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Programas MatematicosPrimer Problema

Decaimiento naturalEcuacion de Bessel

Lineas de carga

Soluciones a Problemas de Fısica usandoProgramas Computacionales

David A. Espinoza

22 de noviembre de 2011

David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica



Lineas de carga

Tipos de Programas Matematicos

1 Estadısticos

S, S+

R-Project

2 Analisis numerico

Octave

MatLab

3 Sistema algebraico

Mathematica

Maxima

4 Geometricos

Origin

GnuPlot




Lineas de carga

Algunos programas matematicos




Lineas de carga

¿Que programa debo usar?

El programa que se debe usar depende de varios factores:

El tipo de problema.

La manera en que se desea resolver el problema.

Los recursos con los que se cuenta.

Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.




Lineas de carga

¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?

Privativos

Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.

Codigo Libre

Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.

Lenguaje deprogramacion

Tu estas creando elrecurso y es tuyo.

Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:

dinero ∝ soporte ∝ 1

tiempo⇒ dinero ∝ 1

tiempo




Lineas de carga

Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran

Un ejercicio muy sencillo!!!

Todos conocemos las ecuaciones del lanzamiento de proyectiles

x(t) = v0 cos(θ0)t

y(t) = v0 sin(θ0)t − 1

2gt2

Casi todos.....




Lineas de carga


Lista de comando en Mathetamica R©

g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;

Definimos las constantes

x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t;

Definimos las funciones

y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}]

Graficamos




Lineas de carga



g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4; Definimos las constantes



y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;


Graficamos




Lineas de carga



g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;


x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t; Definimos las funcionesy[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;


Graficamos




Lineas de carga



g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;




y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}] Graficamos




Lineas de carga


Lista de comando en wxMaxima

g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$


x(t):=v0*cos( %theta)*t $


y(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $

wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$

Graficamos




Lineas de carga



g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$ Definimos las constantes





Graficamos




Lineas de carga



g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$


x(t):=v0*cos( %theta)*t $ Definimos las funcionesy(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $


Graficamos




Lineas de carga



g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$





wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$Graficamos




Lineas de carga


Programa en ForTran

program proyectil

implicit none

integer :: t

real, dimension(50) :: x,y

Definimos las variables

real, parameter :: theta=0.785398

real, parameter :: G=9.8

real, parameter :: V=30


open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)

do t=1,50

x(t)=V*cos(theta)*t*0.1

y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2

write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)

enddo

close(100)

Hacemos el trabajo

end program proyectil




Lineas de carga


Programa en ForTran

program proyectil

implicit none

integer :: t

real, dimension(50) :: x,y

Definimos las variables

real, parameter :: theta=0.785398

real, parameter :: G=9.8

real, parameter :: V=30


open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)

do t=1,50

x(t)=V*cos(theta)*t*0.1

y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2

write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)

enddo

close(100) Hacemos el trabajo

end program proyectil




Lineas de carga

Resolucion en MathetamicaResolucion en Maxima

Desintegracion de partıculas

Si P(t) es la probabilidad de que una partıcula sobreviva por untiempo t, y tiene una constante de probabilidad 1/tau, entonces:

1

P

dP

dt= − 1

tau

Graficar P(t) para diferentes valores de tau




Lineas de carga


Comando en Mathetamica R©

DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]

Encontramos las soluciones

Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]

Creamos la animacion




Lineas de carga



DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]Encontramos las soluciones

Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]





Lineas de carga



DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]


Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]Creamos la animacion




Lineas de carga



ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$


with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])





Lineas de carga



ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$Encontramos las soluciones

with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])





Lineas de carga



ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$


with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])Creamos la animacion




Lineas de carga


Ecuacion de Bessel de orden p

Una ecuacion diferencial muy recurrente en problemas de fısica esla ecuacion de Bessel dada por:

x2y ′′(x) + xy ′(x) + (x2 − n2)y(x) = 0

Encontrar las soluciones para n = 0, 1, 2, 3 · · ·




Lineas de carga



DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]


Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]

Creamos una animacion para una solucion particular




Lineas de carga



DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]Encontramos las soluciones






Lineas de carga



DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]


Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]Creamos una animacion para una solucion particular




Lineas de carga


Comando en Maxima

ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$


d:makelist(k,k,0,20)$

Hacemos una lista que sirva como contador

with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$





Lineas de carga


Comando en Maxima

ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$Encontramos las soluciones








Lineas de carga


Comando en Maxima



d:makelist(k,k,0,20)$Hacemos una lista que sirva como contador






Lineas de carga


Comando en Maxima





with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$Creamos una animacion para una solucion particular




Lineas de carga

Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima

Potencial de lineas de cargas

Dadas dos distribuciones de carga:

Un anillo

f (t) = cos t, g(t) = sin t 0 ≤ t ≤ 2π

Una Espiral

f (t) = 0.5t cos t g(t) = 0.5t sin t

Encontrar el potencial electrico de ambas distribuciones.




Lineas de carga


Anillo de Carga


Planteamos la integral del potencial

Plot3D[f[x, y], x, -2, 2, y, -2, 2, PlotPoints -> 40]

Graficamos las soluciones encontradas




Lineas de carga


Anillo de Carga

Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]Planteamos la integral del potencial






Lineas de carga


Anillo de Carga



Plot3D[f[x, y], x, -2, 2, y, -2, 2, PlotPoints -> 40]Graficamos las soluciones encontradas




Lineas de carga


Comandos en Mathematica R©

f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]







Lineas de carga



f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]Planteamos la integral del potencial






Lineas de carga



f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]


Plot3D[f[x, y], x, -8, 8, y, -8, 8, PlotPoints -> 40]Graficamos las soluciones encontradas




Lineas de carga


Anillo de carga

romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);


plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);





Lineas de carga


Anillo de carga

romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);Planteamos la integral del potencial

plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);





Lineas de carga


Anillo de carga

romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);


plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);Graficamos las soluciones encontradas




Lineas de carga


Espiral de carga de carga

romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);


plot3d( %, [x,-2,2], [y,-2,2]);





Lineas de carga



romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);Planteamos la integral del potencial

plot3d( %, [x,-2,2], [y,-2,2]);





Lineas de carga



romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);


plot3d( %, [x,-2,2], [y,-2,2]);Graficamos las soluciones encontradas


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