INSTITUTO TECNOLGICO DE LA CHONTALPA

Carrera:Ing. PetroleraAsignatura:DinmicaNombre del docente:lvaro Lzaro HernndezNombre del estudiante:Remigio Hernndez JimnezUnidad:4 y 5Grupo:AContenidoUnidad 4Cintica de sistema de partculas. 4.1. Impulso y cantidad de movimiento para una partcula 4.1.1 principio del impulso y la cantidad de movimiento. 4.1.2. Impacto 4.1.3. Cantidad de movimiento lineal y angular para un sistema de partculas.

Unidad 5Cintica de los cuerpos rgidos. 5.1. Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rgido. 5.2. Momento angular de un cuerpo rgido en el plano. 5.3. Movimiento de un cuerpo rgido. 5.3.1 principio de D alembert 5.3.2 traslacin, rotacin centroidal y movimiento general. 5.4 trabajo y energa. 5.4.1 trabajo de una fuerza. 5.4.2 energa cintica 5.4.3 principio de la conservacin de la energa. 5.4.4 potencia. 5.4.5 principio del impulso y de la cantidad de movimiento.

CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS

4.1 IMPULSO Y CALIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTCULA Y UN SISTEMA DE PARTCULA.Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energa a la bola mediante un choque y a su vez, la bola tambin transmite energa potencial al chocar con otras bolas.Una gran parte de nuestra informacin acerca de las partculas atmicas y nucleares, se obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en funcin de choques de las partculas, y encontraremos que de los principios de la conservacin de la cantidad de movimiento y de la conservacin de la energa, podemos deducir mucha informacin acerca de los fenmenos de choques.ImpulsoEl impulso es el producto entre unafuerzay el tiempo durante el cual est aplicada. Es una magnitud vectorial. Elmdulodel impulso se representa como el rea bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por t, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

Cantidad de MovimientoLa cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma direccin y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendr mayor cantidad de movimiento.

m = Masav = Velocidad (en forma vectorial)p = Vector cantidad de movimiento

Relacin entre Impulso y Cantidad de MovimientoEl impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variacin de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso tambinpuede calcularse como:

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variacin en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:

Ejemplo 1:Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de 25 kgf durante 0,5 s, qu velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el segundo?.DesarrolloDatos:m1= 80 kgm2= 50 kgF = 25 kgf = 25 kgf.9,8.665 N/1 kgf = 245,17 Nt = 0,5 sSegn la definicin de impulso:I = F.tI = 245,17 N.0,5 sI = 122,58 kg.m/sEl impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso tambin es igual a la cantidad de movimiento.I = m1.v1I/m1= v1v1= (122,58 kg.m/s)/80 kgv1= 1,53 m/sI = m2.v2I/m2= v2v2= (122,58 kg.m/s)/50 kg

Ejemplo 2:Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15 N que acta durante 0,8 s, con qu velocidad sale la piedra y cul es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?.DesarrolloDatos:P1= 80 Nm2= 90 kgF = 15 Nt = 0,8 sSe adopta g = 10 m/sSegn la definicin de impulso:I = F.tI = 15 N.0,8 sI = 12 kg.m/sP1= m1.gm1= P1/gm1= 80 N/10 m/sm1= 8 kgEl impulso en el momento del lanzamiento es el mismo para ambos cuerpos y el impulso tambin es igual a la cantidad de movimiento.I = m1.v1I/m1= v1v1= (12 kg.m/s)/8 kgv1= 1,5 m/sI = m2.v2I/m2= v2v2= (12 kg.m/s)/90 kgv2= 0,133 m/s

v2= 2,45 m/s

4.1.1 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CALIDAD DE MOVIMIENTO.Principio de conservacin de la cantidad de movimiento (caso de una partcula aislada) La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula Si la fuerza neta que acta sobre un objeto es igual a cero, la derivada de la cantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es cero La cantidad de movimiento del objeto debe ser constante (primera ley de Newton) Este es el caso de una partcula aislada (que no interacciona con el entorno).Supongamos que sobre una partcula acta una fuerza neta y que esta fuerza puede variar con el tiempo.

Podemos integrar esta ecuacin para hallar la variacin de la cantidad deMovimiento de la partcula durante el intervalo de tiempo

La integral de una fuerza a lo largo del intervalo de tiempo durante el que actaSe denomina impulso de la fuerza El impulso de una fuerza es un vector definido por

Ejemplo 1:Una pelota de bisbol de 0,15 kg de masa se est moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su direccin adquiriendo una velocidad de 60 m/s, qu fuerza promedio ejerci el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.DesarrolloDatos:m = 0,15 kgvi= 40 m/svf= - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)t = 5 ms = 0,005 sp = Ipf- pi= Im.vf- m.vi= F.tF = m.(vf- vi)/tF = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 sF = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 sF = - 3000 N

Ejemplo 2Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, qu velocidad adquiri la bola luego del impacto?.DesarrolloDatos:m = 0,2 kgF = 50 Nt = 0,01 svi= 0 m/sp = Ipf- pi= Im.vf- m.vi= F.tm.(vf- vi) = F.tvf- vi= F.t/mvf= F.t/mvf= 50 N.0,01 s/0,2 kgvf= 2,5 m/s

4.1.2 IMPACTO.En caso en que ambas masas son iguales, los tres vrtices del tringulo caen sobre la circunferencia, de la cual P es entonces el dimetro. Si una de las masas est originalmente en reposo, como ocurre en el billar, todo P es idntico al momento inicial p1i de la otra masa (la bola taqueada o jugadora), y el diagrama muestra directamente la direccin en que salen ambas bolas despus del choque en relacin a la direccin inicial de la bola jugadora. Una conclusin inmediata del mismo es que ambas bolas salen a 90 despus del choque, teniendo por casos lmite el que una u otra bola quede detenida, llevndose la restante todo el momento. OJO. Para evitar futuros reclamos: En el pool la masa de la jugadora suele ser distinta a la de las bolas de color. En la carambola las masas son iguales y la prediccin del diagrama es correcto hasta tanto no se manifiesten las fuerzas que surgen del roce entre el pao y la componente horizontal del spin de la bola.

Ejemplo 1:

Un sistema que est formado por tres partculas de masasm1= m,m2= 2mym3= 3mse ve sometido a la accin de una nica fuerza externa conservativaF. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de un sistema de referencia inercial) en funcin del tiempo viene dada porp= 3 t3i- 6 tj, en kgms-1.Dato:m= 0.5 kg.

4.1.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR PARA UN SISTEMA DE PARTCULA. Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con velocidad como el producto de su masa por su velocidad.

Desglosando en trminos de sus componentes.

El momento lineal es una magnitud vectorial (misma direccin y sentido que la velocidad)Dimensiones: [p] = MLT-1Unidades en el SI: kg m/s

MOVIMIENTO LINEAL DE UNSISTEMA DE PARTICULASEl momento lineal de una partcula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidadP = mvSe define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo La segunda ley de Newton es un caso particular de la definicin de fuerza, cuando la masa de la partcula es constante. Despejando dp en la definicin de fuerza e integrando la izquierda, tenemos la variacin de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a t.En mecnica consideramos un sistema de partculas como un conjunto deNpuntos materiales que se mueven por separado, si bien interactan entre s y estn sometidos a fuerzas externas. Cada una de las partculas del sistema posee una masa propia, m,siendounndice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partculas. La partcula i estCaracterizada porunaposicinyunavelocidad.Estaposicinyestavelocidadevolucionandeacurdocon las leyes de la dinmicasiendolaresultantedelasfuerzasqueactansobrelapartcula i. Esta resultante se compone delas fuerzas que cada una de las dems partculas del sistema ejerce sobre i, ms la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella Este sumatorio representa la suma sobre las partculas restantes, esto es kvade1hastaN,excluyendo el caso k= i, ya que admitimos que una partcula no produce fuerza sobre s misma(equivalentemente, ).Suponemos que las interacciones entre las partculas obedecen la 3 ley de Newton, lo que es lo mismo En la mayora de los casos se cumplir adems que la fuerza que la partcula kejerce sobre la i(y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la direccin de la recta que une ambas partculas.Matemticamente,estoseexpresaimponiendoqueelvectoresparaleloalaposicinrelativa,estoes,siEliminando parntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condicin.

CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS

5.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDO.Elmomento angular de un slido rgidoque rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia (que por el momento supondremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial) viene dado por:

DondeIes elmomento de inerciadel slido yes su velocidad angular.La variacin delestado de rotacinde un slido viene determinada por la variacin de su velocidad angular por lo que, si queremos describir el movimiento de rotacin debemos encontrar una ecuacin que nos permita calcular laaceleracin angulardel mismo.Puesto que en la expresin del momento angular aparece la velocidad angular, derivndola obtendremos la aceleracin angular:

Lavariacin del momento angular de un sistema de partculas(y, por tanto, de un slido) es igual al momento de las fuerzas externas que actan sobre el sistema:

Igualando ambas expresiones,

sta es laecuacin del movimiento de rotacin de un slido rgidoque, como puede observarse, es anloga a lasegunda ley de Newton.La segunda ley de Newton nos proporciona un modo de calcular la aceleracin de una partcula (o del centro de masas de un sistema de partculas) conociendo las fuerzas que actan sobre ella. La ecuacin del movimiento de rotacin de un slido nos permite determinar su aceleracin angular calculando elmomento de las fuerzas externasque actan sobre l.Para que un cuerpo rote (para que tenga aceleracin angular) no basta con que acten fuerzas externas sobre l, sino queestas fuerzas han de tener momento resultante no nulo.El papel que juega la masa de una partcula en la segunda ley de Newton (su inercia, es decir, la resistencia que opone a cambiar su estado de movimiento), lo desempea ahora el momento de inercia.Despejando, se obtiene:

Es decir, para un momento de fuerzas dado, cuanto mayor sea el momento de inercia del slido menor ser su aceleracin angular, por lo que la velocidad angular del mismo variar ms lentamente.El momento de inercia mide la resistencia que opone un cuerpo a variar su estado de movimiento de rotacin.De la ecuacin anterior se deduce queel vector aceleracin angular es paralelo a la resultante de los momentos de las fuerzas externas, del mismo modo que la aceleracin de una partcula es paralela a la resultante de las fuerzas que actan sobre ella.Cuanto mayor sea el mdulo de esta resultante, mayor ser el mdulo de la aceleracin angular.En el siguiente ejemplo se analiza el movimiento de rotacin de una puerta utilizando la ecuacin del movimiento de rotacin. Si para abrirla aplicamos la fuerza directamente sobre la bisagra, la puerta no se abrir, ya que en este caso:

Para que la puerta se abra es necesario aplicar la fuerza a una cierta distancia de la bisagra, puesto que de este modo:

Cuanto mayor sea el mdulo dermayor ser el momento de la fuerzaFy por tanto mayor ser la aceleracin angular. Por eso es ms fcil abrir una puerta cuanto ms lejos de la bisagra aplicamos la fuerza.Si la fuerza se aplica en una direccin paralela al vectorrla puerta no se abrir, ya que en este caso el momento de la fuerza ser nulo y no habr aceleracin angular.5.2 MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RGIDO EN EL PLANO. Momento angular de una partculaSe definemomento angularde una partcula al producto vectorial del vector posicin por el vector momento lineal

Momento angular de un slido rgidoLas partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describenEn la figura se muestra el vector momento angularde una partcula de masamicuya posicin est dada por el vectory que describe una circunferencia de radioRicon velocidadvi.El mdulo del vector momento angular valeLi=rimiviSu proyeccin sobre el eje de rotacin Z valeLiz=ricos(90-i)mivi,es decir,

El momento angular de todas las partculas del slido vale

La proyeccinLzdel vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es

El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angularno tiene la direccin del eje de rotacin, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyeccinLza lo largo del eje de rotacin. Cuando coinciden se dice que el eje de rotacin es un eje principal de inercia.Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma direccin, la del eje de rotacin

El momento de inercia no es una cantidad caracterstica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posicin del eje de rotacin. El momento de inercia es mnimo cuando el eje de rotacin pasa por el centro de masa.5.3 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDO.Uncuerpo rgidose define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rgido es una idealizacin, que se emplea para efectos de estudios deCinemtica, ya que esta rama de laMecnica, nicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actan sobre de ellos.Representa cualquier cuerpo que no se deforma; para fines de movimiento se puede suponer que el neumtico de un automvil es un cuerpo rgido.El movimiento de cuerpo rgido, se analizar considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotacin ni de traslacinEl movimiento de cuerpo rgido, se puede explicar con las tres leyes de Newton y la ley de Coulomb. El movimiento del cuerpo rgido, en el caso plana, se puede describir de la siguiente manera:

5.3.1 PRINCIPIO DE D ALEMBERT.El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partculas del sistema, siendo:,cantidad de movimientode la partculai-sima.,fuerza externasobre la partculai-sima.Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partculas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.El principio de d'Alembert es realmente una generalizacin de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas conligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a lasecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange us este principio bajo el nombre deprincipio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre laslibracionesde la Lunade1764, abandonando desde entonces elprincipio de acciny basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en suMcanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:1 En primer lugar, elprincipio de accinestacionaria est ligado a la existencia de unafuncin potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. En segundo lugar, el principio de accin se presta a interpretaciones filosficas yteleolgicasque no le gustaban a Lagrange.Finalmente debe sealarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente til en lamecnica de slidosdonde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y clculo dereaccionesusando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el clculo mediante el principio de D'Alembert, que tambin se llama en ese contextoprincipio de los trabajos virtualeses ventajoso sobre el enfoque ms simple de lamecnica newtoniana.

5.3.2 TRASLACIN, ROTACIN CENTROIDAL Y MOVIMIENTO GENERAL.TraslacinComo el cuerpo no tiene movimiento rotacionala=0entonces, la fuerza resultante pasa por el centro de masa y se debe cumplir que.

Rotacin centroidalSe llama rotacin centroidal a la rotacin de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.

En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultantees igual aRotacin no centroidalEl sistema equivalente para este caso se representa en la figura 3-21.Si se toma momentos con respecto a O se tiene, ya que el momento dees cero. Peroy comoentonces[3-13]

DondeIOes el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa porOy es perpendicular al plano de movimiento. A diferencia de la rotacin centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotacin no centroidal es diferente de cero ya que el centro de masa posee aceleracin. El hecho de resaltar en la rotacin no centroidal es que la ecuacin [3-13] es de la misma forma que la ecuacin [3-11] lo cual no se cumple para cualquier otro punto.

Movimiento plano generalLa ecuacin [3-13] tambin se cumple en movimiento plano general en dos casos:

1. Si se toman momentos con respecto a un punto que no tenga aceleracin pero que se puede estar moviendo.2. Cuando se toman momentos con respecto a un punto cuya aceleracin est dirigida hacia el centro de masa.Veamos:Si el puntoOno tiene aceleracin, [Fig. 3-22], al tomar momentos con respecto a O se tiene

Si el puntoOtiene aceleracin dirigida hacia C, [Fig. 3-23], la aceleracin de C es

Tomando momentos con respecto a O se tiene:

5.4 TRABAJO Y ENERGA.Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

DondeFtes la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento,dses el mdulo del vector desplazamientodr, yel ngulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geomtrico es el rea bajo la representacin grfica de la funcinque relaciona la componente tangencial de la fuerzaFt,y el desplazamientos.

Ejemplo: 1Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.La fuerza necesaria para deformar un muelle esF=1000xN, dondexes la deformacin. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

El rea del tringulo de la figura es (0.0550)/2=1.25 J

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.W=FtsEjemplo: 2Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicacin se traslada 7 m, si el ngulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0, 60, 90, 135, 180.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

5.4.1 TRABAJO DE UNA FUERZA.El trabajoWes unamagnitud escalarque, como veremos, da la cantidad de energa cinticatransferida por una fuerza.En la siguiente figura se ha representado una partcula que se desplaza por una trayectoriaCentre los puntos A y B. Sobre ella acta una fuerzaF. Su vector desplazamiento, tangente a la trayectoria en cada punto, es dr.

El trabajo de dicha fuerza se define:Trabajo de una fuerza

Las unidades de trabajo en el Sistema Internacional son los julios (J).1 julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N en un desplazamiento de 1 m, y su nombre fue elegido en honor del fsico inglsJames Prescott Joule(1818-1889), que estudi la naturaleza del calor y descubri su relacin con el trabajo.La integral que aparece en la definicin anterior se denominaintegral de lneay se calcula a lo largo de la trayectoria especificada (C). La razn de especificar la trayectoria a lo largo de la cual se calcula el trabajo es que, en general, el trabajo de una fuerza es distinto dependiendo de la trayectoria que describe la partcula cuando se desplaza desde su posicin inicial A hasta la posicin final B.

Como en la definicin de trabajo aparece un producto escalar (que depende del ngulo formado por los vectoresFy dr), este producto escalar depender en general de la trayectoria descrita por la partcula.

Si sobre un cuerpo actan varias fuerzas,el trabajo total es la suma del trabajo de cada una de las fuerzas que actan sobre el cuerpo:Trabajo deNfuerzasactuando sobre una partcula.

De la definicin de trabajo se deduce lo siguiente:El trabajo de una fuerza perpendicular a la trayectoria de una partcula es nulo, ya queFy drson perpendiculares y su producto escalar es nulo.Cuando el ngulo que forman los vectoresFydres mayor que 90 el trabajo es negativo. En particular,el trabajo de la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es negativo.

5.4.2 ENERGA CINTICA.Supongamos queFes la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula de masam. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energa cintica de la partcula.

En la primera lnea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por laaceleracin tangencial.En la segunda lnea, la aceleracin tangencialates igual a la derivada del mdulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamientodsy el tiempodtque tarda en desplazarse es igual a la velocidadvdel mvil.Se define energa cintica como la expresin

El teorema del trabajo-energa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre una partcula modifica su energa cintica.

Ejemplo 1:Hallar la velocidad con la que sale una bala despus de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante deF=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.El trabajo realizado por la fuerzaFes -18000.07=-126 JLa velocidad finalves

5.4.3 PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA. Si solamente una fuerza conservativaFacta sobre una partcula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energa potencial

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre la partcula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energa cintica.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresin del principio de conservacin de la energaEkA+EpA=EkB+EpBLa energa mecnica de la partcula (suma de la energa potencial ms cintica) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

Principio de conservacin de la energaUn cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular1. La velocidad del cuerpo cuando est a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las frmulas delmovimiento rectilneo uniformemente acelerado2. La energa cintica potencial y total en dichas posicionesTomarg=10 m/s2

Posicin inicialx=3 m,v=0.Ep=2103=60 J,Ek=0,EA=Ek+Ep=60 J Cuandox=1 m

Ep=2101=20 J,Ek=40,EB=Ek+Ep=60 J Cuandox=0 m

Ep=2100=0 J,Ek=60,EC=Ek+Ep=60 JLa energa total del cuerpo es constante. La energa potencial disminuye y la energa cintica aumenta.

Ejemplo 1:Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30 de inclinacin, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar: la longitudxque recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para la velocidadvque tendr el bloque al regresar a la base del planoCuando el cuerpo asciende por el plano inclinado La energa del cuerpo en A esEA=0.2122=14.4 J La energa del cuerpo en B esEB=0.29.8h=1.96h=0.98xJ El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B esW=-Frx=-mgcosx=-0.160.29.8cos30x=-0.272xJDe la ecuacin del balance energticoW=EB-EA, despejamosx=11.5 m,h=xsen30=5.75 m

Cuando el cuerpo desciende La energa del cuerpo en B esEB=0.29.8h=1.96h=0.98x=0.9811.5=11.28 J La energa del cuerpo en la base del planoEA==0.2v2 El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A esW=-Frx=-mgcosx=-0.160.29.8cos3011.5=-3.12 JDe la ecuacin del balance energticoW=EA-EB, despejamosv=9.03 m/s.Ejemplo 2:Una partcula de masamdesliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radioR, tal como se muestra en la figura.Las fuerzas que actan sobre la partcula son: El pesomg La reaccin de la superficieN, cuya direccin es radial La fuerza de rozamientoFr, cuya direccin es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partcula.

Descomponiendo el pesomg, a lo largo de la direccin tangencial y normal, escribimos la ecuacin del movimiento de la partcula en la direccin tangencialmat =mgcos-FrDondeat=dv/dtes la componente tangencial de la aceleracin. Escribimos en forma de ecuacin diferencial la ecuacin del movimiento

Calculamos el trabajoWrrealizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeo arco de circunferenciadl=Rdy que

El trabajo realizado por la fuerza no conservativaFrvale

Si el mvil parte del reposov=0, en la posicin=0. Cuando llega a la posicin La energa cintica se ha incrementado enmv2/2. La energa potencial ha disminuido enmgRsen.El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energa final y la energa inicial o bien, la suma de la variacin de energa cintica ms la variacin de energa potencial.El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partcula describe el cuarto de crculo es

5.4.4 POTENCIA. Dicha funcin escalar se denominaenerga potencial, y slo depende de las coordenadas.Las fuerzas conservativas son muy importantes en Fsica, ya que fuerzas como la gravitatoria o la elstica son conservativas. Como veremos a continuacin, cada una de estas fuerzas lleva asociada su propia energa potencial.Puede demostrarse (con ayuda delteorema fundamental de las integrales de lnea) que el trabajo de una fuerza conservativa viene dado por:

Cualquier fuerza constante es una fuerza conservativa. Como ejemplo de fuerza constante trataremos elpeso, es decir, la fuerza gravitatoria cerca de la superficie de la Tierra.Como vimos en el apartadoEjemplos de fuerzas, el peso es una fuerza constante que apunta hacia el centro de la Tierra. Vectorialmente, el peso es:

La energa potencial asociada a dicha fuerza (energa potencial gravitatoria) es:

Ya que:

El trabajo del peso es menos la variacin de su energa potencial:

Ambas formas de calcular el trabajo dan obviamente el mismo resultado.La fuerza de un muelle viene dada por la ley de Hooke:

Y su energa potencial (energa potencial elstica) tiene que ser tal que:

Integrando esta ecuacin entre cero yxse obtiene la expresin para la energa potencial:

Se ha tomado nivel cero de energa potencial a la posicin de equilibrio. Por tanto la energa potencial elstica asociada a la deformacinxes:

Unafuerza conservativaes aquella cuyo trabajo depende nicamente de las posiciones inicial y final de la partcula y no de la trayectoria que sta ha descrito para ir desde la posicin inicial a la final.Una consecuencia de este hecho es queel trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero:

Si el trabajo de una fuerza conservativca no depende del camino seguido por la partcula y el punto final coincide con el inicial, el trabajo de dicha fuerza es cero.

Utilizando ladescomposicin de Helmholtzuna fuerza conservativa puede ser escrita como elgradientede una funcin escalar cambiado de signo:

5.4.5 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula.

Si la fuerza neta que acta sobre un objeto es igual a cero, la derivada de la cantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es ceroLa cantidad de movimiento del objeto debe ser constante (primera ley de Newton)Este es el caso de una partcula aislada (que no interacciona con el entorno).Consideremos un sistema compuesto por dos partculas que:- pueden interaccionar entre s (ejercen fuerzas entre s)- pero estn aisladas del entorno que las rodea (no se ejerce ninguna fuerza externa sobre el sistema)En un determinado instante:Cantidad movimiento de la partcula 1

Cantidad movimiento de la partcula 2

Cantidad movimiento total