Dinámica de una partícula

1. Introducción. Conceptos generales.

2. Leyes de Newton.

3. Fuerzas de rozamiento: rozamiento por deslizamiento.

4. Dinámica del movimiento curvilíneo. Fuerza centrípeta.

5. Fuerzas de recuperación elásticas.

6. Momento angular de una partícula.

7. Fuerzas centrales.

1

1. Introducción. Conceptos generales.

El estudio CINEMÁTICO del movimiento resulta incompleto en el sentido de que no se preocupa de las causas que originan el movimiento de los cuerpos.

La descripción DINÁMICA del movimiento es mucho más completa porque estudia el movimiento en relación con las causas que lo producen.

En este tema estudiaremos sólo la Dinámica de la Partícula o Punto Material (Dinámica de Traslación).

Leyes de Newton

Mecánica Clásica

2

Interacción y Fuerza.

El estudio de las causas que producen cambios en el estado de movimiento de los cuerpos nos lleva a la idea de INTERACCIÓN.

En física, una interacción es cualquier causa por la que dos o más cuerpos se influyen en su estado de movimiento.

La medida cuantitativa de cualquier interacción es lo que llamamos fuerza.

Interacciones Básicas Actúan sobre Alcance

Gravitatoria Cuerpos con masa Largo

Electromagnética Partículas cargadas Largo

Débil Casi todas las partículas Corto (en el interior del núcleo)

Fuerte Entre protones y neutrones

Corto (en el interior del núcleo)

3

Interacciones Básicas

La interacción gravitatoria es la responsable de que los planetas giren en torno a una estrella o que los objetos caigan.

La interacción electromagnéticamantiene cohesionados átomos,moléculas y sistemas macroscópicos.

La interacción débil es la responsablede la desintegración β. Tiene lugar entre electrones y protones o neutrones.

La interacción fuerte mantiene unido al núcleo atómico. 4

2. Leyes de Newton (I).

1ª Ley de Newton o ley de Inercia: toda partícula libre, es decir, que no está sometida a interacción alguna, se mueve siempre con respecto a un SRI con velocidad constante.

La Ley de Inercia establece la persistencia del estado de movimiento de una partícula en ausencia de interacciones. Así pues, las partículas (los cuerpos en general) presentan tendencia a permanecer en su estado de movimiento, tal tendencia recibe el nombre de INERCIA.

2ª Ley de Newton o ley de fundamental de la dinámica: si una partícula está sometida a una interacción neta (fuerza neta) adquiere una aceleración con respecto a un SRI que es proporcional a dicha interacción.

F a F ma∝ ⇒ =∑ ∑� �� �

El factor de proporcionalidad m es una característica de todo cuerpo o sistema material que se denomina masa inerte o simplemente masa. Determina la oposición o resistencia de un cuerpo a modificar su estado de movimiento, es decir, a ser acelerado.

5

2. Leyes de Newton (II).

La expresión anterior que hemos dado para la 2ª ley de Newton es la más popular pero no es la más afortunada, ya que sólo es útil cuando la masa del cuerpo o sistema material permanece constante. Por tanto, es preferible utilizar la expresión:

dpFdt

=∑�

�

Donde p es la magnitud denominada momento lineal o cantidad de movimiento que viene dada por el producto de la masa de la partícula por su velocidad, es decir:

p mv=� �

De esta forma:( )d mvdp dm dvF v m

dt dt dt dt= = = +∑

�� ��

�

Donde se pone de manifiesto que el cambio del momento lineal puede deberse a un cambio en la masa del cuerpo o bien a un cambio en su velocidad.

Nótese que en el caso de que la masa permanezca constante se tiene:

�

0

dm dv dvF v m m m adt dt dt

= + = =∑� �

�� �

6

2. Leyes de Newton (III).

3ª Ley de Newton o ley de acción y reacción: si un cuerpo A ejerce sobre otro B una fuerza FAB, el cuerpo B ejerce sobre el primero otra fuerza FBA de igual módulo y dirección pero de sentido contrario.

ABF�

BAF�

A

B

AB BAF F= −� �

7

Conviene destacar que estas dos fuerzas actúan sobre cuerpos distintos y, por tanto, no producen un efecto nulo, sino que provocarán en cada uno de ellos un cambio en su momento lineal. En efecto:

BAB

B AAB BA

ABA

Si

dpF dp dpdt F F

dt dtdpFdt

= = − ⇒ = −

=

�

�

� �

� �

�

�

Por tanto:( )

0 0A BB A

A B constanted p pdp dp p p

dt dt dt+

+ = ⇒ = ⇒ + =� �� �

� �

Resultado que constituye un caso particular (para dos cuerpos) del principio de conser-vación del momento lineal → cuando dos cuerpos están sometidos exclusivamente a sus respectivas interacciones mutuas, su momento lineal total permanece constante.

8

Acerca de la 3ª ley de Newton

Identificando las dos fuerzas de las que habla la 3ª ley de Newton:

MesaBloque

Tierra

TBF P=� �

BTF�

MB NF F=� �

BMF�

Consideremos un Bloque colocado sobre una Mesa que a su vez se encuentra en el suelo (Tierra). ¿Cuáles son las parejas de fuerzas según la 3ª ley?

TBF →�

Es la fuerza que la Tierra hace sobre el Bloque, es decir, la fuerza Peso.

BTF →�

Es la fuerza que el bloque hace sobre la Tierra. En general, nunca la tenemos en cuenta, pero existe y es la pareja de la fuerza peso.

MBF →�

Es la fuerza que la Mesa hace sobre el Bloque. Habitualmente la llamamos fuerza normal.

BMF →�

Es la fuerza que el Bloque hace sobre la Mesa y, lógicamente actúa sobre la Mesa, NO sobre el Bloque.

Por tanto, en nuestro caso las parejas de fuerzas en el sentido de la 3ª ley son:

TB BT MB MByF F F F= − = −� � � �

9

Algunas consideraciones para la aplicación de las leyes de Newton

1. Sólo son de interés las fuerzas que actúan sobre el cuerpo objeto de nuestra atención.

2. Los cuerpos objeto de estudio serán modelados como partículas, es decir, con masa pero sin dimensiones.

3. A menos que lo especifique el problema consideraremos que no hay fricción entre el cuerpo y la superficie de contacto.

4. Cuando un cuerpo se encuentra en contacto con una superficie, ésta ejerce siempre una fuerza sobre el cuerpo cuya dirección es normal (perpendicular) a ella.

5. En el caso de que la interacción con el cuerpo tenga lugar mediante una cuerda, hilo, cadena u otro medio deformable (muelle), diremos que la fuerza que actúa es de Tensión (T ).

T�

2P�

a�T�

1P�

N�

NF�

TF�

a�

10

Unidades de fuerza y masa

Sistema de unidades

Masa Fuerza

Cegesimal Gramo (g) Dina (dyn)

Internacional Kilogramo (kg) Newton (N)

Técnico Kilogramo (kg)

Kilogramo-fuerza (kgf)o

Kilopondio (kp)

Equivalencias: 51 10N dinas= 1 9 8kgf , N=

En el sistema anglosajón se utilizan como unidades de masa y fuerza la LIBRA (lb) y la LIBRA-FUERZA (lbf), respectivamente. Sus equivalencias con las unidades del Sistema Internacional son:

1 4 45lbf , N≈1 0 4536lb , kg≈

Ejemplo 1.

Un tren parte del reposo por un vía recta y horizontal y tarda 1 minuto en adquirir su velocidad de régimen de 100 km/h. Del techo de uno de los vagones del tren cuelga un péndulo, calcular el ángulo que forma el hilo del péndulo con la vertical durante el primer minuto del movimiento. ¿Y después de alcanzar la velocidad de 100 km/h, cuál será ese ángulo?

θ

θ

T�

P�

a�

F m a=∑�

�

Durante el primer minuto el tren lleva un MUA, cuya aceleración es:2

0 27,8 0 60 0,46 m/sv v a t a a= + ⇒ = + ⇒ =

¿Qué fuerzas actúan sobre la esfera del péndulo, de masa m, desde la perspectiva de un observador inercial?

Un observador inercial diría que la esfera del péndulo lleva la misma aceleración que el tren y, por tanto, al aplicar la 2ª ley de Newton tendría:

F m a P T m a= ⇒ + =∑�� �

� �

En la práctica, esta suma vectorial se puede resolver con la relación trigonométrica:

tan mθ =a

m0,46tan 0,047 arctan0,047 2,7º9,8g

θ θ⇒ = = ⇒ = =

Cuando el tren alcance la velocidad de régimen de 100 km/h el ángulo que forma el hilo con la vertical debe ser cero. ¿Por qué? 11

3. Fuerzas de rozamiento: rozamiento por deslizamiento.

Son unas fuerzas que aparecen cuando dos superficies se ponen en contacto, oponiéndose al desplazamiento relativo entre ellas. Estudiaremos aquí las fuerzas de rozamiento por deslizamiento, que son aquellas que aparecen cuando un cuerpo desliza sobre otro.

Las características generales, a nivel macroscópico, de estas fuerzas de rozamiento son:

1. Siempre que exista un deslizamiento relativo, o la intención de ese deslizamiento, entre dos cuerpos en contacto, aparece sobre cada uno de ellos una fuerza de este tipo.

2. Son paralelas a las superficies de contacto entre ambos cuerpos y, por tanto, perpendiculares a la fuerza normal entre ellas.

3. Tienen sentido contrario a la velocidad relativa de un cuerpo respecto del otro, o a la intención de movimiento.

4. Son prácticamente independientes del área de contacto entre los cuerpos.

5. Son proporcionales a la fuerza normal que comprime ambas superficies.

El rozamiento es un concepto estadístico, que se caracteriza macroscópicamente mediante una fuerza FR, que representa la contribución de innumerables interacciones entre las moléculas que se encuentran en las superficies de los cuerpos en contacto.

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Análisis de las Fuerzas de rozamiento por deslizamiento.

Consideremos un cuerpo de masa m sobre una superficie horizontal del que tiramos con fuerzas horizontales de módulo creciente Fi.

iF�

Fuerza Aplicada Movimiento Fuerza de rozamiento

0 No hay movimiento 0

F1 No hay movimiento FR1 = F1

F2>F1 No hay movimiento FR2 = F2

F3>F2 No hay movimiento FR3 = F3

… … …Fn>Fn-1 Movimiento inminente (FR)max = Fn

Fn+1 Movimiento (FR)din

RF�

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Perfil gráfico de las Fuerzas de rozamiento.

Materiales µe µcAcero sobre acero 0,7 0,6

Vidrio sobre vidrio 0,9 0,4

Latón sobre acero 0,5 0,4

Teflón sobre vidrio 0,04 0,04

Esquí encerado sobre nieve (0 ºC) 0,10 0,05 14

Ejemplo 2.

El bloque A de la figura tiene una masa m, el carrito B tiene una masa M, y el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el carrito es µe. Determinar el valor mínimo de la fuerza F que consigue que el bloque permanezca estacionario sobre el carrito.

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BAF� Veamos las fuerzas que actúan sobre cada uno de los objetos

A BF�

BAF�

ABF�

AP�

BP�

RF�

N�

RF−�

a�

De acuerdo con el esquema de fuerzas para que A no caiga debe cumplirse que:

0AR RF P F m g+ = ⇒ =� �

Donde, para que la aceleración sea mínima, FR debe ser la fuerza de rozamiento estática máxima, dada por: eR NF Fµ=

Siendo FN la fuerza normal que comprime las superficies en contacto, es decir, FAB. Nótese que esa fuerza es realmente la que dota al carrito B de una aceleración a. Por tanto:

AB e e min mine

En consecuenciaN Rm gF F M a F M a M a m g aM

µ µµ

= = ⇒ = = ⇒ =

Y finalmente:

( ) ( ) 1min mine e

m g m g mF m M a m MM Mµ µ

= + = + = +

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4. Dinámica del movimiento curvilíneo. Fuerza centrípeta

Como ya hemos estudiado, para que una partícula describe una trayectoria curva es necesario que esté animada de una aceleración normal o centrípeta. Supongamos el caso que muestra la figura.

ta�

a�

2

n

va nR

=��

De acuerdo con la 2ª ley de Newton, existe una fuerza responsable de cada aceleración. La fuerza que produce la aceleración normal o centrípeta se conoce con el nombre de fuerza centrípeta. Esto significa que para que un móvil curve su trayectoria es necesario que sobre él actúe de una fuerza centrípeta, que vendrá dada por:

2

c n

vF m a m nR

= =�

��

n�

τ�

La fuerza centrípeta no es una clase de fuerza especial, sino que simplemente designa la fuerza neta perpendicular a la trayectoria (dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria) que puede estar ejercida por una cuerda, una fuerza a distancia como la fuerza de gravitación, o bien ser el resultado de la combinación de varias de ellas.

¿Qué fuerza es la responsable de que un coche tome una curva?

¿Qué fuerza es la responsable de que un objeto atado a una cuerda describa una trayectoria curva cuando lo hacemos girar?

¿Qué fuerza es la responsable de que la Luna describa trayectorias elípticas alrededor de la Tierra?

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Ejemplo 3.

Una bola de masa m está suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve con velocidad constante v describiendo un círculo horizontal de radio r. Determinar: a) ¿qué aceleración tiene la bola y en qué dirección actúa?, b) la tensión de la cuerda, c) la velocidad de la bola .

a) Al describir una trayectoria circular con velocidad constantela única aceleración en el movimiento es la aceleración normal o centrípeta, que valdrá:

2

c

var

= Dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

b) Según el esquema de fuerzas que actúan sobre la bola debe cumplirse que:

yT�

xT�

0

cc c

Eje x: Eje y:

x

y

T m aF m a T P m a

T m g− = = ⇒ + = ⇒ − =

∑�� �

� �

La ecuación correspondiente al eje y se traduce en:

cos de dondecosm g m gT mg T

rL

θθ

= = =

c) De la ecuación del eje x se tiene que:2 2 2

sen sen tan tancosm gv v vT m m v r g

r r r gθ θ θ θ

θ= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

5. Fuerzas de recuperación elástica.

Cuando producimos una deformación en un sólido deformable, como por ejemplo un resorte elástico, aparecen en el sistema las denominadas fuerzas de recuperación elástica, que se oponen a la deformación producida y tienden a recuperar la situación original.

Estas fuerzas vienen descritas por la Ley de Hooke, que en su versión de deformaciones lineales, se expresa como:

KF K x= −�

�

Donde FK es la fuerza recuperadora, K la constante elástica del muelle y x el vector desplazamiento, cuyo módulo es justamente el desplazamiento respecto a la longitud natural del muelle.

¿Qué tipo de movimiento describe una partícula sometida a una fuerza de esta clase?

De acuerdo con la 2ª ley de Newton:

K

K

F m a Km a K x a xmF K x

= ⇒ = − ⇒ = −

= −

��

� �� �

��

Que es la ecuación característica del movimiento armónico simple (MAS). 18

Producto vectorial de dos vectores.

Se define como un vector C cuyo módulo es el resultado de multiplicar el módulo del primer vector por el módulo del segundo por el seno del ángulo que forman, de dirección perpendicular al plano determinado por ambos vectores y sentido el de avance de un tornillo que gire desde el primer vector al segundo (regla de la mano derecha).

C A B= � ��

Nótese que el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo construido con ambos vectores, como indica la figura.

sen sen Área del paralelogramoC A B A h C B hφ φ= ⇒ = ⇒ = =

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Momento de una fuerza con respecto a un punto.

La figura muestra una fuerza F que actúa sobre una partícula en una cierta posición rrespecto del origen O. Se define el momento M ejercido por esta fuerza con respecto al origen O como:

M�

r�

F�

O

d θ

M r F= � ��

El módulo del vector momento vendrá dado por:

{ }sen senM r F r d M F dθ θ= ⇒ = ⇒ =

Donde d es la distancia entre O y la línea de acción de la fuerza F (ver figura).

Ya que el vector momento es el resultado de un producto vectorial su módulo, dirección y sentido serán los que resultan de multiplicar vectorialmente los vectores r y F (ver figura).

20

6. Momento angular de una partícula.

L r p= �

��

La figura muestra una partícula de masa m que describe una determinada trayectoria con velocidad v con respecto a un origen O, siendo p su momento lineal, se define el momento angular L de la partícula con respecto al origen O como el producto vectorial de r y p.

v�

p m v=� �

r�

L�

O

m

De acuerdo con esta definición, es fácil entender que si la trayectoria de la partícula es plana, el vector momento angular (L) permanecerá en todo momento perpendicular al plano que determina la trayectoria del móvil.

Es interesante estudiar cómo cambia el momento angular en el transcurso del tiempo, es decir:

� �

v F

dpdL dr p r v pdt dt dt

= × + × = ×� �

���

� �� � dLr F Mdt

+ × ⇒ =�

� ��

Lo cual significa que si, bajo cualquier circunstancia, el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula es nulo, el momento angular ha de mantenerse constante (Principio de conservación del momento angular).

21

7. Fuerzas centrales (I).

Un caso particular de campos vectoriales son los campos de fuerzas, que son aquellos en los que en cada punto del espacio que delimita el campo se asocia un vector fuerza. Entre ellos tienen especial interés los campos de fuerzas centrales, que son aquellos en los que el vector fuerza definido en cada punto del espacio está dirigido hacia un punto fijo (el centro del campo).

1F�

2F�

3F�

4F�

O

Los campos de fuerzas centrales tienen algunas propiedades interesantes:

1. El momento de cualquier fuerza del campo con respecto al centro O vale cero.

O 0M r F= × =� �

�

2. En consecuencia, como:

O0 O constante

dLM L

dt= ⇒ =�

� �

22

El hecho de que el momento angular de una partícula sometida exclusivamente a fuerzas centrales mantenga constante su momento angular con respecto al centro del campo tiene dos implicaciones importantes:

a. Que sea constante en dirección supone que la partícula describirá una trayectoria plana, ya que el plano determinado por los vectores r y v deben ser siempre el mismo.

23

7. Fuerzas centrales (II).

b. Que sea constante en módulo supone que el área barrida por el radio vector de posición con respecto al tiempo (velocidad areolar, vA) debe ser constante.

Consideremos una partícula de masa m que describe una determinada trayectoria bajo la acción de un campo de fuerzas centrales, como indica la figura, el módulo de su angular viene dado por:

r�

r dr+� �

v�

dA

O

ϕ

dr�

senL m r v ϕ=

El área del triángulo elemental dA es:*

1

2sendA r dr ϕ=

* Esto procede de la mitad del producto vectorial de los vectores r y dr.

En consecuencia, la velocidad areolar, vA, será:

1 1

2 2A sen sendA drv r r v

dt dtϕ ϕ= = =

Ya que: 22

A Asen LL m r v m v vm

ϕ= = ⇒ =

En consecuencia, si el módulo del momento angular de la partícula, L, es constante la velocidad areolar, vA, también lo será.

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7. Fuerzas centrales (III).

Johannes Kepler, a principios del siglo XVII, basándose en las observaciones del astrónomo Tycho Brahe, enunció tres leyes que rigen el movimiento de los planetas:

� 1ª Ley: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas (órbitas planas) alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos.

� 2ª Ley: El radio vector que une un planeta y el Sol barre área iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es constante.

� 3ª Ley: El cuadrado del periodo de revolución de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Estas observaciones fueron decisivas para la formulación de la ley de gravitación de Newton, que demostró que la fuerza responsable del movimiento de los planetas alrededor de Sol debía ser una fuerza central que varía en razón inversa al cuadrado de la distancia entre ambos cuerpos.

1m

2m

12F�

21F�

12r�

1 2

12 122

12

m mF G ur

= −�

�

Donde: 12

12

12

rur

=�

�

Y G es la constante de gravitación universal, que vale11 2 2

6 67 10, N m / kgG −= × ⋅