Dinámica de Sistemas Físicos - T1 · Dinámica de Sistemas Físicos - T1 Contenido 1 Concepto de...

Dinámica de Sistemas Físicos - T1(Tema 1, 2018)nmN

Profesora: Dra. Lizeth Torres

[email protected]

http://lizeth-torres.info/

9th September 2019

Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México.

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Dinámica de Sistemas Físicos - T1

Contenido

1 Concepto de Modelado

2 Variables generalizadas, esfuerzo (e) y ujo (f )

3 Restricciones necesarias para la obtención de modelos.

4 Caracterización de variables asociadas a los sistemasmecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos.

Modelado de sistemas mecánicosModelado de sistemas eléctricosModelado de sistemas hidráulicosModelado de sistemas hidráulicosModelado de sistemas híbridos

5 Enfoque energético en el modelado de sistemas físicos

Lizeth Torres | 9th September 2019 2 / 111

Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Concepto de Modelado

Sistemas y clasicación de sistemas

Un sistema es un grupo de unidades que interactúan regularmente o soninterdependientes y que forman un todo integrado. Cada sistema está delineado porsus límites espaciales y temporales, rodeado e influenciado por su entorno, descritopor su estructura y propósito y expresado en su funcionamiento.

Un sistema es ente que relaciona las señales de entrada (excitaciones) al sistemacon sus señales de salida (respuestas).

Un sistema es un manipulador de energía que interactúa con las entradas y salidasa través de los puertos de energía



Sistemas y clasicación de sistemas



Sistema: entradas, salidas y modelo

Si u y y son las señales de entrada y de salida respectivamente, de un sistema,entonces el sistema se considera como una transformación de u en y. Estarepresentación (modelo) se denota por

y = T(u)

donde T es el operador que representa alguna regla bien definida mediante lacual la excitación u es transformada en la respuesta y.



¿Qué es un modelo?

Es una representación abstracta, conceptual, gráfica o visual, física defenómenos, sistemas o procesos a fin de analizar, describir, explicar, simular(en general, explorar, controlar y predecir) esos fenómenos o procesos. Unmodelo permite determinar un resultado final a partir de unos datos deentrada.



Calisicación de modelos (Perspectiva ingenieril)

1 Modelo físico: Es una representación o copia —generalmente a escala,ya sea mayor o menor— de algún sistema o proceso de interés quepermite su estudio en diferentes circunstancias.

2 Modelos matemáticos: Describe el comportamiento de un sistema oun fenómeno utilizando conceptos y lenguaje matemáticos.

3 Modelos numéricos: Es un programa informático que simulanuméricamente el comportamiento de un sistema. Tal programa estábasado en el modelo matemático de dicho sistema y puede ejecutarse enuna computadora o en una red de computadoras.

Nota:Los modelos numéricos resultaron de utilizar las computadoras con el propósito de resolver lasecuaciones que gobiernan un sistema no de forma analítica sino numérica.



Ejemplo de un Modelo Físico: Tanque NuméricoEn un tanque numérico se pueden producir olas multidireccionales, corrientes yviento para simular condiciones marinas del mundo real. Se usa para evaluar elrendimiento, la eficiencia y la seguridad de los sistemas marinos.

Lugar: St. John’s, Newfoundland, Canadá. (National Research Council Canada)



Ejemplo de Modelo Matemático: Ec. de Navier-Stokes

(Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes). Es conjunto de EDP no lineales que describen elmovimiento de un fluido. Gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededorde vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.



Ejemplo de Modelo Matemático: La ecuación de onda

Es una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de 2° orden quedescribe la propagación de una variedad de ondas: sonoras, de luz, ondas enel agua, etc.

∂2u∂t2 = c2∆u

donde ∆ : ∇2 es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a lavelocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C,esta constante es de cerca de 343 [m/s].

¿é es ∇2?



Ejemplo de Modelo Matemático: Atractor de Lorenz

El sistema de Lorenz es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasestudiadas por primera vez por Edward Lorenz.

dx(t)dt

= a(x(t)− y(t))

dy(t)dt

= x(t)(b − z(t))− y(t)

dz(t)dt

= x(t)y(t)− cz(t)

Las ecuaciones de Lorenz forman un modelo simplificado para láseres,dinamos, termosifones, motores DC sin escobillas, circuitos eléctricos,reacciones químicas y ósmosis directa. Es un conjunto de ecuaciones nolineal, no periódico, tridimensional y determinista.



Ejemplo de Modelo Matemático: Atractor de Lorenz

Evolución en el tiempo dex(t), y(t), z(t).

Retrato de fase (tridimensonal)

Teoría del caos

Efecto mariposa



Ejemplo de Modelo Matemático: Circuito RLC

El modelo matemático de un circuito RLC es una ecuación diferencialordinaria lineal de primer orden invariante en el tiempo.

Ld2V (t)dt2 + R

dV (t)dt

+1CV (t) =

Vf (t)C



Ejemplo de Modelo Numérico: Simulación de uidos



Modelos matemáticosClasicación según la información disponible del sistema

Un modelo matemático se pueden clasificar según el conocimiento previo que seutilizó para su formulación.

Modelo de caja blanca (white-box model): es un modelo que se formulócompletamente a partir del conocimiento previo de la física del sistema.

Modelo de caja gris (grey-box model): es un modelo que se formuló a partirde cierto conocimiento disponible sobre la física del sistema, pero que involucraciertos parámetros (coeficientes) que deben determinarse a partir de datosobservados (mediciones experimentales). Existen dos subcasos:

Modelado físico: en este tipo de modelado se utiliza una estructura basada en lafísica del sistema, la cual involucra cierto número de parámetros a estimar apartir de datos experimentales.Modelado semifísico: en este tipo de modelado se utiliza cierto conocimientosobre la física del sistema con el fin de sugerir combinaciones lineales o nolineales de los datos medidos que representen el comportamiento del sistema.



Clasicación según la información disponible del sistemaClasicación según la información disponible del sistema

Modelo de caja negra (black-box model): para formular este tipo de modelono se dispone de ninguna información sobre la física del sistema. La estructuradel modelo se basa en familias de funciones que tienen buena flexibilidad y quehan tenido "éxito en el pasado" (e.g. polinomios).



Clasicación de sistemas por número de entradas y salidas

Sistemas SISO

Sistemas MIMO

Sistemas SIMO

Sistemas MISO



Sistemas en tiempo continuo y en tiempo discretoUn sistema en tiempo continuo es un sistema cuyas entradas y salidas son detiempo continuo.

Si las entradas y salidas son de tiempo discreto, entonces el sistema sellama sistema en tiempo discreto.

u(t)→ y(t)

u[n]→ y[n]

Modelo de un sistema continuo:dy(t)dt

+ ay(t) = bu(t)

en la cual u(t) es la entrada y y(t) es la salida y a, b son constantes. Modelode un sistema discreto:

y[n] + ay[n− 1] = bu[n]Lizeth Torres | 9th September 2019 18 / 111


Sistemas con y sin memoria

Se dice que un sistema es instantáneo o sin memoria si su salida en cualquierinstante depende de su excitación en ese instante, no de ningún valor pasadoo futuro de la entrada.

Si esto no es así, se dice que el sistema tiene memoria.

Modelo de un sistema sin memoriaUn ejemplo de un sistema sin memoria es un resistor R; con la corriente u(t)tomada como entrada y el voltaje tomado como la salida y(t), la relación deentrada-salida (modelo) para el resistor es:

y(t) = Ru(t)



Sistemas con y sin memoriaUn sistema que no es instantáneo se dice dinámico y que tiene memoria

Modelo de un sistema con memoriaUn capacitor C con la corriente como la entrada u(t) y el voltaje como la salida y(t); entonces,

y(t) =1C

∫ t

0u(τ)dτ

Modelo de un sistema con memoria: Acumulador

y[n] =n∑−∞

u[k]

Modelo de un sistema con memoria: Retardoy[n] = u[n− 1]



Invertibilidad, sistemas invertibles y sistemas inversos

Se dice que un sistema es invertible si excitaciones distintas producenrespuestas distintas.

Si un sistema es invertible, entonces existe un sistema inverso, el cual, al serexcitado con la salida del sistema invertible, reproduce la entrada; i.e , en unsistema invertible siempre es posible recuperar la entrada si se conoce lasalida.

Modelos de un sistema invertible y no invertibley(t) = 2u(t), y(t) = u2(t)

Invertible, No invertible.



Sistemas causales

El término causalidad connota la existencia de una relación causa-efecto.

Se dice que un sistema es causal si su salida en cualquier instante detiempo arbitrario depende solamente de los valores de la entrada en eseinstante y en el pasado.

A estos sistemas también se les refiere como no anticipativos, ya que elsistema no anticipa, ni depende de valores furturos de la entrada.

Modelo de un sistema no causal

y(t) = u(t + 1)



Sistemas estables

Un sistema estable es aquél en el cual pequeñas excitaciones producenrespuestas que no divergen (no aumentan sin límite).

EstabilidadUn sistema es estable si para una entrada acotada, la salida correspondientetambién está acotada. Es decir, si la entrada está definida por

|u| ≤ k1

entonces las salida está definida por

|y| ≤ k2

donde k1 y k2 son constantes reales finitas.



Invariabilidad en el tiempo

Un sistema es invariable en el tiempo si un desplazamiento en el tiempo (retraso o avance) en laentrada resulta en un desplazamiento igual en la salida.

u(t − t0)→ y(t − t0)

u[n− n0]→ y[n− n0]

Ejemplosy(t) = sin (u(t)) ==> Invariantey[n] = nu[n] ==> Variante

Los sistemas invariantes tienen parámetros/coeficientes constantes (e.g. R: Resistencia, C:Capacitancia, k: Rigidez). Los sistemas variantes tienen al tiempo como coeficiente o coeficientesdepedientes del tiempo.



Sistemas lineales

Un sistema lineal, en tiempo continuo o discreto, es aquél que posee laimportante propiedad de la superposición. Entonces un sistema es lineal si

1 La respuesta a u1(t) + u2(t) es y1(t) + y2(t). Propiedad de aditividad.

2 La respuesta a αu1(t) es αy1(t), donde α es cualquier constante.Propiedad de homogeneidad o escalamiento.

Ejemploy = au + b

donde a y b son constantes. Si b 6= 0, el sistema es no lineal porque u = 0 implica que y = b 6= 0(propiedad de homogeneidad). Si b = 0, el sistema es lineal.



Un sistema conservativo es un sistema en el que la energía se conserva, i.e.la energía total del sistema es constante en cualquier instante de tiempo.Un sistema disipativo es un sistema en el que una parte de la energía sedisipa en forma de calor (i.e. se transforma en energía térmica).



Sistemas lineales

EjerciciosDiga si las siguientes ecuaciones, fungiendo como modelos de sistemas, sonlineales o no, causales o no, variables en el tiempo o no, tienen memoria ono.

1 y(t) = tu(t)

2 y[n] = u2[n]

3 y(t) = u(t − a)

4 y(t) + ay(t) = bu(t)

5 y(t) + ay2(t) = bu(t)

6 y(t) =1T

∫ t+T/2

t−T/2u(τ)dτ



Sistemas lineales

Determine cuáles de las siguientes ecuaciones, fungiendo como modelos desistemas, son invertibles y cuáles no los son.

Ejercicios1 y(t) = un(t)

2 y(t) = u(3t − 6)

3 y(t) = cos [u(t)]


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Variables generalizadas, esfuerzo (e) y flujo (f )

Variables generalizadas, esfuerzo (e) y ujo (f )

Un simple ejemplo de transmisión de energía es una fuente eléctrica (la cualpuede ser una batería o una fuente de poder de laboratorio) conectada a unacarga resistiva.

La fuente de poder es una fuente de energía, el resistor es el sistema y elpuerto de energía conectándolos es el par de cables conductores.

La transmisión de potencia al resistor está dada como el producto de lasvariables del sistema, voltaje v y corriente i:

Potencia entregada al resistor= vi

La energía entregada al resistor entre los instantes t = 0 y t1 es laintegral de la potencia

Energía entregada al resistor=∫ t1

0vidt




Un concepto unificador adecuado para modelar sistemas es la energía.

La idea de ver a los sistemas como manipuladores de energía queinteractuan con entradas y salidas a través de puertos es un modeloconceptual que abarca un rango amplio de sistemas físicos.

Para desarrollar esta noción sin embargo es necesario examinar elmecanismo de las interacciones energéticas en términos de variables delsistema,las cuales determinan cómo y en qué sentido se trasnmite laenergía.




En un sistema de fluidos la transmisión de energía puede ilustrarse por unesquema de generación hidro-eléctrica.

El reservorio es una fuente de hidro-energía conectada por un puerto deenergía (tubería) a un sistema (la estación de generación dehidro-energía).

La transmisión de potencia a la estación está dada como el producto delas variables del sistema, gasto Q y la presión medida en la toma conrespecto a una presión de referencia.

Potencia entregada a la estación= PQ

La energía entregada a la estación entre los instantes t = 0 y t1 es laintegral de la potencia

Energía entregada a la estación=

∫ t1

0PQdt



Variables generalizadasEl acto de entregar energía está asociado con una variable intensiva (e. g. i, Q): unavariable de flujo (f ) y con una variable extensiva (e.g. v, P): una variable deesfuerzo (e).

Estas variables generalizadas satisfacen el siguiente postulado de potencia:

Postulado de potenciaLa potencia Pj(t) del j-ésimo componente en un sistema es el producto de dosvariables, un esfuerzo ej(t) y un flujo fj(t), donde t es el tiempo, de modo que lapotencia total del sistema P(t) está dada por

P(t) :=∑j

Pj(t) =∑j

ej(t)fj(t) = e(t)f (t).



Esfuerzo e Flujo f Potencia ef

Fuerza F (N) Velocidad v (m/s) Fv (W)Par τ (Nm) Velocidad angular ω (rad/s) τω (W)Voltaje v (V) Corriente i (A) vi (W)Presión P (N/m2) Gasto Q (m3/s) PQ (W)Temperatura T (K) Tasa de entropía S (J/Ks) TS (W)



Potencia y Energía

Potencia total entregada a un sistema= e(t)f (t)

Energía total entregada a un sistema=

∫ t

0e(t)f (t)dt

Las magnitudes físicas que pueden ser representadas por e(t) y f (t), lascuales satisfacen el postulado de potencia, se conocen como variables depotencia.



Cantidad de movimiento (momentum) y desplazamiento

p(t) :=

∫e(t)dt ==> Acumulación de esfuerzo ==> Cantidad de movimiento

q(t) :=

∫f (t)dt ==> Acumulación de flujo ==> Desplazamiento

p(t) y q(t) son conocidas como variables de (almacenamiento oacumulación) energía.

p(t) := e(t)q(t) := f (t)

e(t), f (t), p(t) y q(t) forman un conjunto natural que describe la dinámica deun sistema pues especifican la historia del flujo de energía dentro éste.



Acumulación de esfuerzo y energía

Un sistema con dinámica o un sistema dinámico es un sistema conmemoria cuya respuesta es una función de los valores presentes ypasados de sus entradas. Estos sistemas almacenan informaciónconcerniente a su pasado.

El almacenamiento de información es sinónimo del almacenamiento deenergía.



Esfuerzo e Momentum p

Fuerza F Momentum lineal pPar τ Momentum angular HVoltaje v Enlace de flujo λPresión P Momentum de presión pfTemperatura T -

Flujo f Desplazamiento q

Velocidad v Posición xVelocidad angular ω Ángulo θCorriente i Carga qGasto Q Volumen VTasa de entropía S Entropía S



Elementos básicos de un sistema

¿Cuántos elementos manipuladores de energía existen en un sistema?

1 Fuentes de energía: Dos tipos de fuentes de energía generalizadasexisten: (a) fuentes de esfuerzo y (b) fuentes de flujo.

2 Almacenadores de energía: Existen dos tipos: (a) almacenadores deesfuerzo (almacenadores de potencial) y (b) almacenadores de flujo(almacenadores cinéticos).

3 Disipadores de energía: Sólo existe un tipo: disipador de energíageneralizado.

Nota: Aunque el tipo de elementos puede estadarizarse, el desempeño de cadacomponente de tipos similares puede diferir marcadamente. Por ejemplo, un diodoeléctrico y un resistor de carbón son ambos disipadores de energía, pero ellos secomportan de manera diferente por propiedades fundamentales en su naturalezafísica.



Los almacenadores cinéticos se caracterizan por leyes constitutivas (oestado) que relacionan el flujo y el momento (cantidad de movimientos),esto es f (p) o p(f ).

Los almacenadores de potencial se caracterizan por leyesconstitutivas que relacionan el esfuerzo y el desplazamiento, esto es e(q)o q(e).

Nota: Las leyes constitutivas pueden ser lineales (ideales) o no lineales.



Ejemplos almacenadores cinéticos

Ejemplo 1Una masa m en translación es un almacenador cinético con la leyconstitutiva v = p/m, donde velocidad v es un flujo y el momento lineal pes una cantidad de movimiento.

Ejemplo 2Un inductor eléctrico con una inductancia constante L es un almacenadorcinético con una ley constitutiva i = λ/L, donde i es flujo y el enlace deflujo λ es la cantidad de movimiento.



Leyes constitutivas de almacenadores cinéticos

Masa traslacional v = p/m m (kg) masaMasa rotacional ω = H/I I (Nms2) InerciaInductor eléctrico i = λ/L L (Vs/A) inductanciaInductor de fluido Q = pf /If If (Ns2/m5) inertancia (ó Induct-

ancia hidráulica)

La inertancia es el equivalente a la inductancia en sistemas eléctricos o a la masa en sistemas mecánicos.Es la masa de agua sujeta a dos fuerzas de presión.



Energía y coenergía de almacenadores cinéticos

Sabemos que la energía se define como: E =

∫efdt. Así que sustituyendo

dp = edt, se tiene

E =

∫fdp

Cuando el integrando es el flujo f (p) del almacenador cinético, la energía esuna función de p. Esta energía, almacenada por virtud de su momento p, esllamada energía cinética T(p) definida por

T(p) :=

∫f (p)dp,

donde el integrando f (p) es la ley constitutiva.




Una función complementaría, la coenergía cinética, expresa la energíaalmacenada por virtud de su flujo f . La coenergía cinética T∗(f ) se define

T∗(f ) :=

∫p(f )df ,

donde el integrando p(f ) es la ley constitutiva p(f ) = [f (p)]−1.




Masa trasla-cional

Masarotacional

Inductoreléctrico

Inductorhidráulico

Energía T(p)p2

2mH 2

2Iλ2

2Lp2f

2IfCoenergía T∗(f ) 1

2mv2 12 Iω

2 12Li

2 12 IfQ

2

Si la ley constitutiva del almacenador cinético es lineal, entonces T(p) = T∗(f ).



Energía y coenergía de almacenadores potenciales

Sustituyendo dq = fdt en la ecuación de la energía E =

∫efdt se tiene

E =

∫edq.

Cuando el integrando es el esfuerzo e(q) de un almacenador de potencia, laenergía es una función de q. Esta función representa el trabajo que elalmacenador potencial es capaz de hacer en virtud del desplazamiento q. Elnegativo de esta función de trabajo se llama energía potencial V (q) que sedefine

V (q) :=

∫e(q)dq,




La coenergía potencial expresa la energía almacenada en virtud del esfuerzo.Se define

V ∗(e) :=

∫q(e)de,



Leyes constitutivas de almacenadores potenciales

Resorte traslacional F = kx k (N/m) resorte constanteResorte rotacional τ = kθθ kθ (Nm/rad) resorte constanteCapacitor eléctrico e = q/C C (As/V) capacitanciaCapacitor de fluido P = V/Cf Cf (m5/N) capacitancia

hidráulica




Resortetraslacional

Resorte rota-cional

Capacitoreléctrico

Capacitor defluido

Energía V (q) 12kx

2 12kθθ

2 q2

2CV 2

2Cf

Coenergía V ∗(e)F2

2kτ 2

2kθ12Cv

2 12Cf P2



Disipadores ideales

Los disipadores ideales son caracterizados por leyes constitutivas querelacionan esfuerzo y flujo, i.e., e(f ) o f (e).

EjemploUn amortiguador lineal con un coeficiente de amortiguamiento b es undisipador lineal con la ley constitutiva F = bv, donde la fuerza F es unesfuerzo aplicado y la velocidad v es un flujo.



Disipadores ideales

Elemento Ley constitutiva Variable-Unidad

Amortiguadortraslacional

F = bv b (Ns/m) Coef. de amortiguami-ento

Amortiguadorrotacional

τ = bθω bθ (Nms) Coef. de amortiguami-ento

Resistor eléc-trico

e = Ri R (Ω) Resistencia

Resistor defluido

P = RfQ Rf (Ns/m5) Resistencia de fluido



Disipadores idealesContenido y co-contenido de los disipadores ideales

La disipación de potencia de un disipador ideal por virtud de flujo f serepresenta por una función de disipación, o contenido D(f ) definida por

D(f ) :=

∫e(f )df ,

EjemploLa fuerza ejercida por un amortiguador lineal como una función de lavelocidad está dada por F = bv. El contenido es la integral de F(v):

D(v) =

∫F(v)dv =

∫bvdv =

12bv2.




El co-contenido expresa la potencia disipada por un disipador ideal por virtudde su esfuerzo e. El co-contenido G(e) está definido por

G(e) :=

∫f (e)de,

EjemploLa velocidad de un amortiguador lineal como una función de la fuerza queel amortiguador ejerce está dado por v = F/b. El co-contenido es la integral

de v(F) dado por G(F) =

∫v(F)dF =

∫FbdF =

F2

2b.




Amortiguamientotraslacional

Amortiguamientorotacional

Resistor eléc-trico

Resistorfluídico

Contenido D(f ) 12bv

2 12bθω

2 12Ri

2 12RfQ

2

Co-contenido G(e)F2

2bτ 2

2bθe2

2RP2

2Rf



Diagrama de Paynter

Variables cinemáticas (f,q): describen el movimiento de un sistema sinconsiderar las causas que lo originan.Variables dinámicas (e,p): describen las causas que originan el movimientodel sistema en estudio.



Fuentes de energía

Elemento Variable Tipo

Batería Voltaje eléctrico EsfuerzoMotor Velocidad angular FlujoReservorio Presión EsfuerzoBomba hidraulica Caudal Flujo



Lagrangiano

L(q, f ) = T∗(f )− V (q)

Co-Lagrangiano

L∗(p, e) = V ∗(e)− T(p)



Ejemplos



Puertos

Los puertos son los puntos de interconexión entre elementos ysubsistemas.

La fuentes de energía, los almacenadores y los disipadores sonelementos de un puerto, transformadores de potencia y transductoresson elementos con dos puertos.



Elementos de dos puertos

Los transformadores y transductores son dispositivos que acoplan dossubsistemas (o sistemas) dinámicos.

Los transformadores acoplan subsistemas (o sistemas) del mismodominio de energía.

Los transductores acoplan subsistemas (o sistemas) de diferentesdominios de energía.

El acoplamiento característico de estos dispositivos se expresa por leyesconstitutivas (o restricciones) que relacionan las variables del sistema (osubsistema) en el puerto 1 (e1, f1, p1, q1) del dispositivo con las variablesdel sistema (o subsistema) en el puerto 2 (e2, f2, p2, q2).

Las leyes constitutivas pueden ser funciones de variables del mismo tipo,e.g. e1 = gcl(e2), f1 = gcl(f2).

Las leyes constitutivas pueden ser funciones de variables de diferentetipo, e.g. e1 = gcl(f2).



TransformadoresLos transformadores acoplan subsistemas (o sistemas) del mismo dominio deenergía.

Figure: "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo"- Arquímedes

EjemploUna palanca ideal, es rígida, sin masa y sin fricción. Las variables de potenciaasociadas con los dos puertos de este dispositivo son las cupletas (F1, x1) y (F2, x2).



Transformadores

♠ Asumiendo eficiencia perfecta, la conservación de potencia requiere queF1x1 + F2x2 = 0.

♠ Para pequeños desplazamientos, la ley constitutiva de la palanca estadada por

φ(x1, x2) :=x1

l1+

x2

l2= 0,

φ(x1, x2) := βx1 + x2 = 0,

donde β = l2/l1 es el radio de transformación o modulo deltransformador y φ denota la restricción de desplazamiento.

♠ La derivada de la restricción de desplazamiento es: x2 = −βx1, la cual sesustituye en la ecuación de la conservación de potencia para obtener

γ(F1, F2) := F1 − βF2 = 0,

donde γ denota la restricción de esfuerzo.



Transformadores

Figure: (a) Palanca ideal, (b) Par de engranes, (c) transformador, (d) eléctrico,transformador diferencial fluídico.



Transductores

Los transductores acoplan subsistemas (o sistemas) de diferentes dominios deenergía.

? Transductores transformadores.

? Giradores.

? Transductores de señal.

? Transactores.



Transductores transformadores

Los transductores transformadores se caracterizan por un par de leyes con-stitutivas similares a las de los transformadores. Una ley tiene la forma deuna restricción de desplazamiento o posiblemente una restricción de flujo yla otra ley tiene la forma de una restricción de esfuerzo.

EjemploUn mecanismo de cremallera (dispositivo mecánico con dos engranajes,denominados «piñón» y «cremallera», que convierte un movimiento de rotaciónen un movimiento rectilíneo o viceversa.) ideal es rígido, sin masa y sin fricción.



Transductores transformadoresMecanismo de cremallera

♥ Las dos variables de potencia asociadas con los dos puertos de estedispositivo son las cupletas (F , x) y (τ, θ).

♥ Asumiendo eficiencia perfecta la conservación de la potencia requiereque Fx + τ θ = 0.

♥ La ley constitutiva está dada por x = rθ. Esta relación tiene la siguienteforma

φ(θ, x) := βθ − x = 0,

donde el modulo β es el radio del engrane r .

♥ La derivada de la restricción de movimiento es x = βθ, la cual essubstituida en la ecuación de la conservación de potencia para obtenerla restricción de esfuerzo:

γ(τ, F) := τ + βF = 0.



Transductores transformadores

Figure: (a) Mecanismo de cremallera, (b) Pistón, (c) Bomba de desplazamientopositivo.



Giradores

Se caracterizan por un par de leyes constitutivas donde ambas leyestienen la forma de restricciones de esfuerzo en las que el esfuerzo enun puerto está relacionado con el flujo en el otro puerto.

EjemploUn motor de CD ideal.

z Las variables de potencia asociadas con los dos puertos de estedispositivo son los dos pares de esfuerzo-flujo (e, i) y (τ, ω).

z Las leyes constitutivas del motor DC están dadas por τ = Kii y e = Kbω,donde Ki es una constante de torsión y Kb es la constante de la fuerzacontraelectromotriz. Estas constantes son idénticas en unidades SI, asíque en adelante serán represenatadas sólo por K .



Giradores

z Las leyes constitutivas del motor de CD se expresan

γ1(τ, i) := τ − βi = 0,

γ2(e, ω) := e − βω = 0,

donde β es la constante K .



Giradores

Figure: (a) Motor de DC, (b) Girador mecánicos, (c) Bobina de voz.



Transductores de señal

Los transductores de señal típicamente están representados por unaúnica relación constitutiva.

EjemploUn transductor piezoeléctrico genera una carga q es proporcional aldesplazamiento x.

La relación entre x y q está dada por una restricción de movimiento:

φ(q, x) := q − Kqx = 0.

NOTA: Tanto un termopar como un detector de temperatura de resistencia (RTD) generan un voltaje enrespuesta a la temperatura. Como la temperatura y el voltaje son esfuerzos, tales relacionesconstitutivas son restricciones de esfuerzo, γ(e).



TransactoresSon elementos que contienen una fuente controlada (esfuerzo o flujo) en elpuerto de salida, mientras que la variable de control (esfuerzo o flujo) operaen el puerto de entrada. En el puerto de entrada, el esfuerzo o flujo es cero.

Figure: (a) Fuente de corriente controlada por voltaje, (b) fuente de corriente controlada por corriente;(c) fuente de voltaje controlada por voltaje; y (d) fuente de voltaje controlada por corriente.


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Restricciones necesarias para la obtención de modelos.

Restricciones

♣ Físicamente, las restricciones son limitaciones en el comportamientodinámico del sistema, típicamente debido al comportamientoconstitutivo, las interconexiones de componentes y las condiciones decontorno.

♣ En términos de un modelo matemático, las restricciones son condicionesque las variables de estado deben cumplir además de las ecuacionesdiferenciales de movimiento.



Restricciones de desplazamiento

♣ Una restricción holonómica es una condición algebraica impuesta aun sistema que puede expresarse como una función del desplazamientoy del tiempo con la siguiente forma

φ(q, t) = 0,

donde q = (q1, ..., qn).♣ Las condiciones holonómicas expresadas como en la ecuación anterior

(forma estándar) se designan como restricciones de desplazamientoφ. Las condiciones holonómicas que no están en forma estándar seexpresan típicamente como restricciones de flujo.

♣ Un conjunto de restricciones desplazamiento se denota por el vector Φdado por

Φ(q, t) :=

φ1(q, t)

φm1(q, t)

= 0.



Restricciones de ujo

La derivada con respecto al tiempo de la k−ésima restricción está dada por

dφkdt

=

n∑j=1

∂φk∂qj

q +∂φk∂t

= 0

Una restricción de esta forma, que puede integrarse para obtener unarestricción de desplazamiento, se llama restricción de flujo holonómica ointegrable.



Restricciones

EjemploLas corrientes en el nodo a en el circuito satisface la siguiente restricción de flujo.

i1 − i2 − i3 = 0

Integrando esta ecuación con respecto al tiempo se obtiene

φ(q) = q1 − q2 − q3 + q20 = 0

donde q20 la carga inicial del capacitor.



Restricciones de esfuerzo

Las restricciones de esfuerzo son condiciones algebraicas que implicanesfuerzo, una variable cinemática y posiblemente el tiempo. Estasrestricciones surgen principalmente debido a las leyes constitutivaselementales que no se incluyen en las funciones de energía



Grados de libertad

Grados de libertad=Número de coordenadas - Número de restricciones



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas eléctricos

Ley de corrientes de KirchhoPara cualquier circuito eléctrico con n número de nodos y m número de ramas, lasuma algebraica de corrientes en cualquiera de sus nodos es igual a cero.

m∑j=1

akjij = 0; k = 1, 2, ..., n.

akj = +1, si la rama j está conectada al nodo k y la corriente ij sale del nodo k.akj = −1, si la rama j está conectada al nodo k y la corriente ij entra al nodo k.akj = 0, si la rama j no está conectada al nodo k.



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas eléctricos

Ley de voltajes de KirchhoPara cualquier circuito eléctrico con m número de ramas y ` número de mallas, lasuma algebraica de voltajes en cualquiera de sus mallas es igual a cero, así la ley devoltajes de Kirchhof puede ser expresada como:

m∑j=1

bkjvj = 0; k = 1, 2, ..., `.

bkj = +1, si la rama j forma parte de la malla k y en el trazo a través de la rama jse encuentra al principio el signo positivo.bkj = −1, si la rama j forma parte de la malla k y en el trazo a través de la rama jse encuentra al principio el signo negativo.bkj = 0, si la rama j no forma parte de la malla k.

Nota: El sentido de las corrientes y la polaridad de los voltajes se estable arbitrariamente.



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas mecánicos

Tercera ley de NewtonA toda reacción siempre existe una reacción igual y de sentido contrario.

Principio D’AlembertLas fuerzas aplicadas a un elemento, junto con las fuerzas de inercia forman unsistema en equilibrio.



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas mecánicos traslacionales

Tercera ley de NewtonSi un elemento A ejerce una fuerza sobre otro elemento B, éste ejercerá una fuerzade igual magnitud pero en sentido contrario al elemento A.

Principio D’Alembert∑fi = 0



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas mecánicos rotacionales

Tercera ley de NewtonSi un elemento A ejerce un par sobre otro elemento B, éste ejercerá un par de igualmagnitud pero en sentido contrario al elemento A.

Principio D’Alembert∑τi = 0



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas hidráulicos

Ley de balance de presionesLa suma de las caídas de presión alrededor de una malla es igual a cero.∑

Pi = 0

Ley de conservación de la masaLa suma algebraica de gastos en un nodo es igual cero, o las variaciones devolumen con respecto al tiempo es igual a la suma de los gastos de entrada menosla suma de los gastos de salida.∑

qe −∑

qs =dVdt



Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio para sistemas térmicos

Derivación de la primera ley de la termodinámicaEl calor absorbido por el sistema es la diferencia del calor que recibe menos el queemana.

CTdTdt

=∑

Qe −∑

Qs

donde T es temperatura y CT es capacitancia térmica.


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos.

Figure: Elementos resitivos.Lizeth Torres | 9th September 2019 85 / 111


Figure: Elementos capacitivos.



Figure: Elementos inductivos.



Ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange

Sistemas conservativosddt

(∂L∂qi

)− ∂L∂qi

= Fi

Sistemas disipativosddt

(∂L∂qi

)− ∂L∂qi

+∂D∂qi

= Fi


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos. | Modeladode sistemas mecánicos

Ejemplo: Sistema masa-resorte

Lagrangiano

L = T ∗(v)− V(x) = T ∗(x)− V(x) =12mx2 − 1

2kx2 =

12mv2 − 1

2kx2

Derivación∂L∂v

= mv = mx;ddt

(∂L∂x

)= mx;

∂L∂x

= −kx

Ecuación de Euler-Lagrangeddt

(∂L∂x

)− ∂L∂x

+∂D∂x

= mx + kx = 0



LagrangianoL(x, x) = T ∗(x)− V(x)

L(x, x) =12m1x2

1 +12m2x2

2 −12k1x2

1 −12k2(x2 − x1)

2

DisipaciónD(x) = 1

2b1x12



Derivación∂L(x, x)

∂x1= m1x1;

ddt

(∂L(x, x)

∂x1

)= m1x1;

∂L(x, x)

∂x1= −k1x1 − k2x1 + k2x2

Derivación∂L(x, x)

∂x2= m2x2;

ddt

(∂L(x, x)

∂x2

)= m2x2;

∂L(x, x)

∂x2= −k2x2 + k2x1

Derivación∂D(x)

∂x1= b1x1



Ecuación de Euler-Lagrange para (x1, x1)ddt

(∂L(x, x)

∂x

)− ∂L(x, x)

∂x+∂D(x)

∂x= m1x1 + k1x1 + k2(x1 − x2) + b1x1 = 0

Ecuación de Euler-Lagrange para (x2, x2)ddt

(∂L(x, x)

∂x

)− ∂L(x, x)

∂x+∂D(x)

∂x= m2x2 + k2(x2 − x1) = f (t)


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos. | Modeladode sistemas eléctricos

Ejemplo: Circuito RLC

Lagrangiano

L = T ∗(i)− V(q) =12Li2 − 1

2Cq2 =

12q2 − 1

2Cq2

Disipación

D(q) =12Ri2 =

12Rq2

Derivación∂L∂q

= Lq;ddt

(∂L∂q

)= Lq;

∂L∂g

= − qC

;∂D∂q

= Rq


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos. | Modeladode sistemas eléctricos

Ejemplo: Circuito RLC

Ecuación de Euler-Lagrangeddt

(∂L∂q

)− ∂L∂qi

+∂D∂qi

= Lq +qC

+ Rq = Lq + Rq +1Cq = 0

Ley de voltajes de Kirchho

Ldidt

+ Ri +1C

∫ t

0i(τ)dτ = 0

En términos del VC (q = CVC)

LCd2VC

dt2 + RCdVC

dt+ VC = 0


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos. | Modeladode sistemas hidráulicos

Ejemplo: Tubería rígida

En una tubería:

La resitencia hidráulica se define: Rf =ρLfQ0

2φA2r

.

La inductancia hidráulica (inertancia) se define: Lf =ρLAr

.

La capacitancia hidráulica se define: Cf =Ar

ρg

ρ: densidad, L: longitud de la tubería, f : factor de fricción, φ diámetro, Ar : áreatrasversal, g: aceleración gravitacional y Q0 gasto volumétrico en un punto deoperación.



Ejemplo: Tubería rígida

Lagrangiano

L = T ∗(Q)− V(V ) =12LfQ2 − V 2

2Cf

Q es gasto volumétrico y V es volúmen.

Disipación

D(Q) =12RfQ2

Derivación∂L∂Q

= LfQ;ddt

(∂L∂Q

)= Lf Q;

∂L∂V

= − VCf

;∂D∂Q

= RfQ



Tubería rígida

Ecuación de movimiento

Lf Q +VCf

+ RfQ = 0

Dado que V = Ar∆H , entonces


Lf Q +Ar∆HCf

+ RfQ = 0

∆H es carga de presión (columna de agua).



Tubería rígida

Ecuación de movimientoρLAr

Q + ρg∆H +ρLfQ0

2φA2rQ = 0


Q = −gAr

L∆H − fQ0

2φArQ



Modelo de una red de tuberías

Q1

Q2

Q3

Q4

H1

H2 H3

Hin

QD2 QD1

Ki =fi|Q0i|2φAr

, βi =gAr

Li, αi : factor de

estabilidad/convergencia numérica.

Ec. para cada tubería de la red.

Q1 = −K1Q1 + β1(Hin − H1)

Q2 = −K2Q2 + β2(H1 − H2)

Q3 = −K3Q3 + β3(H3 − H2)

Q4 = −K4Q4 + β4(H1 − H3)

Ec. para cada nodo de la red.

H1 = α1(Q1 − Q2 − Q4)

H2 = α2(Q2 + Q3 − QD1)

H3 = α3(Q4 − Q3 − QD2)

QD1 y QD2 son los flujos de demanda.



Modelo de una red de tuberíasRepresentación matricial

La topología de la red puede describirse por medio de la siguiente matriz deincidencia:

A(i,j) =

−1 si el ujo de la tuberιa j sale del nodo i

0 si la tuberιa j no esta conectada al nodo i1 si el ujo de la tuberιa j entra al nodo i

(1)



Modelo dinámico de una tuberíaRepresentación matricial

A(3,4) =

−1 0 0

1 −1 00 −1 11 0 −1

,

X =

Q1Q2Q3Q4H1H2H3

Ec. para cada tubería de la red.

Q1 = −K1Q1 + β1(Hin − H1)

Q2 = −K2Q2 + β2(H1 − H2)

Q3 = −K3Q3 + β3(H3 − H2)

Q4 = −K4Q4 + β4(H1 − H3)

Ec. para cada nodo de la red.

H1 = α1(Q1 − Q2 − Q4)

H2 = α2(Q2 + Q3 − QD1)

H3 = α3(Q4 − Q3 − QD2)



Modelo dinámico de una tuberíaRepresentación matricial

A(3,4) =

−1 0 0

1 −1 00 −1 11 0 −1

,

X =

Q1Q2Q3Q4H1H2H3

dXdt

=

(−K ΨA

−ΠAT 0

)X +

(ΨBC1ΠBC2

)dondeK = diag(K1,K2,K3,K4),Ψ = diag(β1, β2, β3, β4),Π = diag(α1, α2, α3, α4),BC1 = (Hin, 0, 0, 0)T ,BC2 = (0,QD1,QD2)

T ,0: Matriz de ceros.


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Caracterización de variables asociadas a los sistemas mecánicos,hidráulicos, térmicos e híbridos. | Modeladode sistemas híbridos

Sistema Electromecánico

El sistema electromecánico que se muestra en la figura se puede considerarcomo la representación más simple de un ventilador domestico. La parteeléctrica representa el sistema de arranque del motor y la parte mecánicarepresenta la inercia de éste, las aspas del ventilador se representan en estecaso como un amortiguador rotacional.




Se puede identifica una parte eléctrica formada por la fuente de alimentación, unaresistencia y una inductancia; otra parte del sistema es la mecánica que estáformada por un resorte rotacional (KT ), una inercia (J) y un amortiguadorrotacional (Bθ). Ambas partes están interconectadas a través de un elementohíbrido (motor eléctrico ideal de corriente directa).

Leyes constitutivas (parte eléctrica)

VR = iRR; VL = LdiLdt

; Va = Kaωm (2)

Leyes constitutivas (parte mecánica)

TKT = KT (θm − θ); TJ = Jd2θ

dt2 ; TBθ = Bθdθdt

; Tm = Kf im; (3)




d3θ

dt3 +

[KT (RJ + LBθ) + Kf KaBθ

LJKT + Kf KaJ

]d2θ

dt2

+

[KT (RBθ + KaKf )

LJKT + KaKf J

]dθdt

=Kf KT

LJKT + KaKf Jv(t)

(4)

Haciendo ω = dθdt se tiene que el modelo matemático del sistema en función de la

velocidad angular a la que giran las aspas del ventilador es:

d2ω

dt2 +

[KT (RJ + LBθ) + Kf KaBθ

LJKT + Kf KaJ

]dωdt

+

[KT (RBθ + KaKf )

LJKT + KaKf J

]ω =

Kf KT

LJKT + KaKf Jv(t)

(5)


Dinámica de Sistemas Físicos - T1 | Enfoque energético en el modelado de sistemas físicos

Energía Total - Sistemas Conservativos

Hamiltoniano: Energía Total

H∗(q, p) = T(p) + V (q)

Co-Hamiltoniano: Co-energía Total

H∗(f , v) = H∗(q, p) = T∗(f ) + V ∗(e) = T∗(q) + V ∗(p)



Energía Total - Sistemas disipativos

Energía Total

H(q, p) = T(p) + V (q) +

∫ t

0D(f )dt

Co-energía Total

H∗(f , v) = T∗(f ) + V ∗(e) +

∫ t

0G(e)dt



Circuito LC

¿Cuál es el Hamiltoniano de un circuito LC?

H(λ, q) =λ2

2L+

q2

2C

¿Cuál es el Co-Hamiltoniano de un circuito LC?

H∗(i, v) =12Li2 +

12Cv2

H(λ, q)

dt= 0.



Sistema masa-resorte

Hamiltoniano

H(p, x) =p2

2m+

12kx2



Circuito RLC

Energía total

H(λ, q, i) =λ2

2L+

q2

2C+

12Ri2∫ t

0dτ

H(λ, q, i)dt

=12Ri2



qatlho’

Danke谢谢Grazie

Спасибо

ขอบคณ

9C4#5$Ìشكرا Merçi

Gracias

நனறி

Obrigado

Ευχαριστώ

감사합니다ध यवाद

Terima kasih

Thank you

ありがとう

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