Diapositivas RM
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Se estudian y deduce las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexin que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes. Para obtener estas relaciones se consideran las siguientes hiptesis : 1. Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 2. El material es homogneo y obedece a la ley de Hooke. 3. El mdulo elstico es igual a traccin que a comprensin. 4. La viga es inicialmente recta y de seccin constante. 5. El plano en el que actan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la seccin recta de la viga y las cargas actan perpendicularmente al eje longitudinal de aqulla.
-
dx
TEORA DE FLEXIN EN VIGAS
V
M
M + dM
DFC
DMF
V + dV
-
dx
d
y
d
d
P Neutro
Esfuerzo Normal
x = E x =E d = E yd dx d
x = E (y) x = ky
-
max
max
c
t
Plano Neutro
Eje Neutro
z
x
y
dA
x
dF = xdA
dM = ydF = y E ydA = E y2dA
MR = E y2dA = E Iz = x Iz
A y
MR = M x = MY Iz
y
-
Esfuerzo Cortante
c1 y
c
Plano Neutro
dx
F2 F1 = (M + dM) y dA - My dA Iz Iz
F2 F1 = dM ydA = dM Q = tdx Iz Iz
c
c1
c
c1 c
c1
t
= dM . Q
dz Izt
= VQ
Izt
F1 F2
-
APLICACIONES
1. Para la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte
C
2m 8m
4 ton
4 ton/m
8 ton.m
A B
24 cm
18 cm
2 cm
2 cm
2 cm
36 cm
-
4 ton
4 t/m
8 t.m
29 t 15 t
- -
+
17
4
12
3,75 m
4.25
15
V
(t)
-
+
20,125
16 6,34 0,58
8 M
(t.m)
Calcular: Mximo y
-
24 cm
18 cm
2 cm
2 cm
2 cm
36 cm
18,54 cm
21,46 cm
IEN = 37,804 cm4
Q = 1115,25 cm3
A = 156 cm2
max = 1142,4 Kg/cm2
max = 987 Kg/cm2
max = 251 Kg/cm2
t
c
EN
-
2. Calcular la mxima carga q, que puede soportar la viga mostrada, considerando [] 210 Kg/cm2 [ ] 10 Kg/cm2
A B C D
q (ton/m)
2 m 6 m 2 m
10 cm 28 cm 10 cm
10 cm
24 cm
-
Calcular q [] 210 Kg/cm2 , [ ] 10 Kg/cm2
q (ton/m)
2 m 6 m 2 m
5q 5q
- -
+ +
3q
3q 2q
2q
3 m
3 m
- -
+
2q 2q
2.5 q
V
(t)
M
(t.m)
-
10 cm 28 cm 10 cm
10 cm
24 cm
13,5 cm
EN
20,5 cm
Yc = 2 * 10 * 24 * 12 + 10 * 48 * 29
480 + 480
Yc = 20,5 cm
IEN = 1 [ 48 (10)3 + 2 (10) (24)3] 960 (3,5)2
3
IEN = 96400 cm4 ; Q = 2(10)(20,5)2= 4202,5 cm3
2
t = (2,5q * 105) * 20,5 210 q 3,95
96400
= (3q * 1000) (4202,5) 10 q 1,53 96400 * 20
-
3. Dimensionar la viga mostrada, de seccin tubular hueca, considerando:
d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2 D
A B
12 ton 12 ton
3 m 3 m 3 m
d D
-
Dimensionar la viga, si d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2
D
3 m 3 m 3 m
12 ton 12 ton
A B
12 12
+
-
+
36
12
12
V
(t)
M
(t.m)
-
d D I = (D4 d4) = D4 1 - d 4
64 64 D
I = 0,01688 D4
Q = D2 * 4D d2 * 4d = 1 (D3 d3) = D3 1 d 3
8 6 8 6 12 D
Q = 0,02258 D3 D d = 0,1 D
= (36 * 105) D 1200 D 44,62 cm 2 * 0,01688 D4
= (12000) * 0,02258 D3 300 D 23,13 cm 0,01688 D4 * 0,1 D
D = 44,62 cm d = 40,16 cm
EN
-
4. En la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte
3 m 2 m 2 m
Rtula 4 ton/m
A
B C D
6 ton/m
6 ton/m
2 20 2
2 cm
18
-
3 m 2 m 2 m
Rtula 4 ton/m
A
B C D
6 ton/m
6 ton/m
28 15
36
-
+
14
14
6
6 15
+
-
36
20
V
(t)
M
(t.m)
-
2 20 cm 2
2 cm
18 cm
7 cm
EN
13 cm I = 7240
Q = 338
-
5. Determinar la mxima carga P en toneladas que puede aplicarse a la viga mostrada, considerando as siguientes especificaciones:
[] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 900 Kg/cm2
A B C D
P 4P P
2 m 3 m 3 m 2 m
9 m 2 9 m
2
26
2
-
+
A B C D
P 4P P
2 m 3 m 3 m 2 m
- -
+
- -
+
3P 3P
P
P 2P
2P
2P 2P
4P
-
9 m 2 9 m
2
26
2
15
EN
15 IEN = 18636 cm
4
Q = 729 cm3
(4P * 105) * 15 1500 P 4,66 tn 18636
(2P * 103) * 729 900 P 23,01 tn 18636 (2)
P 4,66 tn
P 23 tn
-
6. Para la viga mostrada, calcular el valor de a, considerando las especificaciones indicadas: [] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 1200 Kg/cm2
A
B
6 m
6 ton.m
6 ton/m
6 ton/m
12 ton.m
4a a 4a
a
12a
a
-
A
B
6 m
6 ton.m
6 ton/m
6 ton/m
12 ton.m
+ +
-
5 5
4
6
12
9
V
M
-
4a a 4a
a
12a
a
7a
EN
7a
I = 906 a4
Q = 76,5 a3
-
METODO DE DOBLE INTEGRACION
x
y
Eje deformado
de la viga
Eje inicial de la viga
sin deformar
Seccin de la viga
sin deformar
Giro de la
seccin
Flecha de la
seccin
A una distancia x del origen o, la seccin de estudio de la viga, por efecto de las cargas que actan sobre ella, experimenta dos tipos de deformaciones:
: Giro de la seccin o deformacin angular y: Flecha de la seccin, tambin denominado desplazamiento lineal
-
En la seccin de estudio, en su configuracin deformada:
Tg = dy = (por ser pequeo) dx
Luego: = dy d = d2y dx dx dx2
d
Se cumple:
dx d
1 = d 1 = d2y dx dx2
Pero de la teora de flexin de vigas:
1 = M EI d2y = M EI dx2
Esta ecuacin se denomina, ecuacin
diferencial del eje deformado de la viga
o simplemente: elstica
-
EI d2y = M dx2
Al producto EI, se le llama rigidez a la deformacin por flexin. Ecuacin diferencial con variables separables, la solucin es:
Primera integracin :
EI dy = Mdx + C1 ; como dy = dx dx
EI = Mdx + C1 Ecuacin de giros
Segunda integracin :
EIy = Mdxdx + C1x + C2 Ecuacin de la elstica
Las constantes C1 y C2 , se obtienen de la condicin de bordes o
extremos de la viga
-
Ejemplos: P
B
B A
Elstica o
deformada
yB 0 B 0
A = 0 yA = 0
A B
A B q
Elstica o
deformada
A 0 yA = 0
B 0 yB = 0
P
-
q P
Elstica
o flecha
A B
A = 0 yA = 0
B = 0 yB = 0
Elstica o
deformada
P
A B C
q
A = 0 yA = 0
Bi 0 Bd 0 yB 0
c 0 yc = 0
-
E = 2 * 105 Kg/cm2
Eiy = M = -12 + 2 (t.m)
EIy` = -12x + 2 + C1 (t.m2)
EIy = -6x2 + 3 + C1x + C2 (t.m3) 3 Para x=2, yB = 0 : -6(2)
2 + 2C1 + C2 = 0
Para x=8, yc = 0 : -6(8)2 + (63)/3 + 8C1 + C2 = 0
Resolviendo: C1 = 48 y C2 = -72
(x - 2)2 12x + 48 = 0 x2 4x + 4 -12x + 48 = 0 x2 16x + 52 = 0
x` = 16 162 4(1)(52) 2
x = 8 3,464 x = 4,536 m EIy = 27,713
11
2 m 6 m
Para la viga mostrada, calcular la flecha mxima en el tramo BC
2t 2t
A C B
x
12 t.m
-
Ymax = 27,713
EI
IEN = 1 (30 * 103 + 10 * 303) 600(5)2
3
IEN = 85000 cm4
Ymax = 27,713 * 109 = 1,63 cm
85000 * 2 * 105
10 10 10cm
10cm
30
15
EN
-
P P
2P
A B C D E
2 m 3 3 2
-
P P
2P
A B C D E
2P 2P
2 m 3 3 2
- -
+ +
P
P
P
P
-
+
-
2P 2P
P
-
Iz = 24 * 363 = 93312 cm4
12
Q = 24 * 18 * 9 = 3888 cm3
= 2P * 102 * 18 600 P 15552 Kg 93312
= P * 3888 60 P 34560 Kg 93312 * 24
EIy = 2P - Px (Kg.m)
EIy = - P x2 + P 2 + C1 2
EIy = - P x3 + P 3 + C1x + C2 6 3
36
24
18
EN
-
Cuando x = 2 yB = 0 - P * 8 + 2C1 + C2 = 0 6
x = 5 yc = 0 yc = - 25 P + 9P + C1 = 0 2
C1 = 25 18 P C1 = 7 P 2 2
- 4 P + 7P + C2 = 0 C2 = - 17 P 3 3
EIy = - P x3 + P 3 + 7 Px - 17 P 6 3 2 3
x = 0 yA = - 17 * P
3 EI
x = 5 EIyc = - 125 P + 27 P + 35 P 17 P 6 3 2 3
EIyc = (-125 + 54 + 70 - 34) P yc= - 35 * P
6 6 EI
ymax = - 35 * P
6 EI
35 * P * 106 1
6 EI
P 1 * 6 * 2,4 * 105 * 93312 35 * 106
P 3839,12 Kg
-
Problema
R1 = 100 N
R2 = 200 N x
y A
C B
Y
X
300 N
2 m 1 m
EI d2y = M = ( 100x 300 < x 2 >) N.m dx2
EI dy = ( 50 x2 150 < x 2 >2 + C1) N.m2
dx
EIy = 50 x3 50 < x - 2>3 + C1x + C2 N.m3
3
-
1. En A, para X = 0, la ordenada Y = 0. Sustituyendo estos valores en la
ecuacin se obtiene C2 = 0. recordemos que < x 2 >3 no existe para
valores de X menores que 2, que haran negativo el parntesis.
2. En el otro apoyo para X = 3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2 = 0 y
sustituyendo en la expresin, se obtiene
0 = 50 (3)3 50 (3 2)3 + 3C1 o C1 = - 133 N.m2
3
3. Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores ,
se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la
elstica en su forma convencional
-
Tramo AB (0 x 2)
EI dy = (50 x2 133) N.m2
dx
EIy = 50 x3 133x N.m2
3
Tramo BC (2 x 3)
EI dy = [50 x2 150 (x 2)2 133] N.m2
dx
EIy = 50 x3 50 (x 2)3 133x N.m3
3
-
50 x2 133 = 0 o x = 1,63 m
EIymax = - 145 N.m3
Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m.
Por ejemplo, si:
E = 10 * 109 N/m2 e I = 1,5 * 106 mm4 = 1,5 * 10-6 m4
El valor de y es:
(10 * 109) (1,5 * 10-6)y = -145
y = -9,67 * 10-3 m = - 9,67 mm
-
600 N
A B C
R1 = 500 N
1 m 3 m 2 m 2 m
R2 = 1300 N
X
Y
E
600 N
A B C
D R1 = 500 N
1 m 3 m 2 m 2 m
R2 = 1300 N
X
Y
E
400 N/m
400 N/m
400 N/m
-
Problema
A
B C
D E
Y
X
400 N/m
R1 = 500 N R2 = 1300 N
1 m 3 m 2 m 2 m
EI d2y = M = 500x 400 < x 1>2 + 400 < x 4 >2 + 1300 < x 6> N.m dx2 2 2
EI dy = 250x2 200 < x 1 >3 + 200 < x 4 >3 + 650 < x 6 >2 + C1 N.m2
dx 3 3
EIy = 250x3 50 < x 1 >4 + 50 < x 4 >4 + 650 < x 6 >3 + C1x + C2 N.m3
3 3 3 3
600 N
-
0 = 250 (6)3 50 (5)4 + 50 (2)4 + 6 C1 o C1 = - 1308 N.m2
3 3 3
EIy = 250 (3)3 50 (2)4 1308 (3) = - 1941 N.m3
3 3
EIy = 250 (8)3 50 (7)4 + 50 (4)4 + 650 (2)3 1308 (8) = - 1814 N.m3
3 3 3 3
-
Problema : Calcular las reacciones en los apoyos. Considere EI = cte
400 N
A B C
Rc RA
2 m 1 m
Mc
EI d2y = Mc + Rcx 400 < x 2 > dx2
EI dy = Mcx + Rcx2 200 2 + C1
dx 2
EIy = Mcx2 + Rcx
3 200 < x 2 >3 + C2 2 6 3 = 0
= 0
Mc + 3 Rc 400(1) = 0
Mc (3)2 + Rc (3)
3 200 (1)3 = 0 2 6 3
Rc = 193 N y Mc = 179 N.m
RA = 207 N
-
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos . Considere EI = cte
A B
900 N/m
1 m 3 m
MA
MB
Y
X
EI d2y = MA + RAx 900 < x 1 >2
dx2 2
EI dy = MAx + RAx2 150 < x 1 >3 + C1
dx 2
EIy = MAx2 + RAx
3 150 < x 1 >4 + C2 2 6 4
= 0
= 0
RA RB
-
4MA + (4)2 RA /2 150 (3)
3 = 0
(4)2MA + (4)3 RA /6 150 (3)
4 = 0
RA = 949 N y MA = - 886 N.m
(F)Y = 0 : RB + 949 900 (3) = 0 RB = 1751 N
(M)B = 0 : -886 + 949(4) 900(3)(1.5) - MB = 0 MB = -1140 N.m
-
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos y dibujar DFC y DMF
RC
MA
RA
3 m 1 m 1 m
36 t/m 12 t
A B C D
+
-
+
+
- -
78,82
0,81 m
2,19 m
29,18
12
57,28 12
29 17,18
-
EIy = - MA + RAx 36 x2 + 36 < x 3 >2 + Rc < x 4 >
2 2
EIy = - MAx + RAx2 6x3 + 6 < x 3 >3 + Rc < x 4 >2 + C1
2 2
EIy = - MAx2 + RAx
3 3x4 + 3 < x 3 >4 + Rc 3 + C1x + C2 2 6 2 2 6
X = 0 yA = 0 C1 = 0 ; yA = 0 C2 = 0
X = 4 yC = 0: - 8 MA + 32 RA 384 + 3 = 0
- 24 MA + 32 RA = 1147,5
- 3 MA + 4 RA = 143,44
(M)c = 0: - MA + 4 RA ( 36 * 3 )(2,5) + 12 = 0 - MA + 4 RA = 258
3 MA 4 RA = -143,44
2 MA = 114,56 MA = 57,28 RA = 78,82
RC = 41,18
-
METODO : AREA DE MOMENTOS
A B
C D
AB
d
t B/A
dt
dx
x
M
EI
-
d
dS D
C
dx
De la teora de Flexin de vigas:
1 = M ; dS = d
EI
Luego: 1 = M = d d
EI dS dx
d = M dx
EI
AB = d = 1 Mdx
EI
Asimismo: dt = xd
tB/A = dt = xd
tB/A = 1 x(Mdx)
EI
A
B
xA
xB
xA
xB
-
T1: la variacin o incremento de la pendiente entre las tangentes trazadas a la
elstica en 2 puntos cualesquiera A y B, es igual al rea bajo el diagrama de
momentos reducido entre estos dos puntos.
AB = rea M EI
T2: La desviacin de un punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la
elstica en otro punto cualquiera A en direccin perpendicular a la posicin
inicial de la viga, es igual al momento esttico del rea bajo el diagrama de
momentos reducido, entre los puntos A y B, respecto del punto B.
tB/A = rea M . XB EI AB
AB
-
Convencin de signos
A B
AB (+) A B
AB (-)
A B
tB/A (+)
A B
tB/A (-)
-
PROBLEMAS:
Calcular el giro de la seccin A y la flecha en el centro de la viga (EI = cte)
A B C
P
L/2 L/2
+
PL
4EI
M
EI
-
A C
L/2
L
A
B
D
tB/A tC/A
fB
TgA = tC/A A L
tC/A = AAC.XC
tC/A = 1 * L * PL * L = PL3
2 4EI 2 16EI
A = 16EI . L
A = PL2 ()
16EI
Tambin
fB = L A tB/A 2
tB/A = AAB.XB
1 * L * 1 * L * PL = PL3
3 2 2 2 4EI 96EI
fB = L PL2 - PL3 = PL3
2 16EI 96EI 48EI PL3
-
PROB: Calcular la flecha bajo el punto de aplicacin de la fuerza de 180 N (EI = cte)
A C
A
B tB/A tC/A
fB
180N
B 3 m 1,5 m
+
180(3)(1,5) = 180
4,5 EI EI
M
EI
-
L + a
3
L + b
3
a b
fB = 3A tB/A
A = tC/A 4,5
tC/A = AAC.XC
tC/A= 1 * 4,5 * 180 4,5 + 1,5
2 EI 3
tC/A = 810
EI
A = 810 / EI = 180 4,5 EI
fB = 3 * 180 AAB.XB EI
tB/A = 1 * 3 * 180 * 1 * 3 = 270
2 EI 3 EI
fB = 540 270 = 270 EI EI EI
L
-
PROB: Calcular las reacciones en los apoyos (EI = cte)
A B
6 tn/m
6 m
-
RA
6 tn/m
6 m
-
+
108
EI
6RA EI
Se observa:
tA/B = 0 = AAB.XA
-1 * 6 * 108 * 3 * 6 + 1 * 6 * 6RA * 4 = 0
3 EI 4 2 EI
RA =
A B
(F)y = 0 RB = 22,5 tn
(M)B = 0 MB = 27 tn.m
6 tn/m
6 m
Esfuerzos en Vigas.pdf (p.1-24)VIGAS-Deform Flex -Doble Integracin.pdf (p.25-48)VIGAS-Deform Flex-Area Momentos.pdf (p.49-59)