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Fluidos. Introducción

212/12/2016

1.- Introducción.

2.- Definición de caudal.

3.- Ecuación de continuidad.

3.- Dinámica de fluidos ideales. Ecuación de Bernoulli.

5.- Dinámica de fluidos reales.

5.1.- Viscosidad.

5.2.- Ley de Poiseuille. Resistencia hidrodinámica.

5.3.- Flujos laminar y turbulento. Número de Reynolds.

ESQUEMA DE DESARROLLO


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DINÁMICA DE LA PARTÍCULA PUNTUALFUERZA

MASA

DINÁMICA DEL SÓLIDO-RÍGIDO

FUERZA

MOMENTO DE UNA FUERZA

MASA

MOMENTO DE INERCIA

ESTÁTICA DE FLUIDOSPRESIÓN

DENSIDADSITUACIÓN ESTÁTICA

( ) Constante temporal0

( ) Constante temporalr

vP r

1v1v


412/12/2016

DINÁMICA DE FLUIDOS

( , ) ( )0 Si Régimen estacionario

( , ) ( )r t r

vP r t P r

1v 2v

DINÁMICA DE FLUIDOS

PRESIÓN

DENSIDAD

FLUJO

Nota importante: Utilizaremos el símbolo aunque estemos hablando de velocidad promedio.

v

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Fluidos. Definición de caudal.

CAUDAL O FLUJO

Q Av=

Para poder cuantificar la cantidad de fluido que circula por un conducto, definimos el caudal oflujo:

El caudal Q a través de una sección dada es igual al volumen de fluido que la atraviesa porunidad de tiempo.

El caudal se mide en m3/s. Podemos calcular su valor en función de la velocidad media delfluido en la sección considerada v.

x

Av

V

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CAUDAL

( )cosQ A v Av A v= ⋅ = ∧

Podemos ampliar este concepto al caso en el que la superficie no es perpendicular lamovimiento del fluido utilizando el producto escalar:

v

A

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CAUDAL

( )( )

cos

cosA A

dQ v dA v A v dA

Q v dA v A v dA

= ⋅ = ∧

= ⋅ = ∧∫ ∫

Finalmente podemos calcular el caudal en una sección en la que la velocidad del fluido no esuniforme mediante

vA

dA

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Fluidos. Ecuación de continuidad.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

El primer resultado importante que podemos obtener en la dinámica de fluidos es la ecuaciónde continuidad, que es una manifestación del principio de conservación de la materia. Para suobtención vamos a plantearnos la relación que existe entre el flujo en dos zonas con diferentessecciones y velocidades.

1v

2v1A 2A

1x

2x

1

2

1 1 2 2

Si el fluido es incompresible (líquido)Q Q Q cte

Q cteρ = ρ ⇒ ρ ==

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Fluidos. Ecuación de continuidad.

Ejercicio.- Una tubería horizontal se estrecha en una conducción pasando de un diámetro de10 cm en la localización A a otro de 5 cm en la localización B. Para un fluido no viscosoincompresible que circula sin turbulencias por su interior desde la localización A a la B, ¿quérelación existe entre las velocidades en dichas localizaciones?

Ejercicio.- Por una aorta de 9 mm de radio fluye sangre a 30 cm/s. (a) Calcular el caudal enlitros por minuto. (b) Aunque el área de la sección recta de un capilar es mucho menor que lade la aorta, existen muchos capilares, de forma que el área total de sus secciones rectas esmucho mayor. Si toda la sangre procedente de la aorta pasa a los capilares en donde lavelocidad de flujo es de 1,0 mm/ s, calcular dicha área total.

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Fluidos. Dinámica de fluidos ideales. Ecuación de Bernoulli.

FLUIDOS IDEALES

Se dice que un fluido es ideal cuando el movimiento neto de fluido no produce interacciónentre las moléculas que lo componen, o dicho de otro modo cuando no existen a nivelmacroscópico fuerzas de rozamiento. Lógicamente, esto es sólo una aproximación a larealidad, pues todos los fluidos presentan, en mayor o menor grado, cierto rozamiento, si bienen el análisis de muchas situaciones podemos considerar que es nula. Al considerar un fluidoideal, estamos despreciando, por tanto, las pérdidas energéticas por rozamiento. Si ademássuponemos que no se producen intercambios de calor, las únicas energías relevantes en ladinámica del fluido serán las energías mecánicas. La ley de conservación de la energía sereferirá únicamente a la energía mecánica, y su reflejo en el movimiento de los fluidos es loque se conoce como ecuación de Bernoulli.

1112/12/2016


ECUACIÓN DE BERNOUILLI

A1 A1́

x1

A2 A2́

x2

h1

h2

P1

P2

2 22 1 1 2 1 2 2 2 1 1

2 21 2 2 2 1 1

1 1 Ecuación de Bernouilli2 2

Ecuación de Bernouilli para un1 1 fluido incompresible2 2

P P v gh v gh

P P v gh v gh

ρ − ρ = ρ ρ + − − ⇒

− = ρ + − − ⇒

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ECUACIÓN DE BERNOUILLI. Aplicaciones

a).- Efecto Venturi. Consiste en la disminución de presión que se produce en todoestrechamiento.

PA> PB

Aplicaciones: Anemómetros, máquinas de pintura con pistola, efecto absorción detrenes o coches, etc.

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b).- Vuelo de aves y aviones.

( )

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

2 22 3 3 21 2 3

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 12 2 2

1 02

1 1 12 2 2

P v gh P v gh P v gh

P P v vh h h

P v P v P v

+ ρ + ρ = + ρ + ρ = + ρ + ρ

⇓⇒ − = ρ − >≈ ≈

⇓

+ ρ = + ρ = + ρ

2 2F P A=

3 3F P A=

( )

( )2 3 2 3

2 23 2 0

2

NF F F P P AA v v

= − = − =

ρ= − >

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c).- Efecto Magnus. Fenómeno físico por el cual la rotación de un sólido afecta a latrayectoria del mismo a través de un fluido.

vω1v v R= − ω

2v v R= + ω

( )

( )

2 21 2 2 1

2 2 2 2 2 2

12

1 2 222

P P v v

v R v R v R v R

v R

− = ρ − =

= ρ + ω + ω − − ω + ω =

= ρ ω

2 1v v>

F

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Ejercicio.- Un jardinero emplea para el riego una manguera cuya embocadura tiene forma detronco de cono. Las secciones de sus bases son 5 y 1 cm2, y el agua se inyecta a unaatmósfera. Si la embocadura está inclinada 30º respecto a la horizontal, ¿Qué distanciaalcanzará el agua?Ejercicio.- Un barril grande de altura H y área transversal A1 se llena con agua. La partesuperior está abierta a la presión atmosférica. En la parte inferior existe una espita abiertade área A2, mucho menor que A1. (a) Demostrar que la velocidad del agua que sale por laespita es, aproximadamente, cuando la altura del agua es h. (b) Demostrar que en laaproximación según la cual A2 << A1 la variación de altura h por unidad de tiempo del aguaviene dada por . (c) Calcular h en función del tiempo si h=H para t = 0.(d) Hallar el tiempo total necesario para vaciar el barril si , H=2m, A1=0.8m2 yA2=0.0001·A1 . Supóngase que el flujo es laminar y no viscoso.

2gh

2 1/ ( / ) 2dh dt A A gh

Ejercicio.- El nivel de agua en un tanque es H respecto al suelo. ¿A qué profundidad debe dehacerse un orificio en la pared lateral del tanque de manera que el chorro de agua alcance lamayor distancia posible al tanque? ¿Cuál es dicha distancia?

Ejercicio.- Se quiere vaciar una piscinaA con una bomba B, según el esquemade la figura, a razón de 10 m3/hora. Laboquilla de desagüe tiene un diámetrode 4 cm y está situada 2 m sobre lasuperficie libre del agua, ¿qué potenciaha de tener la bomba si despreciamos elrozamiento?

AB

C

>

2 m

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Fluidos. Dinámica de fluidos reales. Viscosidad.

En la naturaleza los fluidos no son perfectos y por tanto su módulo de rigidezaunque pequeño no es nulo. El que sea distinto de cero implica que las fuerzas tangencialesentre sucesivas capas de fluido, o fuerzas de arrastre, no sean nulas poniéndose demanifiesto el rozamiento entre ambas capas.

Para definir el movimiento de fluidos reales es necesario introducir de algunaforma esta fuerza de rozamiento que tiene lugar entre las diferentes capas de fluido. Comovimos en el tema de dinámica, las fuerzas de rozamiento son una manifestación a nivelmacroscópico de interacciones electromagnéticas entre los átomos que forman el material anivel microscópico. En el caso de los fluidos, dependiendo de como se produzcan estasinteracciones a nivel microscópico podemos encontrar diferentes comportamientos a nivelmacroscópico, es decir, diferentes modelos del comportamiento del fluido a nivelmacroscópico.

En este curso básico vamos a estudiar un modelo teórico que ajusta con muchaexactitud las fuerzas de rozamiento que aparecen en el seno de un fluido cuando este semueve. Este modelo se conoce con el nombre de fluido newtoniano y para caracterizar alfluido en cuestión hay que definir una nueva magnitud física llamada viscosidad que va aestar relacionada con la fuerza de rozamiento que aparece entre dos láminas de fluidoadyacentes cuando este está en movimiento.

VISCOSIDAD

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Para introducir esta nueva magnitudfísica, consideremos una situación como la que semuestra en la figura.

VISCOSIDAD

Hechos experimentales:

a).- La fuerza que es necesario aplicar a la placasuperior es directamente proporcional a ladiferencia entre las velocidades de la placasuperior e inferior.

b).- Esta fuerza es inversamente proporcional algrosor de la capa de fluido.

c).- La fuerza es directamente proporcional al áreade la placa superior. dvF A

dy= η

las unidades de la viscosidad en el sistemainternacional de unidades son:

También se utiliza mucho el sistema cegesimal(dinas/cm2) que en honor del físico francésPoiseuille se denomina poise.

[ ]2

2 2

N m Kg m/s m Kg1 1 1 1 Pa sm m/s m m/s m s

⋅ ⋅ ⋅η = = = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

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En general los gases tienen coeficientes de viscosidad muy pequeños si se comparancon los coeficientes de viscosidad de los líquidos. El coeficiente de viscosidad depende de latemperatura disminuyendo cuando esta aumenta.

VISCOSIDAD

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Fluidos. Dinámica de fluidos reales. Ley de Poiseuille. Resistencia hidrodinámica.

Vamos a considerar un fluido con viscosidad ηmoviéndose a lo largo de un tubo cilíndrico deradio R y longitud L. Para que el fluido semueva con velocidad constante a lo largo deesta sección del tubo es necesario que sobre elactúe una fuerza.

de donde

El flujo será igual a:

Esta expresión es la que recibe el nombre deley de Poiseuille y se le conoce con esenombre en honor al físico francés que ladescubrió experimentalmente antes de que seconocieran los fundamentos teóricos.

LEY DE POISEUILLE

R

L

P2P1 v

( ) 21 2 1 2 2t

dvF F F P P r rLdr

= − = − π = − π η

( )2 21 2

4P Pv R r

L−

= −η

( ) ( )1 2 2 3

2P P

dQ vdA R r r drL

π −= = −

η

( ) 4 41 2

8 8TH

P P R R PQ PL L R

π − π ∆= = ∆ =

η η

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Fluidos. Dinámica de fluidos reales. Flujos laminar y turbulento. Número de Reynolds.

FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO

∆Pcrítico

No se cumple la ley de Poiseuille

Q

∆P

Re 2000 Flujo laminalRe

Re 2000 Flujo turbulentov d

2112/12/2016



P1

P1

P2

P1> P2

v1

v2v1

P1

P1

P2

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