Presentación de PowerPointjjgarcia/Material_FisicaI/1_Algebra... · 2017-09-21 · Muchas teorías...

226/09/2016

OBJETIVOS PRINCIPALES:

1.- Conocer y aplicar el método científico.

2.- Conocer y aplicar el concepto de magnitud física.

3.- Conocer el concepto de magnitud vectorial y sus diferentes representaciones.

4.- Conocer y aplicar las operaciones básicas entre magnitudes escalares y vectoriales.

5.- Conocer el concepto de campo en Física.

6.- Conocer y aplicar los operadores más utilizados en la teoría de campos.

La Física y sus métodos. Introducción .

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1.1.- La Física y sus métodos.

1.1.1.- Introducción.

1.1.2.- Magnitudes físicas

1.1.3.- Sistemas de unidades

1.2.- Álgebra Vectorial.

1.2.1.- Magnitudes escalares y vectoriales.

1.2.2.- Suma y resta de vectores. Producto de un escalarpor un vector. Componentes de un vector.

1.2.3.- Producto escalar de dos vectores.

1.2.4.- Producto vectorial de dos vectores.

1.2.5.- Funciones vectoriales. Derivada de un vector.

ESQUEMA DE DESARROLLO


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1.3.- Teoría elemental de campos.

1.3.1.- Campos escalares y vectoriales.

1.3.2.- El operador nabla.

1.3.3.- Flujo y circulación de un campo vectorial.

1.3.4.- Teorema de Gauss.

1.3.5.- Campos que derivan de un potencial.

1.4.- Bibliografía.

ESQUEMA DE DESARROLLO


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Concepto de Física

Origen de la palabra Física Physis (Griego) = Naturaleza

1ª Definición.- Ciencia encargada del estudio de todos los fenómenos naturales. Dehecho, hasta principios del siglo XIX (1800 d.c.) se entendía la Física, denominadaFilosofía Natural, en ese amplio sentido.

2ª Definición.- Desde principios del siglo XIX y hasta fechas muy recientes, la Física selimitó al estudio de los llamados fenómenos físicos, definidos, vagamente, comoaquellos que, en contraposición a los fenómenos químicos, tienen lugar sin que cambiela naturaleza de las sustancias que participan en ellos.

3ª Definición.- Hoy en día, asumiendo la enorme dificultad que entraña, podríamosdefinir la Física como la Ciencia que estudia los procesos más fundamentales de laNaturaleza, es decir, aquellos procesos en los que los conceptos que intervienen sonrigurosamente definibles y medibles, y las leyes que los rigen pueden ser enunciadasde forma exacta.


626/09/2016

Partes de la Física

La división de la Física en diversas partes ha sido consecuencia de la curiosidad delhombre para indagar sobre el significado de los fenómenos naturales y de su capacidad depercibirlos. Al principio, las únicas fuentes de información fueron sus sentidos y, por ello,clasificó los fenómenos observados de acuerdo a la manera en que los percibía.

FÍSICA CLÁSICA

(Finales del siglo XIX)

- Mecánica.

- Acústica.

- Óptica.

- Termodinámica.

- Electromagnetismo (Siglo XIX).

FÍSICA MODERNA

(Principios del siglo XX)

- Física cuántica.

- Mecánica relativista.

- …


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El método científico

Para su desarrollo, la Física se basa actualmente en el método científico, el cual podemossintetizar en tres etapas

MÉTODO CIENTÍFICO

- Observación y experimentación.

- Elaboración de un modelo teórico-matemático.

- Comprobación experimental.

A continuación, a partir de la Lógica Matemática aplicada a un conjunto de postulados noredundantes y no contradictorios, la Física describe la Naturaleza en forma de teoríasaxiomáticas.


Ciencia que estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza, esdecir, aquellos procesos en los que los conceptos que intervienen sonrigurosamente definibles y medibles, y las leyes que los rigen pueden serenunciadas de forma exacta.

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La Física y otros campos del conocimiento

Ciencias.- El carácter fundamental de los procesos objeto de estudio por parte de laFísica, es el que distingue a ésta de otras Ciencias como Biología, Geología o Química,dedicadas también al estudio de los fenómenos naturales con el fin de esclarecer laestructura de la realidad que nos rodea.

Tecnología.- La Ciencia, en particular la Física, y la Tecnología nacen de dos actividadesdiferentes pero igualmente importantes. Una es la búsqueda de conocimientos y sucomprensión. La otra, la aplicación de los conocimientos para satisfacer necesidadeshumanas. En consecuencia, la creatividad constituye el rasgo diferencial de la Tecnología,al igual que la curiosidad es el rasgo diferencial de la Ciencia. En este sentido, la Físicaaparece en la base de la Tecnología, aportando una estructura teórica y una serie detécnicas.

Otras ramas del conocimiento.- Muchas teorías de la física se están intentando aplicar enlas últimas décadas en la explicación de fenómenos observados en otras ramas delconocimiento. Así, por ejemplo, se ha intentado explicar fenómenos sociológicos ypsicológicos basándose en conceptos de la Física Cuántica.


Ciencia que estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza, esdecir, aquellos procesos en los que los conceptos que intervienen sonrigurosamente definibles y medibles, y las leyes que los rigen pueden serenunciadas de forma exacta.

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Magnitud Física

Magnitud física:

Propiedad de un sistema

Medida

Cualquier propiedad de un sistema que puede ser medida.

Todo aquello que es característico del sistema.

Comparación que puede expresarse de forma unívoca mediante un número.

• Ejemplos de magnitudes Físicas.

Longitud

1.5

2

Frecuencia de las ondaselectromagnéticas

0 1 2 3 4 50

Ampl

itud

1015·t (s)

T2=2·T1

f2=f1/2

T1=1.25·10-15s , f1=8·1014 Hz, λ1=375 nmT2=2.5·10-15 s , f2=4·1014 Hz, λ2=750 nm

La Física y sus métodos. Magnitudes Físicas . Ciencia que estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza, es decir, aquellos procesos en los que los conceptos queintervienen son rigurosamente definibles y medibles, y las leyes que los rigen pueden ser enunciadas de forma exacta.

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Patrones de medida

Medida = comparación Es necesario elegir un patrón de medida para cadamagnitud física.

Los patrones de las diferentes magnitudes físicas se intentan definir de forma rigurosa ytratando que sean reproducibles de forma simple en cualquier lugar, lo cual no siempre essencillo. Esto ha hecho que las definiciones de los patrones de algunas magnitudescambien a lo largo de la historia:

Patrón (Magnitud) Definiciones

Metro (Longitud) Año 1889.- Longitud entre muescas de la barra de platino iridiado guardada en Sèvres,medida a 0 ºC.Actualmente.- Longitud de la trayectoria de un rayo de luz en el vacío en un intervalode tiempo de 1/299792458 de segundo

Segundo (Tiempo) Antes.- 1/31556926 del año medio solar.Actualmente.- Es el tiempo que transcurre entre 9192631770 periodos de la radiacióncorrespondiente a la transición entre dos niveles energéticos hiperfinos del estadofundamental del átomo de cesio.

Kilogramo (masa) Actualmente.- Es la masa del prototipo que se custodia en la oficina internacional depesos y medidas de Sévres cerca de París.En un futuro.- La gran precisión en contar unidades atomicas y moleculares pordifracción de rayos X en sólidos monocristalinos puede aconsejar redefinir la unidadde masa a partir del mol y de la masa de un átomo concreto, desapareciendo así elúltimo vestigio de los patrones artificiales.

La Física y sus métodos. Magnitudes Físicas .

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Patrones de medida

No obstante hay muchas magnitudes para las que, aún en la actualidad, se utilizandiferentes patrones. Los motivos de este fenómeno son principalmente dos:

1.- Motivos históricos: Un hecho muy extendido es la existencia de diferentes patrones demedida para una misma magnitud física debido al descubrimiento simultáneo de dichamagnitud en diferentes lugares del mundo aislados unos de otros. Este fenómeno es muynotable en las magnitudes físicas que fueron descubiertas en primer lugar como lalongitud o el peso y es menos importante en magnitudes físicas definidas en tiempos máscercanos.

2.- Utilización en diferentes campos: En otros casos, la utilización de diferentes patronespara medir una misma magnitud física está justificada por el enorme rango de valores quepuede tomar dicha magnitud que aconseja tomar diferentes patrones dependiendo delsistema que queremos estudiar. Así, por ejemplo, en el caso de la longitud, podemos estarinteresados en medir desde los diámetros de los núcleos atómicos (del orden de 10-15 m)hasta distancias entre galaxias en el universo (del orden de 1015 m). Lógicamente trabajarcon números tan pequeños o tan grandes no es operativo y es mejor definir diferentespatrones de medida.


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Nombre Símbolo Valor

Yotta Y 1024

Zetta Z 1021

Exa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

Mili m 10-3

Micro µ 10-6

Nano n 10-9

Pico p 10-12

Fempto f 10-15

Atto a 10-18

Zepto y 10-21

Yocto z 10-24

Prefijos para los múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema internacional


1326/09/2016

Magnitudes dependientes e independientes.

En relación con las magnitudes físicas, es muy importante señalar que algunas de ellasson independientes pero otras pueden ser obtenidas, teniendo en cuenta las leyes de laFísica, como una combinación de varias magnitudes independientes. Así, por ejemplo, siconsideramos las magnitudes longitud, tiempo, y velocidad, tenemos que esta última sepuede escribir como el cociente entre la longitud y el tiempo, siendo en este caso lalongitud y el tiempo las magnitudes independientes y la velocidad la magnituddependiente. Sin embargo, también podríamos elegir como magnitudes independientes lavelocidad y el tiempo, y considerar la longitud, producto de la velocidad por el tiempo,como una magnitud dependiente.


Magnitudes independientes: Espacio y tiempo.Magnitud dependiente: Velocidad.

Magnitudes independientes: Velocidad y tiempo.Magnitud dependiente: Espacio.

Magnitudes independientes: Espaci

sv

t

s v t

st

v

o y velocidad.

Magnitud dependiente: Tiempo.

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Como hemos visto en el apartado anterior, para cada magnitud física se pueden elegirinfinitos patrones de medida posible. Por otro lado, también vimos que algunasmagnitudes físicas son independientes y el resto son dependientes (en el sentido de quepueden escribirse como una combinación de las independientes). En definitiva paradefinir todas las magnitudes físicas conocidas necesitamos elegir un patrón de medidapara cada una de ellas y decidir cuáles de las magnitudes vamos a considerarindependientes y cuales dependientes. Estas dos elecciones nos llevarían a definir lo quese conoce con el nombre de un sistema de unidades.

En función de los patrones elegidos y de las magnitudes físicas definidas comoindependientes aparecen diferentes sistemas de unidades. De todos ellos el más utilizadoa nivel internacional es el conocido como Sistema Internacional de Unidades (SI). Todoslos países del mundo, excepto tres (Birmania, Liberia, y Estados Unidos), han adoptadoen su legislación el Sistema Internacional de Unidades como prioritario o único.

La Física y sus métodos. Patrones de medida .

Sistemas de unidades

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SistemaMagnitudes

Fundamentales Unidades

Sistema Internacional (SI)

LongitudMasaTiempoCorriente eléctricaTemperaturaIntensidad LuminosaCantidad de Sustancia

Metro (m)Kilogramo (kg)Segundo (s)Amperio (A)Kelvin (K)Candela (cd)Mol (mol)

UEE (CGS)

LongitudMasaTiempoPermitividad (ε)

Centímetro (cm)Gramo (gr)Segundo (s)ε0=1/(4π)

TécnicoLongitudFuerzaTiempo

Metro (m)Kilopondio (Kp)Segundo (s)

Absoluto Inglés

LongitudMasaTiempoIntensidad

PieLibra-MasaSegundo (s)Amperio (A)

Sistemas de unidades más utilizados

La Física y sus métodos. Patrones de medida .

Sistemas de unidades

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Álgebra vectorial. Magnitudes escalares y vectoriales.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, lalongitud, el tiempo, etc, que quedan completamente definidas por un número y lasunidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como la velocidad, de la que todoel mundo tiene una idea intuitiva, que llevan asociadas además una dirección y sentido.Esto hace que sea necesario distinguir entre dos tipos de magnitudes:

a).- Magnitudes escalares: Aquellas que quedan perfectamente definidas mediante unnúmero real junto con la unidad elegida para medir. Como por ejemplo: la energía, latemperatura, la presión, etc.

b).- Magnitudes vectoriales: Aquellas que quedan perfectamente definidas mediante unnúmero real junto con la unidad elegida para medir, y la dirección y el sentido en queactúa dicha magnitud. Son magnitudes vectoriales: la fuerza, el campo eléctrico, lavelocidad, la aceleración, etc.

Magnitudes escalares y vectoriales

1726/09/2016


La representación gráfica de magnitudes vectoriales se realiza mediante vectores osegmentos orientados que están caracterizados por módulo dirección y sentido.Analíticamente, su representación se puede realizar mediante una letra con una flechaencima, , que será la representación que utilizaremos durante el presente curso, omediante una letra en negrita, a.

Representación de magnitudes vectoriales

a

a).- El módulo de un vector es la longitud delsegmento, y se representa analíticamentemediante dos líneas verticales entre las cualesse pone el vector, o bien, la letra querepresenta el vector sin flecha.

b).- La dirección viene dada por la rectasoporte a la que pertenece el segmento.

Módulo de a a a= =

O

a a=

a

c).- El sentido se obtiene fijando uno de los extremos del segmento que se toma comoorigen (O) y el otro extremo se indica mediante una flecha (A), tal y como se muestra enla figura.

1826/09/2016


Con todo lo dicho hasta ahora es obvio que dos vectores serán iguales o equivalentes si tienen igualmódulo, dirección, y sentido. No obstante, dependiendo de la magnitud Física se pueden definir trestipos de igualdad o equipolencia entre vectores que son las siguientes:

1.- Vectores libres. Las condiciones de equipolencia consideran que dos direcciones son equivalentescon tal de que sean paralelas. Por consiguiente, diremos que dos vectores libres son iguales si tienenel mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices)sean diferentes. Ejemplos de vectores libres son la velocidad y la aceleración de una partícula, elmomento de un par de fuerzas, etc.

2.- Vectores deslizantes. Las condiciones de equipolencia imponen que los vectores tengan el mismomódulo y que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción (recta directriz), siendoindiferente el punto de la recta en que estén aplicados. Reciben esta denominación porque losvectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectos asociados a lamagnitud física que representan. Ejemplos de magnitudes representadas por vectores deslizantes son:las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido, la velocidad angular del sólido rígido, etc.

3.- Vectores ligados. Las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas ya que imponen quelos vectores tengan el mismo módulo, que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta deacción (recta directriz) y estén aplicados en un mismo punto. Obviamente, los vectores no puedendesplazarse paralelamente ni deslizar, por lo que están ligados a un punto. Ejemplos: intensidad delcampo gravitatorio, intensidad del campo eléctrico, etc.

Clasificación de magnitudes vectoriales

1926/09/2016

Álgebra vectorial. Suma y resta de vectores. Producto de un escalar por un vector. Componentes de un vector.

Definición gráfica de la suma y resta de vectores y del producto de un escalar por unvector

a).- Suma:

Sean dos vectores y , por definición, su suma se realiza gráficamente deslizando elorigen de uno de los vectores hasta el final del otro vector, a continuación se unemediante un segmento orientado el origen del vector que queda libre con el final del otrovector. El segmento orientado que resulta de esta operación es el vector suma de los dosprimeros vectores.

a b

a

b

a+b

2026/09/2016


Si se tienen más de dos vectores se vanencadenando uno con otro y el vector suma seobtiene uniendo el origen del vector que hemosconsiderado inicialmente con el final del últimovector que hemos considerado.

a

b

c

a+b

a+b+c


2126/09/2016


De esta definición se pueden deducir las siguientes propiedades para la suma de vectores:

(a).- Propiedad conmutativa.

(b).- Propiedad asociativa.

a b b a+ = +

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

Ejercicio: Demostrar estas dos propiedades.


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b).- Producto de un escalar por un vector:

La multiplicación de un escalar, a, por un vector, , da como resultado otro vector, ,definido como sigue:

1.- El módulo de dicho vector es igual al producto del valor absoluto del escalar por elmódulo del vector de partida, es decir,

2.- Las direcciones de ambos vectores son idénticas.

3.- Finalmente, los sentidos de ambos vectores serán iguales si el escalar a es positivo, ytendrán sentidos opuestos si el escalar a es negativo.

b

c

c c a b a b

O b

2c b= −

Ob 4c b=


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Con esta definición, el producto de un escalar por un vector cumple las siguientepropiedades:

(1).- Propiedad asociativa:

Si se tienen dos escalares a y b y un vector se cumple:

(2).- Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores:

Si se tiene un escalar a y dos vectores y se cumple

(3).- Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares:

Si se tienen dos escalares a y b y un vector se cumple:

( ) ( ) ( )ab c a bc b ac= =

c

cb

( )a b c ab ac+ = +

c

( )a b c ac bc+ = +

Ejercicio: Demostrar estas tres propiedades.


2426/09/2016


c).- Resta de dos vectores:

Para realizar la resta de dos vectores utilizaremos el hecho de que podemos escribirla comola suma del primer vector más el opuesto del segundo vector, es decir:

Según esto primero tenemos que hallar el opuesto del vector y a continuación sumarle .

( ) ( )1a b a b a b− = + − = + − ⋅

b

a

ab

b−

b−

c a b= −


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Componentes de un vectorA continuación vamos a explicar como se realizan analíticamente las operaciones quehemos definido desde un punto de vista gráfico. Para ello es necesario introducir elconcepto de componente de un vector y de sistema cartesiano de referencia.

Sistema cartesiano de referencia: Es un sistema de referencia formado por tres ejes, OX, OY, OZ perpendiculares dos a dos.

OX

OY

OZ

ux

uy

uz

Sobre cada uno de los ejes del sistema dereferencia se sitúa un vector unitario querepresentaremos, respectivamente por ux, uy, uz(dependiendo de la bibliografía esta notaciónpuede cambiar).

26/09/2016 26


Componentes de un vectorCualquier vector referido a este sistema se puede expresar en función de los citadosvectores unitarios y de unos números (en virtud de la definición de las operaciones suma yproducto de un escalar por un vector) que llamaremos componentes o coordenadas delvector.

OX

OY

OZ

ux

uy

uz

ayuy

axux

azuz

a

ˆ ˆ ˆ

( , , )x x y y z z

x y z

a a u a u a ua a a

Es interesante observar quepara definir de formageneral un vector siemprees necesario tener en cuentatres parámetros, o sumódulo, dirección, ysentido, o bien sus trescomponentes.

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Componentes de un vectorEn el caso de vectores situados en un plano, un vector queda completamente definido si seconoce su módulo y el ángulo que forma el vector con un eje que tomamos comoreferencia. Si elegimos un sistema cartesiano de referencia de forma que dos ejes esténcontenidos en dicho plano, sólo necesitaremos dos componentes para dejar completamentedefinido el vector. En este caso se dice que estamos ante un problema bidimensional.

ay·

ax·

OY

a

θOXux

uy ux

uy

a=(ax,ay)

La relación existente entre lascomponentes del vector y su módulo ydirección se pueden expresar medianterelaciones trigonométricas simples.

( )cosxa a= θ

( )sinya a= θ

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Ejercicio.- Calcule las componentes de los vectores de la figura en el sistema dereferencia considerado.

45º

90º

30º

a =2

b =1

c =1.5

d =2

60º

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Componentes de un vectorDe forma análoga si consideramos, un sistema tridimensional y definimos los ángulos queforma un vector cualquiera con el eje Z, y la proyección de dicho vector en el plano XY conel eje X, podemos calcular las componentes del vector en dicho sistema de referenciacomo:

OX

OY

OZ

θ

ϕ a

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos cos, , , cos sin cos

sin sin sinsin

z z

x y z xy x y x xy

y xyxy xy

a a a aa a a a a a a a a a

a a aa a a

= ϕ = ϕ= ⇒ = ⇒ = θ = ϕ θ

= θ = ϕ θ= = ϕ

2 2 2x y za a a a a= = + +

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Suma de vectores

Sean dos vectores y cuyas componentes son respectivamente (ax, ay, az) y (bx, by, bz) lasuma de estos dos vectores da como resultado otro vector que tienen como componentes lasuma de las componentes de ambos vectores dos a dos.

a b

( ) ( ) ( )( , , ) , , , , , ,x y z x y z x y z x x y y z z

x x x

y y y

z z z

c c c c a b a a a b b b a b a b a b

c a bc a bc a b

= = + = + = + + +

= +⇒ = +

= +

Ejercicio.- Demostrar que la definición gráfica de suma vectorial es equivalente a ladefinición de suma vectorial en función de las componentes.


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Producto de un escalar por un vectorEl producto de un escalar por un vector da como resultado un vector cuyas componentesson las del vector original por el escalar.

( ) ( )( , , ) , , , ,x y z x y z x y z

x x

y y

z z

c c c c ab a b b b ab ab ab

c abc abc ab

= = = =

=⇒ =

=

Ejercicio.- Demostrar que la definición gráfica de producto de un escalar por un vector esequivalente a la definición dada en función de las componentes.


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Resta de vectoresA partir de las equivalencias demostradas para la suma de vectores y el producto de unescalar por un vector es fácil demostrar que la resta de vectores en función de lascomponentes de un vector es equivalente a la definición gráfica si:

( ) ( ) ( ), , , , , ,x y z x y z x x y y z za b a a a b b b a b a b a b− = − = − − −

Ejercicio.- Utilizando los vectores

realice las siguientes operaciones:

) ) )

) ) )

) 2 ) 2 ) 2 3

) 4 ) 4

a e a b e f a c i g a d

b h b c f i b d j j c d

c k b c g l b d k m c d

d n b c h o b

= + = + = +

= + = + = +

= − = − = +

= + = − −

2 ) 6d l p c d a= − +


( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 2,1,0 1,0,0 0,1,1a b c d= = = =

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Álgebra vectorial. Producto escalar de dos vectores.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores es un escalar resultado de multiplicar el módulo de losvectores dados por el coseno del ángulo que forman ambos

( )cosa b ab⋅ = θ

Propiedades

b).- Conmutativa:a b b a⋅ = ⋅

c).- Distributiva respecto a la suma de vectores:

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

a).- Esta definición es equivalente a:

( ) ( ), , , ,x y z x y z x x y y z za a a b b b a b a b a b⋅ = + +

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d).- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar:

( ) ( )a b a bλ ⋅ = ⋅ λ

e).- El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si son perpendiculares, esdecir, si forman 90º:

0 0

0

a b a ba b a b

a b a b

⋅ = ⇒ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇔ ⊥⊥ ⇒ ⋅ =

Ejercicio.- Calcular los siguientes productos escalares

) ) )

) ) )

a a b c a c e a d

b b c d b d f c d

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

donde los vectores son los mismos del ejemplo 1.

Ejercicio.- Dados los vectores:

calcular el ángulo que forman todos los vectores entre sí.

( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 b 2,1,0 c 1,0,0 d 0,1,1a = = = =

Álgebra vectorial. Producto escalar de dos vectores.

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Álgebra vectorial. Producto vectorial de dos vectores.

Producto vectorial de dos vectores

Dados dos vectores de componentes (ax,ay,az) y (bx,by,bz) respectivamente el productovectorial de ambos vectores es otro vector que viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆx y z

x y z y z z y x x z z x y x y y x z

x y z

u u ua b a a a a b a b u a b a b u a b a b u

b b b× = = − − − + −

a).- No es conmutativo:a b b a× ≠ ×

b).- Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:

( ) ( ) ( )a b a b a bλ × = λ × = × λ

Propiedades

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c).- No es asociativa para el producto vectorial sucesivo:

( ) ( )a b c a b c× × ≠ × ×

d).- Distributivo respecto a la suma vectorial:

( )a b c a b a c× + = × + ×

e).- El producto vectorial de dos vectores es cero si son paralelos:

Como en el resto de operaciones también podemos definir el producto vectorial siconsideramos la representación vectorial mediante el módulo, la dirección, y el sentido.Así, dados dos vectores y el producto vectorial de ambos será otro vector con las siguientespropiedades:

a).- El módulo de dicho vector será igual a:

b).- Su dirección es perpendicular al plano que determinan los dos vectores.

c).- Su sentido corresponde al del avance de un tornillo cuando gira del primervector hacia el segundo siguiendo el camino más corto.

( ) ( )sin sina b a b a b ab a b× = ∧ = ∧


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Ejercicio.- Dados los vectores del ejemplo 1, calcular lo siguientes productos vectorialesmediante los dos métodos expuestos en este apartado comprobando que dan el mismoresultado.

( )) ) ) 4

) ) )

) 2 ) 2 ) 2 3

a a b e a c i b c c

b b c f b d j c d

c b c g c b k c d

× × + ×

× × ×

× × ×

Para finalizar, es interesante comentar que además de la representaciones módulo-dirección-sentido y componentes cartesianas que hemos visto para los vectores existenotros métodos analíticos para su representación. Sin embargo, sea cual sea la representaciónelegida, siempre es necesaria la utilización de tres parámetros para la representación de unvector en el caso general. La elección de diferentes conjuntos de parámetros pararepresentar las magnitudes vectoriales implica la elección de sistemas de referenciadiferentes del cartesiano estudiado en este tema, constituyendo todo ello una disciplinageométrica conocida con el nombre de coordenadas generalizadas. Entre las coordenadasmás utilizadas tenemos las coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, coordenadasesferoidales, etc.

Trabajo de ampliación: Diferentes sistemas de coordenadas: coordenadas generalizadas.


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Álgebra vectorial. Funciones vectoriales. Derivada de un vector.

Cuando una magnitud vectorial o un vector depende de n variables escalares diremos quetenemos una función vectorial. Esta dependencia puede afectar a una o a todas lascomponentes del vector. De una manera general podemos escribir:

Por lo tanto, una función vectorial es básicamente un vector que de forma general varía sumódulo, dirección y sentido cuando lo hace cualquiera de los escalares de los que depende.

Funciones vectoriales

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,n x n x y n y z n za a u a u a uλ λ λ = λ λ λ + λ λ λ + λ λ λ

Ejercicio.- Sea una función vectorial dada por:

Calcule el valor de la función vectorial en los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), y(1,1,1).

( )2, ,a x y z x y x y z= + + ⋅ ⋅ ⋅

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Álgebra vectorial. Funciones vectoriales. Derivada de un vector.

Sea una función vectorial que depende de n escalares, . Se define comoderivada parcial de la función vectorial respecto a uno de los escalares de los que depende ala función:

Derivada de una Función vectorial

( )1 2, ,..., na λ λ λ

Ejercicio.- Dada la función vectorial del anterior ejercicio calcule el valor de susderivadas parciales respecto a x, y, y z en los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), y(1,1,1).

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2, ,...,, ,..., , ,..., , ,...,ˆ ˆ ˆy nn x n z n

x y zi i i i

aa a au u u

∂ λ λ λ∂ λ λ λ ∂ λ λ λ ∂ λ λ λ= + +

∂λ ∂λ ∂λ ∂λ

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Campos escalares y vectoriales.

Campo: En física se dice que en una determinada región del espacio hay establecido uncampo cuando en cada uno de sus puntos toma un valor una determinada propiedad física.

Ejemplos: Campo de temperaturas, campo de velocidades en un fluido, etc.

Campos escalares y vectoriales

Campos escalares: Son campos en los que la magnitud física definida en cada uno de lospuntos del espacio es una magnitud escalar. Normalmente, al menos en física clásica, loscampos escalares pueden representarse mediante una función real de variable realdependiente de las coordenadas espaciales y del tiempo, de forma que al sustituir en dichafunción las coordenadas de un punto espacial y un determinado tiempo la función nosdevuelva el valor de la magnitud Física en dicho punto e instante de tiempo.

Campos vectoriales: Son campos en los que la magnitud física definida en cada uno de lospuntos del espacio es una magnitud vectorial. Los campo vectoriales se representanmediante una función vectorial, de forma que al sustituir en dicha función las coordenadasde un punto espacial y un determinado tiempo la función nos devuelva el valor de lamagnitud vectorial en dicho punto e instante de tiempo.

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. El operador Nabla.

En Geometría Diferencial en general, y en Física en particular, se utiliza mucho unoperador (función vectorial) que se nota mediante el símbolo ∇ y cuya definición es:

El operador Nabla.

A este operador se le conoce con el nombre de Nabla y como veremos a lo largo del cursose utiliza de forma habitual para expresar las leyes Físicas. El operador Nabla puede actuarsobre funciones vectoriales o sobre funciones escalares. En el caso de funciones vectorialestenemos dos posibles formas de actuación en función de las operaciones entre vectores quehemos definido (producto escalar y producto vectorial).

ˆ ˆ ˆx y zu u ux y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

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Gradiente de un escalar: A la actuación del operador nabla sobre una función o campoescalar se le denomina gradiente de la función escalar.

El operador Nabla.

Ejercicio: Dada la función escalar

calcular su gradiente en los instantes de tiempo t=0s, t=1s, y t=3s, en los puntos (0,0),(1,0), (0,1), y (1,1).

Se puede demostrar que el valor del gradiente de una función escalar en un punto indica ladirección de máxima variación de la función escalar en dicho punto.

Ejercicio: Para los datos del ejercicio anterior, calcular la dirección de máxima variaciónde la función escalar.

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,ˆ ˆ ˆ, , , ( , , , ) x y z

f x y z t f x y z t f x y z tf x y z t a x y z t u u u

x y z∂ ∂ ∂

∇ = = + +∂ ∂ ∂

( ) 2 2, , 4 2 3f x y t x t xy t= + +

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Divergencia de una función vectorial: Al producto escalar del vector nabla con una funciónvectorial se le denomina divergencia de la función vectorial.

El operador Nabla.

( ) ( ) ( ) ( ), , ,, , , , , ,, , , yx za x y z ta x y z t a x y z t

a x y z tx y z

∂∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂


Calcule el valor de la divergencia en t=0s, t=1 s, y t=3s, en los puntos (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0), (0,0,1), y (1,1,1).

( )2, ,a x yt z x y x y z= + + ⋅ ⋅ ⋅

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Rotacional de una función vectorial: Al producto vectorial del vector nabla con una funciónvectorial se le denomina rotacional de la función vectorial.

El operador Nabla.

( ) ( ) ( )( )

( , , , )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , , ,

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

x y z x x y y z z

x y z

y yx xz zx y z

x y z

a x y z t

u u u a x y z t u a x y z t u a x y z t ux y z

u u ua aa aa au u u

x y z y z x z x ya a a

∇× =

∂ ∂ ∂ = + + × + + = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ = = − − − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


Calcule el valor del rotacional en t=0s, t=1 s, y t=3s, en los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1), y (1,1,1).

( )2, ,a x yt z x y x y z= + + ⋅ ⋅ ⋅

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El operador Nabla.

Ejercicio.- Demostrar que el rotacional del gradiente de una función o campo escalar esnulo.

[ ]( , , , ) 0a x y z t∇× ∇ =

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Flujo y circulación de un campo vectorial.

Además de la actuación del operador nabla sobre los campos (escalares ovectoriales), en el caso de campos vectoriales, se definen otras operaciones matemáticasmuy útiles a la hora del estudio de la Física. Estas operaciones son la circulación de uncampo vectorial a lo largo de una línea, y el flujo de un campo vectorial a través de unasuperficie.

Circulación.

Se define la circulación de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria comola integral del producto escalar del campo vectorial con el vector que define la trayectoria,es decir,

Circulación de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria.

Circulación= ( , , )C

BA x y z dl⋅∫

( , , )A x y z

dl

B

C

Como veremos en este curso, el trabajo, y porextensión la energía, se definen como la circulaciónde un campo de fuerzas.

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Flujo y circulación de un campo vectorial.

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

Se define el flujo de un campo vectorial a través de una superficie como laintegral sobre toda la superficie del producto escalar del campo vectorial por la superficie.,es decir,

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

= ( , , , )a SE x y z t dAΦ ⋅∫

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Teorema de Gauss.

Teorema de Gauss o de la divergencia.- Si en una determinada región de espacio tenemosdefinido un campo vectorial, para cualquier superficie cerrada en dicho espacio se cumpleque el flujo del campo vectorial a través de la superficie cerrada es igual a la integral de ladivergencia de dicho campo vectorial sobre el volumen que encierra la superficie.

( , , , ) ( , , , )S V

E x y z t dA E x y z t dV⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

( , , , )E x y z t V

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Campos que derivan de un potencial.

En Física existen numerosas situaciones en las cuales un campo vectorial puedeescribirse como gradiente de un campo escalar, es decir

Un ejemplo que veremos en este curso es el caso del campo (vectorial)gravitatorio que puede escribirse como gradiente del (campo) potencial gravitatorio. Laventaja en estos casos consiste que toda la Física del sistema puede explicarse en funciónde magnitudes escalares en lugar de magnitudes vectoriales. En este caso se dice, por abusode lenguaje, que es un campo que deriva de un potencial.

Existen numerosas propiedades, características de los campos (vectoriales) quederivan de un (campo escalar) potencial. Dichas propiedades tienen, por un lado,implicaciones directas sobre la Física del sistema y, por otro, nos van a permitir distinguircuando un campo deriva de un potencial.

Campos que derivan de un potencial.

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )ˆ ˆ ˆ( , , , ) ( , , , ) x y zx y z t x y z t x y z tE x y z t x y z t u u u

x y z∂φ ∂φ ∂φ

= ∇φ = + +∂ ∂ ∂

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Álgebra vectorial. Teoría elemental de campos. Campos que derivan de un potencial.

- Propiedades:

(1).- Como vimos en el apartado del operador nabla, el rotacional de un campoque deriva de un potencial es cero, por eso, también se dice que los campos que derivan deun potencial son campos irrotacionales.

(2).- La circulación de un campo que deriva de un potencial a lo largo de unalínea cerrada es cero.

Campos que derivan de un potencial.

[ ]( , , , ) ( , , , ) 0E x y z t x y z t∇× = ∇× ∇φ =

( , , , ) 0lE x y z t dl⋅ =∫

E

l

Como hemos comentado, la energía se definea partir de una circulación. Uniendo esto conesta propiedad llegaríamos a que para uncampo que deriva de un potencial la variaciónde energía que experimenta a la largo de unalínea cerrada sería cero, o lo que es lo mismo,la energía se conservaría. Por eso a estos campos se les llama también camposconservativos.

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Magnitudes físicas

Álgebra vectorial

- Definición de vector (módulo, dirección, y sentido).

- Definición de suma de vectores, producto de un escalar por un vector, y resta de vectores.

- Definición de sistema cartesiano de referencia.

- Representación de un vector en un sistema cartesiano de referencia ⇒ Componentes de unvector.

- Suma de vectores, producto de un escalar por un vector, y resta de vectores representados por suscomponentes.

- Definición de producto escalar de dos vectores.

- Definición del producto vectorial de dos vectores.

- Definición de funciones vectoriales.

- Definición de campo vectorial y campo escalar.

- Definición de operador nabla y su actuación sobre campos escalares y campos vectoriales.

- Definición del flujo y la circulación de un campo vectorial.

- Teorema de Gauss.

- Definición de campo conservativo.

Teoría elemental de campos

- Definición de magnitud física.

- Definición de unidad patrón de medida.

- Definición de magnitudes independientes y dependientes.

- Definición de sistemas de unidades.

RESUMEN DE LOS CONTENIDOS VISTOS EN EL TEMA

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BIBLIOGRAFIA

Autores: Joaquín Summers Gámez y Mª Begoña de Luis Fernández.

Título: “Física General”, Tomo I.

Editorial: Universidad Nacional de Educación a Distancia

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