20/06/2012

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GRADIENTE HIDRAULICO CRÍTICO:

Para la condición hidrostática:

Para flujo vertical descendente:

w

sat

y

z

’

y w+z sat (y+z) w z( sat - w)

w

sat

y

z

’

y w+z sat (y+z-h) wz( sat - w)+h w

w

sat

y

z

’

y w+z sat (y+z+h) wz( sat - w)-h w

Para flujo vertical ascendente:

En el flujo vertical ascendente, es cuando se presenta la

condición crítica ’=0, se dice que el suelo se encuentra en

estado de licuefacción.

’ = z ( sat - w) - h w =0 Cw

wsat iz

h

iC = Gradiente crítico

1

1C

Gsi

e3

i

iFS C

FLUJO A TRAVÉS DE SUELOS ANISOTRÓPICOS:

Kh

Kv K

a

F.a

a

F.a

Qv

Qh

En las secciones señaladas lo que se

quiere es: Qv =Qh, , aplicando Darcy:Kv

Kh

v

h

K

KF

F = Factor de

mayoración.

Para trabajar con un solo valor de K, se desea una sección:

a

a

a

a

Q, K

Planteando la Ley de Darcy:

aa

hKQ

Luego igualando Q con Qh o Qv, queda:

vh KKK

ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO

DE AGUA A TRAVÉS DE LA MASA DE

SUELO.

dx

dy

dz

x

z

y

dxx

vvxx

v

VELOCIDADES

“ENTRADA” : , ,x y zv v v

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VELOCIDADES

“SALIENTES”

:

:

:

xx

yy

zz

vv dx x

xv

v dy yy

vv dz z

z

Por continuidadQ entra = Q sale

DARCY Q K i A = velocidad * Área.

x y z

yx zx y z

v dzdy v dxdz v dydx

vv vv dx dydz v dy dxdz v dz dxdy

x y z

Sabiendo que: Volumen del elemento diferencial = dxdydz.

0yx z

vv vdxdydz dydxdz dzdxdy

x y z

0................yx z

vv vA

x y z

Simplificando:

hK i K

lVelocidad =

; ;x x y y z zh h h

v K v K v Kx y z

Derivando las 3 componentes de la velocidad para

introducirlas en la ecuación (A) tenemos:

2

2

xx x

vh hK K

x x xx

2

2

y

y y

vh hK K

y y yy

2

2

zz z

vh hK K

z z zz

Introduciendo en (A)

2 2 2

2 2 20x y z

h h hK K K

x y z

Si tuviésemos un suelo isotrópico donde:

x y ZK K K K

La ecuación se simplifica a:

2 2 22

2 2 20

h h hh

x y z

“Ecuación de Laplace” ,

describe el flujo de agua a

través de la masa de suelo.

x

y

w

Ecuación diferencial:2 2

2 20

h h

x y

En la mayoría de los casos se puede considerar el flujo como

un problema bidimensional.Ecuación de Laplace:

1.- Solución matemática.

2.- Solución gráfica.

(2) Dos familias de curvas perpendiculares entre si.

En la región de flujo se dibujan 2 familias de curvas

perpendiculares entre si.

Primera familia: Líneas de flujo o líneas de corriente.

Segunda familia de curvas: Líneas equipotenciales.

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Para que esto represente la solución única de la ecuación de

Laplace debe cumplirse que:

•Entre los canales que se generen por dos líneas de flujo

debe circular el mismo caudal.

•Entre las líneas equipotenciales se pierde el mismo potencial

hidráulico “h”.

Δh = Pérdida de carga.Δq = Caudal del infiltración. Φ1 Φ2 Φ3

ψ1

ψ2

ψ3

Δh

Δh

Δq

Δq

Canal de flujo

Dirección de flujo

Línea equipotencial

Línea de flujo

Δh

Φ1

Φ2

ψ1

ψ2

Cálculo del caudal de infiltración:

a

b

Φ1 Φ2Φ3 Φ4

Φ5

ψ1

ψ2

ψ3

Qf = Caudal que se infiltra

en la región considerada.b a

Δh

q K i A hq K Ah

i LL

hT = Carga hidráulica total que genera el flujo en toda la región.

hT se va perdiendo a medida que el agua circule.

Th h

Definimos: ne: # de canales equipotenciales.

nf: # de canales de flujo.

f f

T e

Q n q

h n hnf, ne se conocen una vez

dibujada la red de flujo.

q = q1 = q2

1

fT

e f

ff T

e

hq K i A K b

aQhh b

q K b Ka n a n

n bQ K h

n a

Para simplificar hacemos b/a igual a 1 que implica dibujar en la

sección cuadrados curvilíneos, no rectángulos.

f

f Te

nQ K h

n

b a

Δh

• Entre una línea de corriente y la siguiente se genera un canal de

flujo, por donde pasa un caudal “Δq” , y es el mismo que circula

entre cualquier línea de corriente y la que le sigue.

• Entre cualquier equipotencial y la siguiente, se pierde una carga

hidráulica Δh, que es la misma carga hidráulica que se pierde en

cualquier canal equipotencial dibujado.

• La región de flujo debe proporcionar un solo valor de

permeabilidad; lo que implica trabajar con una sección

transformada, donde exista un coeficiente de permeabilidad

equivalente .

Condiciones para aplicar el método gráfico

(solución ecuación de Laplace).

• Dibujar líneas de corriente (Ψ) perpendiculares a las líneas

equipotenciales (Φ).

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Ejemplo de Aplicación:

Agua retenida

Estructura de retención(tabla estaca madera)

Región donde se genera

flujo de agua.

Suelo

Verificar que en la región donde se genere el flujo tengamos un

solo valor de permeabilidad, si esto no ocurre determinar .

K1

K2

K3

,

*

h v

h v

K K

K K K

Sección

Transformada

1. Dibujar la región de flujo a escala.

2. Dibujar las líneas de corriente y equipotenciales frontera

(primera y última).

1n

1

n

Frontera entre superficie permeable y superficie impermeable.

Frontera entre agua y suelo permeable.

Líneas de corriente o de flujo (dirección del flujo).

Líneas equipotenciales (perpendiculares al flujo).

3. Dibujar las líneas de corriente “Son Paralelas entre sí” llevan

la dirección del flujo y son perpendiculares a las

equipotenciales.

Nota: Se recomienda trabajar con tres a cuatro canales de

flujo.

4. Trazar las líneas equipotenciales perpendiculares a las de

corriente y formando cuadrados curvilíneos.

a

a

b

bA

B

·

·

ff T

e

nQ K h

n

Cálculos a realizar:

: Caudal de agua que se infiltra a través de la región

H=6 m

4

8f

e

n

n

hT = H = 6m

32*10cm

Kseg

1. Caudal de filtración.

3 22 10 6 4/8 1 10fmcmQ m m

seg cm

356 10fmQ

seg

2. Alturas piezométricas en cualquier posición.

y11

2

3

4

y212 m

H

( )

(4)

(1) 1

(2)

(3) 3

6

0

122

6

p o

p

p

P

Pne

h H m

h m

h H y h

hh H h

h H y h0

= 6m

Carga hidráulica

(ecuación de Bernoulli)

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3. Esfuerzo efectivo en A y en B.

Esfuerzo efectivo en A.

Φ1

A

yAyB

H

hwA

hwB

B··

'A A A

A w A sat

A A w

H y

H y h

Δh : Pérdida de carga hidráulica

entre 1 y 2.

H , yA, se miden a escala.

Esfuerzo efectivo en B.

'

;B B B

B B sat B wB w

A B e w

y h

H y n h

en : Todas las pérdidas de

carga generadas hasta “B”.

5.5en h

H , yB, se miden a escala.

4. Gradiente hidráulico en cualquier punto.

En (C) hi

L

c

hi

L

60,75

8

T

e

hh m

nL

C·

Φ6Φ7

Medir L, sobre una línea de flujo trazada sobre “C”

Si, L = 3 m:

0.750.25

3c

mi

m

5. Velocidades de descarga y filtración.

Velocidad de descarga:

En (C) Por la ecuación de Darcy.dcV K i

3

4

2 10 0,25

5 10

dc c

dc

cmV K iseg

cmVseg

Velocidad de filtración:

1;dcfc dc sat d w

V eV V n

n e

sat d

w

n ; se conoce d, Wsat , donde: 1

satd

satw

6. Gradiente hidráulico de salida y factor de seguridad contra

arena movediza.