Geometría ESTÁNDAR ___para la Etapa

Los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a todos los estudiantes para:

Expectativas En la etapa 3-5, todos los estudiantes deberían:

• identificar, comparar y analizar atributos de figuras de dos y tres

propiedades de figuras geométricas Analizar las características y

dimensiones y desarrollar el vocabulario para describirlos;

• clasificar figuras de dos y tres dimensiones de acuerdo con sus

desarrollar razonamientos de dos y tres dimensiones y

propiedades y desarrollar las definiciones de algunas clases de figuras, como los triángulos y las pirámides; matemáticos sobre relaciones

geométricas • investigar, describir y razonar los resultados de subdividir, combinar y transformar figuras;

• explorar la congruencia y la semejanza;

• formular y comprobar conjeturas sobre las propiedades geométricas y las relaciones, y desarrollar argumentos lógicos para justificar las conclusiones.

Localizar y describir relaciones • describir la localización y el movimiento usando el vocabulario común y el espaciales mediante coordenadas geométrico; geométricas y otros sistemas de • crear y usar los sistemas de coordenadas para localizar y describir caminos; representación • hallar la distancia entre puntos situados en rectas horizontales o verticales

en un sistema de coordenadas.

Aplicar transformaciones y usar la • predecir y describir los resultados de reflejar, trasladar y girar figuras de simetría para analizar situaciones dos dimensiones;

matemáticas • describir un movimiento o una serie de movimientos que muestre que dos figuras son congruentes;

• identificar y describir la simetría axial y la simetría central en figuras de dos y tres dimensiones y en diseños.

Utilizar la visualización, • construir y dibujar objetos geométricos; el razonamiento matemático y • crear y describir imágenes mentales de objetos, patrones y caminos; la modelización geométrica • identificar y construir un objeto de tres dimensiones a partir de para resolver problemas representaciones en dos dimensiones de ese objeto;

• dentificar y construir una representación bidimensional de un objeto tridimensional;

• usar modelos geométricos para resolver problemas de otras áreas de las matemáticas, tales como los números y la medida;

• reconocer ideas y relaciones geométricas y aplicarlas a otras disciplinas y a problemas que surjan en la clase o en la vida diaria.

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Geometría La destreza en el razonamiento, que los estudiantes desarrollan en

la etapa 3-5, les permite investigar problemas de creciente complejidad y estudiar propiedades geométricas. A medida que van pasando del nivel 3 al 5, deberían ir adquiriendo claridad y precisión para describir las propiedades de los objetos geométricos y, entonces, clasificarlos por estas propiedades en categorfas como rectángulos, triángulos, pirámi­des o prismas. Pueden desarrollar conocimientos acerca de cómo se relacionan las figuras geométricas unas con otras, y empezar a articular argumentos geométritos sobre las propiedades de estas figuras. Podrían también explorar el movimiento, la localización y la orientación mediante, por ejemplo, la creación de caminos sobre cuadrículas, o definiendo series de reflexiones y giros para demostrar que dos figuras son congruentes. Cuando los estudiantes investigan propiedades geo­métricas y relaciones, su trabajo puede conectarse íntimamente con otros temas, especialmente los de medida y números.

El estudio de la Geometría en la etapa 3-5 requiere pensar y hacer. Cuando los estudiantes clasifican, construyen, dibujan, modelizan, localizan y miden, se desarrolla su capacidad para visualizar relaciones geométricas. Al mismo tiempo, aprenden a razonar, y a formular, com­probar y justificar conjeturas referentes a estas relaciones. Esta explora­ción requiere tener acceso a una variedad de herramientas, como papel cuadriculado, reglas, bloques, geoplanos y sólidos geométricos, y mejo­ra notablemente con medios electrónicos como, por ejemplo, un pro­grama de geometría dinámica.

Analizar las características y propiedades de figuras de dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas

En los primeros niveles, los niños habrán clasificado y ordenado obje­tos geométricos como triángulos o cilindros, según sus características generales. En la etapa 3-5, deberían desarrollar formas más precisas de describir las figuras, centrándose en identificar y describir sus propieda­des y aprendiendo el correspondiente vocabulario especializado. Para consolidar sus ideas, deberían dibujar y construir figuras, comparar y dis­cutir sus atributos, clasificarlas, y elaborar y considerar definiciones basa­das en sus propiedades: por ejemplo, un rectángulo tiene cuatro lados rectos y cuatro esquinas cuadradas. Muchos alumnos de estos niveles denominarán fácilmente rectángulos a las dos primeras formas de la figu­ra 5.10, pero necesitarán emplear más tiempo discutiendo por qué la ter­cera es también un rectángulo, una clase especial de rectángulo.

o

Cuando los estudiantes

clasifican, construyen,

dibujan, modelizan,

localizan y miden, se

desarrolla su capacidad

para visualizar

relaciones geométricas.

Fig.5.10.

Ejemplos de rectángulos.

169Estándares para la etapa 3-5: Geometría

Fig.5.11.

Relación entre las áreas de un rectángulo y un paralelogramo no

rectángulo con bases iguales e iguales alturas

,,, , ,,, I

'.,

Fig.5.12.

Triángulos rectángulos con un par de lados de igual longitud.

En los niveles 3-5, los profesores deberían hacer hincapié en el desarrollo de razonamientos matemáticos. A medida que evolucionan las ideas de los alumnos sobre las figuras, deberían formular conjeturas sobre propiedades y relaciones geométricas. Mediante dibujos, materia­les concretos y programas informáticos de geometría para desarrollar y comprobar sus ideas, pueden articular razonamientos matemáticos cla­ros para justificar las relaciones. Ejemplo: "No puedes construir un triángulo con dos ángulos rectos, porque si sales del lado de abajo del triángulo, los otros dos lados van paralelos. Son paralelos, por eso es imposible que se encuentren; así que no puedes obtener un triángulo".

Cuando los estudiantes subdividen, combinan y transforman figuras, investigan relaciones entre ellas. Por ejemplo, un alumno de cuarto nivel podría investigar la relación entre un rectángulo y un paralelogramo no rectángulo que tengan iguales las bases e iguales las alturas (ver fig. 5.11), preguntando: ¿Tiene una de estas figuras mayor área que la otra? Un alumno podría cortar el triángulo rectángulo marcado en la parte izquier­da del paralelogramo no rectángulo y adosarlo a la parte derecha de éste, como se muestra en 5.11. Este trabajo puede conducir a desarrollar una conjetura general sobre la relación entre las áreas de rectángulos y parale­logramos de bases iguales y alturas iguales. La idea de que figuras que parecen tener áreas diferentes pueden tenerlas iguales, posee la potencia de llevar eventualmente al desarrollo de métodos generales (fómmlas) para calcular el área de una determinada figura. En esta investigación, los alumnos construyen sus ideas sobre las propiedades de las figuras, formu­lan conjeturas sobre relaciones geométricas, exploran la relación existente entre Geometría y Medida e investigan las figuras con igual área.

Cuando los alumnos exploran figuras que, de algún modo, se pare­cen, desarrollan una comprensión de la congruencia y la semejanza. Deberían llegar a entender que figuras congruentes son las que coinci­den exactamente, y que figuras semejantes son aquellas que se relacio­nan por "aumento" o "disminución". Como ejemplo, considerar el siguiente problema referente a la creación de figuras con una serie determinada de propiedades:

Construye un triángulo con un ángulo recto y dos lados de igual longitud. ¿Puedes hacer más de un triángulo con estas dos propiedades? En caso de que sí, ¿cómo se relacionan unos con otros?

Cuando los alumnos construyen triángulos con las propiedades esti­puladas (ver fig. 5.12) observan que aunque estos triángulos tienen características comunes (un ángulo recto y un par de lados iguales), no son del mismo tamaño. Cada uno de ellos es una versión, aumentada o disminuida, de otro: son semejantes. Aunque los alumnos no adquirirán una comprensión completa de la semejanza hasta los niveles medios, cuando se centren en el estudio de la proporcionalidad, en la etapa 3-5 pueden empezar a pensar en la semejanza, en términos de figuras que se relacionan entre sí por transformaciones de aumento o disminución.

Cuando los estudiantes discuten sobre figuras, deberían ampliar su vocabulario matemático. Así, al describirlas deberían oír, comprender y usar términos como paralelo, perpendicular, cara, lado, vértice, ángulo, tra­pecio, prisma, etc. para comunicar nociones geométricas con mayor pre­cisión. Por ejemplo, cuando desarrollan una comprensión más comple­ja de cómo las figuras geométricas pueden ser iguales o diferentes, el significado ordinario de igual ya no es suficiente, y comienzan a necesi­tar palabras como conr;ruente y semejante para exponer su pensamiento.

Principios y Estándares para la Educación Matemática 170

Localizar y describir relaciones espaciales usando coordenadas geométricas y otros sistemas de representación

En los niveles 3-5, las ideas relativas a situación, dirección y distancia, introducidas en la etapa anterior, pueden desarrollarse más. Por ejemplo, los alumnos pueden dar direcciones para moverse de un lugar a otro en sus clases, escuela o barrio; usar planos y cuadrículas y aprender a localizar plll1tos, crear caminos y medir· distancias en un sistema de coordenadas. Pueden desplazarse primeramente sobre un cuadriculado usando re­ferencias. Por ejemplo, puede usarse el plano de la figura 5.13 para explo­rar cuestiones como las que siguen: ¿Cuál es el trayecto más corto desde la escuela al parque, a través de las calles (líneas horizontales y verticales)? ¿Cómo lo sabes? ¿Puede haber varios "caminos más cortos" iguales en longitud? En caso de que los haya, ¿cuántos? Si tienes que partir de la es­cuela, ir al parque a recoger a tu hermana pequeña, parar en la tienda e ir a la biblioteca, ¿en qué orden deberías pasar por estos lugares para que la distancia recorrida sea la mínima? En esta actividad, los alumnos usan cua­drículas y desarrollan ideas y estrategias fundamentales para desplazarse, lo que constituye un componente importante de la Matemática Discreta.

Almacén Biblioteca • I • I I

I I I I • Parque

Escuela

Fig.5.13.

Un plano para explorar cuestiones sobre desplazamientos.

Los alumnos de este nivel deberían también aprender cómo utilizar dos números para denominar puntos sobre un cuadriculado, y deberían darse cuenta de que un par de números corresponde a un punto deter­minado. Mediante las coordenadas, pueden especificar caminos entre lugares, y examinar la simetría, la congruencia y la semejanza de figuras dibujadas sobre las cuadrículas. Pueden también explorar métodos para medir la distancia entre lugares. Cuando las ideas del alumnado sobre los números se amplían para incluir los números negativos, pueden tra­bajar en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.

Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones geométricas

Los alumnos de la etapa 3-5 deberían considerar tres tipos de trans­formaciones: reflexiones, traslaciones y rotaciones. Los alumnos más pequeños, para "comprobar" (convencerse de) que dos figuras son con­gruentes, generalmente superponen una a la otra, pero los de esta etapa pueden desarrollar mayor precisión cuando describen los movimientos que se necesitan para mostrar la congruencia (girar 90° la figura, o reflejarla verticalmente y luego girarla 180°). También deberían ser

Estándares para la etapa 3-5: Geometría 171

capaces de visualizar lo que ocurre cuando se gira o refleja una figura, y de predecir el resultado.

En estos niveles, pueden explorar figuras con más de un eje de sime­tría. Por ejemplo:

¿De cuántas formas puedes colocar un espejo respecto a un cuadrado para que lo que veas en él sea exactamente igual que el cuadrado original? ¿Es esto cierto para todos los cuadrados? ¿Puedes construir un cuadrilátero con dos ejes de simetría exactamente? ¿Y con un eje de simetría? ¿Y sin ejes de simetría? Cuando corresponda, di de qué clase de cuadrilátero se trata.

Aunque los alumnos crean con frecuencia figuras con simetría cen­tral, por ejemplo, con bloques, tienen dificultad para describir las regu­laridades que observan. En los niveles 3-5, deberían usar el lenguaje relativo a giros y ángulos para describir diseños como los de la figura 5.14: "Si lo giras 180° respecto al centro, es exactamente lo mismo" o "habría que dar seis pequeños giros para volver al punto de partida, pero no puedes decir de dónde saliste a menos que marques dicho punto, porque parece igual después de cada pequeño giro".

Utilizar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos para resolver problemas

I

/

/

/

Fig.5.14.

Patrón con simetría central.

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En esta etapa, deberían examinarse las propiedades de figuras de dos y tres dimensiones y las relaciones entre ellas. Debería animarse a los alumnos a razonar sobre estas propiedades al usar relaciones espaciales. Por ejemplo, podrían razonar acerca del área de un triángulo, al visua­lizar su relación con el rectángulo correspondiente o con otro paralelo­gramo. Además, para estudiar modelos físicos de estas figuras geomé­tricas, deberían también desarrollar y usar imágenes mentales. A estas edades, están preparados para manipular figuras mentalmente, y pue­den sacar provecho de experiencias que supongan un reto y que puedan verificarse físicamente. Por ejemplo: "Dibuja una estrella en la esquina superior derecha de un papel. Si reflejas el papel horizontalmente y luego lo giras 180°, ¿dónde quedará la estrella?

Gran parte del trabajo que hacen los alumnos con figuras tridimensio­nales requiere visualización. Para representar figuras tridimensionales en dos dimensiones, y para construir figuras de tres dimensiones a partir de

Principios y Estándares para la Educación Matemática

representaciones bidimensionales, necesitan conocer las características de las figuras. Por ejemplo, para determinar si de la figura de dos dimensio­nes dibujada en 5.15 puede, mediante dobleces, obtenerse un cubo, deben fijarse en el número, forma y posiciones relativas de las caras.

Los estudiantes deberían adquirir experiencia en la representación

Fig.5.15.

Un trabajo para relacionar una figura bidimensional con una tridimensional

de figuras tridimensionales; por ejemplo, hacer un dibujo a pulso de un cilindro o de un cono, o hacer una construcción de cubos a partir de una serie de vistas (de frente, de arriba y de un lado), como se muestra en la figura 5.16.

La tecnología ofrece otras oportunidades para que los alumnos amplí­en su capacidad de razonamiento espacial. Un programa como Lago les permite dibujar objetos con atributos específicos, y comprobar y modifi­car los resultados. Los juegos de ordenador, como Tetris (Pajithov 1996), pueden ayudar a desarrollar la orientación espacial y la coordinación del ojo con la mano. Mediante programas de geometría dinámica, pueden explorar relaciones y formular y comprobar conjeturas.

Los estudiantes deberían tener la oportunidad de aplicar ideas y relaciones geométricas a otras áreas de las matemáticas, a otras discipli­nas y a problemas que surjan de sus experiencias diarias. Hay muchas formas de establecer estas conexiones. Por ejemplo, la medida y la Geometría están estrechamente ligadas, como se ilustra en el problema de la figura 5.1 J, donde se utilizan propiedades geométricas para rela­cionar las áreas de dos figuras de formas distintas. Los modelos geomé­tricos son también importantes en la investigación de relaciones numé­ricas. Las rectas numéricas, las configuraciones de puntos y muchos materiales manipulativos usados para modelizar conceptos n~méricos,

son realizaciones geométricas de relaciones aritméticas. En Algebra, los alumnos de los niveles 3-5 trabajan frecuentemente con problemas geométricos para explorar patrones y funciones (ver, por ejemplo, el problema de la "torre de cubos" de la figura 5.5).

Además de su utilidad para explorar y comprender otras áreas mate­máticas, la Geometría está íntimamente asociada a otras disciplinas, como el arte, las ciencias y los estudios sociales. Por ejemplo, el trabajo de los alumnos sobre la simetría puede estimular su creatividad y apre­cio artísticos, y el trabajo con la geometría de coordenadas se relaciona con los mapas que elaboran o utilizan en su estudio del mundo. Estu­diar Geometría promueve una comprensión más profunda de muchos aspectos de las matemáticas, mejora el razonamiento abstracto y realza las relaciones entre las matemáticas y otras ciencias.

Explorando rectángulos y paralelogramos.

Fig.5.16.

Vistas de un objeto tridimensional (Adaptado de Battista y Clements 1995, p.61).

Hacer una construcción de diez cubos a partir de los tres dibujos siguientes

Vista frontal Vista de arriba Vista lateral derecha

173Estándares para la etapa 3-5: Geometría