Captulo V: Dificultades, obstculos y errores en el aprendizajede las Matemticas en la Educacin Secundaria.

Martn M. Socas RobaynaUniversidad de La Laguna

Contenidos:5.0. Introduccin.5.1. Dificultades en el aprendizaje de las Matemticas.5.2. Obstculos en el aprendizaje de las Matemticas.5.3. Errores en Matemticas.5.4. Errores en la enseanza de las Matemticas: Evaluacin y

diagnstico.5.5. Estrategias de prevencin y remedio.

5.0. Introduccin.El aprendizaje de las Matemticas genera muchas dificultades a los

alumnos y stas son de naturalezas distintas. Algunas tienen su origen en elmacrosistema educativo, pero en general, su procedencia se concreta en elmicrosistema educativo: alumno, materia, profesor e institucin escolar.Las dificultades, por tanto, pueden abordarse desde varias perspectivassegn pongamos nfasis en uno u otro elemento: desarrollo cognitivo delos alumnos, currculo de matemticas y mtodos de enseanza.

Estas dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que seconcretan en la prctica en forma de obstculos y se manifiestan en losalumnos en forma de errores.

El error va a tener procedencias diferentes, pero, en todo caso, va a serconsiderado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivoinadecuado y no solamente como consecuencia de una falta especfica deconocimiento o de un despiste.

Tomaremos como contenido matemtico el lenguaje algebraico y a lnos remitiremos para ilustrar de manera concreta las cuestiones que se vanplanteando a lo largo del captulo.

El propsito de este captulo es hacer una reflexin general sobre estetema central en el aprendizaje de las Matemticas y poner en contacto allector con los aspectos ms relevantes en torno a las dificultades, obstculosy errores que presentan los alumnos en la construccin del conocimientomatemtico. Para ello, analizaremos el origen de estas dificultades, la

{ PAGINA

nocin de obstculo y los diferentes errores que cometen los alumnos altrabajar con las Matemticas; tambin comentaremos las razones por lasque se origina.

Al conocer de manera general o especfica estas razones, podemospropiciar una enseanza adecuada y facilitar un mejor aprendizaje de lasMatemticas.

5.1. Dificultades en el aprendizaje de las Matemticas.Las dificultades y los errores en el aprendizaje de las Matemticas no

se reducen a los menos capaces para trabajar con las Matemticas. Engeneral, algunos alumnos, casi siempre, y algunas veces, casi todos, tienendificultades y cometen errores en el aprendizaje de las Matemticas.

Estas dificultades que se dan en la enseanza-aprendizaje de lasMatemticas son de naturaleza diferente y se pueden abordar, obviamente,desde perspectivas distintas.

Aceptando que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de lasMatemticas es de diversa ndole y que se conectan y se refuerzan en redescomplejas, stas pueden ser agrupadas en cinco grandes categoras: las dosprimeras asociadas a la propia disciplina (objetos matemticos y procesosde pensamiento), la tercera ligada a los procesos de enseanza de lasMatemticas, la cuarta en conexin con los procesos cognitivos de losalumnos, y una quinta, relacionada con la falta de una actitud racionalhacia las Matemticas.

De manera ms explcita estas dificultades se pueden organizar, enlneas generales en los siguientes tpicos:

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de lasMatemticas.

2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemtico.3. Dificultades asociadas a los procesos de enseanza desarrollados para

el aprendizaje de las Matemticas.4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los

alumnos.5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las

Matemticas.Parece necesaria una reflexin ms detallada de cada uno de estos

tpicos para situarnos mejor en la naturaleza de estas dificultades.Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las

matemticas.

{ PAGINA

La comunicacin de los objetos matemticos, principalmente de formaescrita, se realiza a travs de los signos matemticos con la ayuda dellenguaje habitual que favorece la interpretacin de estos signos.

Nos encontramos, de esta manera, con diferentes conflictos asociados ala comprensin y comunicacin de los objetos matemticos. Uno de estosconflictos nace de la ayuda que la lengua comn presta a la interpretacinde los signos matemticos. El lenguaje habitual usado en la comunicacinpuede expresar su significado aunque se cometan abusos morfosintcticos,tales como roturas de reglas gramaticales o faltas de ortografa. Elsignificado puede ser comunicado por alusin o asociacin. Sin embargo,el lenguaje de las Matemticas es ms preciso, est sometido a reglasexactas, y no comunica su significado, salvo por la interpretacin exacta desus signos. Este conflicto involucrado 1en el uso del lenguaje ordinario,dentro del contexto matemtico, es un conflicto de precisin.

Otro problema del lenguaje en Matemticas es el originado por elvocabulario comn. Palabras como, por ejemplo, raz, potencia, producto,matriz, primo, factor, diferencial, integral, semejante, ndice, funcin,etc., tienen significados diferentes en Matemticas y en el lenguaje habitual,de modo que el uso de tales palabras puede producir dificultades a causa dela confusin semntica implicada.

Hay tambin algunas palabras usadas en ciertos contextos que puedenocasionar confusiones de conceptos y que, probablemente, podran serevitadas, particularmente, cuando se emplean connotaciones del lenguajediario para atraer la atencin sobre un signo. Se puede oscurecer as susignificado ms que destacar el concepto subyacente; por ejemplo, aadirun cero en la multiplicacin por 10, reducir una fraccin o reduciruna expresin algebraica en la simplificacin, que connota hacerla mspequea, identificar una letra con un significado algebraico como unadeterminada fruta (3x+2y, igual a tres peras ms dos manzanas),....

Igualmente en relacin con los conceptos, tenemos palabrasespecficamente matemticas, por ejemplo, hipotenusa, paralelogramo,coeficiente, issceles, divisor, mltiplo, etc., que por ser poco familiares yfrecuentemente mal entendidas, suelen presentar al alumno considerablesdificultades, al encontrarse con ellas nicamente en sus lecciones deMatemticas.

Las palabras de igual significado en la lengua comn y en Matemticastienen su principal problema en saber que, en efecto, el significado es elmismo. A veces, los almnos pueden pensar que una palabra de lenguajehabitual, toma un significado distinto y a veces misterioso, cuando se

{ PAGINA

emplea en Matemticas. Pertenecen estas dificultades a otro dominio dellenguaje matemtico que es la Pragmtica y se refiere al estudio del sentidoque se da al discurso en funcin del contexto en el que se enuncia. Hay unainfinidad de cuestionamientos por parte de los alumnos en funcin de quela palabra se encuentre en un contexto o en otro. Se presentan por lainfluencia que tiene el contexto en la palabra. De igual manera, laspreguntas o cuestiones que planteamos a nuestros alumnos estn tambieninfluenciadas por el contexto. Recordemos el ya clsico ejemplo: Cul esla edad del capitn?, que tiene su origen en una encuesta realizada en 1979en el IREM de Grenoble (Instituto de Investigacin de la Enseanza de lasMatemticas) que se public en el Boletn de la Asociacin de profesoresde Matemticas de la enseanza pblica en 1980 y que dio origen a un librodel mismo ttulo realizado por Stella Baruk en 1985.

Se trata del siguiente problema: Hay un barco que tiene tanto de largo ytanto de ancho, que transporta tantas ovejas y tantas toneladas de trigo...,ydespus se pregunta: Cul es la edad del capitn? Se propusieronproblemas de este tipo y se vio que la mayor parte de los alumnos daban laedad del capitn.

Se podra pensar que se trata de un hecho excepcional . Sin embargo,cuando se est reunido con profesores de Matemticas para seleccionar yhacer ejercicios y se proponen ejemplos anlogos en los que aparecensituaciones mal formuladas como:

Encontrar x en{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }

todos podemos estar sometidos a dar respuestas parecidas, si estamos enuna situacin escolar.

Otros aspectos del lenguaje de las Matemticas que difieren de la lenguacomn, son los que hacen referencia al lenguaje de los signos, y que sonfuente de confusin en muchos alumnos; por ejemplo, su sintaxis -reglasformales de las operaciones- puede algunas veces entenderse ydesarrollarse ms all del dominio original de sus aplicaciones. Estopertenece a lo que denominamos la naturaleza abstracta de los conceptosmatemticos. Pero esta naturaleza abstracta debe ser entendida como unproceso de abstraccin caracterizado por diferentes etapas. Para situarmejor las dificultades y los errores que se originan en el desarrollo de lossignos matemticos, conviene analizar los diferentes estadios de desarrollloque se dan en los sistemas de representacin cognitivos, tomando comoejemplo algunos objetos matemticos. As, en el proceso de aprender a usarcorrectamente los exponentes, podemos diferenciar tres etapas distintas.

{ PAGINA

Primeramente, el sistema nuevo de signos es caracterizado por el sistemaantiguo, ya conocido de los alumnos, que es en este caso el conjunto de lasoperaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir; de esta manera, sedefinen los elementos del sistema nuevo 34 a4 como:

34 = 3 x 3 x 3 x 3 o a4 = a x a x a x aEs un estadio que se denomina semitico , donde los alumnos aprenden

signos nuevos que adquieren significado con los signos antiguos yaconocidos.

En un segundo estadio, el sistema nuevo se estructura segn laorganizacin del antiguo, y as, mediante procesos como:

34 x 33 = ? = 37fl fl {

INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat }

( 3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3) { INCRUSTAR

"Equation.2" \* mergeformat }llegamos al esquema general a4 x a3 = a4 + 3 = a7, que puede ser

expresado simblicamente como am. an = am + n.Asimismo empleando los mtodos de manipulacin de fracciones

aritmticas y algebraicas, se puede obtener, mediante el sistema antiguo, unesquema para la divisin

{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } = { INCRUSTAR

"Equation.2" \* mergeformat } , que puede ser expresado simblicamente

como { INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } m - n obteniendo

as la ley de los exponentes.Es este segundo estadio, el denominado estadio estructural , donde el

sistema antiguo organiza la estructura del sistema nuevo. Comienzan aaparecer, en este estadio estructural, diferentes problemas que nos obliganen un primer momento a poner restricciones, por ejemplo, m > n, ya quea0 a- 2 no tienen explicacin en el sistema antiguo; por el contrario,situaciones como (2/3)4 = (2/3) x (2/3) x (2/3) x (2/3), s tienen significadoen el sistema antiguo.

Aparecen en este estadio estructural verdaderas dificultades cognitivasque al no ser explicadas por el sistema antiguo, se recurre a la observacinde regularidades y comportamientos patrones; para dotarlos de significado,por ejemplo, en este caso:

33 = 3 x 3 x 3 = 27

{ PAGINA

32 = 3 x 3 = 931 = 330 = 13 - 1 = 1/3.

Hemos eliminado algunas restricciones pero todava quedan signos queno pueden ser dotados de significado, ni siquiera con la tcnica de laregularidad y de los comportamientos patrones; en este momento estossignos actan con significados propios, independientemente del sistemaanterior, es el estadio autnomo del sistema nuevo, en nuestro ejemplo:

e2/5 = { INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } o eip = -1,

etc.Es este el proceso de generalizacin de las Matemticas y es una

caracterstica de la misma, como parte inherente del desarrollo de sussignos. Es, por tanto, el sistema nuevo una fuente de dificultades alencontrarnos con elementos que no pueden ser conocidos en trminos delsistema de signos antiguo.

Hemos analizado con cierto detalle el caso de las potencias, pero estedesarrollo descrito antes no es exclusivo del proceso de aprender el uso deexponentes. Encontramos situaciones similares en el desarrollo de lossignos matemticos si, a ttulo de ejemplo, observamos las funcionestrigonomtricas.

Las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, aparecenfrecuentemente en su estadio semitico relacionndose con tringulos,rectngulos y formuladas en trminos de medida de los lados adyacente,opuesto o hipotenusa.

Posteriormente, en el estadio estructural, junto con las propiedades quepueden ser organizadas con el sistema antiguo, aparecen propiedades comola periodicidad o la naturaleza funcional, que nuevamente han de serdotadas de significado por el principio de regularidad y loscomportamientos patrones, para llegar a una etapa autnoma donde estossignos actan con significado propio; observemos, a ttulo de ejemplo, queen el clculo diferencial, la funcin cos (x2) es significativa, aunque elcuadrado de un ngulo no lo sea.

Vemos cmo el lenguaje de las Matemticas opera en dos niveles, elnivel semntico -los signos son dados con un significado claro y preciso-, yel nivel sintctico -los signos pueden ser operados mediante reglas sinreferencia directa a ningn significado-. Es decir, los objetos de las

{ PAGINA

Matemticas (nmeros, lenguaje algebraico, funciones, etc.) se presentanbajo un aparente dilema con estatus diferentes: el estatus operacional, decarcter dinmico, donde los objetos son vistos como un proceso; y elestatus conceptual, de carcter esttico, donde los objetos son vistos comouna entidad conceptual. Ambos estatus constituyen, obviamente, los dosaspectos integrantes del objeto de la Matemtica.

Son estos aspectos los que ponen de manifiesto la naturaleza abstracta yla complejidad de los conceptos matemticos.

Dificultades asociadas a los procesos de pensamientomatemtico.

Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemtico seponen de manifiesto en la naturaleza lgica de las Matemticas y en lasrupturas que se dan necesariamente en relacin con los modos depensamiento matemtico.

Siempre se ha considerado como una de las principales dificultades en elaprendizaje de las Matemticas, el aspecto deductivo formal. El abandonode las demostraciones formales en algunos programas de Matemticas de laSecundaria se ha estimado como adecuado, pero esto no incluye elabandono sobre el pensamiento lgico; es decir, la capacidad para seguirun argumento lgico y es esta incapacidad una de las causas que generamayor dificultad en el aprendizaje de esta ciencia. El abandonar ciertasdemostraciones formales en beneficio de una aplicacin ms instrumentalde las reglas matemticas, no debe implicar de ninguna manera elabandono del pensamiento lgico, por ser ste una destreza de alto nivelque resulta necesaria para alcanzar determinados niveles de competenciamatemtica.

El fomentar esta capacidad para seguir un argumento lgico no se debecontraponer a los mtodos intuitivos, a las conjeturas, a los ejemplos ycontraejemplos, que tambin permiten obtener resultados y mtodoscorrectos, sino que, ms bien, esta capacidad se desarrolla con la prcticade estos mtodos informales; sin embargo, s estara en contra de laintencin ingenua de los mtodos rutinarios, de las conjeturas aleatorias,etc.

Este enfoque lgico de las Matemticas debe conducir a resolver losproblemas por medio de un pensamiento matemtico inteligente, y en estesentido, desarrolla una idea ms amplia que la propia deduccin formal. Ladeduccin lgica no debe confundirse ni con la deduccin formal ni con los

{ PAGINA

procedimientos algortmicos. El pensamiento lgico debe estar presente entodas las actividades matemticas.

Qu ocurre con las Matemticas escolares?, Estn organizadas ydesarrolladas con estos principios lgicos?. En general, la lgica de lasMatemticas escolares depende muchas veces de la situacin en la que seencuentre el alumno. Ya hemos mencionado la pragmtica como undominio del lenguaje, donde el sentido de la palabra est en funcin delcontexto en que se enuncia; en un sentido ms general, podemos hablar dela influencia de lo social sobre lo lgico. Generalmente, cuando planteamoscuestiones buscamos el inters matemtico, el planteamiento de la ecuacin,pero, a veces, el contexto escogido es socialmente absurdo.

El siguiente problema:Dos obreros instalan doce metros de tubera en nueve horas.

Completa el cuadro:

Nmero deobreros

Nmero de metros de tuberainstalados

Tiempo(horas)

2 12 9? 24 96 12 ?1 ? 18

Parece de lo ms normal, esperamos que se aplique la proporcionalidad,esto se comprende bien. Sin embargo, profundizando, tampoco esrazonable aplicarla en esta situacin ya que sabemos bien que el trabajo enequipo no genera un trabajo proporcional al nmero de personas sino alritmo de cada una de ellas. Podra ocurrir que alumnos con una actitudcrtica no respondieran, como esperamos, a la ltima pregunta.

Parece que en el mbito escolar generamos con las Matemticas unalgica escolar diferente de la lgica social, y esta lgica escolar lleva alalumno a responder, no a la pregunta que realizamos en el problema sino auna meta-pregunta: qu espera el profesorado que yo haga?.

Por ello, a efectos de aminorar las dificultades de los alumnos en elapredizaje de las Matemticas, parece necesario potenciar el pensamientolgico de las Matemticas y conjugar esta lgica interna de la Matemtica con la lgica social en la que est inmerso el alumno.

Otras veces esta lgica social dificulta el verdadero sentido de losobjetos matemticos. Veamos algunos ejemplos. Los nmeros decimales sepresentan en la vida corriente como parejas de nmeros enteros; as

{ PAGINA

decimos: Vctor mide un metro ochenta y no se trata del nmero 1,80,sino de dos nmeros enteros, 1 y 80, con dos unidades distintas, el metro yel centmetro. Este modelo del nmero decimal como pareja de nmerosenteros es de naturaleza social y queda en la mente del alumno, y podemosencontrarnos con errores que se justifican va esta lgica social:

1,3 < 1,28 porque 3 < 28, o0,3 x 0,3 = 0,9 porque 0 x 0 = 0 y 3 x 3= 9, o

entre 1,3 y 1,4 no hay otro nmero porque no hay nmero entre 3 y 4.Otro ejemplo lo podemos encontrar en el modelo social ms utilizado

para clasificar, la particin, es decir, en conjuntos de interseccin vaca.De esta manera para el artesano que hace baldosas, una baldosa cuadradano es rectangular. Nos encontramos con errores asociados a esta forma declasificar.

Muchos alumnos organizan los cuadrilteros en particiones quepresentan as: cuadrados / rectngulos / rombos / paralelogramos, oclasificaciones para los tringulos que presentan: tringulos issceles /tringulos rectngulos / tringulos equilteros que tienen que ver con unaorganizacin similar para los nmeros: nmero entero / nmero con unacifra decimal / nmero con dos cifras decimales; aceptando un orden encada conjunto, pero no un orden comn a los tres conjuntos (orden total).

En la lgica de las Matemticas las clasificaciones estn muchas vecesasociadas a la inclusin y no a las particiones. En el lenguaje matemticopodemos decir: un cuadrado es un rectngulo cuyos lados tienen la mismamedida, en este caso es significa identidad, pero tambin es correctodecir: un cuadrado es un rectngulo, es significa inclusin. En lalgica social la segunda proposicin no se puede aceptar, no es conforme alprincipio de mxima informacin. Por ejemplo, el hijo que dijo a su padre,quien le ha prestado su coche: tuve un accidente con tu coche, la puertaest rota, pero no dice: el motor tambin. En la lgica social el hijomiente, en Matemticas eso no sera mentir.

Estos errores, en general, pueden tener mltiples orgenes. Otras vecespueden ser didcticos, en este caso, el uso de determinados prototipos en elcontexto escolar puede generar imgenes mentales inadecuadas delrectngulo. El profesor cuando dibuja rectngulos en la pizarradifcilmente dibuja

o

porque para determinados problemas de geometra tales figuras puedenser molestas.

{ PAGINA

Los modos de pensamiento matemtico provocan rupturas que seconvierten en dificultades en el proceso normal de construccin delconocimiento matemtico. El saber matemtico anterior produce modelosimplcitos para resolver los problemas matemticos. Muchas veces estosmodelos son adecuados, pero otras, por el contrario, aparecen comodificultades para el saber matemtico nuevo.

Estas dificultades, en general, no se pueden evitar ya que forman partedel proceso normal de construccin del conocimiento matemtico, pero losprofesores tienen que conocerlos y reflexionar sobre ellos para facilitar suexplicitacin por parte de los alumnos. Si se quedan implcitos, es muydifcil incorporar otro saber nuevo.

Veamos a ttulo de ejemplo dos rupturas importantes que se dan enrelacin con los modos de pensamiento matemtico: El modelo aditivo creadificultades al modelo multiplicativo y lineal y ste, a su vez, creadificultades a otros modelos.

Como hemos visto en el apartado anterior, en la escuela primaria, seintroduce la multiplicacin como una adicin que se repite

a + ........... + a = ba (estadio semitico)(b veces)

Esta adicin que se repite no puede dar sentido a la multiplicacin conotros nmeros (enteros negativos o racionales). Constituye una fuente dedificultades ya que conduce nicamente a una ley externa:

x

0Z Zy n 0

; x +.....

n ......+ x

= n x

p/q0QQ

Q

y n 0 ; p/q +

.....

n .....+ p/q

= n . p/q

pero d Z y d Q , es decir que n 0 Z y n 0 Q, ser necesario dotarde significado a la multiplicacin dentro de Z y Q y facilitar lasidentificaciones sucesivas entre los nmeros.

Hemos de cambiar el punto de vista muchas veces a propsito delnmero, el nmero sirve para contar (conjunto ), para medir (conjuntosQ+ y +) y para operar (Z y Q).

Cuando el modelo lineal queda implcito, ste constituye un conflictopara los otros modelos. As, por ejemplo, a los modelos a x + b, x2, {

{ PAGINA

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } 1/x, se le suelen aplicarlas propiedades de linealidad:

{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , { INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat } y {

INCRUSTAR "Equation.2" \*mergeformat }

donde este primer error adquiere ms fuerza a causa de la analoga con(a+b) (a-b) = a2 - b2.

A otras funciones tambin se les aplica las propiedades de linealidadsen 3a = 3 sen a 2 n + m = 2 n + 2 m.

En actividades de resolucin de problemas con relacin alcomportamiento exponencial nos encontramos en situaciones anlogas; porejemplo, si pedimos a nuestros alumnos que tomen una hoja de papel y ladoblen, una vez, dos veces, etc...., y preguntamos: s doblo n vecescuntos pedazos de papel tengo?. Bastantes alumnos contestan 2n, esdecir, recurren al modelo lineal. Con bastante reflexin determinan 2n

Vemos como los modelos implcitos que generan ciertos modos depensamiento se convierten en dificultades para el proceso en elconocimiento matemtico, dificultades que, por otro lado, no se puedenevitar. Los profesores deben conocer y reflexionar sobre estos obstculos,con el fin de no facilitar en la enseanza la formacin de estas dificultades.

Dificultades asociadas a los procesos de enseanzadesarrollados para el aprendizaje de las Matemticas.

Las dificultades asociadas a los procesos de enseanza tienen que ver conla institucin escolar, con el currculo de Matemticas y con los mtodos deenseanza.

La institucin escolar debe propiciar una organizacin escolar que tiendaa reducir las dificultades del aprendizaje de las Matemticas dependiendode los materiales curriculares, de los recursos y de los estilos de enseanza.Esta organizacin afecta tanto a los elementos espacio-temporales como alos agrupamientos en clases homogneas o heterogneas, de acuerdo consus habilidades en Matemticas.

La organizacin curricular en Matemticas puede originar diferentesdificultades en el aprendizaje de las mismas. Cuatro seran los elementosbsicos a considerar como dificultades en el currculo de Matemticas: lashabilidades necesarias para desarrollar capacidades matemticas quedefinen la competencia de un alumno en Matemticas, la necesidad de

{ PAGINA

contenidos anteriores, el nivel de abstraccin requerido y la naturalezalgica de las matemticas escolares.

Por ltimo, nos referimos a los mtodos de enseanza que deben estarligados tanto a los elementos organizativos de la institucin escolar, como ala organizacin curricular. Varios son los aspectos a considerar, porejemplo, el lenguaje, que debe adaptarse a las capacidades y comprensinde los alumnos; la secuenciacin de las unidades de aprendizaje que debeestar adaptada a la lgica interna de las Matemticas; el respeto a lasindividualidades que tiene que ver con los ritmos de trabajo en clase; losrecursos y la representacin adecuada.

Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivode los alumnos.

La posibilidad de tener informacin sobre la naturaleza de los procesosde aprendizaje y conocimiento del desarrollo intelectual, permite conocerel nivel de dificultades, realizaciones y respuestas a cuestiones esperadas delos alumnos. Conocer los estadios generales del desarrollo intelectual,representado cada uno de ellos por un modo caracterstico de razonamientoy por unas tareas especficas de Matemticas que los alumnos son capacesde hacer, constituye una informacin valiosa para los profesores a la horade disear el material de enseanza. Nos encontramos, sin embargo, condiferentes teoras generales sobre el desarrollo cognitivo que por distintasrazones no han tenido un efecto claro y directo en las aulas de Matemticasde Secundaria; tambin es verdad que muy pocas de estas teoras se hanocupado de manera especfica de las Matemticas.

Diferentes son los enfoques que podemos considerar: el enfoquejerrquico del aprendizaje, el enfoque evolutivo, el enfoque estructuralista,el enfoque constructivista y el enfoque del procesamiento de lainformacin, entre otros muchos. Un texto de inters en el que se puedeconsiderar algunos de estos enfoques es el libro de L.B. Resnick yW.W.Ford (1990): La enseanza de las matemticas y sus fundamentospsicolgicos.

Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionaleshacia las Matemticas.

Sabemos que a muchos estudiantes, incluyendo a algunos de los mscapacitados, no les gustan las Matemticas. Muchos alumnos tienensentimientos de tensin y miedo hacia ellas. Sin lugar a duda muchos sonlos aspectos que influyen en esta aversin. Por ejemplo, la naturaleza

{ PAGINA

jerrquica del conocimiento matemtico, la actitud de los profesores deMatemticas hacia sus alumnos, los estilos de enseanza y las actitudes ycreencias hacia las Matemticas que les son transmitidas.

Muchas de las actitudes negativas y emocionales hacia las Matemticasestn asociadas a la ansiedad y el miedo. La ansiedad por acabar una tarea,el miedo al fracaso, a la equivocacin, etc., generan bloqueos de origenafectivo que repercuten en la actividad matemtica de los alumnos.

Buxton (1981), en su libro Do you Panic about Maths?, cita lasprincipales creencias sobre la naturaleza de las Matemticas y que sontransmitidas de padres a hijos:

Las Matemticas son:1.fijas, inmutables, externas, intratables, irreales;2.abstractas y no relacionadas con la realidad;3.un misterio accesible a pocos;4.una coleccin de reglas y hechos que deben ser recordados;5.una ofensa al sentido comn en algunas de las cosas que asegura;

6.un rea en la que se harn juicios, no slo sobre el intelecto,sino sobre la vala personal;

7.sobre todo clculo.Esta perspectiva externa de las Matemticas las trata como la realizacin

de una aventura arriesgada a la que uno se enfrenta con pocasherramientas. En esta situacin es lgico que aparezcan la ansiedad y elmiedo.

Los aspectos afectivos comienzan a ser objeto de las investigaciones eneducacin matemtica. Una obra interesante es: Affect and MathematicalProblem Solving, de D.B. McLeod y V.M. Adams (1989).

5.2. OBSTCULOS EN EL APRENDIZAJE DE LASMATEMTICAS

Presentadas en trminos generales las dificultades que se dan en elproceso de enseanza aprendizaje, analizamos el segundo aspecto que tieneque ver en la organizacin de los errores: los obstculos.

El concepto de obstculo fue introducido por primera vez por el filsofofrancs Bachelard (1938) en el contexto de las ciencias experimentales ybajo la denominacin de obstculo epistemolgico. El autor seala elsentido en que debe entenderse y dice:

.....Hay que plantearse el problema del conocimiento cientfico entrminos de obstculos. Y no se trata de considerar obstculos externos,como la complejidad y la fugacidad de los fenmenos, ni tampoco de

{ PAGINA

culpar la debilidad de los sentidos y de la mente humana, pues es,precisamente, en el mismo acto de conocer, ntimamente, cuando surgen,como una necesidad funcional, torpezas de entendimiento y confusiones. Esah donde mostraremos causas de estancamiento e incluso de regresin, ydonde descubriremos causas de inercia que llamaremos obstculosepistemolgicos.

Identifica varias clases de los mismos que surgen desde:-la tendencia a confiar en engaosas experiencias intuitivas,-la tendencia a generalizar; esto puede ocultar la particularidad de la

situacin,-el lenguaje natural.Las define en el contexto del desarrollo del pensamiento cientfico en

general, no en trminos de experiencias de aprendizaje especficas,individuales. Para este filsofo el conocimiento cientfico se edificasalvando obstculos, no slo de tipo externo, como los debidos a lacomplejidad de los fenmenos o a la debilidad de las facultades perceptivashumanas, como hemos indicado, sino tambin a otros, que se producen enel propio acto de conocer y que se manifiestan como una especie de inerciaque provoca el estancamiento o incluso la regresin del conocimiento.

El traslado del concepto de obstculo epistemolgico al campo de laDidctica de las Matemticas es objeto de debate, ya que planteadificultades que han sido descritas por personas como Brousseau (1983),Sierpinska (1985) y Artigue (1989), y aunque pensamos igual queBrousseau (1983), que, la propia nocin de obstculo est constituyndosey diversificndose: no es fcil decir generalidades pertinentes sobre estetema, es mucho mejor estudiar caso por caso. Una revisin y organizacinde este concepto y de sus posibles implicaciones en el anlisis de errores,nos puede ayudar a tener una visin ms amplia en el tema que nos ocupa.

Este autor considera que los obstculos que se presentan en el sistemadidctico pueden ser:

De origen ontognico o psicognico, debidos a las caractersticas deldesarrollo del nio.

De origen didctico, resultado de una opcin o de un proyecto delsistema educativo, esto es, de las elecciones didcticas que se hacen paraestablecer la situacin de enseanza.

De origen epistemolgico, intrnsicamente relacionados con el propioconcepto. Se les puede encontrar en la historia de los mismos conceptos.Esto no quiere decir que se deban reproducir en el medio escolar lascondiciones histricas donde se les ha vencido.

{ PAGINA

Herscovics (1989), reconoce la introduccin de la nocin de obstculoepistemolgico por parte de Bacherlard y su definicin en el contexto deldesarrollo del pensamiento cientfico (no menciona a Brousseau ni susobstculos didcticos). Se refiere por primera vez a la nocin de obstculoen la adquisicin de esquemas conceptuales por el aprendiz y lo expresa ensu trabajo Cognitive Obstacles Encountered in the Learning of Algebra.Considera que para que el obstculo cognitivo sea construido como unsuceso natural necesita relacionarlo con una Teora del Aprendizaje y seprovee de la Teora de Piaget del equilibrio, desde la cual la adquisicindel conocimiento es un proceso que contiene una interaccin constanteentre el sujeto que aprende y el medio ambiente, entre dos mecanismosindisociables: la asimilacin de las experiencias a las estructuras deductivas(la integracin de las cosas a ser conocidas en una estructura cognitivaexistente) y la acomodacin de estas estructuras a los datos de laexperiencia (cambios de la estructura cognitiva del aprendiz precisada porla adquisicin del nuevo conocimiento). En trminos generales, laadaptacin supone una interaccin entre el sujeto y el objeto de forma tal,que el primero puede hacerse con el segundo teniendo en cuenta susparticularidades, y la adaptacin ser tanto ms precisa cuanto msdiferenciadas y complementarias sean la asimilacin y la acomodacin.

Siguiendo con este anlisis sobre las obstrucciones en el aprendizaje dellgebra, interesa destacar lo que indica Tall (1989), en su trabajoDifferent Cognitive Obstacles in a Technological Paradigm. El no hacedistinciones entre los obstculos. Los llama simplemente obstculoscognitivos, y distingue dos tipos:

a) Obstculos basados en la secuencia de un tema, en que afirmaque la razn para creer en obstculos surge fundamentalmente del hecho deque ciertos conceptos tienen un grado de complejidad, por lo que espreciso familiarizarse con ellos en un cierto orden. Por ejemplo, el casodel lgebra, en el que las destrezas operatorias son enseadas conanterioridad a ideas conceptuales aparentemente ms profundas.

b) Obstculos basados sobre casos simples, posiblemente causadospor limitar al estudiante a casos simples por un perodo sustancial detiempo, antes de pasar a casos ms complejos.

Observamos que la idea de obstculo parte de la misma fuente: elobstculo epistemolgico de Bachelard.

Tanto Bachelard como Brousseau caracterizan un obstculo como:aquel conocimiento que ha sido en general satisfactorio durante un tiempopara la resolucin de ciertos problemas, y que por esta razn se fija en la

{ PAGINA

mente de los estudiantes, pero que posteriormente este conocimientoresulta inadecuado y difcil de adaptarse cuando el alumno se enfrenta connuevos problemas.

Podemos precisar expresando que:Un obstculo es un conocimiento adquirido, no una falta de

conocimiento. No se trata de una falta de conocimiento, sino de algo que seconoce positivamente, o sea, est constituyendo un conocimiento.

Tiene un dominio de eficacia. El alumno lo utiliza para producirrespuestas adaptadas en un cierto contexto en el que el dominio de eseconocimiento es eficaz y adecuado

Cuando se usa este conocimiento fuera de ese contexto genera respuestasinadecuadas, incluso incorrectas; el dominio resulta falso.

Es resistente, y resultar ms resistente cuanto mejor adquirido est ocuanto ms haya demostrado su eficacia y su potencia en el anteriordominio de validez. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazoen el nuevo saber.

Despus de haber notado su inexactitud, contina manifestndoloespordicamente.

De todo ello podemos obtener como primera reflexin que en elcontexto del desarrollo del pensamiento matemtico ste est lleno deobstculos caracterizados como epistemolgicos. Sin embargo stos, noestn especificados en trminos de experiencia de enseanzas regladas yorganizadas en el sistema educativo; no obstante, aceptamos que talesorganizaciones de las Matemticas en el sistema escolar pueden originarobstculos que podemos caracterizar como didcticos. Ahora bien, laadquisicin por parte del alumno de nuevos esquemas conceptuales estsalpicado de obstculos que podemos considerar cognitivos.

Estas consideraciones tericas no estn exentas de discusin, pero nosayudarn a organizar e interpretar mejor los errores que manifiestannuestros alumnos as como a organizar las lecciones de Matemticas, y esoes de lo que se trata.

Por ejemplo, para bastantes alumnos de secundaria lasrepresentaciones grficas de las funciones parecen haber perdido su valorde representacin de la funcin y son tomadas como si fueran a la vezsignificante y significado. As la funcin no sera para ellos, una relacinentre dos magnitudes x e y; una ordenada positiva f (x) ya no sera lalongitud de un segmento que representara una magnitud. El concepto defuncin se reduce, en cierta manera, a la imagen visual que su curvagenera; la expresin analtica y = f (x) sirve nicamente para designar esta

{ PAGINA

curva y para identificarla entre otras formas distintas; de esta manera, lacoordenada (x, f (x)) sera el nombre dado a tal o cual punto particular dela curva, esto genera errores; entre otros, el suponer que las grficas sonsiempre continuas debido a que las situaciones manejadas por losestudiantes siempre tienen esta propiedad.

Aqu cabe preguntarse si la misma enseanza no es la que originaesta concepcin parcial de la nocin de funcin. En efecto, con demasiadafrecuencia se considera a la curva que la representa como un objeto deestudio en s, y no como un modo de representacin de una ley devariacin.

Ms difcil parece la diferenciacin entre las categoras de obstculosdidcticos y cognitivos. Brousseau (1983) habla de los obstculosontognicos o psicognicos, debido a las caractersticas del desarrollo delnio. Herscovics (1989) habla de los obstculos cognitivos como normalese inherentes a la construccin del conocimiento por parte del alumno(incluyendo lo que otros autores denominan obstculos didcticos). Utilizael trmino cognitivo para distinguirlo del epistemolgico. Tall (1989)habla de obstculos cognitivos e incluye expresamente los obstculosdidcticos, sin embargo seala la necesidad de diferenciarlos en dos tipos:uno que tiene que ver con las secuencias de un tema y est relacionado conla complejidad de los objetos matemticos, y otro, que tiene que ver con lasformas de construccin del conocimiento matemtico por parte de losalumnos, y los denomina obstculos basados sobre casos simples, como seha visto anteriormente.

Herscovics (1989), se sita en un punto de vista esencialmenteconstructivista e interpreta la nocin de obstculo cognitivo en trminos dela teora piagetiana, sealando que el estudiante se enfrenta a nuevas ideasque no tienen cabida en sus estructuras cognitivas ya existentes, lo queocasiona que no pueda enfrentarse adecuadamente a la nueva informacin.Podemos, pues, tomar como vlido que los obstculos cognitivos sonproducto de la experiencia previa de los alumnos y del procesamientointerno de estas experiencias, y que nuestra organizacin curricular,diseada para presentar los objetos matemticos de las formas lgicamentems simples, puede realmente causar obstculos cognitivos, pero quetambin surgen obstculos cognitivos que no tienen que ver con estaorganizacin curricular sino que tienen que ver con otros aspectos, comopor ejemplo, la lgica interna de las Matemticas y en algunos casos conlos que hemos denominado en los apartados anteriores, lgica social.

Una organizacin posible y til de los obstculos sera:

{ PAGINA

{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }Por ejemplo, los nmeros decimales son, necesariamente, ms

complicados que los nmeros enteros, y la experiencia con nmerosenteros conduce a la generalizacin implcita que la multiplicacinagranda lo que provoca un obstculo cognitivo cuando los estudiantes seencuentran con la multiplicacin de decimales positivos y menores que launidad. Constituye ste un obstculo cognitivo de origen didctico. Porqu?, porque probablemente una secuencia alternativa del currculo, quetenga en consideracin esta lgica interna del conocimiento matemtico,podra cambiar la naturaleza de la comprensin y el tipo de obstculocognitivo que pueda surgir.

Pero no siempre es posible cambiar la naturaleza de la comprensin; porejemplo, sera difcil presentar antes la multiplicacin que la suma, o lapotencia antes que el producto, y vemos que en la lgica interna de ladisciplina, sin que aparentemente la organizacin curricular puedaintervenir para evitarlo, aparecen dificultades que pueden ser consideradascomo obstculos cognitivos y no puramente didcticos. La enseanza puedeayudar a minorar estos obstculos pero no a eliminarlos.

La presencia de obstculos epistemolgicos fuera de los obstculoscognitivos, se justifica por la impresin de que los obstculosepistemolgicos deben su existencia a la aparicin y resistencia de ciertosconceptos matemticos a lo largo de la historia, as como la observacin deconceptos anlogos en los alumnos, ms que a la confirmacin de laresistencia de esas concepciones en los alumnos de hoy. Esta condicinparece esencial por la disparidad de las normas que rigen la construccindel conocimiento matemtico en la historia y la construccin delconocimiento matemtico en el contexto escolar. El anlisis histrico puedeayudar al didctico en su bsqueda de ncleos de resistencia al aprendizajematemtico, pero no puede, en ningn caso, aportar por s solo la pruebade la existencia de tal o cual obstculo para los alumnos de hoy.

5.3. Errores en Matemticas.Algunos matemticos han encontrado en los errores una gama de

problemas dignos de estudio, ya sea porque plantean acertijos opasatiempos o porque sugieren teoremas interesantes. Abordamos esteapartado considerando el papel de los errores en el desarrollo delconocimiento matemtico, mostrando algunos procedimientos errneos,

{ PAGINA

aprovechables didcticamente, y analizando algunas pseudo-demostraciones.

Lakatos (1981) en algunos de sus artculos muestra cmo la discusin delos errores detectados en algunas teoras permite la transformacin oenriquecimiento de stas, por ejemplo, cuando analiza el trabajo de Cauchyseala: qu decir de los bien conocidos errores de Cauchy?. Cmopoda probar en su famoso Cours d Analyse (1821) -catorce aos despusdel descubrimiento de las series de Fourier- que cualquier serieconvergente de funciones continuas siempre tiene una funcin lmitecontinua? Cmo poda probar la existencia de la integral de Cauchy paracualquier funcin continua?. Todo esto constituye slo una serie deerrores tcnicos desafortunados, fruto del olvido o del descuido?

Pero si los errores de Cauchy no fueron ms que flagrantes descuidos,cmo es que uno de ellos slo fue subsanado en 1847 (por Seidel) y elotro tan slo en fecha tan tarda como 1870 (por Heine)?.

La respuesta a esta pregunta permite explicar el desarrollo de ciertosconceptos y el nacimiento de nuevas teoras, las cuales tal vez no sehubieran desarrollado sin el anlisis crtico de las concepciones vigentes.

Contina Lakatos: -La teora de Robinson nos ofrece la pista crucialpara su solucin...

...A esta luz, se comprende ahora la historia de los errores deCauchy, y tambin otros aspectos de la historia de la convergenciauniforme y de la continuidad uniforme.

Y concluye: Cauchy no cometi en absoluto ningn error, sino queprob un teorema completamente distinto, sobre secuencias transfinitas defunciones que Cauchy-convergen sobre el continuo de Leibniz.

Esto es, el teorema demostrado por Cauchy es vlido en un sistemadonde * es una extensin del sistema de los nmeros reales R, pero esfalso al considerarlo slo en R.

Este es un buen ejemplo en lo referente a los errores cometidos en eldesarrollo histrico del conocimiento matemtico. Algunos autores comoLakatos, prefieren considerar otros errores como concepcioneslimitadas, matiz totalmente vlido, pues decimos que algn procedimientoes correcto o no, a partir de los elementos que conforman las teorasactuales, pero con ello cometemos el error de hacer juicios con marcos dereferencia que no corresponden a la situacin que se analiza.

Este matiz de concepcin limitada que se le da a los errores en lahistoria de las Matemticas, puede ser vlido tambin en el caso de loserrores cometidos por los estudiantes, puesto que muchos de stos pueden

{ PAGINA

explicarse a travs de los mtodos que ellos desarrollan con el tiempo,siendo dichos mtodos vlidos en algunos casos solamente. Queda claro queno todos los errores de los alumnos pueden explicarse de esta forma; porlo tanto, este matiz no es vlido, en general, para reflexionar sobre loserrores cometidos por los estudiantes, pero constituye un elemento ms atener en cuenta.

Procedimientos errneos.Analizamos en este apartado algunos procedimientos errneos que

suelen cometer los alumnos de Secundaria.1.- Nos encontramos a veces con alumnos que realizan la suma de

fracciones como sigue:a/b +c/d = (a+c)/(b+d)

este procedimiento incorrecto, en general, no lo es en algunos casos. Sidespejamos a obtenemos:

a = - b2 c /d2Algunas soluciones enteras de sta nos conducen a las siguientes

soluciones:(-18)/3 +8/2 = (-18)+8/3+2; (-12)/2+3/1 = (-12)+3/2+1;...

2.- Es frecuente como ya hemos indicado que frente al cuadrado delbinomio se comporten as:

(x+a)2 + (x+b)2 = (x+c)2, entoncesx2 + a2 + x2 + b2 = x2 + c2, pero es vlido si, a + b = cEsto puede generalizarse como sigue:Si c = ad + bc, de la igualdad:(dx+a)2 + (ex+b)2 = (x+c)2, se puede pasar a la igualdadd 2 x2 + a2 + e 2 x2 + b 2 = x 2 + c 23.- Un error muy conocido y discutido en diversos artculos y libros de

curiosidades o paradojas matemticas es la cancelacin:{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }

Si consideramos el caso general con a,b,c, dgitos no nulos, obtenemos{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }

que se puede escribir de la forma 10 a + b / 10 b + c = a/c, de dondedespus de algunas transformaciones algebraicas sencillas, obtenemos:

9ac = b (10 a - c),si a=b a=c, se obtienen a=c a=b, respectivamente, lo que nos conduce

a:

{ PAGINA

{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat } { INCRUSTAR"Word.Picture.6" \* mergeformat }

Si consideramos b = 6, la ecuacin anterior se convierte en a = 2c/20-3c,de donde obtenemos algunas soluciones que corresponden a los siguientescasos:

a=1, b=6, c=4 ; a=2, b=6, c=5 ; a=6, b=6, c=6 ;de ah que algunas soluciones son:

{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat } { INCRUSTAR"Word.Picture.6" \* mergeformat } { INCRUSTAR "Word.Picture.6" \*

mergeformat }anlogamente se puede ir considerando otras posibilidades. Un estudio

detallado se encuentra en Johnson (1987).4.- Otro ejemplo sobre cancelacin recogido en Carman (1971) es el

siguiente:sen a+sen 2a+...+sen na = sen (n + 1) a/2 . sen n a /2 ' sen a/2

cancelando sen obtenemos:a+2a+...+na = (n + 1) a /2 . n a /2 ' a /2

cancelando ase llega a:1+2+...+n = (n + 1)/2. n/2 ' 1/2, y esto es:

1+2+...+n = (n + 1) . n '25.- Sucede a veces que la suma de dos errores da como resultado un

acierto. White (1981) da un ejemplo de esto; al derivar:y = ( x 2 + 1)3x

algunos alumnos utilizan:d/dx ( u n) = n.u n-1 du/dx y otros aplican d/dx (a u) = a u (ln a) du/dx,y obtienen respectivamente :y1' = 3x (x 2 + 1) 3x-1 (2x) v y2' = (x2 + 1) 3x (ln (x2 +1)).(3),

con a=cte. y u=u(x),podemos comprobar que la respuesta correcta es y'= y1' + y2'

Las pseudo-demostraciones Con frecuencia nos encontramos en Matemticas (Aritmtica, lgebra o

Geometra) con demostraciones aparentemente correctas pero que chocancon la intuicin y el sentido comn: Son curiosidades o acertijos como:

Puedo probar matemticamente que 4 es igual a 5, o que 2 es igual a1 o que todos los tringulos son issceles, y planteamos demostracionescomo:

Para el ejemplo: 4 es igual a 5

{ PAGINA

-20 = -20,16 - 36 = 25 -45,16 - 36 + (9/2)2 = 25 - 45 + (9/2)2,(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2,4-9/2 = 5-9/2, y entonces 4=5

Anlogamente, para el ejemplo: 2 es igual a 1.x = 1,x 2 = x,x2-1 = x-1,x + 1 = 1,1+1=1, y entonces 2=1.

En el tercer caso: Todos los tringulos son issceles, tomemos comoejemplo la demostracin debida a Lewis Carroll.

Dado un tringulo ABC cualquiera, demostrar que es issceles:Se traza la bisectriz de A y tambin la mediatriz del lado BC. Se afirma

con autoridad, que se cortan en N, se trata de demostrar que el ngulo en Bes igual al ngulo en C; se trazan los segmentos NH1, y NH2perpendiculares respectivamente a AB y AC, y se tiene entonces BNH1CNH2, luego los ngulos ABN y ACN son iguales.

Por otra parte se tiene que NB= NC, luego los ngulos NBC y NCB soniguales, de donde se deduce la igualdad de los ngulos de los vrtices B y Cdel tringulo ABC.

La trampa en este ltimo caso consiste en que N se coloc en el interiordel tringulo, ocurriendo que siempre N est en el exterior. Un interesantelibro sobre errores en las demostraciones geomtricas es el de Dubnov(1993).

El aprovechamiento de los casos anteriores en el contexto escolar puederealizarse atendiendo a la serie de propiedades ocultas que generan estoserrores y permiten ampliar la comprensin de algunos contenidosmatemticos. Pueden ser entonces de gran utilidad en las clases deMatemticas de Secundaria, bien a nivel de grupo, bien a nivel individual.Por ejemplo, si algn alumno comete el error a+b/a+c=b/c, se puedeplantear, en qu casos es vlido sto?, e indagar en los casos en que esposible hacer un procedimiento errneo, permitindole confiar en suspropios recursos para salir de dudas. Anlogamente, en las pseudo -

{ INCRUSTAR "WPDraw30.Drawing" \* mergeformat}

{ PAGINA

demostraciones, podemos desarrollar cuestiones relacionadas con laigualdad y las potencias y analizar que:

{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , pero que: {INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } > {

INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat } {

INCRUSTAR "Equation.2" \*mergeformat } , y potenciar la bsqueda de situaciones similares cmo:

1 = { INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } = {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } = { INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat } = -1;

o con la igualdad y las operaciones de +, -, x, /, donde:{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , y {

INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat } { INCRUSTAR "Equation.2" \*

mergeformat } { INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , y {INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } {

INCRUSTAR"Equation.2" \* mergeformat }

Este uso de los errores en la clase de Matemticas consiste en plantear elpropio error como un problema matemtico.

5.4. Errores en el aprendizaje de las Matemticas: evaluaciny diagnstico.

Un conocimiento de los errores bsicos es importante para el profesorporque le provee de informacin sobre la forma en que los alumnosinterpretan los problemas y utilizan los diferentes procedimientos paraalcanzar una buena meta.

En general, aceptamos que incluso la mayora de los alumnos que tienenuna actuacin aparentemente satisfactoria en Matemticas, ocultaprobablemente serios errores conceptuales que dificultarn el aprendizajesubsiguiente. Parece necesario diagnosticar y tratar mucho ms seriamente,de cmo lo hacemos, los errores de los alumnos. Probablementenecesitemos ensear menos directamente y dedicar ms tiempo a conocerlo que piensan los alumnos, discutiendo con ellos a nivel intuitivo acerca desus concepciones errneas y presentarles luego situaciones matemticas,para seguir pensando en aquello que les permite reajustar sus ideas.

La interpretacin y anlisis de los errores cometidos en la enseanza-aprendizaje de las Matemticas puede enriquecerse con el apoyo de algunasteoras de la psicologa educativa, algunas de ellas se refieren adeterminados procesos que se dan en la Matemtica. La posicin cognitivasugiere que la mente del alumno no es una pgina en blanco. El alumno

{ PAGINA

tiene un conocimiento anterior que parece suficiente y establece en lamente del alumno un cierto equilibrio. Dos parecen las razones bsicas atener en cuenta en la adquisicin de un nuevo conocimiento. Primero, elnuevo conocimiento debe tener significado para el alumno y para ello debecontestar a preguntas que l se ha hecho a s mismo, o por lo menosrecuperar algunas representaciones que ya estaban en su mente, es decir, elalumno debe asumir la responsabilidad de la construccin del saber yconsiderar los problemas como suyos y no como problemas del profesor.Y segundo, el saber anterior produce modelos implcitos que a veces sonfavorables con el nuevo conocimiento matemtico y que, por tanto, hayque explicitarlos, y otras veces, al contrario, son un obstculo. En ningncaso el conocimiento nuevo se aade al saber antiguo, muy al contrario seconstruye luchando contra l, porque debe provocar una estructuracinnueva del conocimiento total.

Podemos caracterizar a nuestro juicio, en dos grupos las causasprincipales de los errores en el aprendizaje de las Matemticas. Erroresque tienen su origen en un obstculo y errores que tienen su origen en unaausencia de significado. Estos ltimos, tendran dos procedencias distintas,una, relacionada con las dificultades asociadas a la complejidad de losobjetos matemticos y a los procesos de pensamiento matemtico, y otra,relacionada con las dificultades asociadas a las actitudes afectivas yemocionales hacia las matemticas.

Recordando algo que parece obvio aceptar: la complejidad de lasdificultades del aprendizaje de las matemticas, y que estas dificultades setraducen en errores que cometen los alumnos y que stos se producen porcausas muy diversas que muchas veces se refuerzan en redes complejas,parece til, desde la perspectiva de la enseanza tener elementos de anlisisde estos errores. Una manera til de abordarlos sera considerar las tresdirecciones antes mencionadas, a modo de tres ejes de coordenadas que nossituara con ms precisin en los orgenes del error y nos permitira comoprofesores arbitrar procedimientos y remedios ms efectivos.

Estos tres ejes estaran determinados por:I) Errores que tienen su origen en un obstculo.II) Errores que tienen su origen en ausencia de sentido.III) Errores que tienen su origen en actitudes efectivas y

emocionales.A modo de ejemplo y tomando como referencia el lenguaje algebraico

con relacin a los primeros ejes tenemos:I.- Errores que tienen su origen en un obstculo:

{ PAGINA

Como ejemplo podemos citar el que indica Collis (1974) relacionandolas dificultades que los nios tienen en el lgebra con la naturalezaabstracta de los elementos utilizados. El apunt la idea de que losestudiantes que comienzan a estudiar lgebra ven las expresionesalgebraicas como enunciados que son algunas veces incompletos. Porejemplo, si se les requiere que dos nmeros conectados por una operacinsean reemplazados por el resultado de la operacin, y, posteriormente, seles introduce al lgebra con expresiones tales como x + 7 y 3x para serremplazadas por un tercer nmero, como en este caso nopuedencerrarse, son expresiones incompletas, los alumnos no loaceptan y l lo expresa diciendo que no hay aceptacin de la falta declausura.

DAVIS (1975), por su parte, tambin plantea algunas situaciones a losestudiantes en las que se les hace difcil dar respuestas legtimas. Estadificultad est relacionada con la distincin entre la adicin aritmtica,donde + es una pregunta o un problema (3+7), y la adicinalgebraica, como en x + 7, donde la expresin describe, a la vez, laoperacin de sumar y el resultado. Esto necesita por parte de los alumnosun reajuste cognitivo y es lo que Davis ha llamado dilema proceso-producto donde, simultneamente, se describe el proceso y se nombra larespuesta.

La concatenacin, esto es, la yuxtaposicin de dos smbolos, es otrafuente de dificultad para el estudiante principiante de lgebra(HERSCOVICS, 1989). Tambin MATZ (1980), haba observado que, enaritmtica, la concatenacin denota adicin implcita, como en lanumeracin de valor posicional y en la notacin numrica mixta. Sinembargo, en lgebra, concatenacin denota multiplicacin. Esto explicapor qu varios estudiantes, cuando se les pidi sustituir 2 por a en 3a,pensaron que el resultado sera 32. Slo cuando especficamente se lesrequiri responder en lgebra, respondieron 3 veces 2 (CHALOUH yHERSCOVICS, 1988).

II.- Errores que tienen su origen en ausencia del sentido.Al originarse estos errores en los diferentes estadios de desarrollo que se

dan en los sistemas de representacin (semitico, estructural y autnomo),podemos diferenciar errores en tres etapas distintas.

A) Errores del lgebra que tienen su origen en la aritmtica.-Elsignificado de los signos usados es el mismo en ambas ramas de lasMatemticas. El lgebra no est separada de la aritmtica y aquella se

{ PAGINA

puede considerar con la perspectiva de aritmtica generalizada. De aquque para entender la generalizacin de relaciones y procesos se requiereque stos sean antes asimilados dentro del contexto aritmtico. Por eso, aveces las dificultades que los estudiantes encuentran en lgebra, no sontanto dificultades en el lgebra como problemas que se quedan sin corregiren la aritmtica; por ejemplo, en el caso de las fracciones, uso deparntesis, potencias, etc.

Ejemplos de estos errores son los cometidos por los alumnos que nodominan las operaciones con fracciones y dan resultados como:

1/2 + 1/3 = 1 / (2 + 3) Y 1/x + 1/y = 1 / (x + y)1/2 + 1/3 = 2 / (2 + 3) Y 1/x + 1/y = 2 / (x + y)1/2 + 1/3 = 1 / (2 . 3) Y 1/x + 1/y = 1 / (x . y)

Tambin surgen muchos errores en la suma o la resta de fracciones. Porejemplo, para calcular 3 / 28 + 8 / 35, escriben

3 / 28 + 8 / 35 = (3 + 8) / ( 4. 7. 5)que, traducido algebraicamente, da

x / (y . z) + k / (y . p) = ( x + k) / (y . z. p)Otras veces, con la preocupacin de no olvidar los factores por los que

hay que multiplicar los numeradores primitivos, omiten stos. As3 / 28 + 8 / 35 = (5 + 4) / ( 4. 7. 5)

Y, de forma anloga,x / (y . z) + k / (y . p) = ( z + p) / (y. z. p)

El signo - , sobre todo cuando va colocado delante de un parntesis ode una fraccin, genera frecuentes errores:

(3 + 5) = - 3 + 5 Y (a + b) = - a + b- (3 + 5) /4 = - 3 / 4 + 5/4 Y - (a + b) / c = - a / c + b / c

B) Errores de procedimientos.El uso inapropiado de frmulas o reglas de procedimientos tambin

da lugar a errores de este tipo. Se debe a que los alumnos usaninadecuadamente una frmula o regla conocida, que han extrado de unprototipo o libro de texto, y la usan tal cual la conocen o la adaptan a unasituacin nueva. Tienden as un puente para cubrir el vaco entre reglasconocidas y problemas no familiares. La mayora de estos errores seoriginan como falsas generalizaciones sobre operadores,fundamentalmente, por falta de linealidad de estos operadores.

La linealidad describe una manera de trabajar con un objeto que puededescomponerse tratando cada una de sus partes independientemente. Unoperador es empleado linealmente, cuando el resultado final de aplicarlo a

{ PAGINA

un objeto se consigue aplicando el operador en cada parte y luego secombinan los resultados parciales. La linealidad es bastante natural paramuchos alumnos, ya que sus experiencias anteriores son compatibles conhiptesis de linealidad.

Entre los errores derivados, distinguimos:1) Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva:a) Extensin de la propiedad distributiva de la multiplicacin con

relacin a la adicin (o sustraccin) al caso de la multiplicacin:3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 Y a . (b + c) = a . b + a . c

3. (4 . 5) = 3 . 4 . 3 . 5 Y a . (b . c) = a . b . a. cy tambin nos encontramos que

(3 + 4) / 5 = 3 / 5 + 4 / 5 se extiende a 3/ (4 + 5) = 3/4 + 3/ 5y, de manera anloga,

(a + b) / c = a / c + b / c , se extiende a a / (b + c) = a / b + a / cb) La estructura (a . b) 2 = a 2 . b 2, en la que se relaciona el producto y

la potencia, se extiende fcilmente al caso de la suma, (a + b)2 = a2 + b2,de un modo inconsciente, para los alumnos como algo muy natural, a vecesincluso despus de ser cuestionado. Es la misma situacin que en el trabajocon nmeros, aunque en el caso de la suma, y si se trata de nmerospequeos en valor absoluto, suelen resolver primero la operacin indicadaentre parntesis.

Y, tambin:22 + 3 = 22 . 23 a 2a + b = 2a . 2b

22 . 3 = 22 + 23 a 2a . b = 2a + 2bc) De la misma forma que con las potencias, sucede con las races: es

muy frecuente extender la distributividad de la radicacin respecto a lamultiplicacin, a la distributividad de la radicacin respecto a la adicin osustraccin.

2) Errores relativos al uso de recprocos1/3 + 1/5 = 1 / (3 + 5) Y 1/x + 1/y = 1 / (x + y)1/2 + 1/3 = 2 / (3 + 5) Y 1/x + 1/y = 2 / (x + y)1/3 + 1/5 = 1 / (3 . 5) Y 1/x + 1/y = 1 / (x . y)

3)Errores de cancelacin:(Indicaremos slo la versin algebraica)

(x . y) / (x . z) = y / z se extiende a (x + y) / (x + z) = y + zy tambin a:

(a . x + b . y) / (x + y) = a + b(a . x + b) / b = a . x

{ PAGINA

(a . x - b) / a = x . bLos dos ltimos se pueden obtener por analoga con

a / (a . x) = 1 / xEstos tipos de errores parecen indicar que los alumnos generalizan

procedimientos que se verifican en determinadas ocasiones. Tanto loserrores de cancelacin como los cometidos al trabajar con recprocos, sepodran haber evitado si el alumno hubiese modificado la situacin paraque encajase con la regla, en vez de extender la regla para abarcar lasituacin. Por ejemplo, para el error de recprocos, la solucin podra serigualar una fraccin a otra, encontrando el denominador comn, ydespus, expresando la suma de fracciones en una sola fraccin.

C)Errores de lgebra debidos a las caractersticas propias del lenguajealgebraico.

Estos errores son de naturaleza estrictamente algebraica y no tienenreferencia explcita en la aritmtica.

Como ejemplo de ellos mencionaremos: el sentido del signo = en supaso de la aritmtica al lgebra, y la sustitucin formal.

En el primero (sentido del signo =), aparece un cambio importante. Elsentido de igualdad aritmtica se conserva en el lgebra cuando trabajamoscon tautologas algebraicas, pero no en expresiones como 4 x - 3 = 2 x + 7,que slo es verdadera cuando x = 5. A diferencia de las tautologas, lasecuaciones no son afirmaciones universales verdaderas, pues el signo igualen una ecuacin no conexiona expresiones equivalentes, aunque scondiciona a la incgnita. Dada una ecuacin, la tarea para resolverlaconsiste en determinar los valores desconocidos (restricciones) que hacen ala ecuacin verdadera.

En el segundo (sustitucin formal), queremos sealar que los procesosde sustitucin que conducen de 3 . 5 = 5 . 3, a, a . b = b . a, son procesosformales, que no incluimos en la sustitucin formal propiamente dicha, yque denominamos procesos de generalizacin.

La sustitucin formal se extiende ms all de la generalizacin. Porejemplo, de la identidad (a + b) . (a - b) = a2 - b2 se obtiene, al reemplazara por a + c y b por b + d, la igualdad (a + c + b + d) . (a + c - b - d) = (a +c) 2 - (b + d) 2

donde, variables de una expresin, son sustituidas por expresiones mscomplejas que son nuevamente variables.

{ PAGINA

Estas transformaciones algebraicas constituyen un poderoso instrumentode clculo algebraico que est a mitad de camino entre lo puramenteformal y un conocimiento explcito de su significado.

La sustitucin formal es un instrumento de clculo algebraicoimportante a causa de su amplio campo de aplicaciones, que se manifiestaen diferentes procesos matemticos, tales como: generalizacin,simplificacin, eliminacin, complicacin estructural y particularizacin.

Esta distincin de los errores en tres ejes, obviamente no disjuntos, noshace posible centrar la atencin en tres direcciones que permite unaevaluacin y diagnstico ms eficaz, para poder ayudar a los estudiantes ensus dificultades cognitivas y sus carencias de sentido de los objetosmatemticos y en el desarrollo de una actitud racional hacia lasMatemticas.

Desde luego que la evaluacin y el diagnstico de los errores de losalumnos es importante, pero el profesor ha de usar este conocimiento parapromover un mejor aprendizaje del alumno. Desde un punto de vistaprctico, esto supone pasar de una enseanza caracterizada por dos fases:contenidos y aplicaciones; donde el error tiene slo una funcin negativacuando realizamos la evaluacin del alumno, a una enseanza caracterizadapor tres fases, donde la primera: evaluacin y diagnstico, es la msimportante, y en la cual la explicitacin de los errores se tiene que hacer.

La evaluacin diagnstica es un conjunto de situaciones de aprendizajediseadas para identificar las dificultades especficas del aprendizaje, quetratan de determinar la naturaleza de las mismas. Esta evaluacindiagnstica tiene lugar al comienzo de las unidades didcticas, pero ladeteccin de errores y la determinacin de su naturaleza tambin tienelugar en el desarrollo de la unidad didctica, es decir, en el curso delaprendizaje. El objeto de la evaluacin diagnstica es claro: determinarinmediatamente una accin conveniente de remedio.

5.5. Estrategias de prevencin y remedios.Analizar las dificultades del aprendizaje de las Matemticas en trmino

de prevencin y remedio supone combinar estrategias generales yespecficas a largo plazo con estrategias particulares e inmediatas. Laprevencin requiere arbitrar estrategias generales de enseanza -aprendizaje de las Matemticas, con estrategias especficas dependiendo delcontenido concreto a tratar. La prevencin, al tender a minimizar lasdificultades en el aprendizaje de las Matemticas, debe estar orientada de

{ PAGINA

manera general por las dificultades asociadas a la complejidad de losobjetos de matemticas, a los procesos de pensamiento matemtico, a losprocesos de desarrollo cognitivo de los alumnos, a los procesos deenseanza y a las actitudes afectivas y emocionales de los alumnos hacia lasMatemticas, (analizadas en el prrafo 1 de este captulo) y de maneraespecfica, por los obstculos y errores concretos de cada uno de losbloques temticos objeto de aprendizaje.

Los remedios tienen que ver ms con el da a da, con la interaccindiaria en clase entre el profesor y el alumno. Su eficacia vienedeterminada, en gran medida, por una buena evaluacin y diagnstico.

El anlisis de errores tiene un doble inters: de una parte, sirve paraayudar a los profesores a organizar estrategias generales y especficas paraconducir mejor la enseanza-aprendizaje de las Matemticas, insistiendo enaquellos aspectos que generan ms dificultades, y de otra, contribuye a unamejor preparacin de estrategias de correccin de los mismos. En estesentido, el profesor debe entender los errores especficos de sus alumnoscomo una informacin de las dificultades de las Matemticas, que requiereun esfuerzo preciso en las dos direcciones anteriores.

Veamos algunas de estas estrategias generales de prevencin. Todas ellastienen que ver, como hemos sealado, con las reas de dificultadesanalizadas en el prrafo 1. Si tomamos como ejemplo la complejidad de losobjetos matemticos y, en particular, los estadios de desarrollo que se danen los sistemas de representacin cognitivos, tenemos como estrategiageneral de enseanza aprendizaje de las matemticas:

Introducir los conceptos y procesos matemticos respetando las etapas dedesarrollo que se dan en los sistemas de representacin cognitiva.

Esto nos conduce a reflexionar sobre la necesidad de tener presenteestrategias generales que estn involucradas con ste, tales,como:

- Asegurarse que los objetos matemticos del sistema antiguo designos no presenten dificultades.

- No precipitar el aprendizaje del nuevo objeto.- Evitar una innecesaria complejidad de los signos matemticos.- Asegurarse de que los diferentes sentidos de un objeto matemtico

estn claramente diferenciados.Todas las estrategias de prevencin deben ir dirigidas a evitar o

minimizar los obstculos para que puedan ser superados, a dotar de sentidoa los objetos y al pensamiento matemtico y a crear un clima de actitudesafectivas y emocionales positivas hacia las Matemticas.

{ PAGINA

Las estrategias de remedio vienen determinadas por el diagnstico inicialdel error y tambin, conviene recordarlo una vez ms, por elposicionamiento del profesor. Situados dentro del paradigma conceptualinfluenciado por la teora de la absorcin, el remedio para un error deconcepto o de procedimiento, pasa por olvidar el alumno este concepto oprocedimiento al facilitarle el profesor, con ejemplos adecuados, una buenadefinicin del concepto y los procedimientos correctos. El alumnosubsanar este error mediante la realizacin de ejercicios donde use elconcepto o los procedimientos.

El profesor situado en el paradigma cognitivo se coloca en la posicinque el error lo ha construido el alumno, y es, por tanto, una estructuracognitiva del dominio del mismo. La estrategia de remedio pasa porque elalumno modifique esa estructura cognitiva errnea y la sustituya por lacorrecta, para ello, el profesor debe facilitar actividades que provoquenconflicto y haga tambalear esa estructura cognitiva errnea.

Aceptado el origen del error, las estrategias de remedio van dirigidas asuperar un obstculo, a dar sentido a los objetos matemticos o a crear unaactitud racional hacia las Matemticas.

Cmo superar un obstculo en este sentido de conocimiento anteriorque se revela inadaptado en un momento determinado del aprendizaje?.

Brousseau (1983) se manifiesta en los siguientes trminos:(...) para superar un obstculo se requiere un esfuerzo de la misma

naturaleza que cuando se establece un conocimiento, es decir interaccionesrepetidas, dialcticas del alumno con el objeto de su conocimiento. Estaobservacin es fundamental para distinguir un verdadero problema; es unasituacin que permite esa dialctica y que la explica.

Nos interesa poner de manifiesto los conocimientos adquiridos por elalumno, que responden a una lgica personal y que en este momentoproducen errores. Se trata de superar ese obstculo, y aceptarlo no comoalgo que no debiera haber aparecido, sino como algo cuya aparicin esinteresante, ya que su superacin nos va a permitir la adquisicin de unnuevo y mejor conocimiento. Debemos entender, como seala Bachelard,que es en la superacin de ese obstculo donde vamos a conseguir elconocimiento nuevo.

Cmo superar la falta de sentido en los objetos matemticos?Tomando como referencia los tres estadios de desarrollo que se dan en

los sistemas de representacin cognitiva, tenemos que la falta de sentido vadesde el estadio semitico, donde el sistema nuevo toma todo su significadoen el sistema antiguo y no tiene an ningn tipo de estructura, hasta el

{ PAGINA

estadio autnomo donde el sistema nuevo adquiere significado en s mismo,a veces adoptando ciertas convenciones, pasando por el estadio estructuraldonde el sentido unas veces se obtiene con ayuda del sistema antiguo yotras, donde el sistema antiguo es insuficiente para dotar de significado aciertos aspectos del sistema nuevo como ya hemos mostrado en ejemplo delas potencias en el prrafo 1.

Tomemos un ejemplo de lgebra, que a veces planteo a mis alumnos delltimo curso de la Licenciatura en Matemticas que cursan la asignatura deMetodoga y Didctica de las Matemticas. Les pido que den explicacionespara lograr que los alumnos comprendan que

{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } y corrijan este error.Las respuestas casi inmediatas son:damos los siguientes valores: a=3 y b=4, y entonces:{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , pero a + b = 7, por lo

que la igualdad no es vlida.Entonces les indico, y si un alumno les dice que s es vlida porque {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } ?, entonces dicen:bueno, en este caso es vlida pero no lo es en general.Ante esta afirmacin alguien comenta:Entonces, como para x = 0, 3x + 5 = 11 no es vlida, entonces no es

vlida en general.Muchos sealan: no estamos hablando de una ecuacin. Otro responde:

no? Y saliendo a la pizarra dice: observen:{ INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } ,a 2 + b2 = a2 + 2ab +b2 ,2ab=0, entonces: a=0 y b {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat} R b=0 y a {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } R,suponiendo que a y b {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } R.Alguien intervino: pero, bueno, se est confundiendo lo que es una

identidad algebraica con una ecuacin.Otro ms, dijo: yo creo que estamos obsesionados con el enfoque

numrico; de ser cierta la expresin anterior { INCRUSTAR "Equation.2"

\* mergeformat } , nos encontraramos que la hipotenusa de un tringulorectngulo debera ser igual a la suma de los catetos, lo cual es imposible.

{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }A veces aparecen intervenciones ingeniosas como: la expresin es falsa

porque no se puede llenar un cuadrado de lado a+b con dos cuadrados delado a y b, respectivamente.

{ PAGINA

{ INCRUSTAR "Word.Picture.6" \* mergeformat }Este tipo de experiencia pone de manifiesto cmo es posible poner en

conflicto el error en diferentes situaciones. Con frecuencia consideramos lasituacin que en apariencia es ms fcil, pero que a veces para el alumno sepuede convertir en muy difcil.

Pensamos que el alumno entiende que para establecer la falsedad de laproposicin {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat } , a,b 0 R,basta probar que a,b 0 R y {

INCRUSTAR "Equation.2" \* mergeformat} es verdadera.

Ciertamente esto es lo que tratamos de hacer, pero, a pesar de quecuando los alumnos cometen el error {

INCRUSTAR "Equation.2" \*mergeformat } y los profesores les ofrecen un contraejemplo paraconvencerlos, se sabe que el error se sigue cometiendo sistemticamente, loque es un indicador de que slo un argumento de esta naturaleza noconvence realmente. Sera interesante recurrir tambin a otras situacionestal vez ms familiares o que creen esquemas ms fciles de recuperar, porser argumentos apoyados en sistemas de representacin visual y nosolamente en argumentos formales.

Parece razonable pensar que la falta de sentido se recupera poniendo alos alumnos en una situacin de conflicto que genere esquemas que dotende sentido al concepto o proceso errneo que presentan; que estassituaciones son variadas, y van desde considerar un ejemplo numrico oms simple, hasta usar diferentes contextos o sistemas de representacinque pongan en evidencia que existe un defecto en la comprensin delconcepto o en el procedimiento de la actuacin del alumno.

Los errores que cometen los alumnos por falta de una actitud racionalhacia las Matemticas son errores que llamamos casuales o de descuido, yse manifiestan de formas diversas, que van desde una excesiva confianza enla tarea matemtica hasta un bloqueo que le incapacita para la citada tarea,pasando por situaciones intermedias que estn mediatizadas por lascreencias sobre la tarea en el contexto escolar.

Uno de estos errores es el que se origina por los cuestionamientos quegeneramos en nuestros alumnos (aspecto comentado en el apartado 1 )

Para intentar paliar los errores que se dan por los diferentescuestonamientos que generamos en los alumnos al inducirles en el mbitoescolar una lgica escolar diferente a la lgica social, podemoscomenzar por incorporar problemas que tengan algn dato intil, quecarezca de algn dato til y no limitarnos a los que tradicionalmente se

{ PAGINA

plantean, problemas que slo tienen datos tiles, tradicin que por otraparte no es preceptiva en la institucin escolar.

Tambin podemos incorporar preguntas como: Podemos con estosdatos obtener el resultado pedido?. Que los alumnos descubran que haydatos que no sirven, que aprendan a hacer si no un razonamientomatemtico formal, s algo un poco menos formal y cerca del sentidocomn, es decir, de la lgica social.

Es probablemente el intento de potenciar un automatismo matemticobasado en el adiestramiento, el que conduce a comportamientosautomticos que son las respuestas a la meta-pregunta, en la que utilizansimplemente combinaciones de todos los datos sin pensar en lo que esosignifica.

La superacin de los errores por parte de los alumnos constituye untema bsico en el aprendizaje que genera grandes dificultades. Lasinvestigaciones actuales sealan que los errores estn profundamenteinteriorizados por los alumnos y que no son de fcil eliminacin. Inclusoen muchos casos, parece ser que los estudiantes han superado un error yluego lo vemos, con desilusin, resurgir al poco tiempo. Por ello, planteara los estudiantes que su comprensin conceptual de una parte de laMatemtica es incorrecta y darles entonces una explicacin, es, a menudo,insuficiente para eliminar el error.

El estudiante debe participar activamente en el proceso de superar suspropios errores, para ello, el profesor debe provocar conflicto en su mentea partir de la inconsistencia de sus propios errores, forzndolo a participaractivamente en la resolucin del conflicto, sustituyendo los conceptos falsospor la comprensin conceptual adecuada. El profesor rara vez indica a losalumnos cul es la respuesta correcta, sino que simplemente les pidecomprobaciones y pruebas que intentan provocar contradiciones queresultan de los falsos conceptos de los estudiantes. Ellos estn dirigidos aconseguir la resolucin de la contradiccin mediante la solicitud de mscomprobaciones y pruebas. El objetivo no es tanto hacer escribir a losestudiantes la frmula o regla de procedimiento adecuada, como hacerlosenfrentarse con la contradiccin y eliminar sus falsos conceptos de formaque stos no vuelvan a aparecer.

Otra ventaja de esta forma de tratar el problema, dado que es muy pocoprobable que toda la clase est de acuerdo al mismo tiempo con larespuesta correcta, es que en la clase se generen discusiones que sonexcelentes no slo para mostrar los diferentes conceptos falsos que los

{ PAGINA

estudiantes puedan tener, sino tambin para ayudarles a superarlos a travsde sus propias interacciones.

En otro nivel de reflexin sobre los errores, podramos pensar en usarlono tanto para poner el nfasis en el desarrollo del currculo, para mejorarla enseanza de las Matemticas, con especial inters en la complejidad delos objetos matemticos y en los procesos de pensamiento (simbolizacin,generalizacin, etc,...), para evitar los errores de los alumnos, sino partirdesde un punto de vista diferente, es decir, tomar los mismos errores delos alumnos en Matemticas como punto de partida y plantearnos cmodebe ser dirigida la enseanza para diagnosticar y despus eliminar esoserrores. Todo ello supondra colocar a los alumnos en situacin dereflexionar sobre sus ideas errneas, y pensando por s mismo, a partir deesa reflexin, orientarse hacia conceptos ms amplios y correctos. Es estauna concepcin del aprendizaje que entiende al alumno como un aprendizactivo, que intenta comprender y darle significado a los objetosmatemticos y que posee un sistema estable de ideas matemticas quecambia slo cuando el conflicto entre las mismas llega a ser losuficientemente persistente y poderoso. Por tanto, las estrategias deenseanza deben ir encaminadas a detectar los errores y provocar elconflicto en los alumnos, fomentando ideas que permanezcan activas msall de la clase de Matemticas y capacitndole para evaluar si sus ideas omtodos son o no correctos en una determinada tarea matemtica.

A modo de resumen, vemos cmo las dificultades en el aprendizaje delas Matemticas son debidas a mltiples situaciones que se entrelazan entres y que van desde una deficiente planificacin curricular hasta lanaturaleza propia de las Matemticas que se manifiestan en sus simbolismosy en sus procesos de pensamiento, pasando por el desarrollo cognitivo delos alumnos, as como por sus actitudes afectivas y emocionales.

Establecidas las hiptesis:a) los errores de los alumnos en Matemticas son producto de su

experiencia previa y del desarrollo interno de esas experiencias,b) los errores pueden tener tres orgenes distintos: obstculo, carencia de

sentido y actitudes afectivas y emocionales, que entrelazan entre s.Podemos concluir que secuencias alternativas del currculo, donde stas

sean factibles, podran cambiar la naturaleza y comprensin de los errores.Y que una buena propuesta de estrategias de prevencin y remediocomienza por parte del profesor con un conocimiento mejor de susalumnos. En la medida en que el profesor conozca mejor a cada uno de sus

{ PAGINA

alumnos, podr intervenir mejor en su aprendizaje. Aceptando que loserrores ms que indicadores del fracaso en Matemticas, deben serconsiderados como elementos que ayuden a nuestro trabajo comoprofesores de Matemticas, guiado por el siguiente principio: Todo errorpuede ser el comienzo de un buen aprendizaje.

Referencias bibliogrficasARTIGUE, M. (1989) Epistmologie et Didactique. Cahier de Didirem.

Universit Pars VII.BACHELARD, G. (1938) La formation de lesprit Scientifique. Vrin,

Pars. 1980. Traduccin al catellano, 1985. La formacin del espritucientfico. Siglo Veintiuno. Mxico.

BARUK, S. (1985) Lge du capitaine. Editions du Seuil. Pars.BROUSSEAU G. (1983) Les obstacles pistmologiques el les problmes

en mathmatiques. Recherches en Didactique des Mathmatiques,vol.4.nm. 2, pp.165-198.

BUXTON, L. (1981) Do you panic about maths?. Heinemann. London.CARMAN, R. (1971) Mathematical mistakes. Mathematics Teacher, vol.

78. NCTM. USA.COLLIS, K.F. (1974) Cognitive Development and Mathematics

Learning. Paper presented at the Psychology of Mathematics Workshop.Centre for Science Education. Chelsea College. London.

CHALOUH, L. - HERSCOVICS, N. (1988) Theachinhg AlgebraicExpressions in a Meaningful way. In A. Coxford (E.). The ideas ofalgebra. K-12. (1988 Yearboof, pp. 33-42). Reston, VA: N.C.T.M.

DAVIS, R.B. (1975): Cognitive processes involved in solving simplealgebraic equations, Journal of Childrens Mathematical Behavior, 1 (3), 7-35.

DUBNOV, Y.S. (1993). Errores en las demostracioens geomtricas.Rubios. Madrid.

HERSCOVICS, N. (1989) Cognitive Obstacles Encounteres in theLearning of Algebra. Research Agenda for Mathematics Education.Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra, Wagner-KieranEditors. N.C.T.M.

KILPATRICK, J.; GOMEZ, P. y RICO, L. (1995). EducacinMatemtica. Grupo Editorial Iberoamrica. Mxico.

LAKATOS, Y. (1981) Matemticas, Ciencia y Epistemologa. AlianzaUniversidad. Madrid.

MATZ, M. (1980) Towards a computational theory of algebraiccompetence. Journal of Childrens Mathematical Behavior, 3,1, pgs. 93-166.

McLEOD, D.B. y ADAMS, V.M. (Eds.) (1989). Affect andMathematical Problem Solving: A new perspective. Springer-Verlag. NewYork.

{ PAGINA

PALAREA, M.M. Y SOCAS, M.M.(1994) Algunos obstculoscognitivos en el aprendizaje del lenguaje algebraico. Suma. MonogrficoLenguaje y Matemticas, V. 16, pp. 91-98. Granada.

RESNICK, L.B. y FORD, W. W. (1990). La enseanza de lasmatemticas y sus fundamentos psicolgicos. Paids. Barcelona.

SIERPINSKA A. (1985) La notion dobstacle pistmologique danslenseignement des mathmatiques. Comptes-rendus de la 37e rencontreorganise par la C.I.E.A.E.M. (Mathmatiques pour tous lge delordinateur), Leiden, 73-95.

SOCAS, M.M. y otros (1989) Iniciacin al lgebra. Matemticas:Cultura y aprendizaje. Sntesis. Madrid.

SOCAS, M.M. y otros (1989) Una clasificacin de errores en Algebra.XIV Jornadas Hispano-Lusas. Vol. 3, pp. 1541-1546. Universidad de LaLaguna.

TALL, D. (1989). Different Cognitive Obstacles in a TechnologicalParadigm. Research Agenda for Mathematics Education. Research Issues inthe Learning and Teaching for Algebra. Wagner-Kieran Editors.N.C.T.M.

WHITE, M. (1981). Two wrongs add up to right. Mathematics Teacher.v. 74, n.3. NCTM. USA.