DIEDROS Y POLIEDROS

DIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROS

Toribio Córdova / Juan Huiman

I. DEFINICIÓN

Un ángulo poliedro es una figura geométrica formada por infinitos rayos que

tienen el origen común y contienen a los puntos de un polígono que está en un

plano que no contiene a dicho origen.

Vértice: Es el origen común “O”.

Aristas: Son los rayos que pasan por los vértices del polígono: OA, OB, OC,…

Caras: Son las regiones angulares formadas por dos aristas consecutivas: a, b, c,

d,…

II. DIEDROS

DEFINICIÓN: Un ángulo diedro es aquella figura

geométrica formada por dos semiplanos que tienen

una recta en común. A dicha recta se le denomina

arista y a los semiplanos se les denomina caras

DIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROS GEOMETRÍA MODERNA



contiene a dicho origen.

Vértice: Es el origen común “O”.



Un ángulo diedro es aquella figura

geométrica formada por dos semiplanos que tienen

una recta en común. A dicha recta se le denomina

arista y a los semiplanos se les denomina caras.

GEOMETRÍA MODERNA

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2

CLASIFICACIÓN

Los ángulos poliedros se clasifican de acuerdo a su número de caras de la

siguiente manera:

ÁNGULO TRIEDRO: Si tiene 3 caras.

ÁNGULO TETRAEDRO: Si tiene 4 caras.

ÁNGULO PENTAEDRO: Si tiene 5 caras.

� ÁNGULO PLANO O RECTILÍNEO DE UN ÁNGULO DIEDRO

Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son

perpendiculares a dicha arista y se encuentran en las caras del ángulo diedro. Un

ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.

ELEMENTOS:

Caras: P y Q

Aristas: AB

Ángulo plano: θ

NOTACIÓN

Diedro PABQ ó diedro AB



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TEOREMA: Si desde un punto interior a un ángulo diedro se trazan dos rayos

perpendiculares a las caras, se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedro

son suplementarios.

Si OA�� ⊥ al plano P

OB�� ⊥ al plano Q

Entonces: x + y = 180

Demostración:

Por el teorema de las 3 perpendiculares.

OA�� ⊥ AN�� y AN�� ⊥ CD��→ ON�� ⊥ CD��

OB�� ⊥ BN�� y ON�� ⊥ CD��→ BN�� ⊥ CD��

En el cuadrilátero ANBO

x+y = 180

� PLANOS PERPENDICULARES

Dos planos son perpendiculares si son secantes y forman cuatro ángulos diedros

iguales.

En la figura los planos P y Q son

perpendiculares.



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TEOREMA

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que la contiene será

perpendicular al primer plano.

� PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO

Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y determina dos ángulos

diedros de igual medida.

En la figura el plano R es el plano bisector del ángulo diedro PABQ



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III. TRIEDROS

Es aquel ángulo poliedro que tiene 3 caras.

Vértice: O

Aristas: OA�� , OB��, OC�� .

Caras: a, b, c.

PROPIEDADES

1. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de las tres caras es mayor que

0° y menor que 360°

0° < a + b + c < 360°

0< a+b+c < 360º

2. En todo ángulo triedro se cumple que una cara es menor que la suma y mayor

que la diferencia de las otras dos.



6

3. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de los tres diedros es mayor

que 180° y menor que 540°.

180° < x + y + z < 540°

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS TRIEDROS

� TRIEDRO ESCALENO. Si sus tres caras son diferentes.

� TRIEDRO ISÓSCELES. Si dos de sus caras son iguales.

� TRIEDRO EQUILÁTERO. Si sus tres caras son iguales.

� TRIEDRO RECTÁNGULO. Si una de sus caras mide 90°.

� TRIEDRO BIRRECTÁNGULO. Si dos de sus caras miden 90°.

� TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO. Si sus tres caras miden 90°. Sus tres diedros

también miden 90°.

PROPIEDADES EN EL TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO

1. En todo triedro trirectángulo se cumple que la proyección del vértice sobre un

plano secante a las aristas coincide con el ortocentro de la sección

determinada por dicho plano.

Demostración:

Por el teorema de las 3 perpendiculares.

OA�� ⊥ AN�� y AN�� ⊥ CD��→ ON�� ⊥ CD��



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OB�� ⊥ BN�� y ON�� ⊥ CD��→ BN�� ⊥ CD��

Además se tiene que:

BC ⊥ al plano AON → BC ⊥ OH …..(1)

AB ⊥ al plano COM→ AB ⊥ OH …..(2)

de (1) y (2) se concluye que OH ⊥ plano ABC

Luego “H” es la proyección de “O”

“H” es el ortocentro del ∆��

2. En todo triángulo trirectángulo se cumple que la inversa del cuadrado de la

distancia del vértice hacia un plano secante a lasa aristas, es igual a las inversas

de la suma de los cuadrados de las distancias del vértice hacia los puntos de

intersección de las aristas con dicho plano.

1�� = 1

�� +1�� +

1��

Demostración:

⊿��: 1�� = 1�� +

1��

⊿��: 1ℎ� = 1�� +

1��

Reemplazando (2) en (1)

∴ �� = �� +

�� +

� �



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IV. EJERCICIOS

1. En un tetraedro O-ABC, OA=BC, OB=AC y OC=AB, además se cumple

AC>OC>AO. Halla la suma del máximo y mínimo entero de la cara AOC.

A) 90º B) 100º C) 120º D) 150º E) 160º

Solución

a>b>c→θ>!>"

∆AOC ≈ ∆OAB ≈ ∆CBA (LLL)

→m∠AOC=m∠ OCB= θ

m∠AOC= m∠ACB= !

∆AOC:

θ+!+" = 180º → !+" = 180º−θ ……. (1)

Por teorema:

! − "< θ < ! + " ……. (2)

%&'1()'2(: θ < 180º−θ

θ < 90º

Por condición:

! < θ; "< θ

+,-�.%/:!+" < 2θ

180º−θ < 2θ y 60º < θ

60º < θ < 90º



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luego:

θmin= 61º θmáx.= 89º

θθθθmin + θθθθmáx = 150º

2. Un cuadrado ABCD y un triangulo rectángulo APB están contenidos en dos planos

perpendiculares. Halle la distancia entre el vértice D y el baricentro APB; si se

sabe que AP= 3 BP= 4.

A) 012 B)

032 C) √�112 D) √�132 E) √�152

Solución

⊿APB: AH= 2605

⊿HAD: 78� = '2605(� + 5� …. (1)

⊿GHD: �� = :65;�+78� …. (2)

en (2):

�� = 1625 + 34�

15� + 25

Simplificando:

� = √�??@



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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F):

( ) Todo plano perpendicular a la arista de un diedro es perpendicular a las

caras del diedro.

( ) Si una recta es perpendicular a una de las caras de un diedro y paralela a la

otra cara entonces la medida del diedro es 90.

A) VV B) FV C) FF D) VF E) VV

2) Se tiene un diedro MN que mide 60º y un punto F situado en su plano

bisector, si F dista de la arista que une los planos M y N en 10 u. Calcular la

distancia de F a las caras del diedro.

A) 3√3 B) 4 C) 5 D) 10 E) 5√3

3) Calcular el mayor valor entero que puede tomar una de las caras de un triedro

birrectángulo.

A) 149º B) 169º C) 179º D) 99º E) 189º

4) Las regiones rectangulares ABCD y ABMN, determinan un diedro que mide

120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle la distancia “D” al punto medio de MN.

A) a B) 2A� C) 2a D) √3� E)

5A�



I. DEFINICIÓN

Un poliedro es la unión de cuatro o más regiones poligonales tales que cada uno

de sus lados pertenecen precisamente a dos regiones adyacentes no coplanares.

Las regiones poligonales que determinan el poliedro se llaman

los lados de los polígonos s

vértices del poliedro.

La figura anterior representa un poliedro de 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Las

regiones poligonales ABCD, AFED, DEHC, etc., son las caras; los lad

polígonos, esto es, ��, ��son los vértices del poliedro.

Los ángulos diedros y los ángulos poliedros determinados por las caras son los

ángulos diedros y ángulos poliedros del poliedro.

Un poliedro se designa por sus vértices. Así, el poliedro de la figura anterior se

denota como poliedro ABCDEFGH.


es la unión de cuatro o más regiones poligonales tales que cada uno


Las regiones poligonales que determinan el poliedro se llaman caras

los lados de los polígonos son las aristas y los vértices de los mismos son los


regiones poligonales ABCD, AFED, DEHC, etc., son las caras; los lad

� ��, �7��, etc., son las aristas, y sus vértices, o sea, A, B, F, etc.,

son los vértices del poliedro.


ángulos diedros y ángulos poliedros del poliedro.

o se designa por sus vértices. Así, el poliedro de la figura anterior se

denota como poliedro ABCDEFGH.

GEOMETRÍA MODERNA

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es la unión de cuatro o más regiones poligonales tales que cada uno


caras del poliedro;

y los vértices de los mismos son los


regiones poligonales ABCD, AFED, DEHC, etc., son las caras; los lados de los

, etc., son las aristas, y sus vértices, o sea, A, B, F, etc.,


o se designa por sus vértices. Así, el poliedro de la figura anterior se



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Un poliedro separa al espacio del mismo modo que un polígono separa al plano,

esto es, en un conjunto de puntos interiores, un conjunto de puntos que

pertenecen al poliedro y un conjunto de puntos exteriores al poliedro.

Un poliedro se llama convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del

poliedro está en el poliedro o en su interior. En caso contrario será poliedro no

convexo.

Diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices no situados en una

misma cara. Por ejemplo , B��.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

Según ell número de sus caras, el poliedro se denomina:

Tetraedro : 4 caras

Pentaedro : 5 caras

Hexaedro : 6 caras

Heptaedro : 7 caras

Octaedro : 8 caras

Nonaedro : 9 caras

Decaedro : 10 caras

Endecaedro : 11 caras

Dodecaedro : 12 caras

Pentadecaedro : 15 caras

Icosaedro : 20 caras

En general, se dice poliedro de trece, catorce, … caras. Sin embargo, hay algunos

poliedros que toman nombres especiales como prisma, pirámide, etc.



II. TEOREMAS GENERALES EN LOS POLIEDROS

1. TEOREMA DE EULER

En todo poliedro convexo el número de sus

caras es igual al número de sus aristas más dos.

Hipótesis

Sea un poliedro convexo cualquiera, siendo A el número de aristas. C el

número de caras y V el número de vértices.

Tesis

C + V = A + 2

Demostración

Siendo C el número de caras, V el de

que:

Sea una superficie poliédrica abierta terminada en una línea poligonal plana o

no plana ABCDEFGHIJ (fig. 1).

Los elementos de ella cumplirán esta


TEOREMAS GENERALES EN LOS POLIEDROS

TEOREMA DE EULER

En todo poliedro convexo el número de sus vértices más el número de sus

caras es igual al número de sus aristas más dos.

C + V= A + 2


número de caras y V el número de vértices.

de caras, V el de vértices y A él de aristas, hay que probar

C + V= A + 2 ………….(1)


no plana ABCDEFGHIJ (fig. 1).

Los elementos de ella cumplirán esta relación:

C + V= A + 1 …………..(2)

GEOMETRÍA MODERNA

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TEOREMAS GENERALES EN LOS POLIEDROS

vértices más el número de sus


de aristas, hay que probar




En efecto, se cumple en el caso de una sola cara, pues el

igual al de vértices. Bastara probar que si se cumple la formula anterior para

una superficie de C caras, se cumple para C+1 caras. Añadamos a

de C caras una cara mas CDEFK (fig. 2) con m

vértices. Suponiendo que esta nueva cara deje

todavía abierta la superficie

contorno no podrá coincidir con la línea que

antes limitaba la abertura, solo coincidirán p de

los m lados. Al tener p lados comunes con la

superficie, tendrá p+1 vértices, o sea las caras

son ahora C+1, los vértices V+m

Y componiendo la relación que propusimos (2):

Queda, pues, probada la exactitud de l

inducción. Pero ocurre que al añadir la última cara que cierra el poliedro, el

número de vértices y el de aristas no aumentan, pues unos y otras son

comunes a la superficie y a la cara que se añade. En cambio las ca

aumentan en una unidad.

Así, en la formula (2), si el primer miembro ha aumentado en una unidad, para

que subsista la igualdad habrá que añadir uno al segundo miembro,

quedando:


En efecto, se cumple en el caso de una sola cara, pues el número


una superficie de C caras, se cumple para C+1 caras. Añadamos a

de C caras una cara mas CDEFK (fig. 2) con m

vértices. Suponiendo que esta nueva cara deje

todavía abierta la superficie poliédrica, su

contorno no podrá coincidir con la línea que

antes limitaba la abertura, solo coincidirán p de

. Al tener p lados comunes con la

superficie, tendrá p+1 vértices, o sea las caras

son ahora C+1, los vértices V+m-(p+1) y las aristas A+m-p.

Y componiendo la relación que propusimos (2):

C+1+V+m-(p+1)=A+m-p+1

C+V=A+1

Queda, pues, probada la exactitud de la formula (2) en virtud del principio de



comunes a la superficie y a la cara que se añade. En cambio las ca

aumentan en una unidad.



C + V= A + 2 …… D. F. F. %.

GEOMETRÍA MODERNA

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número de lados es


una superficie de C caras, se cumple para C+1 caras. Añadamos a la superficie

a formula (2) en virtud del principio de



comunes a la superficie y a la cara que se añade. En cambio las caras





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2. TEOREMA DE LA SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS INTERNOS

DE LAS CARAS

La suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras de un

poliedro convexo es igual a 360º multiplicado por la diferencia entre el

número de aristas y el número de caras.

G-∠I'��J�+( = 360º'M − 2(

Hipótesis

Sea el poliedro convexo cuyo número de aristas es A, el número de vértices es

V y el número de caras es C, además sea ∑-∠ I'��J�+(, la suma de las

medidas de los angulos interiores de las caras.

Tesis

∑-∠ I'��J�+( =360º(A – C) = 360º(V – 2)

Demostración

Supongamos un poliedro que tiene -0 caras de .0 lados cada una; -� caras

de .� lados cada una; -2 caras de .2 lados cada una;…, etc. Entonces:

G-∠I'��J�+( = -0�180º'.0 − 2( + -��180º'.� − 2( +⋯

= 180ºQ-0.0 +-�.� +⋯− 2-0 − 2-� −⋯ R

G-∠I'��J�+( = 180ºQ-0.0 +-�.� +⋯− 2'-0 +-� +⋯(R……'1(

Por otro lado: -0 +-� +⋯ = �, (numero total de caras).

Y: -0.0 +-�.� +⋯ = 2, (siendo A, el numero total de aristas).

Reemplazando esto en (1):



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∑-∠ I'��J�+( = 180ºQ2 − 2�R = 360º' − �(; pero, por el Teorema de Euler:

+ 2 = � + M ⟹ − � = M − 2

Luego:

G-∠I'��J�+( = 360º'M − 2(…… D. F. F. %.

III. POLIEDROS REGULARES

INTRODUCCIÓN

Platón, en su obra Timaeus, asoció cada uno de los cuatro elementos que según

los griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua y tierra a un poliedro: fuego al

tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al cubo.

Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecaedro, al Universo. Por este

motivo estos poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos.

También fue Johannes Kepler el que buscó ingeniosas justificaciones a la

asociación de Platón entre poliedros y elementos. Por ejemplo, justifica la

asociación de la tierra con el cubo porque, asentado sobre una cualquiera de sus

bases, es el de mayor estabilidad. La asociación entre Universo y Dodecaedro la

atribuye al hecho de que el número de sus caras coincide con el de signos del

zodiaco.

En 1595, Kepler convencido de “haber comprendido los secretos del creador” creó

un modelo del sistema planetario que utilizaba los sólidos platónicos para

describir las distancias entre las órbitas de los seis planetas que se conocían

entonces.



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En su modelo Kepler parte de una esfera exterior, que representa la órbita de

Saturno dentro de la cual va inscribiendo sucesivamente: un cubo, la esfera de

Júpiter, un tetraedro, la esfera de Marte, un dodecaedro, la esfera de la Tierra, un

octaedro y finalmente la esfera de Mercurio.

DEFINICIÓN

Un poliedro convexo, es regular si las caras son regiones poligonales regulares

congruentes entre si y todos sus ángulos poliedros son congruentes.

TEOREMA

Solo existen cinco clases de poliedros regulares.

Estos poliedros regulares son:

Tetraedros

Hexaedros

Octaedros

Dodecaedros

Icosaedros

En efecto cada arista pertenece a dos caras y une dos vértices así pues:

El duplo del número de aristas = 2A = nC = mV

n: número de lados de cada cara

m: número de aristas que concurren en cada vértice

Eliminando A y V entre estas ecuaciones y aplicando el teorema de Euler:

C + V = A + 2

Da como resultado:



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� + .�- = .�

2 + 2

Despejando C:

� = 4-2'- + .( − -.

Para n=3 (Triangulo)

� = 4-6 −-

Como el triedro es el más sencillo de los ángulos poliedros se tiene siempre n≥3 y

para que C sea entero, m solo puede tener los valores 3, 4, 5, a los que

corresponden para C respectivamente los de C=4 (tetraedro), C=8 (octaedro),

C=20 (isocaedro).

Si n=4

� = 2-4 −- )- = 3, &.V/.�&+� = 6'ℎ&��&%J/(

Si n=5

� = 4-10 −- )- = 3, &.V/.�&+� = 12'%/%&��&%J/(

Si n=6

� = -3 −-

Si n>6 entonces m no tiene ningún valor.



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IV. EJERCICIOS

1. En un poliedro convexo, el numero de caras, mas el numero de vértices, y mas

el numero de aristas, es 28. Si las medidas de los

suman 1800º. Hallar el

Resolucón

Dato: S = 1800º. Pero sabemos que

S = 360º(V-2)

Entonces: 360º(V – 2) = 1800

Por el Teorema de Euler: C + V = A + 2

Pero por dato también: C + V + A = 28

Reemplazando (1) en (2): C + C + 5 =21

2. Se tiene un exaedro regular ABCD

y “M” punto medio de

Resolucón

En el grafico, observamos que NC =

En el ∆ NOC; se cumple que:

W�� = �W� + ��

⟹W�� = '2�X3(� �W� � 3�

∴


EJERCICIOS

En un poliedro convexo, el numero de caras, mas el numero de vértices, y mas

el numero de aristas, es 28. Si las medidas de los ángulos en todas las caras

. Hallar el número de caras.

Dato: S = 1800º. Pero sabemos que

2)

2) = 1800 ⟹ V – 2 = 5 ⟹ V = 7

Por el Teorema de Euler: C + V = A + 2 ⟹ A = C + 5......(1)

Pero por dato también: C + V + A = 28 ⟹ C + 7 + A = 28 ⟹

Reemplazando (1) en (2): C + C + 5 =21 ⟹ 2C = 16

∴ Y � Z

Se tiene un exaedro regular ABCD – EFGH, donde “O” es centro de la cara ABFE

y “M” punto medio de B7��. Calcular la medida del ángulo COM.

En el grafico, observamos que NC = 3a√2

NOC; se cumple que:

X � [�√6\�

� � ]^º

GEOMETRÍA MODERNA

20

En un poliedro convexo, el numero de caras, mas el numero de vértices, y mas

en todas las caras

⟹ C + A = 21......(2)

EFGH, donde “O” es centro de la cara ABFE

. Calcular la medida del ángulo COM.

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