CAPITULO IDINMICA DE ROTACINGENERALIDADESLa dinmica es la parte de la Mecnica que estudia las relaciones entre las causas que originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de Newton constituyen los tres principios bsicos que explican el movimiento de los cuerpos, segn la mecnica clsica. Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas ya fue enunciada por Galileo. Tal y como las vamos a ver aqu slo son vlidas para un Sistema de Referencia Inercial. (Dinamica de una particula, 2016)El principio de inercia, que indica que cuando un cuerpo est en reposo, o describe un movimiento de las caractersticas de MRU, las fuerzas que se aplican sobre l tienen una resultante nula. Hay que tener mucho cuidado en este caso, ya que influyen, por ejemplo, la fuerza de rozamiento. Cuando las fuerzas se equilibren realmente podr darse el MRU.La fuerza es igual a la masa por la aceleracin. Esta es la frmula fundamental de la dinmica, y llega a partir de suponer un cuerpo en reposo sobre una superficie horizontal, que es sujeto a una fuerza paralela a esa superficie, pudindose prescindir del rozamiento: veremos que el cuerpo se pone en movimiento a una aceleracin constante. Si se le aplica otra fuerza de mayor intensidad, la aceleracin variar proporcionalmente. De este modo se llega a esa frmula, y se puede establecer la unidad internacional de fuerza, el Newton (N), definida como la fuerza que impulsa a una masa de un kilogramo con una aceleracin de un metro por segundo al cuadrado.Ley de accin y reaccin. Siempre que un cuerpo ejerza una fuerza sobre otro, este segundo ejerce una contraria de igual intensidad y direccin pero sentido contrario sobre el primero. El primer ejemplo es el de un cuerpo que pese sobre una superficie, que recibir de esa la accin de una fuerza que opone a la de atraccin que la tierra ejerce sobre l.Estas leyes son las fundamentales de la dinmica, que aplican fundamentalmente sobre el movimiento rectilneo uniforme. Sin embargo, tambin existe una dinmica del movimiento circular, que sucede cuando se puede mantener la fuerza que se aplica sobre un cuerpo constantemente en mdulo, perpendicular a la direccin del movimiento. Esto se produce, por ejemplo, en el caso de la fuerza de atraccin constante del Sol sobre un planeta, lo que evita que este ejerza un movimiento rectilneo en vez de la rbita.SISTEMA DE REFERENCIAPara poder entender lo que es Dinmica rotacional, primero debemos comprender los principales conceptos del siguiente tema.DINAMICAEn la dinmica rotacional se necesita saber conceptos como, torque, rotacin, aceleracin angular y cuerpo rgido, este ltimo formado por un conjunto de puntos materiales cuyas distancias mutuas permanecen invariables. Un cuerpo rgido est animado de un movimiento de rotacin cuando se mueve ligado a dos puntos fijos que pueden ser interiores o exteriores l. La lnea que une dicho puntos fijos es el eje de giro, los puntos del slido en su movimiento describen circunferencias en un plano perpendicular al eje de giro, y cuyos centros se encuentran sobre dicho eje.

CUERPO RGIDOEs un cuerpo que tiene una forma definida que no cambia, y las partculas que lo componen permanecen fijas. Un objeto rgido puede presentar dos movimientos distintos, estos movimientos son conocidos como movimiento de rotacin y movimiento de traslacin. Es un modelo ideal que se utiliza para realizarestudios de cinemtica y de mecnica. Sin embargo, en la prctica, todos loscuerposse deforman, aunque sea de forma mnima, al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las mquinas y las estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente rgidas.

Existen distintos modos de movimiento de un cuerpo rgido. Latraslacinconsiste en el traslado del cuerpo, de manera que, en cada instante, las partculas que lo forman mantienen la misma velocidad yaceleracin. Con larotacin, las partculas se mueven en relacin a un eje con la misma velocidad y aceleracin angular. Cuando la traslacin y la rotacin se combinan, aparece elmovimiento general, que es estudiado a partir de la traslacin y la rotacin del centro de masa. (Definiciones.es, 2008)

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDODecimos por solido rgido un sistema de partculas en el que la distancia entre dos, cualquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos slidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando estn sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si stas son suficientemente pequeas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rgidos o indeformables. La definicin de slido rgido es slo conceptual, por cuanto que el slido rgido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el slido rgido es slo una idealizacin y extrapolacin del slido real, al igual que lo es la partcula o punto material. (slideshare, 2014)

Movimiento de traslacinEs el ms sencillo que puede realizar el slido rgido. Desde un punto de vista geomtrico. Se dice que un slido rgido se encuentra animado de un movimiento de traslacin cuando todo segmento rectilneo definido por dos puntos de aqul permanece paralelo a s mismo en el transcurso del movimiento.

Movimiento de rotacin Se dice que un slido rgido est animado de un movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a ste.

CAPITULO IIMOMENTOS2 .1 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTCULASe define momento angular de una partcula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector momento lineal.

Momento angular de un slido rgido Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen:

Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen:

El momento angular de todas las partculas del slido:

La proyeccinLzdel vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es:

El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia:

2.2MOMENTO DE INERCIA Es el nombre que se le da a la inercia rotacional. En su anlogo en el movimiento lineal es lamasa, aparece en las relaciones de la dinmica del movimiento rotacional. El momento de inercia debe especificarse respecto a un eje de rotacin dado. Para unamasa puntualel momento de inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotacin.

Esa relacin de la masa puntual, viene a ser la base para todos los dems momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una coleccin de puntos materiales.

2.1 MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDROEl momento de inercia de un slido respecto a un eje se define como la cantidad.

Dondees la distancia de la masarespecto al eje en cuestin. En el caso de una distribucin continua, la suma se transforma en la integral correspondiente.

En el caso de una superficie cilndrica de radioR, todos los puntos se hallan a la misma distancia del eje, por lo que R es una constante y puede salir de la integral.

2.2 MOMENTO DE INERCIA DE UN ANILLOS que el momento de inercia de un anillo respecto a un eje perpendicular al mismo y que pasa por su cdg, teniendo el anillo un dimetro exterior D y un dimetro interior d es:Lo que necesito es deducir esto a partir de la frmula para un momento de inercia

MOMENTO DE TORSINCuando sobre un cuerpo actan fuerzas que no tienen la misma lnea de accin o no se intersecan en un punto comn, puede haber rotacin. En este captulo se ha presentado el concepto de momento de torsin como una medida de la tendencia a girar. Los principales conceptos se resumen a continuacin:

Elbrazo de palancade una fuerza es la distancia perpendicular que hay entre la lnea de accin de la fuerza y el eje de rotacin. Elmomento de torsincon respecto a un eje determinado, se define como el producto de la magnitud de una fuerza por su brazo de palanca:Momento de torsin = fuerza xbrazo depalanca

Elmomento de torsin resultante con respecto a un eje particular A es la suma algebraica de los momentos de torsin producidos por cada fuerza.

MOMENTO DE TORSIN Y ACELERACIN ANGULAR DE UN CUERPO RGIDOPara un cuerpo rgido entero se tiene una ecuacin anloga rotacional a la segunda ley de Newton. El momento de torsin neto que acta sobre un cuerpo rgido es igual al momento de inercia del cuerpo del cuerpo alrededor de su eje de relacin multiplicado por su aceleracin angular. La sumatoria de torques solo incluye los momentos de torsin de fuerzas externas.

: debe ser medida en .TorqueAl aplicar una fuerza en un punto del cuerpo rgido, dicho cuerpo realiza un movimiento de rotacin en torno a un eje, esto es lo que se conoce como torque, o tambin llamado momento de la fuerza.Considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicacin desde su eje, elmomento de una fuerza es, matemticamente, igual alproducto de la intensidad de la fuerza, mdulo por la distancia desde el punto de aplicacin de la fuerza hasta el eje de giro. (Profesor en lnea, s.f.)

Al expresarla como ecuacin, la frmula es:

M = torque F= fuerza aplicada d= distancia del eje al giroEl torque se expresa enunidades de fuerza-distancia, se mide comnmente enNewton metro(Nm).

Al ejercer una fuerza en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto ASuponiendo los siguientes valores de la figura: La fuerzaFvale 15 N y la distanciad mide 8 m, el momento de la fuerza sera lo siguiente

La distanciad recibe el nombre de brazo de la fuerza.Un claro ejemplo donde se aplica esto es en la fuerza de la llave mecnica la cual se utiliza para apretar tuercas o elementos similares y, mientras ms largo sea el brazo de la llave, ms fcil se podr trabajar, ya sea para apretar o aflojar las tuercas.

Se aprecia que el torque y la fuerza estn unidos directamentePar de fuerzasSon dos fuerzas de igual mdulo, igual direccin y sentidos contrarios, cuyos puntos de aplicaciones son simtricos respecto al centro de giro. (Diversion matmatica)

Momento de una fuerza

Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posicinrde la fuerza por el vector fuerzaF.

El vectorMtienePor mdulo, Siendodel brazo de la fuerza la distancia desde el punto O a la direccin de la fuerza. Direccin, perpendicular al plano determinado por la fuerzay el punto .Esta analoga de la llave y el tornillo ayuda a entender el significado fsico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el mdulo, la direccin y el sentido del momento de una fuerza.

CAPITULO IIITEOREMA3.1 TEOREMA DE LA FIGURA PLANAEste teorema dice que, si tenemos una figura plana cualquiera, o suficientemente delgada, su momento de inercia con relacin a cualquier eje perpendicular a ella es igual a la suma de los momentos de inercia de cualesquiera dos ejes que estn contenidos en el plano, sean ortogonales entre s y se corten con el primer eje.Las condiciones del teorema nos aseguran que se trata de tres ejes mutuamente perpendiculares que podemos, por lo tanto, elegir como ejes de coordenadas. Si elegimos la notacin de la ilustracin, tendremos:

En donde el subndice en el momento de inercia denota con respecto a qu eje est considerado. En una figura plana, las coordenadas nos dan precisamente la distancia a los ejes. En cuanto a , tenemos que calcular la distancia de un punto genrico al eje X, lo que coincide con la distancia al origen:

Y el teorema queda demostrado.

TEOREMA DE STEINERLos momentos de inercia de slidos rgidos con una geometra simple alta simetra son relativamente fciles de calcular si el eje de rotacin coincide con un eje de simetra. Sin embargo, los clculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorrosos, incluso para slidos con alta simetra. El Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos a menudo simplifica los clculos.Premisa:Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masasdeun objetoTeorema:Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distanciaD

Energa cintica de rotacinLa energa cintica de un objeto girando es anloga a laenerga cintica linealy puede expresarse en trminos delmomento de inerciay de lavelocidad angular. La energa cintica total de un objeto extenso, se puede expresar como la suma de la energa cintica de traslacin de sucentro de masay la energa cintica de rotacin sobre el centro de masa.

Para un eje de rotacin fijo dado, la energa cintica, las expresiones para la energa cintica rotacional y lineal puede desarrollarse en paralelo desde elprincipio de trabajo energa. Para el caso lineal, empezando desde el reposo, la aceleracin por definicin es igual a la velocidad final dividida por el tiempo y la velocidad media es la mitad de la velocidad final, mostrando que el trabajo realizado por el bloque es igual a la energa cintica. Para el caso rotacional, tambin empezando desde el reposo eltrabajo rotacionales y la aceleracin angular dada al volante, se obtiene de lasegunda ley de Newton para la rotacin. La aceleracin angular es igual a la velocidad angular final dividido por el tiempo y la velocidad angular media es igual a la mitad de la velocidad angular final. De lo que sigue que la energa cintica rotacional dada al volante es igual al trabajo realizado por el par.

Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvilSe puede extender el anlisis de la dinmica del movimiento rotacional a algunos casos en los que el eje de rotacin se mueve: traslacin y rotacin combinadas.La traslacin del centro de masa y rotacin alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. Esto se cumple aun si el centro de masa se acelera, de modo que no est en reposo en ningn marco inercial, un caso importante es el de rodar sin deslizar.

Principio de conservacin del momento angularConsiderando un sistema de partculas, sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Para cada una de las partculas se cumple que la variacin del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuenta la tercera ley de Newton.

Como los vectores y son paralelos su producto vectorial es cero, por lo tanto queda:

El momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores respecto de un punto fijo O, origen del sistema de coordenadas en un sistema de referencia inercial.

El momento angular y el momento de las fuerzas respecto al sistema de referencia del centro de masas incluso si no est en reposo con relacin al sistema inercial de referencia O. El principio de conservacin del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado, el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. CAPITULO IVTRABAJO Y ENERGIATRABAJO Y ENERGA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACINEs la combinacin de cuerpos rgidos o resistentes, provistos de determinados movimientos y capaces de realizar un trabajo til.El objetivo de toda mquina es la realizacin de un trabajo en un tiempo deseablemente breve, consumiendo para ello energa de un tipo determinado. Por tanto, se hace necesario considerar los conceptos de trabajo y energa.Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rd en el tiempo dt es: (Blog de ciencia y tecnologia, 2014)

Impulso angularEl momento de las fuerzas que te aplican durante un tiempo t a un solido rgido en movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del solido rotacional. (2016)

CAPITULO VEJERCICIOS DE APLICACIN1) Un bloque de 2000 kg est suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable. Cunto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? Cunto vale la velocidad angular del tambor del torno? Qu potencia tiene que desarrollar el motor? Calcule el trabajo realizado durante 10 segundos

=19600kg (19600)(0.3)=5880 N.m

2) El sistema de la figura est inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg est a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de dimetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. La velocidad angular de la polea en ese instante. Las tensiones de la cuerda. El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.Ecuaciones del movimiento

Bibliografa(26 de enero de 2016). Obtenido de http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/solido/teoria/teoria.htmBlog de ciencia y tecnologia. (11 de marzo de 2014). Obtenido de https://tecnoatocha.wordpress.com/trabajo-y-energia/Definicion.es. (s.f.). Obtenido de http://definicion.de/cuerpo-rigido/Definiciones.es. (2008). Obtenido de http://definicion.de/cuerpo-rigido/Diversion matmatica. (s.f.). Obtenido de http://tomas-net.es.tl/Din%E1mica-de-Rotaci%F3n.htmProfesor en lnea. (s.f.). Obtenido de http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Fuerzas_Torque_momento.htmlslideshare. (22 de mayo de 2014). Obtenido de http://es.slideshare.net/icano7/dinmica-rotacional-35025243