EL Diseño de Experimentos

• Está relacionado básicamente con el planeamiento de la recolección de los datos.

Un Experimento

• Es la Muestra en base a la cual se estimarán los parámetros Poblacionales, y se tomarán decisiones con respecto a la comparación de las poblaciones en estudio.

• Cada experimento es una pregunta que se hace a la naturaleza, por lo tanto, para que las respuestas no sean confusas o contradictorias, es necesario que el mismo sea:

1) Técnicamente planeado 2) Cuidadadosamente conducido 3) Adecuadamente analizado 4) Cautelosamente interpretado

1

Principios del diseño Experimental

Razones • Por lo general, un experimento es realizado

por una o varias de las razones siguientes:

• Identificar las principales causas de variación en la respuesta

• Encontrar las condiciones que permitan alcanzar un valor ideal en la respuesta

• Comparar las respuestas a diferentes niveles de factores controlados por el investigador

• Construir modelos que permitan obtener predicciones de la respuesta.

2

3

Definiciones Básicas Variable Respuesta: es la variable en estudio, aquella cuyos cambios

se desean estudiar. Es la variable dependiente.

Factor: es la variable independiente. Es la variable que manipula el

investigador, para estudiar sus efectos sobre la variable dependiente.

Nivel Del Factor: es cada una de las categorías, valores o formas

específicas del factor.

Factor Cualitativo: sus niveles se clasifican por atributos cualitativos.

Factor Cuantitativo: sus niveles son cantidad numérica en una escala.

Factores Observacionales: El investigador registra los datos pero no

interfiere en el proceso que observa.

Factores Experimentales: El investigador intenta controlar

completamente la situación experimental.

4

Experimento Unifactorial: es aquel en el se estudia un

solo factor.

Experimento Multifactorial: es aquel en el que se

estudia simultáneamente más de un factor.

Tratamientos: Conjunto de condiciones experimentales

que serán impuestas a una unidad experimental en un

diseño elegido.

En experimentos unifactoriales, un tratamiento corresponde a un nivel de factor.

En experimentos multifactoriales, un tratamiento corresponde a la combinación de niveles de factores.

Unidad Experimental: es la parte más pequeña de material experimental expuesta al tratamiento, independientemente de otras unidades.

5

Error Experimental: Describe la variación entre las

unidades experimentales tratadas de forma idéntica e

independiente. Orígenes del error experimental:

•Variación natural entre unidades experimentales

•Variabilidad en la medición de la respuesta

•Imposibilidad de reproducir idénticas condiciones del

tratamiento de una unidad a otra

•Interacción de tratamientos con unidad experimental

•Cualquier factor externo

Tratamiento Control: Un control al que no se le aplica

tratamiento revelará las condiciones en que se realiza el

experimento.

•Mediciones: Son los valores de la variable dependiente,

obtenidos de las unidades experimentales luego de la

aplicación de tratamientos.

6

Elementos Del Diseño De Experimentos

El diseño de experimentos se refiere a la estructura del

experimento considerando:

i) El conjunto de tratamientos incluidos en el estudio.

ii) El conjunto de unidades experimentales utilizadas en el

estudio.

iii) Las reglas y procedimientos por los cuales los

tratamientos son asignados a las unidades

experimentales (o viceversa).

iv) Las medidas o evaluaciones que se hacen a las

unidades experimentales luego de aplicar los tratamientos.

Análisis de Modelos Estadísticos y su

aplicación a Estudios Experimentales

y Observacionales

7

Principios Básicos Del Diseño De

Experimentos

1) Control Local: son las acciones empleadas por el

investigador para disminuir o controlar el error experimental • Técnica

• Selección De Unidades Experimentales Homogéneas

• Bloquización

• Selección del Diseño Experimental Adecuado

• Utilizacion De Covariables

2) Replicación como un medio para estimar la variancia

del error experimental • Proporciona medias para estimar la variancia del error

experimental

• Permite aumentar la precisión para estimar las medias de

los tratamientos.

• Da seguridad contra resultados anormales por accidentes

no previstos.

8

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO

DE EXPERIMENTOS

3) Aleatorización para validar la estimación de la variancia

del error experimental.

Consiste en aplicar en forma aleatoria los tratamientos a las

unidades experimentales.

La aleatorización tiende a promediar entre los tratamientos

cualquier efecto sistemático presente de forma que las

comparaciones entre tratamientos midan sólo los efectos de

los tratamientos mismos.

• Ambos análisis establecen relaciones entre variables.

• Estudian la relación estadística entre variables para tomar decisiones.

• En el Análisis de regresión el objetivo es Predecir.

• Usa solo variables cuantitativas y la relación se expresa con un modelo lineal en el cual la variable independiente puede tomar cualquier valor fijado por el investigador .

9

Análisis de Asociación

Análisis de Regresión vs. Análisis de

Varianza

• En el Análisis de Variancia el objetivo es comparar los distintos niveles de la ó las variables independientes ó factores para establecer diferencias significativas en la variable dependiente ó respuesta

• Difieren del modelo anterior en que las variables

independientes pueden ser cualitativas y que si son cuantitativas , en ANVA no se hace ninguna presunción sobre la naturaleza de la relación estadística entre variables dependientes e independiente.

10

Relaciones entre Análisis de Regresión

y Análisis de la Variancia

11

Los Tipos de Modelos. 11

Los modelos experimentales de clasifican en tres tipos:

• De efectos fijos – MODELO I

• De efectos Aleatorios – Modelo II

• Mixtos.(Factores fijos y aleatorios)

Cuando el investigador tiene control sobre el material

experimental aplicando sólo los niveles de los factores que

le interesan en el modelo, es de efectos fijos.

Cuando se investiga un factor pero no se tiene control sobre

tratamientos, por ejemplo en los estudios por muestreo,

dónde los niveles que se aplican son una muestra extraída

al azar de una población de niveles, los modelos son de

efectos aleatorios.

Modelo I o de efectos fijos

12

ijjijY ...

En este modelo se asume que las k muestras son muestras

aleatorias de k situaciones distintas y aleatorias. De modo

que un valor aislado Yij se puede escribir como:

Modelo II o de efectos aleatorios

ijjijY ... i= 1,..,k y j=1,..,n

i= 1,..,k y j=1,..,n A.j

¿Cuáles son los supuestos y cuáles los

elementos básicos del modelo I de

ANVA?

• Los Supuestos de Validez del modelo ANVA son:

oObservaciones Independientes.

oDatos distribuidos Normalmente ( ;

σ2).

oVariancias Homogéneas.

13

Los elementos básicos del modelo II de

ANVA

1. Supone que las k muestras independientes son

muestras de k poblaciones distintas y fijas.

14

Diseño Completamente

Aleatorizado DCA

15

16

Introducción 3

En el caso de un Único Factor (Experimento Unifactorial)

y a Efectos Fijos ( Modelo I) El modelo de Análisis de la

Varianza

ijjijY ...

En donde:

Yij es la variable aleatoria que que mide la respuesta del sujeto

experimentado en el í-simo individuo que recibió el j-simo

tratamiento;

.. Es el promedio general;

.j El efecto del j-simo tratamiento, y;

ij Es la cantidad de variación no explicada por el Factor, también

se conocerá como Error del Experimento, Variación Residual.

17

La Planificación del Experimento En la experimentación planificada no es el modelo más

recomendable, pues requiere que el desarrollo de la experiencia

se haga en condiciones muy controladas. Por esto resulta

apropiado cuando se estudian experimentos de laboratorio.

En otros casos, las circunstancias del material experimental

obligan a usar este experimento como es el caso de las pruebas

progenie en estudios genéticos.

La planificación del experimento es muy simple pues únicamente

se requiere que los sujetos que van a ser experimentados se

elijan al azar de la población y que además, los sujetos

experimentados que recibirán un nivel del factor o Tratamiento son

elegidos al azar del grupo previamente seleccionado.

Es muy conveniente que los grupos que recibirán un tratamiento

tengan la misma cantidad de individuos pero no es indispensable.

Anova Un Criterio

• Determina si la discrepancia entre las

medias entre los tratamientos es mayor de

lo que debería esperarse de las variaciones

que ocurren dentro de los tratamientos.

• Divide la Variación Total de los datos de la

muestra en dos componentes.

18

Supuestos Anova

1. Observaciones se distribuyen

Normal e Independiente y con la

misma varianza para cada

tratamiento

2.

3.

19

),0(~ 2 Nij

ijjijY ...

Modelos E Hipotesis • Modelo a efectos fijos

H0 : 1 = 2 …..= k= 0

H1 : i 0 al menos para una i

• Modelo a efectos aleatorios

H0 : σ ² = 0

H1 : σ ² ≠ 0

20

Diseño Completamente Aleatorizado

• Diseño aleatorio, en condiciones

homogéneas (tiempo, materias primas,

procedimientos operativos, etc.) .

• Ejemplo con tres tratamientos:

Nº 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11;12;13; 14; 15

Tr. A; A;C; B; B; A; C; B; B; C; B; C; C; A; A

Res.y₁,y₂,y3, y4 ,y5,y6, y7, y8, y9,y10,y11,y12, y13, y14, y15

• Análisis: ANOVA a Un criterio

21

Tabla Análisis Rep

Trat 1 2 3 4 5 Promedi

o

A YA1 YA2 YA3 YA4 YA5 YA.

B YB1 YB2 YB3 YB4 YB5 YB.

C YC1

YC2 YC3 YC4 YC5 YC.

Y..

22

Anova A Un Criterio

23

n

1t

2.jij

k

1j

n

1i

2k

1j

...j2

ij

k

1j

)y(y)yy(n..)y(y

Identidad de la suma de cuadrados

2k

1j

2)1()( jtrat nkCME

Esperanza de la suma de cuadrado tratamiento

1

k

SCCM trat

trat)1(

nk

SCEECMerror

Cuadrado medio del tratamiento Cuadrado medio del error

Cuadro Anova Un Criterio

Fuentes

Variación

Sumas

Cuadrados

g.l Cuadrad

os

Medios

F

Entre

Tratamientos

SCTrat. k-1 SCTrat/

g.l (I)

Fo=

I/II

Dentro Trat.

(Error)

SCError k(n-1) SCError/

g.l (II)

Total SCTotal n – 1

24

Anova Un Criterio

• Fo ≈ F ((k-1) y k(n-1))

• Si Fo > F ((k-1) y k(n-1)) Rechazo la Hipotesis Nula

25

Análisis Residual Y Verificación Del

Modelo

• Análisis Residual (Diferencia entre el valor

observado y el estimado por el modelo)

• Normalidad (mediante Gráficos de

Pr.Normal y Kolmogorof, Shaphiro Wilks)

• Igualdad de Varianzas (Diagrama de

Dispersión de residuos contra los

promedios de tratamientos y prueba de

homogeneidad de variancia de Levene)

26

Comparaciones Sobre Los

Promedios

• Si rechazo la Hipótesis Nula en el Modelo

a Efectos Fijos

o Contrastes Ortogonales

o Prueba de Dunnet

o Prueba de Tukey

o Intervalos de confianza

o Pruebas en caso de violaciones de los

supuestos

o Otras

27

Comparaciones para factores cuantitativos

• En un diseño completamente aleatorizado el factor bajo estudio puede sercualitativo o cuantitativo.

• Un factor cuantitativo es aquel cuyos niveles están asociados con una escala numérica.En este caso, en lugar de estudiar niveles individuales del factor, como es el caso en el estudio de un factor cualitativo, se estáinteresado en analizar el intervalo de valores utilizados. Es deseable predecir la respuesta a un nivel intermedio o, investigar si existe cierta tendencia en la respuesta. Es decir,el principal interés aquíes ajustar una ecuación a los datos. Esto puede llevarse a cabo mediante el uso de la Técnica de Análisis de Regresión.

28

Curvas de Respuesta

• Si los niveles del factor son equidistantes y si

Y=f(x, x2, x3,…,xp)

• es un polinomio en X, puede demostrarse que el puede ser escrito como: o Y = α0 P0(x) + α1P1(x) +... +αpPp(x) +ε

• donde Pi es un polinomio de grado i, tales que Pi(x)y Pj(x)son ortogonales.

• Si se tienen k tratamientos, se pueden tener efectos polinomiales hasta de orden k-1

29

Curvas de Respuesta

• Las sumas de cuadrados para los (k-1)efectos

polinomiales del factor forman una partición de la suma de cuadrados de los tratamientoscada uno con un grado de libertad y su significación estadística, puede ser comprobada comparando sus sumas de cuadrados con el cuadrado medio del error.El grado del polinomio lo determina el grado mas alto que para el cual éste sea estadísticamente significativo. Se desea ajustar el polinomio de menor grado posible que describa adecuadamente a los datos.

• Y=ΣαPi+ ε

30

31

Polinomios Ortogonales

• donde:

• d es la distancia entre los niveles de x

• k es el número total de niveles y

• Λj son constantes tales que los polinomios tienen valores enteros.

• Existen tablas que muestran los Pi(x) y los λi

• Los estimadores para los coeficientes de regresión λj se obtienen mediante el método de mínimos cuadrados

32

Estimaciones En Modelos A Efectos

Aleatorios

• Si rechazo la Hipótesis Nula en el Modelo a

Efectos Aleatorios

oAnálisis de componentes de la

Varianza

33

34

Ventajas Y Desventajas

La mayor ventaja de experimentar bajo un

esquema Completamente al Azar, esto es, sin

restricciones, es la simpleza del análisis y el

recurso que significa aplicarlo cuando no hay

otra posibilidad de análisis.

Es el paso consecutivo en uso de la regresión

lineal en el análisis de modelos lineales.

Se presta por igual a estudios mediante técnicas

de muestreo o en experimentos planificados.

35

Ventajas Y Desventajas

Cuando ocurren accidentes en la operación del experimento

como la pérdida de una cantidad de unidades

experimentales que no pueda contrarrestarse mediante

técnicas de extrapolación, el Modelo Completo al Azar

permite el análisis con las unidades remanentes sin importar

que haya diferente número por tratamiento.

La facilidad de cálculo y manejo no compensan la baja

precisión del diseño. Esto significa que es el modelo

experimental menos eficiente. O dicho de otra manera: el

diseño que mayor variación presenta. Prefiriéndose otros

con mayor precisión en el análisis.

Aleatorizacion • Puede hacerse utilizando una tabla de números al

azar, por cartas, tirando un dado, o por cualquier otra operación que sirva para el mismo propósito.

• Como ilustración vamos a considerar un experimento que involucra 3 tratamientos: A, B y C cada uno replicado 4 veces.

• La aleatorización y disposición de las unidades experimentales se lleva a cabo de la siguiente manera:

• Se determina en número total de UE. Para nuestro ejemplo 3x4=12.

• Se asigna una número a cada UE en una manera conveniente por ejemplo consecutivamente del 1 al 12.

36

Aleatorizacion Mediante una tabla de números al

azar:

• 1º paso: localizar el punto de comienzo en una tabla de números al azar

• 2º paso: Utilizando el punto de comienzo

obtenido en el 1º paso, seleccionar n números de tres dígitos, donde n es el número total de UE (n=12). Se prefiere números de tres dígitos porque es más difícil encontrar valores iguales.

37

• 3º paso: Se ranquean los 12 números

seleccionados del menor al mayor. Número al azar Secuencia Rango

149 1 2

361 2 7

180 3 4

018 4 1

427 5 8

243 6 6

494 7 9

704 8 12

549 9 10

157 10 3

571 11 11

226 12 5

Número al azar Secuencia

149 1

361 2

180 3

018 4

427 5

243 6

494 7

704 8

549 9

157 10

571 11

226 12

38

4º paso: Asignar los tratamientos a las UE. Usar el rango como números de UE y

la secuencia con la cual se obtuvieron los números aleatorios para referirse a los

tratamientos. Por ejemplo el tratamiento A : al 2,7,4,1, el tratamiento B, al

8,6,9,12, etc. 1 A 2 A 3 C 4 A

5 C 6 B 7 A 8 B

9 B 10 C 11 C 12 B

39

Ejemplo 1: Engorde de Cerdos

Una empresa de alimentos ofrece a una empresa porcina un

plan de alimentación muy bueno. El dueño del

establecimiento aceptaría comprar un nuevo alimento si

supera en aumento de peso al plan de alimentación actual y

a otros dos que le han ofrecido.

La empresa de alimentos decide demostrar las bondades de

su producto llevando a cabo un experimento planificado.

Consulta al dueño sobre la cantidad de cerdos que podían

usar en el experimento y las facilidades de las instalaciones.

La respuesta fue: 52 cerdos que se van a engordar y los

corrales que pueden ver.

40

Cuestionario

¿Se trata de un experimento uni o multifactorial?

¿Cuáles son los factores?

¿Cuáles son los tratamientos?

¿Cuál es la variable respuesta?

¿Cuál es la unidad experimental?

¿Cuántas replicaciones haríamos?

¿Cuántos animales necesitamos?

¿Cómo haríamos el diseño?

En el caso de utilizar bloquización indicar y justificar.

En el caso de utilizar tratamiento testigo indicar y justificar.

41

La Planificación del

Experimento Se descartan del grupo de 52 cerdos, las hembras y

animales extremos, muy pequeños o muy grandes y algunas

cruzas, quedan 24 machos castrados de la misma raza y de

tamaño similar.

El diagrama de los corrales disponibles se muestra a la

derecha con una capacidad de hasta 10 cerdos. ¿Cómo

asignarían los tratamientos? N

Debido a que no es posible atender a los cerdos

individualmente, se optó por usar los corrales

que miran al Norte para usar cada uno de ellos

con una de las 4 dietas por valorar.

En cada chiquero se acomodarían 6 cerdos?.

42

Consideraciones Sobre El Manejo.

El proceso de asignación aleatoria usualmente se elabora en

la oficina para no manejar a los animales de más.

Incluso antes de su selección previa y numerado. De esta

forma, un cerdo se atrapa, una sola vez, se pesa y se mide

antes de ser introducido en el chiquero que le corresponda.

Este valor se define como Y1, peso Inicial.

Al final del periodo de la prueba, los cerdos se vuelven a

pesar individualmente obteniendo la variable Y2.

Finalmente, la diferencia de peso final con la inicial será la

variable Y3 o incremento de peso.

Diseño en Bloques

Completos Aleatorizados

DBCA

43

44 Ing. Felipe Llaugel

• En muchos problemas de experimentos, es necesario

hacer un diseño de tal manera que la variabilidad

proveniente de fuentes conocidas pueda ser

sistemáticamente controlada.

• Se pretende reducir el efecto de la variabilidad

proveniente de causas propias del experimento pero

independiente del efecto que se desea estudiar.

Diseño De Bloques Completos

Aleatorizados

• Para los fines del análisis de varianza el bloqueo

introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es

separar del error experimental, alguna fuente de

variabilidad conocida.

45

Análisis De La Varianza:

Clasificaciones según dos Criterios

El Diseño en Bloque Completo al Azar es un plan en el

cual las unidades experimentales se asignan a grupos

homogéneos, llamados bloques, y los tratamientos son,

luego, asignados al azar dentro de los bloques.

Objetivo del agrupamiento: lograr que las unidades

dentro de un bloque sean lo más uniformes posible con

respecto a la variable dependiente, de modo que las

diferencias observadas se deban realmente a los

tratamientos. Al controlar la variación dentro de los

bloques reducimos la variabilidad del error experimental.

Completo: todos los tratamientos están incluidos en cada

bloque.

Diseños En Bloques Aleatorizados

46

Cada bloque constituye una replicación.

Todos los tratamientos aparecen una

sola vez en cada bloque

Diseño En Bloques Completos

Aleatorizados

• Se divide el material experimental en tantos bloques como números de replicaciones a utilizar. Cada bloque es luego dividido en tantas UE como tratamientos haya en estudio.

• Como el DBCA especifica que todos los tratamientos deben aparecer una vez en cada replicación, la aleatorización se hace separadamente en cada bloque.

• La aleatorización es similar al DCA para cada bloque.

47

48

Ejemplo: Para el ensamble de un artículo se considera comparar 4 máquinas

diferentes. Como la operación de las máquinas requiere cierta destreza se

anticipa que habrá una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad

con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirán 6 operarios

diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las

máquinas.

Entonces, el factor de interés es uno sólo, pero se crea otro factor para

controlar la variabilidad extraña y excluirla así del error experimental.

Aleatorización: debemos asignar cada tratamiento, M1, M2, M3, y M4 a

cada bloque.

22

45

27

2

Operario 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 5 Bloque 6

75

31

70

86

76

25

98

85

84

51

10

78

5

79

36

95

16

44

29

14

M2

M4

M3

M1

M3

M1

M2

M4

M2

M1

M4

M3

M4

M2

M1

M3

M1

M3

M2

M4

M2

M4

M3

M1

49

Ventajas

• Puede proveer resultados más precisos que un DCA del mismo tamaño si los agrupamientos son efectivos.

• Sirve para cualquier nº de tratamientos y replicaciones.

• Los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales.(Bloque Incompleto)

• El análisis no se complica si se debe descartar, por alguna causa, un tratamiento o algún bloque.

• Se puede introducir, deliberadamente, variabilidad en las unidades experimentales para ampliar el rango de validez de los resultados sin sacrificar la precisión de los resultados.

Desventajas

• Las observaciones faltantes dentro de un bloque requiere cálculos más complejos.

• Los grados de libertad para el error experimental no son tantos como en el DCA.

• Se requieran más presunciones para el modelo: no interacción entre tratamientos y bloques, varianza constante de bloque a bloque.

50

Pero si las máquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado

de la pieza, pensaríamos que las muestras provienen de poblaciones

diferentes, e

µ1 µ2 µ3 µ4

Si las máquinas no difieren en cuanto a la velocidad de

ensamblado de la pieza, tendrían igual velocidad promedio y las

curvas se superpondrían exactamente.

µ

H0 : µ1= µ2 = µ3= µ4 ó H0 =

α1=α2=α3=α4=0

H1: algún promedio es

distinto de los

restantes

51

EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)

Yij = µ + αi + βj + eij

Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en

segundos, e Yij es la observación perteneciente al j-ésima bloque bajo

el tratamiento i; las observaciones son independientes.

µ es la media general común a todas las máquinas y a todos los

operarios.

αi es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada

máquina.

βj es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.

eij es la variable aleatoria del error con distribución normal, con

media = 0 y varianza σ2 N (0 ; σ2 ) e independiente.

Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los

otros términos.

52

Cuando el

modelo es

aditivo quiere

decir que la

diferencia en

respuestas

medias entre dos

operarios es la

misma para

todas las

máquinas.

Medias marginales estimadas

de Velocidad

Tratamiento

4321

Med

ias

mar

gina

les

estim

adas

48

46

44

42

40

38

BLOQUE

1

2

3

4

5

6

53

Cada componente del modelo contribuye a la

variabilidad total. La partición de la Suma de

Cuadrados Total involucrará tres fuentes de variación.

Si aplicamos el Método de los Mínimos Cuadrados, para

estimar los parámetros

....ˆ y =

b

i

t

jij

ybt

1 1

1 Donde b son los bloques y t los

tratamientos

i = .ˆi - .. = .iy - ..y

j = j. - .. = jy. - ..y

ije = ijy - .. - i - j = ijy - .iy - jy. + ..y

54

Tabla de Análisis de varianza para dos criterios

de clasificación

2....

2.

22 )(..)(..).()..( yyyyyybyytyy j

i j

iij

j

j

i

i

i j

ij

Variación total Variación debida Variación debida Variación propia de

a los tratamientos a los bloques las observaciones

SCT SCA SCB SCE

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados F calculada

variación Cuadrados libertad Medios

Tratamientos SCA t - 1 CMA = SCA / t-1 CMA / CME

Bloques SCB b -1 CMB = SCB / b-1 CMB / CME

Error Experimental SCE (t - 1)(b-1) CME = SCE / (t-1)(b-1)

Total SCT t.b -1

55

Operario

Máquina 1 2 3 4 5 6 Total Medias

1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8 41,3

2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3 41,4

3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4 42,6

4 42,3 43,2 44,5 45,2 46,9 43,3 265,4 44,2

Total 164,8 163,1 165,9 170,8 177,2 175,1 1016,9

Medias 41,2 40,775 41,475 42,7 44,3 43,775 254,225 42,4

Tiempo en segundos para el ensamble del producto

Suma de Cuadrados Tratamientos =

Suma de Cuadrados de Bloques =

Suma de Cuadrados Total =

Suma de Cuadrados del Error = SCTotal – SCTratamiento - SCBloque

Fc =

2

.tb

Y

i j

ij

Factor de Corrección =

c

i

i FTb

2.

1

c

j

j FTt

2.

1

c

i j

ij FY 2