TRABAJO FINAL DE DINÁMICA Y VIBRACIONES

Barroso Alfaro, Rodrigo LeandroPacherres Sánchez, Jorge Junior

Rojas Ayala, Antony WilliamDávila Cabrera, Jean Carlos

Curso: Dinámica y VibracionesCiclo Académico: 2015-IDocente de la Asignatura: Huangal Castañeda, Nelson Enrique

INDICE

Introducción.

Objetivos.

1. Marco Teórico1.1. Conceptos generales1.2. Excitación en la base1.3. Vibración libre1.4. Ecuaciones de equilibrio1.5. Excitación en la base para “n” grados de libertad1.6. Análisis Modal1.7. Ejemplo de aplicación

2. Análisis de un Prototipo con Excitación en la Base.

3. Resultados.

4. Conclusiones.

5. Bibliografía.

Introducción.

Toda estructura sufre numerosas excitaciones frente a la realidad durante toda su vida por efectos dinámicos, el cual es producido por un estímulo con respecto a un determinado tiempo. Hay varios tipos de excitación dinámica que modifican el estado de la estructura y estos son:

Causada por equipos mecánicos - Dentro de este grupo están los efectos causados por maquinarias y equipos que tengan componentes que roten o se desplacen periódicamente.

Causada por impacto - El hecho de que una masa sufra una colisión con otra, induce una fuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual induce vibraciones.

Causada por explosiones - Una explosión produce ondas de presión en el aire, o movimientos del terreno. Ambos efectos afectan estructuras localizadas cerca del lugar de la explosión.

Causada por el viento - La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las estructuras varía en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.

Causada por olas - En las estructuras hidráulicas las olas inducen efectos dinámicos correspondientes a las variaciones del empuje hidráulico sobre ellas.

Causada por sismos - El efecto sobre las estructuras de los movimientos del terreno producidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes de la estructura.

En nuestro trabajo estudiaremos los efectos que provocan los sismos hacia las estructuras, Por lo tanto, estudiaremos el tema “Excitación en la base”.

Objetivos.

Conocer cómo afectan las vibraciones que se producen a través de una excitación en la base en nuestra estructura, tomando en cuenta los conceptos básicos.

Analizar el comportamiento sísmico de la estructura frente a una excitación en la base.

Observar los diferentes desplazamientos que ocurren en los diferentes niveles de una estructura

1. Marco Teórico

1.1 Conceptos Generales.

COLUMNAS:

Una columna es una pieza arquitectónica vertical y de forma alargada que sirve, en general,

para sostener el peso de la estructura

CENTRO DE GRAVEDAD:

El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas

que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

MOMENTO DE INERCIA:

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la

distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos.

En el movimiento de rotación, este concepto desempeña un papel análogo al de la masa

inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

ESTRUCTURA:

Es toda construcción destinada a soportar su propio peso y la presencia de acciones

exteriores (fuerzas, momentos, cargas térmicas, etc.) sin perder las condiciones de

funcionalidad para las que fue concebida ésta. Una estructura tiene un número de grados

de libertad negativo o cero, por lo que los únicos desplazamientos que puede sufrir son

resultado de deformaciones internas. La ingeniería estructural es la rama de la ingeniería

que abarca el proyecto de estructuras y el cálculo de su equilibrio y resistencia.

CARGAS ESTRUCTURALES

La actividad del diseño estructural que realiza el ingeniero civil, requiere un gran

conocimiento de las cargas, los materiales y las formas estructurales y no solo de los

modelos matemáticos usados para obtener las fuerzas internas: momento flector (M),

cortante (V), fuerza axial (N), y momento torsor (T).

MOVIMIENTOS SÍSMICOS

Un movimiento sísmico es un movimiento vibratorio producido por la pérdida de estabilidad de masas de corteza. Cuando el movimiento llega a la superficie y se propaga a través de ondas sísmicas por ésta le llamamos terremoto.

CAUSAS

Reacomodación de las placas Tectónicas.Erupciones de Volcanes.Explosivos en rocas.

EFECTOS:

Movimiento y ruptura del suelo.Deslizamientos de tierraDaños en infraestructura de construcciones.

ESCALA O MAGNITUD:

La intensidad de los terremotos se refiere a la magnitud del movimiento sísmico, y por tanto, está en relación con la energía liberada por la Tierra en dicho movimiento. Las dos escalas sísmicas más utilizadas son las de Mercalli y la de Ritcher.Escala Mercalli: es una escala subjetiva y mide la intensidad de un terremoto, es decir están en función de las percepciones y de los daños provocados por los movimientos sísmicos en los bienes humanos.Escala de Ritcher: es una escala matemática y, por tanto objetiva. Mide la magnitud del terremoto y está relacionada con la energía liberada en el sismo.

VIBRACIÓN

Es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación.

Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas.

Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede

unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa

posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.

Vibración mecánica: Es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema

debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.

En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de

excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una

guitarra el impulso y de formación inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre

un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor

de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema

vibratorio de un automóvil, etc.

Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.

Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.

Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.

Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente solo y solo si existen

condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso (energía

cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un

resorte.

Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es

despreciable.

Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración forzada esta

descompensada por la excitación constante.

Vibración amortiguada: Es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se

ve afectada por la disipación de la energía

Vibración no amortiguada: Cuando la disipación de energía no afecta considerablemente

a la frecuencia de oscilación

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este

hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de

rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.

Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento

lineal la vibración resultante es lineal.

Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no

lineal.

El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de

comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los

realizados si se consideran como elementos lineales.

Frecuencia natural: es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer elementos

elásticos e inerciales. Es la frecuencia resultante de la vibración libre.

Resonancia: es cuenco la excitación es de frecuencia igual a la frecuencia natural.

GRADOS DE LIBERTAD

Es el mínimo número de coordenadas requeridas e independientes para determinar

completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante.

Sistemas de 1 Grado de Libertad:

Modelo matemático: es la representación

de todas las características importantes de

un sistema con el propósito de derivar las

ecuaciones matemáticas que determinen

su comportamiento.

El modelo matemático debe incluir los mínimos detalles del sistema tal que dicho

comportamiento pueda ser representado por una ecuación.

El modelo matemático puede ser lineal o no lineal. Un modelo matemático permite soluciones rápidas y simples, sin embargo los modelos no lineales, revelan algunas veces ciertas características del sistema que los modelos lineales no proporcionan.

1.2 Excitación en la base

El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es muy importante en la dinámica estructural, pues la excitación sísmica este tipo de respuesta del sistema. En la Figura siguiente se presenta la idealización de un sistema dinámico de un grado de libertad para este caso.

La ordenada x, describe el movimiento de la base de la estructura y la ordenada x corresponde a la posición de la masa. Los otros parámetros son los mismos de los sistemas estudiados anteriormente.

Sistema sometido a excitación en su base

Al hacer cuerpo libre de la masa del sistema puede verse que la fuerza inercial, ecuación, está dada por:

F i=−m x

La fuerza en el resorte, o elemento estructural, está descrita por la constante del resorte multiplicada por el desplazamiento relativo entre sus extremos:

F r=k (x−x0)

De igual manera la fuerza ejercida por el amortiguador, se determina por medio de la constante del amortiguador multiplicada por la velocidad relativa entre sus extremos:

Fa=c ( x− x0)

Al aplicar el principio de D'Alembert se obtiene:

F r+Fa−Fi=0

Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial de equilibrio:

m x+c ( x− x0 )+k (x−x0 )=0

Si se define la variable u para describir el desplazamiento relativo entre la masa y la base de apoyo del sistema, entonces:

u=x−x0

Que al derivarla contra el tiempo conduce a:

u= x− x0

Y al derivarla nuevamente:

u= x− x0 y x=u+ x0

Reemplazando en la ecuación se obtiene la siguiente ecuación:

mu+c u+ku=−m x0

La cual indica que un sistema al que se le introduce movimiento en su base es equivalente a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masa del sistema multiplicada por el negativo de la aceleración del terreno. Se obtiene la siguiente solución para la respuesta del sistema:

1.3 Vibración libre

Supongamos que tenemos un sistema de tres grados de libertad como el mostrado en la siguiente figura. Allí podemos ver el cuerpo libre de cada una de las tres masas y las fuerzas que actúan sobre ellas. Al plantear ecuaciones de equilibrio, y utilizando el principio de D'Alernbert, para cada una de las masas obtenemos:

Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad

Masa m1

m1 x1+k1 x1−k2 (x2−x1 )=0

Masa m2

m2 x2+k2 (x2−x1 )−k 3 (x3−x2 )=0

Masa m3

m3 x3+k 3 (x3−x2 )=0

Reorganizando y factorizando los términos en las tres ecuaciones anteriores obtenemos:

m1 x1+(k1+k2)x1−k 2x2=0

m2 x2−k2 x1+(k2+k3)x2−k 3 x3=0

m3 x3−k3 x2+k3 x3=0

Las ecuaciones simultáneas presentadas pueden expresarse matricialmente de la siguiente manera:

[m1 0 00 m2 00 0 m3

]{x1

x2

x3}+[k1+k2 −k2 0

−k2 k2+k3 −k3

0 −k3 k3]{x1

x2

x3}={000}

Que es, a su vez:

[M ] { x }+ [K ] {x }= {0 }

Hemos planteado el equilibrio dinámico del conjunto de masas y resortes por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. Este planteamiento es válido para sistemas de cualquier número de grados de libertad. Debe tenerse en cuenta que cada línea de este sistema de ecuaciones simultáneas corresponde a una ecuación de equilibrio para un grado de libertad de la estructura.

1.4 Ecuaciones de equilibrio para excitación en la base

Ahora supongamos que al sistema presentado en la figura de Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad se le somete a una excitación en su base, como lo muestra la Figura.

Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad

Sometido a excitación en su base

Si definimos:

u1=x1−x0

u2=x2−x0

u3= x3−x0

O matricialmente:

{u1

u2

u3}={x1

x2

x3}−{x0

x0

x0}={x1

x2

x3}−{111}{x0 }

Que es equivalente a:

{u }={x }−{x0 }= {x }− [γ ] {x0 }

La matriz [γ ]que en este caso es un vector con elementos unitarios, indica que el grado de libertad expresado en la línea del sistema de ecuaciones simultáneas es colineal con la aceleración del terreno.

Al despejar {x }, se obtiene:

{x }= {u }+ [γ ] {x0 }

Si derivarnos la ecuación contra el tiempo obtenemos:

{ x }= {u }+ [γ ] { x0 }

Y si la derivamos nuevamente contra el tiempo se obtiene:

{ x }= {u }+ [γ ] { x0 }

Los cuerpos libres de las masas son ahora los siguientes:

Cuerpos libres de las masas del sistema excitado en su base

Es evidente que:

x1−x0=u1

x2−x1=u2−u1

x3−x2=u3−u2

Entonces las ecuaciones de equilibrio quedan como:

[m1 0 00 m2 00 0 m3

]{x1

x2

x3}+[k1+k2 −k2 0

−k2 k2+k3 −k3

0 −k3 k3]{u1

u2

u3}={000}

Que es, a su vez:

[M ] { x }+ [K ] {u }={0 }

Al reemplazar la ecuación en la anterior, se obtiene:

[M ] {u }+ [K ] {u }=− [M ] [γ ] { x0 }

Esta última ecuación corresponde a las ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico de un sistema de varios grados de libertad sometidos a una excitación en su base.

Al reemplazar la ecuación en la anterior, se obtiene: Un aspecto muy importante que se deriva de la presentación para vibración libre, excitación arbitraria y excitación en la base.

1.5 Excitación en la base para “n” grados de libertad

Nos interesa ahora la solución de sistemas de varios grados de libertad cuando se les somete a una excitación en su base, el cual corresponde a la respuesta de una estructura que se ve sometida a un sismo. Las ecuaciones de movimiento para un sistema sometido a una excitación en su base tienen la forma dada en la siguiente ecuación:

[M ] {u }+ [K ] {u }=− [M ] [γ ] { x0 }

Dado que podemos obtener los modos y frecuencias de la estructura, podemos aplicar la siguiente transformación de coordenadas:

{U }=[∅ ] {n }

Y derivando dos veces contra el tiempo:

{U }=[∅ ] {n }

Reemplazando y premultiplicando por [∅ ]Tobtenemos:

[∅ ]T [M ] [∅ ] {n }+ [∅ ]T [K ] [∅ ] {n }=−[∅ ]T [M ] [γ ] { x0 }

[ I ] [ω2 ]

Lo cual implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:

ni+ωi2ni=−{αi } { x0 }

Y si se aplica amortiguamiento modal:

ni+2 εiωi n+ωi2ni=− {αi } { x0 }

Donde {αi }corresponde a la fila i de la matriz[α ]obtenida por medio de:

[α ]=[∅ ]T [M ] [γ ]

La solución para las ecuaciones se puede llevar a cabo por medio de la integral de convolución o por medio de algún método numérico como el método Beta de Newrnark. Una vez se obtienen los valores de {n (t)} ,para cualquier tiempo t, se pueden obtener los desplazamientos de la estructura para ese instante. Debe notarse que la ecuación {U }=[∅ ] {n } realiza la superposición de las respuestas individuales de cada uno de los modos:

{U }=[∅ ] {n }=∑i=1

n

{∅ (i) }ni(t)

¿ {∅ (1 ) }n1 (t )+ {∅ (2) }n2 ( t )+…+{∅ (n ) }nn ( t )

¿ {U (1)}+{U (2)}+…+ {U(n)}

Las fuerzas dinámicas inerciales que se presentan en la estructura, correspondientes a cada modo, pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura:

{F(i)}=[K ] {U (i)}

Definiendo:

{1 }={11⋮1} Y {h }={hnhi⋮h1

}Donde hi es la altura sobre la base de la estructura del piso i.

Fuerzas modales (Modo i)

Ahora podemos definir el corte basal del modo i en el instante t, como:

V i= {1 }T {F (i )}

Y el momento de vuelco del modo i en el instante t, como:

M i= {h }T {F (i )}

Ahora si tomamos la definición de la matriz [a}, dada en la ecuación [α ]=[∅ ]T [M ] [γ ] y la

pre multiplicamos por[∅ ]T , obtenemos:

[∅ ]T [α ]=[∅ ]T [∅ ]T [M ] [γ ]

Aplicando el principio de( [ A ] [B ])T=[B ]T [A ]T a [∅ ]T [M ], obtenemos[M ]T [∅ ]=[M ] [∅ ], dado que [M ]es simétrica. Con lo cual la ecuación anterior se convierte en:

[∅ ]T [α ]=[∅ ]T [M ] [∅ ] [γ ]= [ γ ]

La masa total de la estructura en cualquier dirección principal de los grados de libertad, corresponde a la suma de las masas aplicables en la dirección principal. La influencia de cada masa individual se expresa a través de la matriz [γ ], por lo tanto:

[M tot ]=[γ ]T [M ] [γ ]

Y utilizando la ecuación[∅ ]T [α ]=[∅ ]T [M ] [∅ ] [γ ]= [γ ]para reemplazar [γ ] en la ecuación anterior, obtenemos:

[M tot ]=( [∅ ]T [α ])T [M ] [∅ ]T [α ]=[α ]T [∅ ] [M ] [∅ ]T [α ] Y

[M tot ]=[α ]T [ I ] [α ]=[∑ αi2 ]

Esto quiere decir que la masa total en cada dirección principal corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación modal, α i, en esa dirección. El valor de α 2de cada modo se conoce con el nombre de masa efectiva modal y puede interpretarse como la fracción de la masa total que se activa en ese modo al vibrar debido a la excitación en la base. Este concepto se emplea para definir el número mínimo de modos necesarios para describir la respuesta, cuando en sistemas con muchos grados de libertad la contribución de los modos superiores se hace muy pequeña.

En aquellos casos en los cuales los modos de vibración no son ortonormales, o sea que no cumplen la normalización[∅ ]T [M ] [∅ ]=[ I ], la determinación de los coeficientes de participación se logra por medio de la siguiente ecuación:

α i={∅(i)}T [M ] {γ }

{∅(i)}T [M ] {∅ (i)}=

∑j=1

n

(∅ j(i)m j )

∑j=1

n

m j (∅ j(i))2

Y la masa efectiva modal en este caso se obtiene, para cada modo, por medio de:

mef(i)=

( {∅ (i) }T [M ] {γ })2

{∅(i)}T [M ] {∅ (i )}=

[∑j=1

n

(∅ j(i )m j) ]

2

∑j=1

n

m j (∅ j(i ))2