MOVIMIENTO PLANO DE LOS

FLUIDOS

ALVÍTEZ VÁSQUEZ FLAVIOGOMEZ CÓRDOVA ANTONNY KUINMORENO PAREDES ARMANDOVÁSQUEZ GONZALES ELVISVIDAURRE VALDERA JOSÉVILLAR VÁSQUEZ ZAYRO

INTRODUCCIÓNEn el presenta trabajo de investigación estudiaremos sobre una rama de la mecánica de fluidos, la cual es muy importante conocer ya que esto es aplicada en los trabajos de ingeniería, llamada movimiento plano de los fluidos la cual nos basaremos en la información de libros y en la búsqueda acerca del tema citamos algunas páginas de internet las cuales nos ayudaron a facilitar un análisis más concreto del tema a tratar en nuestra exposición.

OBJETIVOS

El objetivo general de este informe es dar a conocer los conceptos básicos de Movimiento plano de fluidos, además describimos su aplicación dentro del campo de la Ingeniería Civil.

  Así la aplicación en estructuras como Canales, Represas, Reservorios,

etc.  

Ya que los datos o formulas obtenidos en este trabajo nos permitirá calcular la cantidad exacta de los distintos tipos de fluidos que se utilizaran en estas estructuras dando con exactitud datos mas precisos.

  Planteamos también ejemplos que nos ayudan a desarrollarnos dentro

de nuestra carrera.

Conceptualizar y Dar a conocer los temas como presión función corriente y potencial presión, Ecuación De Cauchy-Riemann y Red de corriente.

CONCEPTOS PREVIOS DE NUESTROS TEMAS

Movimiento plano de los fluidos:

Función corriente y potencial:

Ecuación de Cauchy-Riemann:

Red de corriente:

FUNCIÓN DE CORRIENTE

Se puede suponer un líquido incompresible en movimiento bidimensional, permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje z, de modo que su estudio puede hacerse en el plano xy.

Ψ (x,y) = cte

En el punto P, sobre una l.c. los tres vectores indicados en la figura son normales entre sí, de modo que se cumple:

V = grad ψ x k

Siendo las componentes de V :

V = = i - j

𝑉𝑥 ¿𝜕ψ𝜕 𝑦

𝑉𝑦 ¿ −𝜕ψ𝜕 𝑥

Y en coordenadas polares:

V = = - ’ Vr =

Vϴ =

Por otra parte, si n en la dirección normal a la l.c. genérica,

|grad | =

Y por la : |grad | = V 𝜕ψ𝜕𝑛

¿ 𝑉

𝑑ψ ¿ 𝑉 𝑑𝑛

Gasto que pasa entre dos l.c. y + d, por unidad de ancho perpendicular a este plano.

Es decir:

q = [] = 2 -1

FUNCIÓN POTENCIALFUNCIÓN POTENCIAL

El estudio del flujo plano es, posible sólo si se cumple que el campo de velocidades es un campo potencial y el flujo es irrotacional.

𝑉=−𝛻∅

(x,y) = cte

Entonces las componentes de la velocidad son:

𝑉 𝑥=−𝜕∅𝜕 𝑥 𝑉 𝑦=−

𝜕∅𝜕 𝑦

INTRODUCCIÓNf : D →C analítica en D⇔ ∀z ∈D, f(z) derivable en z0

z y f(z) se expresan binomicamente descompuestas en parte real y parte imaginaria:z = x +iy ; f(z) = F(x, y)+i.G(x, y)

ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN

Ejemplo:f(z) = z2 + 3Z , se tiene:f(z) = (x+iy)2 + 3(x+iy) = x2 – y2 + 3x + i(2xy + 3y)Es decir, en este caso las partes real e imaginaria de la función vienen dadas por:F(x,y) = x2 – y2 + 3xG(x,y) = 2xy +3y Las cuaciones de Cauchy-Riemann son: = ; = -  Del ejemplo anterior:f(z) = x2 – y2 + 3x + i(2xy + 3y) F(x,y) = x2 – y2 + 3x

G(x,y) = 2xy +3y Las derivadas parciales son: = = 2x + 3 = - = -2y

RELACIÓN DE LA FUNCIÓN DE CORRIENTE Y POTENCIAL POR CAUCHY-RIEMANN

EN COORDENADAS CARTESIANAS

EN COORDENADAS POLARESVr = Vr = -

V = - V = -

RED DE CORRIENTE

Las redes de corriente se dibujan para representar la configuración del flujo en casos de flujos bidimensionales y en algunos casos también en tridimensionales. La red de corriente está formada por:

-       Una familia de líneas de corriente

-       Otra familia de curvas ortogonales a las líneas de corriente

a) Explicar brevemente para dibujar una red de corriente en el caso de un flujo bidimensional permanente de un fluido ideal para los contornos dados.

En una sección entre los contornos paralelos se divide un flujo con un cierto número de bandas de igual anchura

Para determinar las direcciones de las líneas de corriente se dibujan las líneas normales a aquellas líneas equipotenciales. Estas líneas estas espaciadas de forma que ∆S=∆n .

PROBLEMA 1: Un campo de flujo está dado por la función de corriente = 3x2y – y3. Es el flujo irrotacional? Dibújese la línea de corriente para = 2

Las componentes de velocidad x e y están dadas poru = = [3x2y – y3] = 3x2 – 3y2 v = = [3x2y – y3] = -

6xy

Por lo tanto el rotacional seráÑ x U = k [ - ] = k [- 6y – (- 6y)] = 0

Entonces el flujo es irrotacional.

Para trazar la curva que representa la línea de corriente cuando =2 basta con despejar la variable X y dar valor a Y .Así:

[3x2y – y3 ] = 2

LA FIGURA 1 ILUSTRA LA CURVA PARA = 2

FIGURA (1): LÍNEA DE CORRIENTE PARA = 2

Un flujo potencial está definido por la función = x2 – y2. Determinar la función de corriente y obtener la magnitud del caudal circulante entre los puntos P1 = (8,1) y P2 = (4,4).

Para determinar la función de corriente se aplican las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo tanto, utilizando una de las expresiones presentadas en la ecuación resulta que

= = [x2 – y2] = 2x

Por lo tanto, al realizarla integración se obtiene que la función de corriente es igual que

= 2xy + f(x)

De igual forma, haciendo uso de la segunda expresión de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se obtiene que

= -

El primer término de esta igualdad produce lo siguiente:

= [2xy + f(x)] = 2y + f ’(x) ….. (a)

El segundo término genera la relación: = 2y ……. (b)

Por lo tanto, al igualar las expresiones (a) y (b) se obtiene que

f ‘(x) = 0 f ‘(x) = C

Así, la función de corriente queda definida por la expresión = 2xy + C

Para calcular la constante C, supóngase que para el punto de origen x = y = 0 la función es cero por lo que C = 0.

Por otra parte, al estudiar las dos funciones de potencial y de corriente, se concluye que para = 0 los valores de x e y son idénticos generando las líneas equipotenciales que ilustra la figura (2).

De igual forma la función de corriente produce curvas con asíndotas a los ejes x e y respectivamente. También, para el punto 1 donde x = 8 e y = 1, la función de corriente es igual que 16 unidades de caudal por unidad de longitud en z mientras que para el punto 2 (x=4, y=4) la función de corriente es igual que 32 unidades

PROBLEMA 3: Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están gobernadas por los siguientes campos: Campo escalar de densidades; 4 xyzt = ρ y el campo vectorial de velocidades:

 Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

 

Donde:

  

 

 -4xyz+4xyz=0 (verificándose la continuidad que

si existe)