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Dinámica de Fluidos

Línea de Flujo, Líneas y Tubo de Corriente, Ecuación de Continuidad, Ecuación General del Movimiento de un Fluido o de Euler, Ecuación de Daniel Bernoulli y aplicaciones: Teorema de Torricelli y Tubo de Venturi.

El estudio del movimiento de los fluidos es, en general, un problema muy complejo. Las moléculas de un fluido, además de ejercer entre si acciones mutuas de gran importancia, pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Por esta razón es necesario tener en cuenta conceptos adicionales al aplicar las leyes de la dinámica a los fluidos en movimiento.

La dinámica de fluidos es una parte de la reología, definida como la ciencia dedicada al estudio de las deformaciones y flujos de la materia. Ésta se divide en dos ramas: la hidrodinámica y la aerodinámica.

En este tema estudiaremos fluidos ideales, es decir, incompresibles y carentes de rozamiento interno o viscosidad.

El movimiento de un fluido está definido por un Campo Vectorial de Velocidades correspondientes a las partículas del flujo, y un Campo Escalar de Presiones en función de la posición y el tiempo, correspondientes a los distintos puntos del mismo.

En cada instante se puede definir en cada punto del espacio un vector velocidad que es el de la partícula fluida que pasa por él en ese

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momento. El conjunto de todos estos vectores constituyen el campo vectorial de velocidades.

Se denomina Línea de Flujo a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil. En general, a lo largo de la línea de flujo, la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección. Si todo elemento que pasa por un punto dado sigue la misma trayectoria que los elementos precedentes, se dice que el flujo es estacionario.

En estado estacionario, la velocidad en cada punto del espacio no varía con el tiempo, si bien la velocidad de una parte determinada del fluido puede cambiar de un punto a otro.

Se define Línea de Corriente como aquélla curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de corriente coinciden con las de flujo.

Si se consideran todas las líneas de corriente que pasan por un contorno cerrado “c”, estas líneas encierran un volumen denominado Tubo de Corriente. De la definición de la línea de corriente se deduce que no pasa fluido a través de las paredes laterales de un tubo de corriente.

Ecuación de Continuidad:

En un tubo de corriente se cumple la ecuación de continuidad del movimiento en cualquier sección normal al tubo, siempre que la densidad sea constante, y dice que en cada sección “S” del mismo, el producto de su superficie por la velocidad del fluido en su interior es constante: S v = cte.

Ecuación General del Movimiento de un Fluido:

Como demostramos en el tema anterior:

ρ ¬f = ¬gradP.

, siendo “ρ” la densidad del fluido, “¬f” la fuerza por unidad de masa y “¬gradP” el gradiente de la presión.

En la estática de fluidos:

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ρ ¬f – ¬gradP = 0.

, y en la dinámica de fluidos, en cambio:

ρ ¬f – ¬gradP = ¬a.

, siendo “¬a” la aceleración del sistema.

A través de un complejo cálculo matemático, se llega a que:

¬f – ¬gradP / ρ = d¬v / dt + ¬gradv^2 / 2 + ¬rotv Λ ¬v.

expresión conocida como la Ecuación de Euler.

A partir de esta ecuación, si suponemos un régimen estacionario donde “¬v” es constante, donde el fluido es “no viscoso”, y el cual se ve perturbado únicamente por un campo gravitatorio, obtenemos que:

¬f = – ¬gradV.

, siendo “V” el potencial gravitatorio:

m ¬f = – ¬grad(m g h).

; y finalmente:

¬f = – g ¬gradh.

Si sustituimos en la ecuación de Euler, multiplicamos todo escalarmente por “d¬l” y simplificamos, llegamos al Teorema de Bernoulli:

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P + ρ v^2 / 2 + ρ g h = cte.

, que dice que a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión hidrostática, la cinética (debida a la velocidad) y la estática (debida a la altura) es constante.

Aplicaciones del Teorema de Bernoulli:

Teorema de Torricelli: si a un recipiente que contiene un fluido se le abre un pequeño orificio, dado que las presiones son idénticas en la superficie y la velocidad de escape por el orificio es mucho mayor que la otra, haciéndola despreciable, se obtiene que la velocidad de escape es: v = [2 g h]^1/2. Se llama Gasto o Caudal al producto de la sección por la velocidad del fluido en la misma.

Tubo de Venturi: mediante una disminución gradual en la entrada se reduce la turbulencia, porque la presión del fluido disminuye con la superficie de la sección

CAUDAL

Hay que distinguir dos tipos de caudal, el másico y el volumétrico.

El caudal volumétrico es el volumen que atraviesa una superficie por unidad de tiempo es igual a:

Q = S·v

Esto significa que el caudal depende de la sección de la superficie que lo atraviesa y de la velocidad. Así para una misma superficie, si el fluido va a mayor velocidad, será atravesado por un mayor caudal, y al revés para una misma velocidad cuando mayor es la superficie mayor es el caudal.

Esta es la razón por la que si tenemos una manguera de 25 mm y otra de 45 mm, y las dos estan siendo atravesadas por el mismo caudal, la que tenga menor sección (25 mm) el agua estará circulando a mayor velocidad.

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Esto es importante pues la velocidad de circulación del agua en una conducción, y por lo tanto es caudal, esta relacionado con las perdidas de carga.

Por caudal másico entendemos la masa que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Como la densidad de un fluido es:

ro = masa (M)/volumen (V)

Por lo tanto:

M = ro·V

Si lo dividimos por el tiempo:

M/t = ro·V/t

Es decir el caudal másico es igual a la densidad multiplicada por el caudal volumétrico:

Qm = ro·Qv = ro·S·v

Si os fijáis,  por dos secciones iguales puede estar pasando un mismo caudal volumétrico, pero distinto caudal másico, ya que el fluido puede tener densidad distinta.

Esto ocurre con los gases que su densidad varía con la presión de una manera importante.

Pero en el caso del agua, la densidad, a las presiones que manejamos en una instalación hidráulica de extinción, prácticamente no varía y por tanto decimos que el agua es "incompresible". Por lo tanto podemos hablar de caudal volumétrico, ya que es más útil decir que por una manguera circulan 200 litros por minuto que decir que pasan 200 Kg. por minuto.

CAUDAL DE PRACTICA

Definición En dinámica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que pasa por el rio en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula:

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donde

Q Caudal ([L3T−1]; m3/s)

A Es el área ([L2]; m2)

Es la velocidad linear promedio. ([LT−1]; m/s)

Dada una sección de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v, si esta velocidad forma con la perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como

En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y cosθ = 1) entonces el flujo vale

Si la velocidad del fluido no es uniforme o si el área no es plana, el flujo debe calcularse por medio de una integral:

donde dS es el vector superficie, que se define como

donde n es el vector unitario normal a la superficie y dA un elemento diferencial de área.

Si se tiene una superficie S que encierra un volumen V, el teorema de la divergencia establece que el flujo a través de la superficie es la integral de la divergencia de la velocidad v en ese volumen:

En física e ingeniería, caudal es la cantidad de fluido que circula por unidad de tiempo en determinado sistema o elemento. Se expresa en la unidad de volumen dividida por la unidad de tiempo (e.g.: m³/s).

En el caso de cuencas de ríos o arroyos, los caudales generalmente se expresan en metros cúbicos por segundo o miles de metros cúbicos por segundo. Son variables en tiempo y en el espacio y esta evolución se puede representar con los denominados hidrogramas.