INTRODUCCIÓN

La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. En la vida cotidiana la mayoría de fluidos se encuentran en movimiento, por lo que es necesario comprender las leyes que rigen este tipo de comportamiento. Las ramas que se encargan de esto son la cinemática y la dinámica de fluidos.

Las leyes básicas que describen el movimiento completo de un fluido son bastante complejas. Sin embargo mediante la comprensión y la aplicación correcta de las mismas y la incorporación de conceptos de mecánica y leyes de termodinámica, se han logrado diseñar grandes estructuras hidráulicas y eficientes máquinas para controlar y manejar fluidos que fluyen, escurren o se mueven.

A continuación se describen los conceptos básicos y algunas de las leyes empleadas para el estudio de los fluidos en movimiento.

OBJETIVOS

GENERAL

- Familiarizarse con los temas y términos usados en el tema de la dinámica de fluidos

ESPECÍFICOS

- Definir volumen de control.

- Definir las medidas de velocidad de un flujo; es decir, el caudal volumétrico, másico y de peso; así como sus respectivas dimensionales y las principales unidades empleadas.

- Definir los tipos de flujo y el principio de continuidad.

- Escribir la ecuación de continuidad así como la ecuación de la energía.

1.1 CONCEPTO DE VOLUMEN DE CONTROL Un volumen de control se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones dentro y fuera del espacio. La frontera de un volumen de control es su superficie de control. El tamaño y forma del volumen de control son totalmente arbitrarios, pero con frecuencia se hacen coincidir con fronteras sólidas en partes; en otras partes se dibujan normales a las direcciones de flujo para simplificar. Por superposición de una velocidad uniforme sobre un sistema y sus alrededores, a veces se puede encontrar una situación conveniente para la aplicación del volumen de control; por ejemplo, la determinación de la velocidad de una onda sonora en un medio. El concepto de volumen de control se usa en la derivación de las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía. Al volumen de control también se le denomina sistema abierto. Un sistema se refiere a una masa definida de material distinguiéndola de toda la demás materia, denominada entorno o alrededores.

Fig. 1

Sea N, una propiedad de las partículas que constituyen un sistema, η, la propiedad por unidad de masa del sistema, ρ la densidad de las partículas del sistema y V la velocidad con que se mueven las

partículas dentro del sistema; es posible demostrar que la rapidez de crecimiento de N dentro de un sistema es exactamente igual a la rapidez de crecimiento de la propiedad N dentro de un volumen de control más el flujo neto de N a través de la frontera del volumen de control.

dNdt

= δδt∫vc

❑

ηρdV +∫sc

❑

ηρdA ecuación de Reynolds

Donde vc= volumen de control y sc=superficie de control.

1.2 DEFINICIÓN DE FLUJO El concepto de flujo indica el movimiento o traslado de una cantidad de masa, o de un volumen de materia a través de un área a lo largo de una trayectoria.

El flujo, gasto o caudal son sinónimos e indican el volumen o la cantidad de materia que se traslada durante un intervalo de tiempo determinado.

1.3 MEDIDAS DE LA VELOCIDAD DE FLUJO La cantidad de fluido que pasa por un sistema por unidad de tiempo puede expresarse por medio de los siguientes tres términos:

1.3.1 CAUDAL VOLUMÉTRICO El caudal volumétrico Q es el volumen de fluido que circula en una sección por unidad de tiempo. Es el más importante de los tres, y se calcula con la siguiente ecuación:

Q=Av

Donde A es el área de la sección y v es la velocidad promedio del flujo. Las dimensionales de Q son las siguientes:

Q=Av=(L2 )×( Lt )= L3

t= ∀t

Siendo L la longitud, t es tiempo y ∀ el volumen. Para el Sistema Internacional las unidades son m3/s y para el Sistema de Unidades de Estados Unidos son pie3/s.

1.3.2 CAUDAL MÁSICO El caudal másico QM es la masa de fluido que circula en una sección por unidad de tiempo.

Este caudal se relaciona con el caudal volumétrico por medio de la ecuación:

QM=ρQ

Donde ρ es la densidad del fluido. Las dimensionales de Qm son:

QM=ρQ=(m∀ )×( ∀t )=m

t

Siendo m la masa, ∀ el volumen y t el tiempo. Para el Sistema Internacional las unidades son kg/s y para el Sistema de Unidades de Estados Unidos son slugs/s.

1.3.3 CAUDAL DE PESO El caudal en peso QW es el peso del fluido que circula en una sección por unidad de tiempo.

Este caudal se relaciona con el caudal volumétrico por medio de la ecuación:

QW=γQ

Donde γ es el peso específico del fluido. Las dimensionales de Qw son:

QW=γQ=(w∀ )×( ∀t )=w

t

Siendo w el peso, ∀ el volumen y t el tiempo. Para el Sistema Internacional las unidades son N/s y para el Sistema de Unidades de Estados Unidos son lb/s.

v

tiempo

Fig. 2 Velocidad en un punto en un flujo turbulento a régimen permanente

1.4 TIPOS DE FLUJO

1.4.1 PERMANENTE Y NO PERMANENTE El flujo a régimen permanente ocurre cuando las condiciones en cualquier punto del fluido no cambian con el tiempo. Por ejemplo, si la velocidad en cierto punto es de 3 m/s en la dirección +x en flujo a régimen permanente, permanece exactamente en esa cantidad y en esa dirección indefinidamente. Esto se pude expresar como ∂ v ⁄ ∂ t=0, en la que el espacio (coordenadas x, y, z del punto) se mantiene constante. Asimismo, en el flujo a régimen permanente no hay cambio en la densidad ρ o temperatura T con el tiempo en cualquier punto; así

∂ ρ∂t

=0∂ p∂t

=0∂T∂t

=0

En flujo turbulento, debido al movimiento errático de las partículas del fluido, siempre ocurren pequeñas fluctuaciones en cualquier punto. La definición para flujo a régimen permanente debe generalizarse un poco para incluir estas fluctuaciones. Para ilustrar esto, una gráfica de velocidad contra tiempo en algún punto del flujo turbulento se da a continuación.

Cuando la velocidad media temporal

v t=1t∫0

t

vdt

indicada en la figura 2 por la línea horizontal no cambia con el tiempo, se dice que el flujo es a régimen permanente. La misma generalización se aplica a la densidad, presión, temperatura, etc., cuando se sustituye a v en la ecuación anterior.

Un ejemplo de flujo a régimen permanente es el flujo de líquido a través de un tubo largo a razón o tasa constante. Así también uno acerca de flujo a régimen permanente no uniforme, sería el flujo a una tasa constante a través de un tubo que se expande.

El flujo se desarrolla a régimen no permanente cuando las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo,∂ v ⁄ ∂ t ≠0. El agua que se bombea a través de un sistema fijo con una rapidez creciente es un ejemplo de flujo a régimen no permanente. Así también el flujo a una tasa creciente a través de un tubo que se expande es flujo a régimen no permanente no uniforme.

1.4.2 UNIFORME Y NO UNIFORME El flujo uniforme ocurre cuando, en todo punto, el vector de velocidad es idénticamente el mismo (en magnitud y dirección) para cualquier instante dado. En forma de ecuación ∂ v ⁄ ∂ s=0 en la que el tiempo se mantiene constante y ∂ s es un desplazamiento en cualquier dirección. La ecuación establece que no hay cambio en el vector de velocidad en cualquier dirección a través del fluido en cualquier instante. No dice nada acerca del cambio de velocidad en un punto con

el tiempo. En el flujo de un fluido real en un conducto abierto o cerrado, la definición de flujo uniforme también puede extenderse en la mayor parte de los casos aunque el vector de velocidad en la frontera sea siempre cero. Cuando todas las secciones transversales paralelas a través del conducto son idénticas (es decir, cuando el conducto es prismático) y el promedio de velocidad en cada sección transversal es el mismo en cualquier instante dado, se dice que el flujo es uniforme.

El flujo en que el vector de velocidad varía de lugar a lugar en cualquier instante ∂ v ⁄ ∂ s≠0 es flujo no uniforme. Un líquido que se bombea a través de un tubo largo recto tiene flujo uniforme. Un líquido que fluye a través de una sección de reducción o a través de un tubo curvo tiene flujo no uniforme.

1.4.3 ESTACIONARIO Y NO ESTACIONARIO La trayectoria de una partícula en un fluido se conoce como línea de flujo. Si toda la configuración del flujo no cambia con el tiempo se le conoce como flujo estacionario. En un flujo estacionario, cualquier elemento que pasa a través de un punto dado seguirá la misma línea de flujo. Las líneas de flujo que pasan de un extremo a otro del borde de un elemento de área imaginaria A formarán un tubo llamado tubo de flujo.

Una mejor manera de definir este tipo de flujo es imaginando un sencillo experimento. Suponiendo que se utiliza una jeringa fina para inyectar un poco de tinta en un fluido, sin interrumpir el flujo (Fig. 3.a). Si la línea de tinta formada de esta manera no se dispersa ni se difumina, sino que permanece fina y bien definida, el flujo se denomina estacionario. Si varias jeringas inyectan tinta una al lado de la otra, el dibujo de la tinta ha de ser semejante al de la Fig. 3.b. Finalmente, es posible imaginar un tubo de líneas de corriente como en la Fig. 3.c. El fluido en dicho tubo está experimentando un flujo estacionario.

Fig. 3 (a) Una línea de corriente. (b) Grupo de líneas de corrientes adyacentes. (c) Un tubo de flujo. Las paredes del tubo están

compuestas de líneas de corriente

1.4.4 LAMINAR Y TURBULENTO En el flujo turbulento las partículas del fluido (pequeñas masas molares) se mueven en trayectorias muy irregulares que causan un intercambio de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra. Las partículas de un fluido pueden variar en tamaño, desde uno muy pequeño (de unos cuantos miles de moléculas) hasta uno muy grande (miles de pies cúbicos en un remolino grande de un río o en una ventolera atmosférica). En una situación en la que un flujo podría ser turbulento o no turbulento (laminar), la turbulencia establece mayores esfuerzos cortantes en todo el fluido y causa más irreversibilidades o pérdidas. También, en el flujo turbulento, las pérdidas varían con la potencia de la velocidad de 1.7 a 2; en flujo laminar, varían proporcionalmente a la primera potencia de la velocidad.

En flujo laminar, las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias suaves en láminas, o capas, con una capa deslizándose suavemente sobre una capa adyacente. El flujo laminar es gobernado por la ley de viscosidad de Newton, que relaciona el esfuerzo cortante con la rapidez de deformación angular. En el flujo laminar, la acción de la viscosidad amortigua las tendencias. El flujo laminar no es estable en situación en las que hay combinaciones de baja viscosidad, alta velocidad, grandes avenidas de fluido, y se descompone en flujo turbulento. Se puede escribir una ecuación para flujo

turbulento similar, en forma, a la ley de viscosidad de Newton:

τ=η dudy

El factor η, sin embargo, no sólo es una propiedad del fluido, sino que depende del movimiento del fluido y de la densidad; se denomina viscosidad Eddy. En muchas situaciones prácticas de flujo, tanto la viscosidad como la turbulencia contribuyen al esfuerzo cortante:

τ=(μ+η) dudy

Se requiere de la experimentación para determinar este tipo de flujo.

1.5 LÍNEAS Y TUBOS DE CORRIENTE Una línea de corriente es una línea continua trazada a través del fluido en forma tal que tiene la dirección del vector de velocidad en cada punto. No puede haber flujo a través de una línea de corriente. Ya que una partícula se mueve en la dirección de la línea de corriente en cualquier instante, su desplazamiento δs con componentes δx, δy, δz tiene la dirección del vector de velocidad q con componentes u, v, w en las direcciones de x, y, z, respectivamente. Entonces la ecuación

δx /u=δy /v=δz /w

establece que los componentes correspondientes son proporcionales y por lo tanto δs y q tienen la misma dirección. Expresando los desplazamientos en forma diferencial

dx /u=dy /v=dz /w

se obtienen las ecuaciones diferenciales de una línea de corriente. Las dos ecuaciones anteriores son independientes, cualquier línea continua que las satisfaga es una línea de corriente.

A partir de la definición de línea de corriente se puede definir, para flujos laminares, el concepto de tubo de corriente, como la superficie formada por las líneas de flujo que parten de una curva

cerrada. En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo.

Corolario 1: No hay flujo a través de la superficie del tubo de corriente.

Corolario 2: Solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.

1.6 CONSERVACIÓN DE LA MASA: ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El método de cálculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerrados depende del principio de continuidad. Considerar el conducto de la Figura 4.

Fig. 4 Porción de un sistema de distribución de fluido en el que hay variaciones de velocidad, presión y elevación.

Un fluido circula con un flujo volumétrico constante de la sección 1 a la sección 2. Es decir, la cantidad de fluido que circula a través de cualquier sección en cierta cantidad de tiempo es constante. Esto se conoce como flujo estable. Por ello si entre las secciones 1 y 2 no se agrega fluido ni se almacena o retira, entonces la masa de fluido que circula por la sección 2 en cierta cantidad de tiempo debe ser similar a la que circula por la sección 1. Esto se expresa en términos del flujo másico así:

QM 1=QM 2

O bien, debido a que QM=ρAυ, se tiene que:ρ1 A1υ1=ρ2 A2 υ2

Esta ecuación es el enunciado matemático del principio de continuidad y se le denomina ecuación de continuidad. Se utiliza para relacionar la densidad de fluido.

1.7 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA O ECUACIÓN DE BERNOULLI Un problema de tubería como el de la Fig. 4, toma en cuenta toda la energía dentro del sistema. La ley de la conservación de la energía enuncia que ésta no se crea ni se destruye, sólo se transforma de una forma en otra.

Fig. 5 Elementos de fluido utilizados en la ecuación de Bernoulli

La cantidad total de energía de las tres formas que posee un elemento de fluido: energía potencial, cinética y de flujo (se describen más adelante) es la suma E

E=EF+EP+EC

E=wργ

+wz+wυ2

2 g

Cada uno de estos términos se expresa en unidades de energía como Newton-metro en el SI, y el pie-libra en el Sistema Tradicional de Estados Unidos.

Ahora hay que considerar el elemento de fluido en la figura 5, que se mueve de la sección 1 a la 2. Los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones. En la sección 1 la energía total es

E1=w p1

γ+w z1+

wυ12

2 g

En la sección 2, la energía total es

E2=w p2

γ+w z2+

wυ22

2g

Si no hay energía que se agregue o pierda en el fluido entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere que

E1=E2

w p1

γ+w z1+

wυ12

2g=w p2

γ+wz2+

wυ22

2g

El peso del elemento w es común a todos los términos y se elimina al dividir entre él. Así, la ecuación se convierte en

p1

γ+z1+

υ12

2 g=p2

γ+z2+

υ22

2 g

Conocida como ecuación de Bernouilli. Como cada término resulta de dividir una expresión de la energía entre el peso de un elemento de fluido se dice que cada término de dicha ecuación es una forma de energía que posee un fluido por unidad de peso del fluido que se mueve en el sistema.

Sin embargo, esta ecuación posee tiene varios limitantes tales como:- Es válida sólo para fluidos incompresibles.- No puede haber dispositivos mecánicos que agreguen o retiren

energía del sistema entre las dos secciones de interés.- No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de

éste.- No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.

Como en la realidad ningún sistema satisface todas estas restricciones se emplea mayormente la ecuación general de la energía:

p1

γ+z1+

υ12

2 g+hA−hR−hL=

p2

γ+z2+

υ22

2 g

Donde los términos adicionales:hA = Energía que se agrega al fluido con un dispositivo mecánico, como una bomba; es frecuente que se le denomine carga total sobre la bomba.hR = Energía que se remueve del fluido por medio de un dispositivo mecánico, como un motor de fluido.hL =Pérdidas de energía del sistema por la fricción en las tuberías o pérdidas menores por válvulas y otros accesorios.

La magnitud de las pérdidas de energía que produce la fricción del fluido, las válvulas, y accesorios, es directamente proporcional a la carga de velocidad del fluido

hL=K ( υ2

2g )Donde K es el coeficiente de resistencia.

Si no se considera ningún dispositivo mecánico que agregue o remueva energía, la ecuación se convierte en

p1

γ+z1+

υ12

2 g=p2

γ+z2+

υ22

2 g+h1−2

Donde hL=h1-2

1.7.1 TIPOS DE ENERGÍA QUE TIENE EL FLUJO DE FLUIDOS

Fig. 6 Elemento de fluido en una tubería

El elemento de fluido posee las formas de energías siguientes:

- Energía potencial: Debido a su elevación, la energía potencial del elemento en relación con algún nivel de referencia es

EP=wzdonde w es el peso del elemento.

- Energía cinética: Debido a su velocidad, la energía cinética del elemento es

EC=wυ2

2g- Energía de flujo: A veces llamada energía de presión o

trabajo de flujo, representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de cierta sección contra la presión p. La energía de flujo se abrevia EP y se calcula por medio de

EF=℘γ

1.7.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA DE ENERGÍA O DE ALTURAS TOTALES La línea de alturas totales es la representación gráfica de la energía de cada sección y se obtiene sumando para cada punto de la tubería las cotas piezométricas y las alturas de velocidad.

La línea de energías totales tiene una pendiente decreciente (cae) en el sentido del flujo, excepto en las secciones donde se añade energía mediante dispositivos mecánicos.

1.7.3 DEFINICIÓN DE LÍNEA PIEZOMÉTRICA

La línea de alturas piezométricas (LP) está situada por debajo de la línea de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad en la sección correspondiente. En otras palabras, es la suma de las alturas de presión y de posición, y se determina uniendo los puntos que alcanzaría el fluido circulante en puntos a lo largo de la tubería.

Fig. 7

1.7.4 DEFINICIÓN DE GRADIENTE HIDRÁULICO Es la variación de la energía total respecto a la longitud del conducto, o sea, la pérdida por fricción por unidad de longitud real del conducto en un tramo recto.

S f=I= δHL

=(H 1−H 2)

L

S f=I=hfL

DondeSf=I= gradiente hidráulico

hf = pérdidas por fricciónL = longitud real del tramo

El gradiente siempre será positivo en sentido del flujo porque H1 > H2 al existir siempre una pérdida de energía.

1.8 EJEMPLO DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Fig. 8

(Tomado del libro Mecánica de los Fluidos e Hidráulica de Ranald Giles)

Desarrollar la ecuación general de continuidad para un flujo tridimensional de un fluido compresible (a) en el caso de flujo no permanente y (b) en el flujo permanente.

(a)Sean las componentes de la velocidad en las direcciones x, y, z respectivamente u, v, w. Se considera el flujo a través de un paralelepípedo rectángulo de aristas dx, dy, dz. La masa de fluido entrante, a través de una de sus caras, en dicho volumen por unidad de tiempo es igual al producto de la densidad del fluido por el área

de la cara y por la velocidad normal a la cara, es decir, en la dirección x, ρu(dy dz). En la dirección x los flujos aproximados son (ver Fig. 8)

Flujo entrante ρu (dy dz ) y Flujo saliente ρu (dy dz )+ ∂∂x

(ρudy dz)dx

O flujo entrante aproximado es −∂∂x

(ρudy dz)dx o bien −∂∂x

(ρudx dydz )

Si se escriben expresiones análogas para los flujo entrantes netos en las dirección y y z, y se suman los tres, el flujo neto entrante será

−[ ∂∂ x ρu+ ∂∂ y

ρv+ ∂∂ z

ρw ]dx dy dzEstas magnitudes son más precisas al hacer tender a cero dx, dy y dz.

El aumento de masa por unidad de tiempo en el anterior paralelepípedo será

∂∂ t

( ρdxdy dz )o ∂ ρ∂ t

(dx dydz )

Donde ∂ ρ /∂ t es la variación por unidad de tiempo de la densidad en el interior del volumen. Como el flujo entrante neto ha de ser igual al aumento por unidad de tiempo de la masa se obtiene:

−[ ∂∂ x ρu+ ∂∂ y

ρv+ ∂∂ z

ρw ]dx dy dz=∂ ρ∂ t

(dx dy dz )

Por lo tanto, la ecuación de continuidad tridimensional para un flujo no permanente de un fluido compresible toma la forma

−[ ∂∂ x ρu+ ∂∂ y

ρv+ ∂∂ z

ρw ]dx dy dz=∂ ρ∂ t

(b) Para un flujo permanente no varían las propiedades del fluido con el tiempo, es decir ∂ ρ /∂ t=0. Para un flujo permanente y compresible la ecuación de continuidad es

−[ ∂∂ x ρu+ ∂∂ y

ρv+ ∂∂ z

ρw ]=0

Si el flujo además de permanente es incompresible ρ=constante la ecuación tridimensional adopta la forma

∂u∂ x

+ ∂v∂ y

+ ∂w∂ z

=0

Si ∂w /∂ z=0, el flujo permanente es bidimensional y∂u∂ x

+ ∂v∂x

=0

Cuando simultáneamente ∂w /∂ z y dv /dy=0, el flujo permanente es unidimensional y

∂u∂ x

=0

Esta es la ecuación del flujo uniforme.

CONCLUSIONES

- El caudal de un fluido indica la cantidad de volumen o materia que pasa en una unidad de tiempo. La medición práctica del caudal líquido en las diversas obras hidráulicas, tiene una importancia muy grande, ya que de estas mediciones depende muchas veces el buen funcionamiento del sistema hidráulico y en muchos casos es fundamental para garantizar la seguridad de la estructura.

- La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra. La ecuación de continuidad se emplea grandemente para flujos permanentes, aunque también puede empleársele para flujos no permanentes.

- En la realidad cuando los flujos se encuentran en movimiento existen pérdidas de energía o bien ésta se añade o retira mediante dispositivos, porque lo que en vez de emplear la ecuación de Bernoulli se utiliza con mayor frecuencia la ecuación general de la energía.

BIBLIOGRAFÍA

- GILES, Ranald V., Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. 3ra edición. Mcgraw Hill Serie Shaum, Pág. 74, 77

- MOTT, Robert L., Mecánica de Fluidos. 6ta edición. Prentice Hall México, 2006. Págs. 154-157, 165-167, 202.

- STREETER, Victor y E. Benjamín Wylie. Fundamentos de Mecánica de Fluidos. 8va edición. Mcgraw Hill. Págs. 84-90

CONSULTAS EN INTERNET

- Hidrodinámica. Disponible en: http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/13Hidrodinamica.pdf

- Tema 3. Hidrodinámica. Generalidades. Disponible en: http://www.uclm.es/area/ing_rural/Trans_hidr/Tema3.PDF

- Hidráulica. Disponible en: http://atenea.unicauca.edu.co/~hdulica/introduccion.pdf

- Mecánica de fluidos 1. Disponible en: http://www.imefen.uni.edu.pe/mfluidos/10ma%20-clase.pdf

- Línea de corriente. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente