La Geometría Analítica Plana

IntroducciónHoy en las Matemáticas, los matemáticos presentan los

axiomas y luego proceden, paso a paso. Hasta construir sus maravillosas teorías. Es el eco de la obra de Euclides. 23 siglos después de su muerte.

Conceptos fundamentales para el estudio de la Geometría Analítica.

Aplicaciones a las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.

En 1637, un filosofo y matemático, René Descartes, publicó le Géométrie, la cual introdujo una invención para unificar la Geometría y el Algebra estas dos ramas de la matemáticas

En geometría se pone más énfasis en desarrollar la habilidad para analizar ciertos conceptos geométricos con solo un uso limitado de los números y de los conjuntos numéricos

Coordenadas cartesianas

La definición de producto cartesiano es R x R (que se lee cruz) lo cual es el conjunto de números reales. Y se denotara por R^2, entonces R^2 = {(x,y): x existe R, y existe R} es decir R^2 es igual al conjunto de pares ordenados tal que x existe en y y existe en R.

Así a toda pareja de números reales (coordenadas) le corresponde un punto definido.

Características del plano cartesiano las rectas perpendiculares divididas en segmentos

numerados son los ejes del sistema de coordenadas y sus puntos de intersección 0, se le llama el origen del sistema de coordenadas, la recta dirigida a y se le llama ordenadas y la recta dirigida a x se le llama abscisas. Las cuatro regiones en que los ejes de coordenadas dividen al plano se le llaman cuadrantes y se numeran I, II, III y IV.

Si a toda pareja de números reales le corresponde un punto definido.

Graficar el punto (a,b).Por el punto que corresponde al número a sobre el eje

horizontal (eje x) se traza una recta paralela al eje vertical.Por el punto que corresponde al numero b sobre el eje

vertical (eje y) se traza una recta paralela al aje horizontal.Al punto de intersección S de estas rectas se le asocia las

coordenadas (a,b). S se llama la grafica de (a,b) o simplemente el punto (a,b).

Es importante hacer notar que la correspondencia establecida por el sistema coordenado lineal es única. Es decir, a cada numero corresponde uno y solamente un punto sobre el eje, y a cada punto del eje corresponde uno y solamente un numero real.

Segmento rectilíneo Segmento rectilíneo es la porción de una línea

recta comprendida entre dos de sus puntos aun que suele llamarse simplemente segmento.

Los dos puntos se llaman extremos del segmento , AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por AB con un guion arriba(_) .

La recta numéricaConsideremos el segmento de recta cuya dirección

positiva es de izquierda a derecha y sea 0 un punto fijo sobre esta línea recta.

Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida; si A es un punto de X´X distinto de 0 y situado a su derecha, la longitud 0A puede considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de X’X situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido 0P, de longitud positiva, contiene x veces a la unidad adoptada de longitud, entonces diremos que el punto P corresponde a un número positivo x.

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Postulados de Euclides Euclides da una lista de 5 postulados de su geometría, éstas

eran las cosas dadas, las verdades evidentes por sí mismas de su sistema.

Postulado 1. (Es posible) trazar una línea recta desde un punto a otro.

Postulado 2. (Es posible) prolongar una línea recta finita de forma continua en una línea recta. Inmediatamente se ve que estos dos primeros postulados permiten, precisamente, las construcciones que se pueden trazar con una regla. Por ejemplo, si el geómetra quiere unir dos puntos con una recta tarea que físicamente se realiza con una regla. El postulado 1 suministra la justificación lógica para esa construcción.

Postulado 3. (Es posible) trazar un circulo con cualquier centro y cualquier distancia (es decir radio). Tenemos aquí la correspondiente base lógica para sacar un compás y trazar un círculo, con tal de escoger un punto como centro y una determinada distancia como radio. Así, los tres primeros postulados, en conjunto, justifican todos los usos pertinentes de las herramientas euclidianas.

Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Este postulado no tiene relación con ninguna construcción. Más bien, suministra un patrón uniforme de comparación a todo lo largo de la geometría de Euclides. Los ángulos rectos se habían introducido en la definición 10 y ahora Euclides supone que dos ángulos rectos cualesquiera, independientemente de en qué lugar del plano se hallen situados, son iguales. Con esta base. Euclides formula su proposición, con mucho, más controvertida de las matemáticas griegas.

Postulado 5. Si una línea recta que corta dos líneas rectas forma ángulos internos menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan en el lado en el que se forman los ángulos cuya suma es menor que dos rectos.

INTERVALOS Y DESIGUALDADES

Si un numero es menor que otro, el punto que le corresponde se encuentra a la izquierda del otro. Ya que todo número real es positivo, negativo o cero es decir.

Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor a b (en símbolos a<b) si y sólo si b-a es un numero positivo. Cuando a<b entonces b es mayor que a (b>a).

Algunos teoremas que son aplicables para la resolución de Desigualdades e inecuaciones.

Teorema 1. Ley aditiva, sea a,b,c є se cumple a<b y c es cualquier

numero real c>0, entonces a+c < b+c Teorema 2. Ley multiplicativa, Sea a,b,c є se cumple a<b y c>0, entonces ac <bc.

Colorario del teorema 2 Sea a,b,c є se cumple a<b y c<0, entonces ac>bc. Teorema 3. Ley transitiva Sea a,b,c є se cumple a<b y b<c, entonces a<b<c entonces a<c.

INTERVALO ABIERTOSupongamos que a y b se halla sobre el eje real y

que a<b. El conjunto de todos los números reales x tal que a<x y x<b: (a<x<b) se llama intervalo abierto y se denotara con el símbolo (a,b). De modo que (a,b)={x|a<x<b}.

INTERVALO CERRADOSupongamos que a y b están sobre el eje real y

que a<b. el conjunto de los números reales x tal que a≤x y x≤b: (a≤x≤b) se llama intervalo cerrado y se representa por el símbolo [a,b].

SECCIONES CONICASlugar geométrico Recibe el nombre de lugar geométrico a un

conjunto de puntos tales que ellos y solamente ellos satisfacen una condición geométrica.

La noción de lugar geométrico se encuentra en la raíz de un problema fundamental de Geometría Analítica: dado un conjunto de puntos en el plano (o espacio), determinado por una condición geométrica, encontrar una ecuación cuya grafica consta de todos los puntos del conjunto y solamente de ellos.

Es importante observar que el lugar geométrico es la curva en sí. Este concepto nos permitirá considerar que un lugar geométrico en particular puede tener varias ecuaciones que lo determinen dependiendo del sistema de coordenadas que se utilice.

Una ecuación de un lugar geométrico es una relación entre dos o más variables que se satisfacen por las coordenadas de todos los puntos de un lugar geométrico y solamente por ellas.

La circunferenciaUn círculo es el conjunto de todos los puntos de un

plano que son equidistantes de un punto fijo del plano. El punto figo se llama centro, y la distancia de cualquier punto del circulo al centro se llama radio.

El centro de un circulo esta en el punto fijo C(h,k) y el radio es igual a r. Entonces, si P(x,y) es cualquier punto del circulo, la distancia C a P es igual a r. Es decir r^2=(x-h)^2+(y-k)^2 que es equivalente a su formula general de la circunferencia x^2+y^2+Dx+Ey+f=0

Cuya representación gráfica es:

La parábola

la parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz.

Aunque los puntos de una parábola se pueden localizar por una aplicación directa de la definición de parábola, es fácil obtenerlos a partir de una ecuación de la curva. La ecuación más sencilla de una parábola se puede escribir si los ejes coordenados están colocados en una posición de especial con relación a la directriz y al foco.

Hagamos que el eje x este sobre la recta que pasa por el foco y sea perpendicular a la directriz, y que el vértice este en el origen. Entonces, escogiendo a>0, designamos las coordenadas del foco por F(a,0), y la ecuación de la directriz por x=-a. Puesto que todo punto p(x,y)de la parábola esta a la misma distancia del foco que la directriz, tenemos y^2=4ax

Cuya representación grafica es:

Bibliografía: 

Geometria Analitica/ Charles H. Lehmann ; Tr Rafael Garcia Diaz. Mexico, :limusa 2000

 GeometriaAnalitica Moderna / William Wooton, Edwin F.

Brekenbach, Frank . Fleming tr.Dr. enriqueDaltabut Godas. México: Cultural, 1979

 Geometria analítica introducción al precalculo/BUHUSLOW,

unión tipográfica editorial Hipano-America, S.A. de C.V. Barcelona, Bogotá

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