuerpo conmutativo
Si u ∈ M1×n(K) y v ∈ Mn×1(K), definimos
u · v = (x1 . . . xn) ·
y1...
yn
= x1 · y1 + . . . + xn · yn =n
∑k=1
xk · yk
Si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), definimos A · B ∈ Mm×p(K) como
C = A · B = (cij), cij = [i-esima fila de A] · [j-esima columna de B]
cij = (ai1 . . . ain) ·
b1j...
bnj
= ai1 · b1j + . . . + ain · bnj =n
∑k=1
aik · bkj
Nota: es necesario que [no de columnas de A] = [no de filas de B]
Producto de matrices
K = cuerpo conmutativoSi u ∈ M1×n(K) y v ∈ Mn×1(K), definimos
u · v = (x1 . . . xn) ·
y1...
yn
= x1 · y1 + . . . + xn · yn =n
∑k=1
xk · yk
Si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), definimos A · B ∈ Mm×p(K) como
C = A · B = (cij), cij = [i-esima fila de A] · [j-esima columna de B]
cij = (ai1 . . . ain) ·
b1j...
bnj
= ai1 · b1j + . . . + ain · bnj =n
∑k=1
aik · bkj
Nota: es necesario que [no de columnas de A] = [no de filas de B]
Producto de matrices
K = cuerpo conmutativoSi u ∈ M1×n(K) y v ∈ Mn×1(K), definimos
u · v = (x1 . . . xn) ·
y1...
yn
= x1 · y1 + . . . + xn · yn =n
∑k=1
xk · yk
Si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), definimos A · B ∈ Mm×p(K) como
C = A · B = (cij), cij = [i-esima fila de A] · [j-esima columna de B]
cij = (ai1 . . . ain) ·
b1j...
bnj
= ai1 · b1j + . . . + ain · bnj =n
∑k=1
aik · bkj
Nota: es necesario que [no de columnas de A] = [no de filas de B]
Producto de matrices
K = cuerpo conmutativoSi u ∈ M1×n(K) y v ∈ Mn×1(K), definimos
u · v = (x1 . . . xn) ·
y1...
yn
= x1 · y1 + . . . + xn · yn =n
∑k=1
xk · yk
Si A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), definimos A · B ∈ Mm×p(K) como
C = A · B = (cij), cij = [i-esima fila de A] · [j-esima columna de B]
cij = (ai1 . . . ain) ·
b1j...
bnj
= ai1 · b1j + . . . + ain · bnj =n
∑k=1
aik · bkj
Nota: es necesario que [no de columnas de A] = [no de filas de B]
Caso particular
Si A ∈ Mm×n(K) con A = (aij) y v ∈ Mn×1(K) con v = (xi), entonces
A · v =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
·
x1x2...
xn
=
∑n
k=1 a1k · xk∑n
k=1 a2k · xk...
∑nk=1 amk · xk
Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K). Pongamos B = (B1 |B2 | . . . |Bp)
Entonces A · B = (A · B1 |A · B2 | . . . |A · Bp)
Aunque el calculo de A · B parezca extrano tiene varias justificaciones
Caso particular
Si A ∈ Mm×n(K) con A = (aij) y v ∈ Mn×1(K) con v = (xi), entonces
A · v =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
·
x1x2...
xn
=
∑n
k=1 a1k · xk∑n
k=1 a2k · xk...
∑nk=1 amk · xk
Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K). Pongamos B = (B1 |B2 | . . . |Bp)
Entonces A · B = (A · B1 |A · B2 | . . . |A · Bp)
Aunque el calculo de A · B parezca extrano tiene varias justificaciones
Caso particular
Si A ∈ Mm×n(K) con A = (aij) y v ∈ Mn×1(K) con v = (xi), entonces
A · v =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
·
x1x2...
xn
=
∑n
k=1 a1k · xk∑n
k=1 a2k · xk...
∑nk=1 amk · xk
Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K). Pongamos B = (B1 |B2 | . . . |Bp)
Entonces A · B = (A · B1 |A · B2 | . . . |A · Bp)
Aunque el calculo de A · B parezca extrano tiene varias justificaciones
Expresion matricial de un SEL
El SEL dado pora11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
......
......
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
equivale a la ecuacion matricial A · x = b, donde
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
, x =
x1x2...
xn
y b =
b1b2...
bm
Las soluciones de A · x = b son las del SEL escritas como columnas
Expresion matricial de un SEL
El SEL dado pora11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
......
......
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
equivale a la ecuacion matricial A · x = b, donde
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
, x =
x1x2...
xn
y b =
b1b2...
bm
Las soluciones de A · x = b son las del SEL escritas como columnas
Expresion matricial de un SEL
El SEL dado pora11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
......
......
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
equivale a la ecuacion matricial A · x = b, donde
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
, x =
x1x2...
xn
y b =
b1b2...
bm
Las soluciones de A · x = b son las del SEL escritas como columnas
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
Propiedades del producto matricial
1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K), ∀C ∈ Mp×q(K)
2. Neutro por la derecha: A · In = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
3. Neutro por la izquierda: Im ·A = A, ∀A ∈ Mm×n(K)
4. Distributiva por la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C,∀A ∈ Mm×n(K), ∀B, C ∈ Mn×p(K)
5. Distributiva por la izquierda: (A + B) · C = A · C + B · C,∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀C ∈ Mn×p(K)
6. Producto por cero: A · 0n×p = 0m×p, ∀A ∈ Mm×n(K)
7. Producto por cero: 0m×n ·A = 0m×p, ∀A ∈ Mn×p(K)
8. Relacion con el producto de K: a · (A · B) = (a ·A) · B = A · (a · B),∀a ∈ K, ∀A ∈ Mm×n(K), ∀B ∈ Mn×p(K)
9. Relacion con la trasposicion: (A · B)t = Bt ·At, ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K)
Consecuencia: Mn(K) es un anillo. ¿Es conmutativo?
La cuestion de la conmutatividad
El producto de matrices en general no es conmutativo
• Podrıa calcularse A · B pero no B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(11
)
• Aunque existan A · B y B ·A puede ocurrir A · B 6= B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(0 10 1
)
• Esto implica que otras identidades no se cumpliran siempreEjemplo: (A + B)2 6= A2 + B2 + 2 ·A · B
La cuestion de la conmutatividad
El producto de matrices en general no es conmutativo
• Podrıa calcularse A · B pero no B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(11
)
• Aunque existan A · B y B ·A puede ocurrir A · B 6= B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(0 10 1
)
• Esto implica que otras identidades no se cumpliran siempreEjemplo: (A + B)2 6= A2 + B2 + 2 ·A · B
La cuestion de la conmutatividad
El producto de matrices en general no es conmutativo
• Podrıa calcularse A · B pero no B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(11
)
• Aunque existan A · B y B ·A puede ocurrir A · B 6= B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(0 10 1
)
• Esto implica que otras identidades no se cumpliran siempreEjemplo: (A + B)2 6= A2 + B2 + 2 ·A · B
La cuestion de la conmutatividad
El producto de matrices en general no es conmutativo
• Podrıa calcularse A · B pero no B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(11
)
• Aunque existan A · B y B ·A puede ocurrir A · B 6= B ·AEjemplo: Basta tomar
A =
(1 2−1 2
), B =
(0 10 1
)
• Esto implica que otras identidades no se cumpliran siempreEjemplo: (A + B)2 6= A2 + B2 + 2 ·A · B
¿Es Mn(K) un cuerpo?
Lo sera si cada A ∈ Mn(K) con A 6= 0n tiene inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o regular, o no singular) si existeB ∈ Mn(K) tal que
A · B = In, B ·A = In
(aunque el producto no conmute basta probar una de las igualdades)
En tal caso B es unica; se denota A−1 y se llama inversa de A. Ası
A ·A−1 = In, A−1 ·A = In
No toda matriz A ∈ Mn(K) con A 6= 0n es regular. Un ejemplo es
A =
(0 10 1
)
Consecuencia: Mn(K) no es un cuerpo si n ≥ 2
¿Es Mn(K) un cuerpo?
Lo sera si cada A ∈ Mn(K) con A 6= 0n tiene inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o regular, o no singular) si existeB ∈ Mn(K) tal que
A · B = In, B ·A = In
(aunque el producto no conmute basta probar una de las igualdades)
En tal caso B es unica; se denota A−1 y se llama inversa de A. Ası
A ·A−1 = In, A−1 ·A = In
No toda matriz A ∈ Mn(K) con A 6= 0n es regular. Un ejemplo es
A =
(0 10 1
)
Consecuencia: Mn(K) no es un cuerpo si n ≥ 2
¿Es Mn(K) un cuerpo?
Lo sera si cada A ∈ Mn(K) con A 6= 0n tiene inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o regular, o no singular) si existeB ∈ Mn(K) tal que
A · B = In, B ·A = In
(aunque el producto no conmute basta probar una de las igualdades)
En tal caso B es unica; se denota A−1 y se llama inversa de A. Ası
A ·A−1 = In, A−1 ·A = In
No toda matriz A ∈ Mn(K) con A 6= 0n es regular. Un ejemplo es
A =
(0 10 1
)
Consecuencia: Mn(K) no es un cuerpo si n ≥ 2
¿Es Mn(K) un cuerpo?
Lo sera si cada A ∈ Mn(K) con A 6= 0n tiene inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o regular, o no singular) si existeB ∈ Mn(K) tal que
A · B = In, B ·A = In
(aunque el producto no conmute basta probar una de las igualdades)
En tal caso B es unica; se denota A−1 y se llama inversa de A. Ası
A ·A−1 = In, A−1 ·A = In
No toda matriz A ∈ Mn(K) con A 6= 0n es regular. Un ejemplo es
A =
(0 10 1
)
Consecuencia: Mn(K) no es un cuerpo si n ≥ 2
¿Es Mn(K) un cuerpo?
Lo sera si cada A ∈ Mn(K) con A 6= 0n tiene inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o regular, o no singular) si existeB ∈ Mn(K) tal que
A · B = In, B ·A = In
(aunque el producto no conmute basta probar una de las igualdades)
En tal caso B es unica; se denota A−1 y se llama inversa de A. Ası
A ·A−1 = In, A−1 ·A = In
No toda matriz A ∈ Mn(K) con A 6= 0n es regular. Un ejemplo es
A =
(0 10 1
)
Consecuencia: Mn(K) no es un cuerpo si n ≥ 2
Precauciones con el producto de matrices
Como Mn(K) 6= cuerpo hay propiedades que no se cumpliran
Ejemplo: No es cierto que A · B = 0n =⇒ A = 0n o B = 0n, salvo queA o B sean regulares. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
)Ejemplo: No es cierto que A · B = A · C =⇒ B = C, salvo que A searegular. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
), C =
(1 00 0
)
Ejemplo: Dada A ∈ Mm×n(K), es cierto que
A · v = 0n×1, ∀v ∈ Mn×1(K) =⇒ A = 0m×n
Precauciones con el producto de matrices
Como Mn(K) 6= cuerpo hay propiedades que no se cumpliran
Ejemplo: No es cierto que A · B = 0n =⇒ A = 0n o B = 0n, salvo queA o B sean regulares. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
)
Ejemplo: No es cierto que A · B = A · C =⇒ B = C, salvo que A searegular. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
), C =
(1 00 0
)
Ejemplo: Dada A ∈ Mm×n(K), es cierto que
A · v = 0n×1, ∀v ∈ Mn×1(K) =⇒ A = 0m×n
Precauciones con el producto de matrices
Como Mn(K) 6= cuerpo hay propiedades que no se cumpliran
Ejemplo: No es cierto que A · B = 0n =⇒ A = 0n o B = 0n, salvo queA o B sean regulares. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
)Ejemplo: No es cierto que A · B = A · C =⇒ B = C, salvo que A searegular. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
), C =
(1 00 0
)
Ejemplo: Dada A ∈ Mm×n(K), es cierto que
A · v = 0n×1, ∀v ∈ Mn×1(K) =⇒ A = 0m×n
Precauciones con el producto de matrices
Como Mn(K) 6= cuerpo hay propiedades que no se cumpliran
Ejemplo: No es cierto que A · B = 0n =⇒ A = 0n o B = 0n, salvo queA o B sean regulares. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
)Ejemplo: No es cierto que A · B = A · C =⇒ B = C, salvo que A searegular. Como ejemplo sirve
A = B =
(0 10 0
), C =
(1 00 0
)
Ejemplo: Dada A ∈ Mm×n(K), es cierto que
A · v = 0n×1, ∀v ∈ Mn×1(K) =⇒ A = 0m×n
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Propiedades de las matrices regulares
Denotemos GL(n, K) = {A ∈ Mn(K) / A es regular}
1. Si A, B ∈ GL(n, K), entonces A · B ∈ GL(n, K) y
(A · B)−1 = B−1 ·A−1
2. Si A ∈ GL(n, K) entonces A−1 ∈ GL(n, K) y (A−1)−1 = A
3. In ∈ GL(n, K) y I−1n = In
4. Si A ∈ GL(n, K) entonces At ∈ GL(n, K) y (At)−1 = (A−1)t
5. Si a ∈ K con a 6= 0 y A ∈ GL(n, K) entonces a ·A ∈ GL(n, K)Ademas (a ·A)−1 = a−1 ·A−1
GL(n, K) es un grupo (grupo lineal general de orden n sobre K)
Potencias
Si A ∈ Mn(K) y k ∈N∪ {0}, se define
A0 = In y Ak = A ·A · . . . ·A si k ≥ 1
Si A ∈ GL(n, K) y k ∈N, se define
A−k = (A−1)k
El calculo de potencias puede ser largo y tedioso
Se estudiaran metodos efectivos en el tema de diagonalizacion
Potencias
Si A ∈ Mn(K) y k ∈N∪ {0}, se define
A0 = In y Ak = A ·A · . . . ·A si k ≥ 1
Si A ∈ GL(n, K) y k ∈N, se define
A−k = (A−1)k
El calculo de potencias puede ser largo y tedioso
Se estudiaran metodos efectivos en el tema de diagonalizacion
Potencias
Si A ∈ Mn(K) y k ∈N∪ {0}, se define
A0 = In y Ak = A ·A · . . . ·A si k ≥ 1
Si A ∈ GL(n, K) y k ∈N, se define
A−k = (A−1)k
El calculo de potencias puede ser largo y tedioso
Se estudiaran metodos efectivos en el tema de diagonalizacion
Calculo de la inversaNo es facil, sin mas, decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Ejercicio: Dada la matriz
A =
(1 2−1 2
)estudiar, con la definicion, si es regular y, de serlo, calcular A−1
Encontrar A−1 equivale a resolver A ·X = In con X ∈ Mn(K)
Pongamos X = (x1 | . . . | xn). Como A ·X = (A · x1 | . . . |A · xn)la igualdad A ·X = In equivale a
A · xi = Ei, ∀i = 1, . . . , n, donde Ei =
0...1...0
que son SEL que pueden resolverse por el metodo de Gauss
Calculo de la inversaNo es facil, sin mas, decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Ejercicio: Dada la matriz
A =
(1 2−1 2
)estudiar, con la definicion, si es regular y, de serlo, calcular A−1
Encontrar A−1 equivale a resolver A ·X = In con X ∈ Mn(K)
Pongamos X = (x1 | . . . | xn). Como A ·X = (A · x1 | . . . |A · xn)la igualdad A ·X = In equivale a
A · xi = Ei, ∀i = 1, . . . , n, donde Ei =
0...1...0
que son SEL que pueden resolverse por el metodo de Gauss
Calculo de la inversaNo es facil, sin mas, decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Ejercicio: Dada la matriz
A =
(1 2−1 2
)estudiar, con la definicion, si es regular y, de serlo, calcular A−1
Encontrar A−1 equivale a resolver A ·X = In con X ∈ Mn(K)
Pongamos X = (x1 | . . . | xn). Como A ·X = (A · x1 | . . . |A · xn)la igualdad A ·X = In equivale a
A · xi = Ei, ∀i = 1, . . . , n, donde Ei =
0...1...0
que son SEL que pueden resolverse por el metodo de Gauss
Calculo de la inversaNo es facil, sin mas, decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Ejercicio: Dada la matriz
A =
(1 2−1 2
)estudiar, con la definicion, si es regular y, de serlo, calcular A−1
Encontrar A−1 equivale a resolver A ·X = In con X ∈ Mn(K)
Pongamos X = (x1 | . . . | xn). Como A ·X = (A · x1 | . . . |A · xn)la igualdad A ·X = In equivale a
A · xi = Ei, ∀i = 1, . . . , n, donde Ei =
0...1...0
que son SEL que pueden resolverse por el metodo de Gauss
Calculo de la inversaNo es facil, sin mas, decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Ejercicio: Dada la matriz
A =
(1 2−1 2
)estudiar, con la definicion, si es regular y, de serlo, calcular A−1
Encontrar A−1 equivale a resolver A ·X = In con X ∈ Mn(K)
Pongamos X = (x1 | . . . | xn). Como A ·X = (A · x1 | . . . |A · xn)la igualdad A ·X = In equivale a
A · xi = Ei, ∀i = 1, . . . , n, donde Ei =
0...1...0
que son SEL que pueden resolverse por el metodo de Gauss
Ultimos comentarios
Veremos tecnicas efectivas para decidir si A ∈ GL(n, K) y calcular A−1
Estas requieren el empleo de rangos y determinantes
Nota final: todas las demostraciones se pueden encontrar en
Luis Merino y Evangelina SantosAlgebra lineal con metodos elementalesEdiciones Paraninfo, S.A; edicion 1 (17 de abril de 2006)
