DiferenciasFinitas
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1 CÁLCULO AVANZADO Y MÉTODOS NUMÉRICOS TRABAJO PRÁCTICO Nº1 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS El comportamiento de una placa plana se modela mediante la siguiente ecuación diferencial parcial lineal de cuarto orden no homogénea: ( ) D y x q y w y x w x w , 2 4 4 2 2 4 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ (1) donde: ( ) , qxy : carga por unidad de área w : deflexión ( ) 3 2 12 1 Ea D ν = - : rigidez a la flexión de la placa, con E: módulo de Young a : espesor de la placa ν : coeficiente de Poisson Esta ecuación puede escribirse como el producto de dos laplacianos ( ) ( ) 2 2 , , qxy wxy D ∇∇ = que pueden resolverse por separado, utilizando la variable M (suma de momentos): ( ) ν + + = 1 y x M M M siendo ∂ ∂ + ∂ ∂ - = 2 2 2 2 y w x w D M x ν ; ∂ ∂ + ∂ ∂ - = 2 2 2 2 x w y w D M y ν De esta forma, (1) puede expresarse como dos EDP de segundo grado que gobiernan el comportamiento de la placa: ( ) 2 2 2 2 , M M qxy x y ∂ ∂ + =- ∂ ∂ (2) 2 2 2 2 w w M x y D ∂ ∂ + =- ∂ ∂ (3)
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CÁLCULO AVANZADO Y MÉTODOS NUMÉRICOS
TRABAJO PRÁCTICO Nº1
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
El comportamiento de una placa plana se modela mediante la siguiente ecuación diferencial
parcial lineal de cuarto orden no homogénea:
( )D
yxq
y
w
yx
w
x
w ,2
4
4
22
4
4
4
=∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂ (1)
donde:
( ),q x y : carga por unidad de área
w : deflexión
( )
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212 1
E aD
ν=
− : rigidez a la flexión de la placa, con
E: módulo de Young
a : espesor de la placa
ν : coeficiente de Poisson
Esta ecuación puede escribirse como el producto de dos laplacianos
( )( )2 2,
,q x y
w x yD
∇ ∇ =
que pueden resolverse por separado, utilizando la variable M (suma de momentos):
( )ν+
+=
1
yx MMM
siendo
∂
∂+
∂
∂−=
2
2
2
2
y
w
x
wDM x ν ;
∂
∂+
∂
∂−=
2
2
2
2
x
w
y
wDM y ν
De esta forma, (1) puede expresarse como dos EDP de segundo grado que gobiernan el
comportamiento de la placa:
( )2 2
2 2,
M Mq x y
x y
∂ ∂+ = −
∂ ∂ (2)
2 2
2 2
w w M
x y D
∂ ∂+ = −
∂ ∂ (3)
Cálculo Avanzado y Métodos Numéricos Trabajo Práctico Nº1 - Método de Diferencias Finitas
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Para una placa cuadrada simplemente apoyada en todos sus bordes y cargada
uniformemente, utilizar el Método de Diferencias Finitas para calcular los valores de
deflexiones en los distintos puntos usados en la discretización del problema.
Aprovechando la simetría geométrica y de cargas del problema, modelar un cuarto de la
placa y extender luego los resultados al resto del dominio, usando un paso de malla
cuadrado (h=k). Resolver utilizando una primer malla de 16 puntos interiores, y comparar los
resultados con los obtenidos para una malla de menor paso. Representar gráficamente los
valores obtenidos.
Comparar los valores de deflexión obtenidos para el punto central de la placa con los
valores teóricos dados por la teoría de placas delgadas.
Datos del problema:
Dimensiones de la placa: largo 1000 mm, ancho 1000 mm, espesor 25 mm
Material: acero SAE 1020, E = 200.000 N/mm2, ν = 0,3
Bordes de la placa simplemente apoyados
Carga por unidad de área: 0,25 N/mm2
