Diferencial de una funcinEnmatemticas, concretamente enclculo diferencial, eldiferenciales un objeto matemtico que representa la parte principal del cambio en lalinealizacinde unafunciny=(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.ndiceFunciones de una variableInformalmente, el diferencialdyse define en cursos introductorios mediante la expresin:

dondees laderivadadefcon respecto ax, y dondedxes unavariablereal adicional (de manera quedyes una funcin de dos variablesx, ydx). La notacin es tal que la expresin:

donde la derivada es representada en lanotacin de Leibnizdy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.El significado preciso de las variablesdyydxdepende del contexto de aplicacin y del nivel de rigor matemtico requerido. Segn consideraciones matemticas rigurosas modernas, las notacionesdyydxson simplementevariablesreales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geomtrico particular si el diferencial es considerado como unaforma diferencial, o significado analtico si el diferencial es considerado como unaaproximacin linealal incremento de una funcin. En aplicaciones fsicas, a menudo, se requiere que las variablesdxydysean sumamente pequeas (infinitesimales).DefinicinPara funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretndolo como una1-forma. As el diferencial est definido en los tratamientos modernos delclculo diferencialde la siguiente manera.1El diferencial de una funcin(x) de variable reales la funcindf:

dondedxydfsoncovectoresdelespacio cotangenteque es isomorfo al propio. Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede verdf(x) o simplementedf. Siy=(x), el diferencial tambin puede ser escritody. Dado quedx(x,x)=xes convencional escribirdx=x, de manera que la igualdad

se mantiene.Interpretacin geomtrica del diferencial

Interpretacin geomtrica del diferencial de una funcin en un punto.El diferencial se puede tomar en el sentido geomtrico como la elevacin de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.Recurdese que la derivada de la funcin en el punto es la pendiente de la recta tangente a la funcin en el punto, como sabemos que la tangente de un ngulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipottico tringulo rectngulo, slo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.Vista geomtricamente, la elevacin se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incrementoque se tome representar el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestin.As la elevacin de la tangente que se obtenga como resultado depender del punto en cuestin y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la frmulas matemticas estn definidos respectivamente pory.GeneralizacionesMatriz jacobianaPara funciones de ms de una variable, el concepto de diferencial es generalizado mediante la matriz jacobiana. Lamatriz jacobianaes una representacin en coordenadas de una aplicacin lineal que aproxima en primer orden una funcin dea. Los requerimientos de diferenciabilidad en espacios eucldeos de dimensin superior a 1, son un poco ms exigentes que en, ya que la simple existencia de derivadas no es suficiente para asegurar la diferenciabilidad.Aplicaciones entre variedadesDadas dosvariedades diferenciablesde dimensinmyde dimensinny una aplicacin entre ellasel concepto de aplicacin diferencial tangente (opushforward) es una aplicacin lineal entre los fibrados tangentes de ambas variedades. Una aplicacin de ese tipo se dice diferenciable si dada una carta localque contenga al puntoyque contenga a, la aplicacines diferenciable como funcin dea.Para definir la nocin de aplicacin lineal tangente de una aplicacin diferenciable entre variedades debe tenerse en cuenta el hecho de que el espacio tangente a una variedad diferenciable puede identificarse con el conjunto de derivaciones sobre el espacio de funciones definidas sobre la variedad. En esa identificacin una derivacin se puede llegar a identificar como "la derivada direccional" en una cierta direccin. Dado ese vnculo un vector queda caracterizado por su accin sobre las funciones definidas sobre una variedad. A partir de esa nocin dada una aplicacin diferenciablese define la aplicacin lineal tangente:

Tal que a un vector enple asigna el nico vectorque hace que se cumpla que:

Donde: