Dinamica de Estructuras Con MATLAB

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE


PRLOGO

Se inicia el libro con la presentacin de un manual rpido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes captulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar clculos numricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servir para comprender mejor el marco terico expuesto. Adems de ello el lector contar con programas que le faciliten su aplicacin prctica a futuro.

En el primer captulo se trata sobre la respuesta dinmica de sistemas de un grado de

libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibracin libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitacin armnica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de inters muy prctico que son: el clculo del factor de amplificacin por desplazamientos y el factor de amplificacin de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitacin armnica es similar a la frecuencia de vibracin de la estructura, es decir cuando se est cerca de la resonancia.

El segundo captulo est dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elsticos,

se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una accin ssmica por el Mtodo de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes perodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en Mxico y en Chile.

En el tercer captulo se estudia los Espectros de Diseo, para ilustrar la forma de

clculo se halla el respectivo espectro de diseo, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Per, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleracin mxima del suelo del 40% de la aceleracin de la gravedad. La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulacin de espectros de diseo en varias normativas ssmicas de Amrica Latina.

Por ser de actualidad el Anlisis Ssmico por Desempeo, en el captulo tres, tambin

se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen perodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 aos, respectivamente.

Con el propsito de entender el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas, con el cual

se pasa del espectro de diseo elstico al espectro de diseo inelstico, se deducen las reglas de igual desplazamiento y de igual energa. Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reduccin por ductilidad, considerando el tipo de suelo. En este contexto tambin se presenta los resultados de las investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Cientficas por el autor de este libro (2005)


para determinar el factor de reduccin por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Per, Chile y Argentina.

En la mayora de normativas ssmicas vigentes se presentan valores para determinar el

factor de reduccin de las fuerzas ssmicas en diferentes tipologas estructurales. Estos factores tienen un carcter cualitativo, razn por la cual en este libro se indica una metodologa de clculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reduccin por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el clculo de estos factores.

El captulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teora de Anlisis

Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos. Se ilustra el clculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocacin y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computacin. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la ms elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la ms prctica que se tiene en la triangularizacin de la matriz de rigidez, empleando Gauss.

El captulo cinco est dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de

estructura, claro est que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulacin es general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interaccin suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energa Cintica, para facilitar este clculo se da una regla muy prctica.

Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez,

masa y amortiguamiento, estar en capacidad de encontrar la respuesta dinmica de cualquier estructura. Por esta razn, en el captulo cuatro se estudia con detenimiento el clculo de la matriz de rigidez, en el captulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el captulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al anlisis dinmico de estructuras.

En el captulo seis se determinan los modos de vibracin de una estructura sin

considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de mltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que el clculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los mtodos clsicos de la obtencin de los valores y vectores propios como es el Mtodo de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de 2/1M para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el captulo con el clculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura.

En el captulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera

mediante el Mtodo de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este captulo, como tambin se ilustra el clculo del exponencial de una matriz orientado a la solucin del problema de vibraciones libres, en sistemas de mltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibracin en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son nmeros complejos.

El Anlisis Ssmico Lineal de estructuras sometidas a acciones ssmicas es tratado en

el captulo ocho, encontrando la respuesta dinmica aplicando el Mtodo de Newmark para sistemas de mltiples grados de libertad. Como aplicacin prctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elstico del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reduccin de las fuerzas ssmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas.


En el captulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados

de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy til utilizarlo cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca sobre esta temtica para cuando estudie el clculo ssmico de estructuras con disipadores de energa pueda seguir la parte numrica de la evaluacin de la respuesta dinmica.

Los tres ltimos captulos del libro, estn dedicados al anlisis de una viga de flexin,

de una viga de corte y de una viga de flexin acoplada a una viga de corte, todo esto modelado como un sistema continuo de infinito nmero de grados de libertad. Aparentemente la solucin de estos tres captulos tiene ms un enfoque terico pero no es as ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas ssmicas.

En el captulo diez se presenta en primer lugar la ecuacin diferencial que

gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexin y luego se resuelve el problema de vibracin libre, se hallan las formas de vibracin de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interaccin suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante grficos como en suelos de baja resistencia los perodos de vibracin de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parmetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el clculo con la interaccin suelo estructura.

La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto

en el captulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el clculo de la respuesta ssmica, de las vigas de flexin y de corte ante una determinada accin ssmica.

Como se ha venido indicando el captulo once est dedicado al clculo de una viga

de corte, para el efecto se deduce la ecuacin diferencial y se resuelve el problema de vibracin libre y de vibracin forzada, ante una accin ssmica. Se obtiene el primer modo de vibracin de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibracin de una viga de flexin con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexin tiene menores amplitudes y en los ltimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revs.

Una viga de flexin, es el modelo numrico de clculo de un edificio conformado solo

por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numrico de un edificio conformado solo por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibracin de estas dos vigas se concluye que lo ms adecuado es tener edificios con vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexin en los primeros pisos sostiene a la viga de corte y en los ltimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexin. El acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexin se lo estudia con detenimiento en el captulo doce.

Con el propsito de ilustrar la aplicacin prctica y actual del estudio de una viga de

corte acoplada a una viga de flexin se presenta en el captulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) con el que estima la deriva mxima de piso en sistemas de mltiples grados de libertad, en forma rpida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexin sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales.

Miranda a partir del modelo de una viga de flexin acoplada a una viga de corte

determina dos parmetros que son utilizados en la evaluacin rpida de la deriva mxima de pisos. Esos parmetros son el que relaciona el desplazamiento mximo en un sistema de mltiples grados de libertad con el desplazamiento mximo en un sistema de un grado de libertad. El otro parmetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura con la deriva mxima de piso.

Por ltimo, se presenta en forma resumida el resultado del proyecto de

investigacin realizado en el 2005, en el Centro de Investigaciones Cientficas de la Politcnica del Ejrcito titulado: Evaluacin rpida de la deriva mxima de pisos en edificios de Hormign Armado, con el propsito de que el lector compare los dos


parmetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexin acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y adems para que lo apliquen en la evaluacin de la vulnerabilidad ssmica de las estructuras.

No puedo finalizar este prlogo, sin reconocer una vez ms, que este libro ha sido

posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera pgina pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce captulos que se consideran bsicos en el Anlisis Dinmico de Estructuras.

De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falcon Vda.

de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos aos y espero contar con sus consejos y bendiciones por muchos aos ms.

Por ltimo, pero ellos saben que son lo ms importante, quiero agradecer a mi esposa

Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, Mara Jos, Nicols que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar.

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falcon Centro de Investigaciones Cientficas

Escuela Superior Politcnica del Ejrcito

Quito, Agosto de 2006


NDICE GENERAL

MANUAL RPIDO DE MATLAB..................................................1

1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN 17

1.1 VIBRACIONES LIBRES...17

1.1.1 Solucin de la ecuacin diferencial...19 1.1.2 Vibracin libre sin amortiguamiento..19

1.1.3 Vibracin libre subamortiguada.20

1.1.4 Vibracin libre sobre amortiguada.23

1.1.5 Vibracin libre crticamente amortiguada........24 1.1.6 Factor de amortiguamiento.26

1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIN ARMNICA.27

1.2.1 Respuesta ante una excitacin sinusoidal...................27 1.2.2 Factor de amplificacin.....31

1.2.3 Fuerza transmitida a la fundacin....34

1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS....36

1.3.1 Escaln unitario..36 1.3.2 Pulso rectangular39

2. ESPECTROS DE RESPUESTA

RESUMEN.41


2.1 MTODO DE ACELERACIN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL...41 2.2 PROGRAMA LINEAL...43

2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD.....46

2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47 2.5 PROGRAMA ESPECTRO...50 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA......52 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES..55 2.8 SEUDO ESPECTROS..57

3. ESPECTROS DE DISEO

RESUMEN.59 3.1 OBTENCIN DE UN ESPECTRO DE DISEO.....60

3.2 RESEA HISTRICA..............................63 3.3 ESPECTRO ELSTICO DEL CEC 2000.........................................64 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEO...66

3.5 ESPECTROS INELSTICOS.....................................................................69

3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71 3.7 REGLA DE IGUAL ENERGA.............................73 3.8 NEWMARK Y HALL (1982)....74

3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)....78 3.10 APLICACIN AL ESPECTRO INELSTICO DEL CEC-2000...79

3.11 INCORPORACIN DEL FACTOR DE RESISTENCIA.79 3.12 INCORPORACIN DE LA REDUNDANCIA..82 3.13 CLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIN R..83

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

RESUMEN87

4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO..87

4.1.1 Anlisis sin nudo rgido...88


4.1.2 Anlisis con nudo rgido.92

4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA..96 4.2.1 Coordenadas Generalizadas.96 4.2.2 Vector de Colocacin..99 4.2.3 Ensamblaje directo101 4.3 CONDENSACIN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ..105 4.3.1 Condensacin a las coordenadas a106 4.3.2 Condensacin a las coordenadas b106 4.4 CONDENSACIN MEDIANTE SOLUCIN DE ECUACIONES.107 4.4.1 Caso en que Qb = 0...108 4.4.2 Caso en que Qa = 0...109 4.5 CONDENSACIN MEDIANTE ELIMINACIN DE GAUSS....109 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL..112 4.6.1 Vigas axialmente rgidas..112 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rgidas.114 5. MATRIZ DE MASAS

RESUMEN..119 5.1 ENERGA CINTICA..119 5.2 REGLA DE CLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS....121 5.3 REGLA DE CLCULO DE LA ENERGA CINTICA...122 5.4 MATRIZ DE PASO..125 5.5 ANLISIS PLANO...128 5.5.1 Anlisis con masas concentradas a nivel de piso..128 5.5.2 Anlisis con entrepisos flexibles130 5.6 PNDULO INVERTIDO.132 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA.....132


5.8 INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA.134 5.9 ANLISIS ESPACIAL....135

6. MODOS DE VIBRACIN RESUMEN..139

6.1 VIBRACIN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO139 6.1.1 Valores propios.140 6.1.2 Propiedades dinmicas...142 6.1.3 Modos de vibracin..142

6.2 ALGORITMO DE 21

M ...145 6.3 MTODO DE JACOBI...150 6.3.1 Desarrollo del Mtodo.151 6.3.2 Procedimiento de clculo152 6.3.3 Clculo de los Vectores Propios153 6.4 MODOS RITZ..153

7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN..157 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH157 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN..159 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS..163 7.4 VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO..167 7.4.1 Exponencial de una matriz.168 7.4.2 Resumen del procedimiento de clculo171 7.5 PROPIEDADES DINMICAS COMPLEJAS..175 7.5.1 Modos de vibracin en el campo de los complejos175


7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos...177 7.5.3 Deduccin en base a un sistema de un grado de libertad177 8. ANLISIS LINEAL RESUMEN..181 8.1 MTODO DE NEWMARK.181 8.2 APLICACIN DEL MTODO DE NEWMARK...186 8.3 PROCEDIMIENTO DE CLCULO...187 8.4 MODELO NUMRICO PARA ANLISIS PLANO..191 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MNIMO199 9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO RESUMEN..201 9.1 FORMULACIN DEL PROBLEMA..201 9.2 FORMULACIN DE LA RESPUESTA203 9.3 PROGRAMA PSE...204 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIN......206 9.5 INTRODUCCIN A LA INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA...209 10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIN RESUMEN..213

10.1 ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO.214 10.2 VIBRACIN LIBRE...216 10.2.1 Viga en Voladizo...218 10.2.2 Viga apoyada.220 10.2.3 Interaccin suelo estructura224 10.2.4 Variacin del perodo con la interaccin...227


10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION.228 10.3.1 Valores propios y modos normalizados231 10.4 VIBRACIN FORZADA...232 10.4.1 Masas modales.234 10.4.2 Respuesta en el tiempo...236 11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN..241 11.1 ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO.241 11.2 VIBRACIN LIBRE...244 11.2.1 Viga en Voladizo...246 11.2.2 Comparacin de formas modales..248 11.2.3 Frecuencias de vibracin.249 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIN..250 11.4 VIBRACIN FORZADA...252 11.5 CORTANTE BASAL.254 11.6 MASA MODAL...256 12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIN RESUMEN..261 12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO...262 12.2 MODELO DE MIRANDA..264 12.2.1 Respuesta en desplazamiento266 12.2.2 Efecto de la distribucin de cargas269 12.3 APLICACIONES272 12.3.1 Parmetro 1................................................................................273 12.3.2 Desplazamiento lateral.276


12.4 DERIVA DE PISO.280 12.4.1 Parmetro 2................................................................................282 12.5 EVALUACIN RPIDA DE LA DERIVA MXIMA DE PISO.283


MANUAL RPIDO DE MATLAB

RESUMEN

Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual manera en Internet se puede encontrar informacin muy til sobre el manejo de este programa pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la informacin y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la elaboracin de los programas que aqu se presentan.

Por este motivo se presenta un manual rpido de uso del manual, orientado a que el

lector comprenda los programas que se desarrollan en cada captulo. MATLAB es un software muy fcil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que facilitan su uso y lo fundamental la graficacin de los resultados en forma elemental.

Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teora que

se expone, razn por la cual, se recomienda su lectura e implementacin de los mismos.

1. FORMAS DE TRABAJO

MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta tecnologa que integra en un solo ambiente la programacin y la visualizacin grfica. Existen dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina.

En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operacin.

En esta modalidad los clculos se realizan en forma inmediata por medio de los comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y despus utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad.

En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las lneas

estn numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar numeradas cada una de las lneas se facilita la correccin de los errores. Una vez que


se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automticamente a este archivo le asigna la extensin .m

Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicar

nicamente >> de aqu se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos.

Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia

se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecern los resultados.

2. MATRICES Y VECTORES

Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a continuacin.

=

=2015

7.192.801.234.301.235.10

BA

>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7] >> B=[15 ; 20] Despus de cada nmero se deja uno o varios espacios. Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el

programa sabe que a continuacin se tiene una nueva fila Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ].

Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones

de la siguiente forma: Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a

continuacin el apstrofo que est entre parntesis. (). Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +. Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -. Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el

signo *. Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A). Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la

multiplicacin de una matriz.

EJEMPLO 1

Dadas las matrices:

=

=

=6223

1211

3142

CBA

Encontrar:

i. tAD = . La transpuesta de la matriz A . ii. BAE = . El producto de la matriz A por la matriz B . iii. 1= CF . La matriz inversa de C .


iv. BAG += . La suma de la matriz A con la matriz B . v. CAH = . La diferencia de las matrices A con la C .

SOLUCIN >> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ] >> D=A >> E=A*B >> F=inv(C) >> G=A+B >> H=A-C El colocar el punto y coma despus del corchete hace que no se imprima a

continuacin la matriz. En este caso no se imprimir las matrices A y B pero si se imprimir la matriz C.

Despus de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, as luego de colocar D=A, aparece

=3412

D

Los restantes resultados que se obtienen son:

=27210

E

=21429.014286.014286.042857.0

F

=4333

G

=3121

H

Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba:

>> E=a*B

MATLAB no puede hacer la operacin ya que la matriz a no est definida. De tal manera que en MATLAB se diferencian las minsculas de las maysculas.

3. SOLUCIN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la siguiente manera:

>> X= A\B

EJEMPLO 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

=

405042

5131102328

3

2

1

XXX

SOLUCIN


>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) . Se pudo haber colocado la matriz A en una lnea, el vector B en otra y el clculo de las

incgnitas en otra.

La solucin del ejercicio es:

=

00.600.400.2

X

4. CLCULO AVANZADO CON MATRICES

En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios de una matriz A y tambin el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes comandos:

[V,D] = eig ( A ) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A. expm(A) El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz.

EJEMPLO 3

Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.

=

110132

025A

SOLUCIN >> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A)

=

1019.05277.08433.05392.06831.04927.08360.05049.02149.0

V

Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es:

[V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son de orden (n x n) siendo n el nmero de grados de libertad. En

=

2899.60.00.00.02943.20.00.00.04158.0

D


V vienen los modos de vibracin y en D los valores propios con los cuales se obtienen las frecuencias naturales.

EJEMPLO 4

Calcular el exponencial de la siguiente matriz A

=9224

A

SOLUCIN

>> A = [ 4 2 ; 2 9]; >> expm(A) ans = 1.0e+004 * 0.1815 0.5096 0.5096 1.4555

En este caso no se le asign el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso MATLAB asigna la respuesta a ans.

El clculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de

Estado, para encontrar la respuesta ssmica de un sistema de n grados de libertad.

5. CLCULO DE INTEGRALES

MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla del trapecio y su formato de uso es:

trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra

parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la funcin Y en los puntos discretos X.

trapz (Y) Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran

espaciados cada unidad.

6. MATRIZ IDENTIDAD Y NULA

MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera:

A = eye (m) m es el orden de la matriz A identidad.

A = ones (m) m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos

de la matriz son unos. A = zeros (m) m es el orden de la matriz A que est compuesta por ceros.


7. FUNCIONES MATEMTICA ELEMENTALES

En la tabla 1 se indican las funciones elementales que ms se utilizan en este libro.

Tabla 1 Funciones matemticas elementales.

Funcin Comentario Funcin Comentario sin (x) Seno trigonomtrico abs (x) Valor absoluto cos (x) Coseno angle (x) Angulo de fase tan (x) Tangente sqrt (x) Raz cuadrada sinh (x) Seno hiperblico real (x) Parte real del complejo cosh (x) Coseno hiperblico imag (x) Parte imaginaria asin (x) Seno inverso trigon. conj (x) Conjugado de complejo asinh (x) Seno inverso hiperblico exp (x) Base exponencial e log (x) Logaritmo de base e log10 (x) Logaritmo de base 10

8. GRFICAS EN MATLAB

Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboracin de figuras, aqu nicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que estn en este texto.

Para realizar un simple grfico en dos dimensiones el comando es:

plot (x,y) xlabel (Titulo para eje de las x); ylabel (Titulo para eje de las y); title (Titulo de la figura) Previamente se habrn obtenido los vectores x, y.

Para realizar varias curvas en un solo grfico, se procede de la siguiente manera:

hold off plot (x,y,+) hold on plot (x,z,o) El comando hold on mantiene la grfica para realizar otra curva. Es conveniente apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se construyen varias curvas en una grfica es conveniente dibujar cada una de ellas con un smbolo diferente los mismos que se indican entre . En el ejemplo la primera curva se dibujara con el signo ms y la segunda curva con crculo, en este caso se escribi la o no el cero. En la tabla 2 se indican varios smbolos disponibles.

Tabla 2 Smbolos disponibles Tipo de marca Smbolo Tipo de Marca Smbolo

Punto . Lnea-Punto - . Lneas muy pequeas : Lneas entrecortadas - - Signo ms + Signo estrella * Crculo O Marca x x

En lugar de utilizar smbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar colores, colocando en lugar del smbolo la letra de un color, las mismas que se indican en la tabla 3.


Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden

presentar m por n grficas. La sintaxis es:

subplot (m,n,k) k es el nmero de la grfica que se dibuja, m y n se refiere a m por n grficas que se quieren dibujar.

Tabla 3 Colores disponibles

Color de lnea Smbolo Color de lnea Smbolo Rojo R Amarillo y Magenta M Turquesa C Verde G Azul B Blanco W Negro K

EJEMPLO 5

Encontrar en forma grfica las races de la siguiente ecuacin:

0coshcos1 =+ pp

SOLUCIN

Esta ecuacin aparece cuando se resuelve una viga en flexin modelado como un

sistema continuo. La ecuacin propuesta se puede escribir de la siguiente manera:

pp

cosh1cos =

Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son: pcos , por una parte, y pcosh/1 , por otra. Se presenta a continuacin la forma de graficar en la modalidad consola.

>> dx=0.01; >> for i = 1:500 p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); end >> plot (p,y,r); hold on; plot (p,z,b)

En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:


Figura 1 Grfica de dos funciones.

Se puede colocar mayor informacin en el grfico de la figura 1, con el propsito de

explicar mejor cuales son las races, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es ms fcil realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del clculo grfico de las races que ha sido realizado con MATLAB y PAINT.

Figura 2 Races encontradas.

9. PROGRAMAS


Si bien en el apartado anterior se realiz un pequeo programa, para dibujar las dos

curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instruccin de un programa es:

function [resultados] = nombre (datos)

En resultados vendr el nombre de las variables que contienen los resultados del programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de identificar el programa, no hay limitacin en el nmero de letras que se utilicen para el efecto. Por ltimo en datos vienen de consola, la informacin que requiere el programa para su ejecucin. Normalmente se deben colocar datos pero tambin el programa puede pedir los datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma que no es obligatorio que existan siempre datos.

Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarn comentarios,

esto se lo hace con % y a continuacin se indican todos los comentarios que se requieran. Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios.

En una fila de datos se puede tener una o ms sentencias en el ejemplo anterior se

escribi tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace que los programas sean ms cortos.

Para programar bsicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma

de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if. Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego

de un ndice el mismo que va a variar en la forma que el usuario desee. La sintaxis del for es la siguiente:

for i = ni:nf .. end

Donde ni es el nmero inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es el nmero en que termina el bucle. En la forma indicada el ndice i variar de uno en uno. Si se desea otro tipo de variacin la sintaxis en la siguiente: for i = ni,dx,nf .. end En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir variando el ndice i. Los ., significan que en ese lugar se colocarn las sentencias del programa.

Condicionales La forma ms sencilla de un condicional es la siguiente:

if condicin .............. else end Si se cumple la condicin que est al lado del if se ejecutan las lneas que estn a continuacin, caso contrario no se ejecutan estas lneas y se ejecutan las lneas posteriores a else. En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los condicionales:


Tabla 3 Lista de condicionales

Nombre Operador Nombre Operador Mayor que > Menor que < Mayor o igual >= Menor o igual >= Igual == No es igual =

La forma general de un condicional es: if condicin .............. elseif else end En este caso se tiene opcin de hacer varias preguntas adicionales, en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif pero se pueden hacer tantas como sea necesario.

EJEMPLO 6

Elaborar un programa para encontrar una de las races de un polinomio de tercer grado aplicando el Mtodo de Newton Raphson.

SOLUCIN

La frmula del Mtodo de Newton Raphson es la siguiente:

( )( )i

iii Xf

XfXX '1 =+

Donde ( )iXf es el valor de la funcin en el punto iX ; ( )iXf ' es el valor de la

derivada en iX . Por facilidad se desarrolla un programa especfico para un polinomio de tercer grado de la forma: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 Los datos dcba ,,, se indicarn en la modalidad consola. La ecuacin a programar es:

cbXaXdcXbXXaXX

ii

iiiii ++

+++=+ 23 223

1

El clculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de iX y el programa

determina 1+iX con este valor se ve si ( )1+iXf es menor o igual a una tolerancia, si es menor se hall la raz, caso contrario se continua con el clculo para lo cual 1+= ii XX . El programa que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuacin.


Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tldes en los programas de

tal manera que aparecern ciertas palabras con error gramatical.

function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi) % % Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el % Metodo de Newton Raphson % % a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado. % xi es dato el valor inicial que el usuario propone. % raiz es una de las raices que se obtienen % tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular. % f es el valor de la funcion en el punto xi tol=0.01;xx=xi; for i=1:100 f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d; if f > [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3)

El valor de iX inicial propuesto es 3. El programa reporta:

raiz = 2.0006

Con relacin al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y continue

break Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se deba

realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la pregunta que se realiza si f


Se escribi el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un condicionante. Para hallar las races de un polinomio MATLAB tiene el comando roots con el cual se hallan todas las races del polinomio. La sintaxis es: R = roots (p) Donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio y R es el nombre del vector que contiene las races. En lugar de p y R se puede colocar cualquier nombre. Para hallar las races de: 0252)( 23 =++= xxxxf . Se procede de la siguiente manera: >> p = [ 2 -5 1 2] >> raiz = roots (p) El programa en el vector raiz reporta todas las races que son: raiz = 2.0000 1.0000 -0.5000 Si se conocen las races de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que contiene las races. Para el ejemplo se tendra: >> r = [ 2 1 -0.5] >> poly (r) El programa reporta: ans = 1.0000 -2.5000 0.5000 1.0000 Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2.

Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad consola se escribir help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras instrucciones que son comentarios.

10. ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS

En el libro se encuentra la respuesta ssmica de varias estructuras ante un acelerograma, de un sismo registrado en el Per el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las lneas de comentarios que normalmente traen los archivos y despus darle un nombre con extensin .dat

En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe

grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo ASCII.

Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat; Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;


En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados

pero pueden tener cualquier nombre.

11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES

MATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores. A continuacin se indican algunas de estas formas:

Creacin de una matriz diagonal

Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo: A = diag ( [ 5 4 3 ] ) Se crea la matriz:

=

300040005

A

Obtencin de una submatriz

Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas.

B = A ( 1:2,1:2) Se crea la submatriz:

=4005

B

La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz. Luego entre parntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la columna final

Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notacin clsica. Por

ejemplo de la matriz A se desea obtener el nmero 4. A (2,2) ans= 4

Smbolo :

Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A.

A(:,3)


ans= 0 0 3

Mximo y Mnimo de un vector

Para encontrar el valor mximo o mnimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A). Siendo A. El nombre del vector.

Dimensin de un vector o matriz

Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el

nombre de la matriz o vector.

12. FUNCIONES

Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera:

>> t = linspace (0,1,11) Con lo que se obtiene: t = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

La primera cantidad de linspace corresponde al nmero inicial, la segunda al nmero final y la tercera al nmero de valores que se desea, entre los nmeros inicial y final.

Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11) Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la siguiente manera: >> a=sin(t) Con lo que se halla: a= 0 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833 0.8415


Se ha presentado un manual rpido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector

comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el tiempo de un sistema de mltiples grados de libertad, son muy cortos.

Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a

entender perfectamente el tema que se est exponiendo. Para quienes deseen profundizar ms en MATLAB se les recomienda el libro de

Shoichiro Nakamura (1997), Anlisis numrico y visualizacin grfica con MATLAB, 476 p., Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., Mxico.


CAPTULO 1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN

Se deduce la ecuacin diferencial del movimiento para sistemas de un grado de libertad y se resuelve en forma analtica para el caso de vibracin: libre, forzada ante carga armnica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y crticamente amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificacin dinmica y se ilustra el problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundacin por efecto de vibracin armnica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solucin ante un escaln unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular.

Se complementa el marco terico con la presentacin de programas en MatLab para

resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificacin dinmica de desplazamiento.

1.1 VIBRACIONES LIBRES

En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibracin libre y vibracin forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de vibracin libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numrico de clculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posicin ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posicin inicial del sistema.

Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la

deformacin del mismo, con sta hiptesis, se pasa a la posicin ( 2 ) de la figura 1.1 en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad y ahora la


Posicin Inicial P.I., pasa a la posicin de equilibrio esttico que se ha llamado P.E.E. En la posicin ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

kgm =

En la posicin ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento

ya que el sistema est en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En consecuencia se tendr fuerza en el amortiguador cuando el sistema se encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo

0=t la masa se desplaza una cantidad oq con una velocidad .

oq .

Figura 1.1 Descripcin del modelo numrico para vibracin libre.

Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera )(tq se mide a

partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posicin genrica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale )( +qk hacia arriba, el peso del sistema vale

gm hacia abajo, la fuerza en el amortiguador .qc hacia arriba y la fuerza inercial

..qm hacia

arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:

0)(... =+++ gmqmqcqk

Al sustituir ( 1.1 ) en sta ltima ecuacin, se tiene:

0... =++ qkqcqm

Se conoce que la frecuencia natural nW y el perodo de vibracin T , valen:

nn W

TmkW 2==

Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento como:

kmc

2=

Si la ecuacin diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene:

02... =++ qWq

mcq n

( 1.2 )

( 1.2 )

( 1.3 )

( 1.4 )


Al multiplicar y dividir el trmino c/m por mk2 y al utilizar la ecuacin ( 1.4 ) se tiene:

nWmmk

mkc

mc 22

2==

Luego otra forma de presentar la ecuacin diferencial del movimiento es:

02 2... =++ qWqWq nn

1.1.1 Solucin de la ecuacin diferencial

Se plantea la solucin de la ecuacin diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:

teatq =)(

Donde a es una constante de integracin y es una variable a determinar. Al derivar la ecuacin ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene:

( ) 0202

22

22

2..

.

=++=++

==

nnt

tn

tn

t

t

t

WWeaeaWeaWea

eaq

eaq

Para que la ltima ecuacin sea igual a cero es necesario que la cantidad del

parntesis sea cero.

12

442

02

2

222

22

=

=

=++

nn

nnn

nn

WW

WWW

WW

Las races de dependen del valor de ya que el radical puede ser positivo, cero o

negativo.

1.1.2 Vibracin libre sin amortiguamiento

En este caso 0= , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente. Al ser 0= las races que se obtienen de ( 1.7 ) son:

1= nW

Luego la solucin se transforma en:

( 1.5 )

( 1.6 )

( 1.7 )


( ) ( ) ( )22

cos)(

BAC

tWsenCtWsenBtWAtq nnn+=

+=+=

Siendo el ngulo de fase.

EJEMPLO 1

Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo perodo de vibracin es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s.

SOLUCIN

( ) ( )( ) ( )tWWBtWsenWAtq

tWBsentWAtqsT

W

nnnn

nn

n

cos)(

cos)(

1416.312.0

22

. +=+====

Para 0=t se tiene:

3183.0416.31

101010

2

=====

nn W

BWB

A

Luego: ( )tsenttq 416.313183.0)416.31cos(2)( +=

En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los

siguientes comentarios:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. 9 Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva

razn por la cual la curva va hacia arriba. 9 El tiempo que se demora en una oscilacin completa es igual a 0.2 s., que corresponde

al perodo de vibracin. 9 Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilacin no decrece.

1.1.3 Vibracin libre subamortiguada

Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 10 < . En este caso las races son tambin nmeros complejos.

Las races son:

21

1

==

na

an

WW

WW

( 1.8 )

( 1.9 )


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tiempo (s.)

Des

plaz

amie

nto

(cm

.)

Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.

Luego la solucin es:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tWBtWsenAtWtq

tWBtWsenAetq

aan

aatWn

cos)exp()(cos)(

+=+=

La respuesta en el tiempo para el caso de vibracin libre sin amortiguamiento se ha

escrito de dos formas en la ecuacin (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armnicos es otro armnico por lo que la ecuacin ( 1.10 ) en funcin del ngulo de fase queda:

22

)()exp()(

BAC

tWsentWCtq an+=

+=

EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si 05.0= . El perodo del sistema es 0.2 s.

./10)0(

.2)0(0.

scmq

cmqt

===

SOLUCIN

[ ][ ]

[ ]3767.3105.01416.31

)()cos()exp()cos()()exp()(

)cos()()exp()(

2

.

==

++=+=

a

aaaan

aann

aan

W

tWsenWBtWWAtWtWBtWsenAtWWtq

tWBtWsenAtWtq

( 1.10 )

( 1.11 )


Para t=0 se tiene:

41883.03767.312416.3105.0102

=+==

AAB

Luego la respuesta en el tiempo es: ( ) ( ) ( )[ ]ttsenttq 3767.31cos23767.3141883.05708.1exp)( +=

En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5%

de amortiguamiento.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Tiempo (s.)

Des

plaz

amie

nto

(cm

.)

Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 05.0=

Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. 9 La pendiente en t=0 es positiva. 9 El perodo de la oscilacin en este caso vale:

aa W

T 2= 9 Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.

1.1.4 Vibracin libre sobre amortiguada

Corresponde al caso en que es mayor que la unidad. En este aso las dos races son reales. Luego la respuesta en el tiempo vale:

( )[ ] ( )[ ]tWWBtWWAtq nnnn 1exp1exp)( 22 ++=

EJEMPLO 3

( 1.12 )


Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2.1= . El perodo del sistema es 0.2 s.

./10)0(.2)0(0.

scmqcmqt ===

SOLUCIN

Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es la siguiente:

( ) ( )tttq 5382.58exp049.18602.16exp049.3)( =

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Tiempo (s.)

Des

plaz

amie

nto

(cm

.)

Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para 2.1=

Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. 9 La pendiente en t=0 es positiva. 9 El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.

1.1.5 Vibracin libre crticamente amortiguada

En caso 1= . El radical de la ecuacin ( 1.7 ) es cero y las dos races son iguales. Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:

( ) ( )tWBtAtq n+= exp)(

EJEMPLO 4

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.1= . El perodo del sistema es 0.2 s.

( 1.13 )


./10)0(

.2)0(0.

scmq

cmqt

===

SOLUCIN

( ) ( )[ ]nn WBtAAtWtq += exp)(.

Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:

2832.72 == BA

La respuesta en el tiempo viene dada por: ( ) ( )tttq 416.31exp2832.72)( += La grfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4

function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) % % Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) %------------------------------------------------------------- % zi: factor de amortiguamiento % w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl. % qo: desplazamiento en t=0 % qpo: velocidad en t=0 % tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. t=linspace(0,0.6,500)'; if zi


nW Frecuencia natural del sistema. )0(q Desplazamiento en 0=t . )0(

.q Velocidad en 0=t .

Como aplicacin del programa VLIBRE, se resuelve el ejemplo 2 de este captulo:

[q] = vlibre (0.05,31.416,2,10)

En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE.

Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB.

1.1.6 Factor de amortiguamiento

Una de las aplicaciones del caso de vibracin libre sub amortiguada se presenta en el

clculo del factor de amortiguamiento para el efecto se mide el decremento logartmico del movimiento, mediante la siguiente ecuacin:

+= anTtqtq

n ()(ln

21

Donde n es el nmero de perodos que se considera para la medicin, )(tq es la

amplitud en un instante de medicin y )( anTtq + es la amplitud luego de n perodos. El valor de aT es el perodo de la vibracin amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el clculo del decremento logartmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un perodo aT . Por otra parte se tiene que:

( 1.14 )


21

=

Figura 1.6 Clculo del decremento logartmico.

Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de que se indican en la tabla 1.1. Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:

El valor de depende del tipo de material y del sistema estructural. El valor de depende del nivel de esfuerzos, mientras ms bajo sea el nivel de

esfuerzos menor ser . Para estructuras de Hormign Armado el valor de es superior a 10 si el nivel de

dao en la estructura es grande. Normalmente los espectros de diseo se presentan para 05.0= lo que implica que

existe un agrietamiento visible en la estructura.

1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIN ARMNICA

Se tienen varios casos de vibracin forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona de alta peligrosidad ssmica como es el Ecuador, el sismo es el ms importante pero para otros puede ser muy importante la accin del viento o las vibraciones que producen los motores de mquinas.

Tabla 1.1 Valores recomendados de en porcentaje.

Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones ( )% Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elsticas 0.5 a 1

Esfuerzos admisibles; y5.0< 1 a 2 Sistemas de tuberas que pueden vibrar libremente Cercanos a y , sin excederlo 2 a 3

( 1.15 )


Esfuerzos admisibles; y5.0< 2 a 3 Sistemas estructurales de acero soldado Cercanos a y , sin excederlo 5 a 6 Esfuerzos admisibles; y5.0< 2 a 3 Cercanos a estados ltimos, Sin prdida de pretensin

5 a 7

Concreto pretensazo

Sin pretensin residual 7 a 10 Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible

2 a 3

Agrietamiento visible generalizado 3 a 5

Sistemas estructurales de Hormign Armado

Cercanos a estados ltimos 7 a 10 Esfuerzos admisibles; y5.0< 5 a 6 Estructuras de acero apernadas Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12 Esfuerzos admisibles 5 a 7 Cercano a estados ltimos, con juntas apernadas

10 a 15 Sistemas estructurales de madera, con elementos clavados o apernados.

Estado de agotamiento con juntas clavadas

15 a 20

La excitacin de una mquina puede se modela mediante un pulso el mismo que

puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solucin se puede aproximar estas funciones peridicas por funciones armnicas tipo seno o coseno. Por este motivo es necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitacin armnica.

1.2.1 Respuesta ante una excitacin sinusoidal Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la

figura 1.7. La excitacin vale tsenFo ; siendo la frecuencia de vibracin de la excitacin, oF el valor de la amplitud mxima y t la variable tiempo.

Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armnica.

La ecuacin diferencial del movimiento es:

tsenFqkqcqm o =++ &&&

La solucin del problema )(tq ser igual a la solucin homognea ms la solucin particular.

( 1.16 )


)()()( tqtqtq ph +=

La solucin homognea se halla igualando a cero la ecuacin diferencial, es decir se

resuelve la ecuacin diferencial de vibracin libre, la misma que se la repite a continuacin.

0=++ hhh qkqcqm &&&

La solucin particular depende de la forma de la excitacin, se halla de la solucin de: tsenFqkqcqm oppp =++ &&&

La solucin homognea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego

desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solucin particular, se resolver a continuacin nicamente la solucin particular ya que la solucin homognea fue resuelta en el apartado anterior y adems desaparece en los primeros instantes de tiempo. Sea

tBtsenAqp cos+=

Donde BA, son constantes de integracin que se determinan en base a la ecuacin

diferencial. Las derivadas de pq con respecto al tiempo, son:

tBtsenAqtsenBtAq

cos

cos22 =

=&&&

Al reemplazar en ecuacin diferencial y agrupando trminos se tiene: ( ) ( ) tsenFtBkcAmBtsenAkcBAm o =++++ cos22 Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas: ( )

( ) 022

=+=

BmkAcFBcAmk o

En forma matricial se tiene:

=

022

oFBA

mkccmk

El determinante de los coeficientes vale: ( ) ( )222 cmk += Al aplicar la regla de Cramer se tiene:

( )=

=220

mkFmk

cF

A o

o

( 1.17 )


=

= o

o

FccFmk

B

0

2

Figura 1.8 Suma de dos armnicos

En el tringulo rectngulo de la figura 1.8 se tiene:

senXBXA == cos

Al reemplazar BA, en la ecuacin ( 1.17 ) se tiene: ( ) +=+= tsenXtsenXtsenXqp coscos

De la figura 1.8 se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2

222

2

22

2

22222

+=+

=+= cmkFFcmkFBAX ooo

( ) ( )222 cmkF

X o+

=

El ngulo de fase vale:

=

= 211 mkctg

ABtg

En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se

tiene que:

( ) ( ) ( ) ++= tsencmkF

q o222

EJEMPLO 5

Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl, que tiene los siguientes datos:

cmskgmkc

cmkgk

cmsKgm 943.68205.027146.

51.172

=====

( 1.18 )

( 1.19 )

( 1.20 )

( 1.21 )


La excitacin est definida por:

sTsTkgTF

aao

1944.2023.010001 =====

-1500,000

-1000,000

-500,000

0,000

500,000

1000,000

1500,000

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00

TIEMPO (t)

f(t)

Figura 1.9 Excitacin ( )tsentsenFtf o 944.201000)( ==

SOLUCIN

El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de integracin es el siguiente:

=

022

oFBA

mkccmk

( )( )

=

0.00.1000

944.2051.1727146944.20943.68

944.20943.68944.2051.17271462

2

BA

32 1078996.31010919.5

0.00.1000

21861.19465943.1443943.144321861.19465

==

=

BA

BA

( ) ( )ttsentq 944.20cos1078996.3944.201010919.5)( 32 = En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos )(tq .


-0,06000

-0,04000

-0,02000

0,00000

0,02000

0,04000

0,06000

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos.

1.2.2 Factor de amplificacin

Si en la ecuacin ( 1.19 ) se divide al numerador y denominador para la rigidez del sistema se tiene:

( ) ( )2

222

kcmk

kF

Xo

+=

Se denomina:

o

n

oo

XX

Wr

kFX

=

=

=

En la ecuacin ( 1.23 ) se ha denominado r a la relacin de la frecuencia de la

excitacin con respecto a la excitacin de la frecuencia natural y es el factor de amplificacin dinmica. Luego se tiene:

222

1

+

=

kc

km

XX o

De donde:

( ) ( )222 211

rr

+=

( 1.22 )

( 1.23 )

( 1.24 )

( 1.25 )


FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA

0

1

2

3

4

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

r

0,010,10,150,250,5

Figura 1.11 Factor de amplificacin dinmica en funcin del factor de amortiguamiento.

En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificacin dinmica, en funcin de la relacin de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento desde 0.01 a 0.5. De esta figura y de la ecuacin (1.25) se tienen los siguientes comentarios: Para el caso de vibracin forzada, sin amortiguamiento 0= y para 1=r en la

ecuacin ( 1.25 ) se tiene que = , que constituye el pico principal de resonancia. A medida que aumenta el factor de amplificacin dinmica disminuye. Para 1=r el valor de tiene un mximo valor para factores de amortiguamiento

menores a 0.15. Tener 1=r significa que la frecuencia de la excitacin es igual a la frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificacin dinmica es mayor que la unidad.

A medida que el valor de se incrementa ms ancho es el pico de amplitudes mximas.

A continuacin se presenta el programa FAD que obtiene en forma grfica el factor de amplificacin dinmica para cuatro valores del factor de amortiguamiento . La forma de uso del programa, en MATLAB es la siguiente:

[f] = fad(z1,z2,z3,z4)

Como ejemplo de aplicacin, se desea encontrar las curvas del factor de amplificacin

para valores de igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5. [f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5)

En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los datos indicados.

function [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % % Factor de Amplificacin Dinmica % % Por: Roberto Aguiar Falconi


% CEINCI-ESPE % --------------------------------------- % [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % --------------------------------------- % z1: Factor de amortiguamiento 1 % z2: Factor de amortiguamiento 2 % z3: Factor de amortiguamiento 3 % z4: Factor de amortiguamiento 4 % r : Relacin entre la frecuencia excitacin a frecuencia natural % f : Factor de amplificacin dinmica hold off dr=0.02;r=0; for i=1:150 r=r+dr; f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2)); f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2)); rr(i)=r; end plot (rr,f); hold on plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.') xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion'); axis([0,3,0,5]); text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol') text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol') hold off % ---fin---

1.2.3 Fuerza transmitida a la fundacin

Se ha visto que la solucin de la ecuacin diferencial ( 1.16 ) en rgimen permanente viene dada por:

( ) += tsenXq De donde la derivada con respecto al tiempo es:

( ) += tXq cos.

La fuerza que llega a la cimentacin, tf , viene dada por la contribucin de la fuerza del resorte, ktf , ms la contribucin de la fuerza del amortiguador

ctf .

( ) ( ) +++=+=+=

tXctsenXkfqcqkfff

t

ct

ktt

cos

.


Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB.

Nuevamente se tiene la suma de dos armnicos por lo que la fuerza transmitida a la fundacin vale:

( ) ( ) ( ) +++= tsenXcXkft 22

Por lo tanto el valor mximo de la fuerza transmitida a la fundacin TF vale:

( ) XckFT 22 += Al reemplazar el valor de X de la ecuacin ( 1.21 ) se tiene:

( )( ) ( )222

22

cmkckFF oT +

+=

oF es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y TF es la fuerza transmitida a la fundacin. Se denomina a la relacin entre la fuerza transmitida a la cimentacin con relacin a la fuerza aplicada.

o

T

FF=

Pero de ecuacin ( 1.26 ) se tiene que:

( )( ) ( )222

22

cmkck+

+=

( 1.27 )

( 1.26 )


Al dividir el numerador y denominador del radical para 2k y al expresarle en funcin

del factor r y , el factor de transmisibilidad queda:

( )( ) ( )222

2

2121

rrr

++=

En la figura 1.13 se grafica para valores de igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50. Del anlisis de esta figura se desprende lo siguiente:

Cuando 0=r el valor de 1= . Cuando 2=r el valor de 1= . Adems es el punto en el cual cambia la forma de

la curva. Para 0= el valor de )1/(1 2r= ; y para 1=r el valor de = . Independiente del valor de , cuando r , el valor de 0= . De ah la necesidad

de que el valor de difiera lo mayor que se pueda con relacin a nW . FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD

0

1

2

3

4

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

r

0,010,10,150,250,5

Figura 1.13 Factor de transmitibilidad de las fuerzas a la cimentacin.

1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS

Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza

)(tf arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numrico de clculo. La ecuacin diferencial del movimiento es:

)(...

tfqkqcqm =++

( 1.28 )


Figura 1.14 Excitacin arbitraria

1.3.1 Escaln unitario

En la figura 1.15 se presenta la fuerza escaln unitario que vale 0 para valores negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo.

01)( = ttf

Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: 0)0()0(. == qq

Figura 1.15 Funcin escaln unitario.

La ecuacin diferencial a resolver es:

011...... =

++=++

kqkqcqmqkqcqm

Se realiza el siguiente cambio de variable:

zk

q = 1 Luego la ecuacin diferencial se transforma en:

0... =++ zkzczm


Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:

0)0(1)0(. == z

kz

Por lo tanto la solucin se ha transformado en un problema de vibracin libre con

condiciones iniciales que se estudi en el apartado 1. Se denomina )(tg a la solucin del escaln unitario. Las soluciones son:

Caso sin amortiguamiento ( ) ( )

( ) ( )tWWBtWsenWAtztWsenBtWAtz

nnnn

nn

cos)(

cos)(. +=

+=

Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene:

BAk

== 01

Luego:

( )tWk

tz ncos1)( =

Con el cambio e variable se tiene:

( )( )[ ]tW

ktq

ktW

kktztq

n

n

cos11)(

1cos11)()(

=

+=+=

A la solucin se denomina )(tg . Luego:

( )[ ]tWk

tg ncos11)( =

Caso sub amortiguado

Al proceder en forma similar al caso de vibracin libre sin amortiguamiento se obtiene:

( )

+= tsenWtWtW

ktg aan 21

cosexp11)(

El valor de aW est definido en la ecuacin ( 1.9 ).

( 1.29 )

( 1.30 )


Caso sobre amortiguado

( )

+= tWsenhtWtW

ktg aan

1coshexp11)(

2

12 = na WW

Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud 0F la respuesta en

el tiempo, sera:

)()( tgFtq o=

EJEMPLO 6

Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza )(tf que se indica en la figura 1.16 en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud 0F .

Figura 1.16 Fuerza escaln de magnitud 0F .

SOLUCIN

Para un tiempo Tt > se tiene que el tiempo de duracin de la fuerza 0F es Tt . Luego:

( )TtgFtq = 0)(

1.3.2 Pulso rectangular

Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura

1.17 en que la fuerza vale 0F hasta el tiempo T y luego es nula.

( 1.31 )

( 1.32 )


Figura 1.17 Pulso rectangular.

Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver la ecuacin diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta )(tg . Para el primer caso se procedera as:

0)0()0(

0.

0

...

==


La segunda forma de solucin se presenta en forma grfica en la figura 1.18 en que el

pulso rectangular es igual a una fuerza escaln de magnitud 0F ms otra fuerza escaln pero de magnitud negativa 0F y que empieza en el tiempo T .

La solucin para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente:

( ) TtTtgFtgFtqTttgFtq

=


CAPTULO 2

ESPECTROS DE RESPUESTA

RESUMEN

Se presenta en forma prctica el mtodo de aceleracin lineal para encontrar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una accin ssmica, para el efecto se ha elaborado un programa en MATLAB denominado LINEAL.

Posteriormente se indica la definicin de espectros de respuesta elsticos, los mismos

que se hallan con el programa elaborado en MATLAB denominado ESPECTRO. Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas LINEAL y

ESPECTRO se entender mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elsticos.

Por considerarlo muy prctico se presenta tambin el uso del programa DEGTRA que

permite obtener espectros de respuesta elsticos e inelsticos y ms aspectos relacionados con la dinmica de estructuras.

Finalmente, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos

registros ssmicos, el uno de Mxico de 1985 y el otro de Chile de 1985.

2.1 MTODO DE ACELERACIN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL

La ecuacin diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una accin ssmica definida por su acelerograma es la siguiente:

gUmqkqcqm..... =++

( 2.1 )


Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un

grado de libertad, 1gdl, q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento; .q es la respuesta

en el tiempo de velocidad; ..q es la respuesta en el tiempo de aceleracin y gU

.. es la

aceleracin del suelo. Existe una gran cantidad de mtodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuacin

diferencial ( 2.1 ). Uno de ellos es el mtodo de Aceleracin Lineal que est deducido en el captulo 4 del libro: Sistema de Computacin CEINCI3 para evaluar dao ssmico en los Pases Bolivarianos, Aguiar (2002). Aqu se presenta una sntesis del mtodo, orientado a la elaboracin de un programa de computacin pero antes de ello es necesario manifestar que la ecuacin diferencial ( 2.1 ) se puede escribir tambin de la siguiente manera, al dividir todo para la masa del sistema m .

gnn UqWqWq..

2...

2 =++

Siendo nW la frecuencia natural del sistema y es el factor de amortiguamiento crtico. En el captulo 1 se vio que:

mkWn = km

c2

=

El mtodo de aceleracin lineal, considera que en la respuesta del sistema la

aceleracin entre dos instantes de tiempo vara en forma lineal. Sea iq , iq.

y iq..

, el

desplazamiento, velocidad y aceleracin en el tiempo discreto it y sea 1+iq , 1.

+iq y 1..

+iq , lo propio pero en el tiempo discreto 1+it . El procedimiento de clculo es el siguiente:

i. Se determina la masa equivalente del sistema M

62

2tktcmM ++= Donde t es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta ssmica.

ii. Se halla el incremento de carga iQ

tkqtktcqQQ iii .

2..

2

+=

= + ii UUmQ ..1..

Siendo ..

1

.., +ii UU la aceleracin del suelo en los tiempos discretos it y 1+it .

iii. Se halla el incremento de aceleraciones ..q

=MQ

q i ..

( 2.2 )

( 2.3 )

( 2.4 )

( 2.5 )


iv. Se encuentra el incremento de velocidad .q

tqtqq i 2..

... +=

v. Se determina el incremento de desplazamiento q 2

..

2

...

62tqt

qtqq ii ++=

vi. Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleracin en 1+it

....

1

..

..

1

.1

qqq

qqq

qqq

ii

ii

ii

+=+=+=

+

+

+

vii. Los valores obtenidos en el tiempo 1+it se asignan a it

1

....1

..1

+

+

+

===

ii

ii

ii

qq

qq

qq

Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante destacar que en el Anlisis Lineal, la masa equivalente M se determina una sola vez.

2.2 PROGRAMA LINEAL

El programa LINEAL, halla en forma grfica, la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, ante una accin ssmica, definida por su acelerograma, aplicando el Mtodo de Aceleracin Lineal indicado en el apartado anterior.

El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el

archivo que contiene nicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre tiene extensin .dat. Despus de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga el acelerograma y despus se ejecuta LINEAL, de la siguiente manera:

[d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt)

p es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. m es la masa del sistema de 1 gdl. c es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl. k es la rigidez del sistema de 1 gdl. dt es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que

tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.

( 2.6 )

( 2.7 )


Una vez que se ejecuta LINEAL aparecen cuatro grficas, la primera de ellas es el acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la tercera de las velocidades y la ltima de las aceleraciones. function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) % % Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad % por el Mtodo de la Aceleracin Lineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE %------------------------------------------------------------------ % [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) %------------------------------------------------------------------ % p : vector que contiene los registros del acelerograma % m : masa del sistema % c : amortiguamiento del sistema % k : rigidez del sistema % d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleracin de la respuesta % dt : incremento de tiempo % n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)'; ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6); d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0; for i=1:n-1 dq=-m*(p(i+1)-p(i)); dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt; inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6; d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca; d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1); end subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma'); subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento'); subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad'); subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion'); %---fin---

EJEMPLO 1

Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una

masa cmsTm

2

004898.0= , una frecuencia natural s

Wn12832.6= y un coeficiente de

amortiguamiento 05.0= . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Per. El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento tuvo una magnitud de 6. La aceleracin mxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals (cm/s2). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es st 02.0= .

SOLUCIN

Para utilizar el programa LINEAL se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento.

cmTmWkmkW nn /19336619.0004898.0*4786.39/

22 ====


Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.

cmTsmkcmkc /0030775.0193366.0*004898.0*05.0*222/ ====

El perodo del sistema que se analiza es nWT /2= = 1 s. Una vez cargado el acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal.

>>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02)

Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals.

Se debe trabajar todo con cm y s. As es como se ha procedido en el ejemplo realizado. En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1.

Como se indic aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleracin.

Se puede hallar las respuestas mximas, en valor absoluto, desde la modalidad consola de la siguiente manera:

>>Sd=max(abs(d)) Sd= 2.9842 >>Sv=max(abs(v)) Sv= 23.8650 >>Sa=max(abs(a)) Sa= 213.5134


Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.

Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la mxima respuesta, en valor absoluto, de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente.

2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

En el captulo 1 se present un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se mostr otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl.

Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos ms. A la izquierda se

ha dibujado un prtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl.

Por su sencillez en el dibujo, se utilizar en el presente captulo el ltimo modelo

compuesto por una columna y la masa puntual.


Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.

EJEMPLO 2 Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema

Dinamica de Estructuras Con MATLAB

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