Movimiento en El Plano Trabajo 1

7/22/2019 Movimiento en El Plano Trabajo 1

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MECNICADE FLUIDOS IMOVIMIENTO EN EL PLANO Daremos a conocer en la dinmica de fluidos, el movimiento en el plano mediante lossubtemas que daremos a conocer mediante este trabajo y una exposicin, para poderextender ms nuestro tema a tratar.

4-11-2013

ALVTEZ VSQUEZ FLAVIO

GOMEZ CRDOVA ANTONNY KUIN

MORENO PAREDES ARMANDO

VSQUEZ GONZALES ELVIS

VIDAURRE VALDERA JOS

VILLAR VSQUEZ ZAYRO


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CONTENIDOINTRODUCCIN ................................................................................................................................... 0

OBJETIVOS ....................................................................................................................................... 2

CONCEPTOS PREVIOS DE NUESTROS TEMAS .................................................................................. 3

LA FUNCIN DE CORRIENTE ................................................................................................................ 4

FUNCIN POTENCIAL .......................................................................................................................... 7

ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN ................................................................................................... 8

INTRODUCCIN ............................................................................................................................... 8

DEMOSTRACIN .............................................................................................................................. 9

FUNCIN POTENCIAL ................................................................................................................ 10

FUNCIN DE CORRIENTE ........................................................................................................... 10

RELACIN DE LA FUNCIN DE CORRIENTE Y POTENCIAL POR CAUCHY-RIEMANN.................. 11

RED DE CORRIENTE ........................................................................................................................... 11

PROBLEMAS ...................................................................................................................................... 14

PROBLEMA 1 ................................................................................................................................. 14

PROBLEMA 2 ................................................................................................................................. 15

PROBLEMA 3 ................................................................................................................................. 17

PROBLEMA 4 .....................................................................................Error! Bookmark not defined.


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INTRODUCCIN

En el presenta trabajo de investigacin estudiaremos sobre una rama de la mecnica de fluidos,

la cual es muy importante conocer ya que esto es aplicada en los trabajos de ingeniera, llamada

movimiento plano de los fluidos la cual nos basaremos en la informacin de libros y en la

bsqueda acerca del tema citamos algunas pginas de internet las cuales nos ayudaron a facilitar

un anlisis ms concreto del tema a tratar en nuestra exposicin.

La finalidad de este trabajo es causar controversia y generar debate en torno a que

acciones debemos adoptar en el uso de estos elementos para luego ser aplicados en los

mtodos de anlisis utilizables.

OBJETIVOS

El objetivo general de este informe es dar a conocer los conceptos bsicos de

Movimiento plano de fluidos, adems describimos su aplicacin dentro del campo

de la Ingeniera Civil.

As la aplicacin en estructuras como Canales, Represas, Reservorios, etc.

Ya que los datos o formulas obtenidos en este trabajo nos permitir calcular la

cantidad exacta de los distintos tipos de fluidos que se utilizaran en estas

estructuras dando con exactitud datos mas precisos.

Planteamos tambin ejemplos que nos ayudan a desarrollarnos dentro de nuestra

carrera.

Conceptualizar y Dar a conocer los temas como presin funcin corriente y

potencial presin, Ecuacin De Cauchy-Riemann y Red de corriente.


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CONCEPTOS PREVIOS DE NUESTROS TEMASMovimiento plano de los fluidos:

La mayora de problemas sobre conduccin de agua en tuberas y canales se resuelven con la

hiptesis de flujo unidimensional. Pero tambin hay un grupo importante de problemas en los que

se hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la

descripcin del flujo en planos paralelos es idntica a la estudiada.

Un ejemplo Claro de movimiento plano de los fluidos podra ser el movimiento del agua en un

medio poroso, como es el subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con

predominio de la viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi ir rotacional.

Funcin corriente y potencial:

Funcin Corriente:

La funcin corriente es una funcin escalar que define a una familia de lneas de corriente. Esta

funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea de corriente.

Funcin Potencial:

Es una funcin escalar que define a una familia de lneas equipotenciales. Esta funcin tiene un

valor constante diferente para cada lnea equipotencial.

Ecuacin de Cauchy-Riemann:

Esta ecuacin haremos de su uso en la relacin que habr entre las velocidades que hay en un

movimiento en el plano

Red de corriente:

La red de corriente es un espectro de lneas ortogonales. En una red de flujo todas las reas

limitadas por un par de lneas de corriente y un par de lneas equipotenciales, son homlogas, por

ejemplo, tienen la misma relacin de anchura a longitud.


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LA FUNCIN DE CORRIENTE

Como cuestin previa recordemos la definicin del gradiente en el plano y suspropiedades.

Dada una funcin escalar en el plano X, Y, tal como a(X,Y), se llama gradiente de la

misma el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de a:

gra a=i+ j

Sus propiedades son:

1. El grad aes normal las lneas a= constante2. El mdulo de gradaes la derivada de aes la derivada de asegn la normal a

las lneas a= constante.

|grad a| =

3. El sentido de grad aes el que corresponde a las acrecientes.Se puede suponer un lquido incompresible en movimiento bidimensional,permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje z, de modo que suestudio puede hacerse en el plano xy.Se puede considerar luego una familia de l.c., las que no cambiarn con el tiempo

por tratarse de un movimiento permanente.

La ecuacin de estas l.c. segn tenemos:=


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Y se puede considerar que la familia de l.c. viene definida por una cierta funcin

escalar (x,y) que se denomina funcin de corriente, con un valor constante

diferente para cada l.c.

(x,y) = cte

En el punto P, sobre una l.c. los tres vectores indicados en la figura son normales

entre s, de modo que se cumple:

V = gra x k

Siendo las componentes de V :

V =

|

|

=

i-

j

Y en coordenadas polares:

r , vectores unitarios


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V = | |= - Vr = = = =

V=

Por otra parte, si n en la direccin normal a la l.c. genrica ,|grad | =

Y por la (39):|grad | = VDe modo que:

Es decir:

q = []= 2-1

. gasto que pasa entre dos l.c.y

+ d, por unidad de ancho

perpendicular a este plano


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FUNCIN POTENCIAL

El estudio del flujo plano es, posible slo si se cumple que el campo de velocidades es uncampo potencial y el flujo es irrotacional es decir existe una funcin escalar delespacio y del tiempo tal que su derivada en una direccin cualesquiera es la componente

de la velocidad del fluido en esa direccin. A la funcin se le llama velocidadpotencial, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplancon la ecuacin de Laplace o Laplaciano de la funcin . De la ecuacin de continuidadtenemos que:

Entonces las componentes de la velocidad

son:

(x,y) = cte


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ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN

INTRODUCCINf : D C analtica en Dz D, f(z) derivable en z0

z y f(z) se expresan binomicamente descompuestas en parte real y parte imaginaria:

z = x +iy ; f(z) = F(x, y)+i.G(x, y)

Ejemplo:

f(z) = z2+ 3Z , se tiene:

f(z) = (x+iy)2+ 3(x+iy) = x2y2+ 3x + i(2xy + 3y)

Es decir, en este caso las partes real e imaginaria de la funcin vienen dadas por:

F(x,y) = x2y2+ 3x

G(x,y) = 2xy +3y

Las cuaciones de Cauchy-Riemann son:

= ; = -

Del ejemplo anterior:

f(z) = x2y2+ 3x + i(2xy + 3y) F(x,y) = x2y2+ 3x

G(x,y) = 2xy +3y

Las derivadas parciales son:

= = 2x + 3= - = -2y


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DEMOSTRACINo Por aplicacin directa de la definicin de derivada compleja:

= Siendo h, el incremento de la variable independiente z, real o bien imaginario:

Si es h R, z + h = x + h + iy, con lo cual es:

= = = ]= = + i Si es h= it C, t R, z+h = x + i(y+t), verificndose ahora:

= = = ]= = -i + Identificando ambas expresiones:

+ i = -i + = ; = -

Ahora se har una relacin de estas dos funciones con la funcin potencial y la funcin de

corriente. Pero primero un resumen de lo ya antes explicado


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FUNCIN POTENCIAL

Es una funcin escalar que define a una familia de lneas equipotenciales. Esta funcin tiene un

valor constante diferente para cada lnea equipotencial.

EN COORDENADAS CARTESIANAS

V = - i - j (a)

V = Vx i + Vyj ..(b)

EN COORDENADAS POLARESVr= -

V= -

FUNCIN DE CORRIENTELa funcin corriente es una funcin escalar que define a una familia de lneas de corriente. Esta

funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea de corriente.


V = i - j (a) V = Vx i + Vyj ..(b)

EN COORDENADAS POLARES

Vr=

V= -


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RELACIN DE LA FUNCIN DE CORRIENTE Y POTENCIAL POR CAUCHY-RIEMANN


EN COORDENADAS POLARES

Vr= Vr= -

V= - V= -

RED DE CORRIENTE

Las redes de corriente se dibujan para representar la configuracin del flujo en casos de flujosbidimensionales y en algunos casos tambin en tridimensionales. La red de corriente est formadapor:

Una familia de lneas de corriente espaciadas de tal forma que el caudal es el mismo entre

cada dos pares de lneas.

Otra familia de curvas ortogonales a las lneas de corriente, y espaciadas de tal forma quela separacin entre ellas es igual a la separacin entre las lneas de corriente adyacentes.

Para describir completamente un flujo, con condiciones de contorno dadas, se requiere unnmero infinito de lneas de corriente. Sin embargo el nmero de lneas de corriente empleadasprcticamente es el mnimo necesario para obtener la precisin deseada.


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En una seccin entre los contornos

paralelos se divide un flujo con un cierto

nmero de bandas de igual anchura

supuesto que se ha tomado del flujouna capa, de espesor unidad.perpendicular al dibujo. Cada bandarepresenta un tubo de corriente limitado

por lneas de corriente o bien por lneas

de corriente y uno de los contornos .as

el fuljo total queda dividido en flujos

parciales iguales por cada una de las

bandas y q es constantedonde

se mide normalmente a la

velocidad local como q se deduce que cuandomenores son los valores de son mas exactas las ecuaciones anteriores , se escogen elnumero de suficientes de lneas de corriente para que la exactitud sea aceptable . sin entrar en

necesarios refinamientos y detalles en el dibujo en el dibujo.

Para determinar las direcciones de las lneas de corriente se dibujan las lneas normales a aquellas

lneas equipotenciales. Estas lneas estas espaciadas de forma que S=n . las lneas

equipotenciales son ortogonales a las lneas de corriente de esta forma el diagrama obtenido se

asemeja a un grupo de cuadrados (aproximadamente a travs de toda la red de corriente

En las zonas prximas all donde los contornos cambian de forma no se puede mantener los

cuadrados , variando la configuracin de la red de corriente y para obtenerla de la manera ms

correcta ser necesario comprobarla dibujando los cuadrados a travs de todos los cuadrados

(curvilneos). Las dos familias de diagonales formaran una red aproximadamente cuadrada

Muchas veces los mismos contornos son lneas de corriente verdaderas. si no sucede as la red

corriente no representa la configuracin real del flujo . Por ejemplo cuando un flujo se separa del

contorno en esta regin el contorno no se puede utilizar como una lnea de corriente. en general

cuando las lneas de corriente son divergentes se dan las condiciones para que se pueda producir

el fenmeno de la separacin

La solucin matemtica en los flujos irrotacionales eta basada en la definicin de la funcincorriente, cuya definicin incluye el principio de continuidad y las propiedades de una lnea de

corriente .el caudal (funcin corriente) entre dos lneas de corriente es constante ya que el flujo no

puede atravesar las lneas de corriente, y si la funcin corriente puede expresarse en funcin de x

e y puede dibujarse las lneas de corriente , analgicamente las . las lneas equipotenciales pueden

definirse por (x,y)=constante.


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A partir de estas expresiones es factible deducir que:

b)


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PROBLEMAS

PROBLEMA 1Un campo de flujo est dado por la funcin de corriente = 3x2y y3. Es el flujo irrotacional?Dibjese la lnea de corriente para

= 2

SOLUCIN

Las componentes de velocidad x e y estn dadas por

u == [3x2y y3] = 3x23y2 v = = [3x2y y3]= - 6xy

Por lo tanto el rotacional ser: U: Velocidad

x U =k [

-

] =k [- 6y (- 6y)] = 0

Entonces el flujo es irrotacional.

Para trazar la curva que representa la lnea de corriente cuando =2 basta con despejar lavariable X y dar valor a Y .As:

[3x2y y3]= 2 LA FIGURA 1 ILUSTRA LA CURVA PARA

= 2

FIGURA (1): LNEA DE CORRIENTE PARA = 2


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PROBLEMA 2

Un flujo potencial est definido por la funcin = x2y2. Determinar la funcin de corriente y

obtener la magnitud del caudal circulante entre los puntos P1= (8,1) y P2= (4,4).

SOLUCIN

Para determinar la funcin de corriente se aplican las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo

tanto, utilizando una de las expresiones presentadas en la ecuacin resulta que

= = [x2y2]= 2xPor lo tanto, al realizarla integracin se obtiene que la funcin de corriente es igual que

= 2xy +f(x)De igual forma, haciendo uso de la segunda expresin de las ecuaciones de Cauchy-Riemannse obtiene que

= -

El primer trmino de esta igualdad produce lo siguiente:

= [2xy +f(x)]= 2y +f (x) .. (a)

El segundo trmino genera la relacin:

- = 2y . (b)

Por lo tanto, al igualar las expresiones (a) y (b) se obtiene que

f (x) = 0f (x) = C

As, la funcin de corriente queda definida por la expresin = 2xy + CPara calcular la constante C, supngase que para el punto de origen x = y = 0 la funcin es ceropor lo que C = 0.


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Por otra parte, al estudiar las dos funciones de potencial y de corriente, se concluye que paras= 0 los valores de x e y son idnticos generando las lneas equipotenciales que ilustra lafigura (2).

De igual forma la funcin de corriente produce curvas con asndotas a los ejes x e y

respectivamente. Tambin, para el punto 1 donde x = 8 e y = 1, la funcin de corriente es igualque 16 unidades de caudal por unidad de longitud en z mientras que para el punto 2 (x=4,y=4) la funcin de corriente es igual que 32

FIGURA (2): RED DE FLUJO Y CLCULO DEL CAUDAL

As el flujo se dirige de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba siguiendo el rumbo de lashiprbolas con una magnitud del caudal igual a la diferencia entre las funciones de corrienteen los puntos 2 y 1 respectivamente. Por lo tanto

Q = 2- 1= 32 16 = 16[ ]


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PROBLEMA 3

Verificar si los siguientes campos de flujo incompresibles satisfacen la ecuacin decontinuidad. Indicar en cada caso si el flujo es rotacional o irrotacional.

La ecuacin de continuidad es: div. V =

. V =

+

= 0

Y la ecuacin del rotacional de V es:

rot V =

= - determinando valores, resulta:

a) div. V = 0, rot V = 0 el flujo irrotacional

b) div. V = 0, rot V 0 el flujo rotacional

b) Vx= (x - 2y) t

Vy = (2x + y) t

a) Vx= x2cosy

Vy = - 2x seny


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PROBLEMA 4

Se tiene un fluido cuyas partculas en movimiento estn gobernadas por los siguientes campos:

Campo escalar de densidades; 4 xyzt = y el campo vectorial de velocidades:

Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

( )

( ) Donde:

( ) ( )

( ) ( )( )

-4xyz+4xyz=0 (verificndose la continuidad que si existe)

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