DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos en relación a las causas que lo producen, las fuerzas. Fuerza: toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, o de producir en él estado de tensión o deformación. Las fuerzas tienen carácter vectorial, es decir, para saber el efecto que una fuerza tiene sobre un cuerpo (o sistema material) es necesario conocer:

su magnitud física

dirección y sentido de su actuación

su punto de aplicación (en ocasiones) La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton (N) Un newton es la fuerza que ejercida sobre una masa de un kilogramo le comunica una aceleración de 1 m/s2 Un kilopondio (kp) es la fuerza que ejercida sobre una masa de un kilogramo le comunica una aceleración de 9,8 m/s2

1kp = 1kg·9,8 m/s2= 9,8 kg·m/s2 = 9,8 N

Si el cuerpo o sistema sobre el que actúa es deformable (puede cambiar la distancia relativa entre las partículas), el efecto sobre él va a depender del punto donde esté aplicada la fuerza, por lo que se consideran vectores localizados.

Si el cuerpo sobre el que actúa una fuerza es un sólido rígido, indeformable (la distancia relativa entre las partículas del sistema permanece inalterable), las fuerzas se consideran como vectores deslizantes

*Sólido rígido: conjunto de puntos materiales absolutamente indeformables, es decir, la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido permanece invariable.

1. LEYES DE NEWTON Todo el desarrollo de la Dinámica clásica está basado en las tres leyes enunciadas por Newton, que son tomadas como postulados. Primera ley o ley de inercia. “Si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna, o bien todas las fuerzas están en equilibrio, el cuerpo no se acelera conservando el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme en que se encontraba”.

-Sistemas inerciales: cumplen la ley de inercia, porque están en reposo o se mueven con traslación uniforme. -Sistemas no inerciales: no cumplen la ley de inercia pues se trasladan con movimiento acelerado,

o están dotados de un movimiento de rotación en torno a un eje. La Tierra es un sistema no inercial puesto que está rotando sobre sí misma. Segunda ley o ley de movimiento: “Si sobre un sistema material actúa una fuerza, éste toma una aceleración cuya magnitud o módulo es el cociente del módulo de la fuerza partido por la masa del sistema material, y su dirección y sentido es el de la fuerza”.

(Ecuación fundamental de la mecánica) La misma fuerza actuando sobre masas distintas les comunica aceleración distinta; a mayor masa menor aceleración. Tercera ley o ley de acción y reacción: “Si un sistema material ejerce una fuerza sobre otro sistema material, éste último ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud y dirección pero de sentido opuesto; a una se le llama acción y a la otra, reacción” (es un par directamente opuesto).

Las fuerzas ejercidas entre sistemas pueden ser: - De contacto directo. Ejemplo: un empujón, el transporte de una piedra, etc. - De acción a distancia. Ejemplo: la fuerza que la tierra ejerce sobre los cuerpos y que constituye el peso de los mismos (fuerza gravitatoria terrestre).

2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL (Newton) La ley que rige la tracción mutua entre dos cuerpos aislados también fue formulada por Newton y se conoce como Ley de Gravitación Universal que es muy importante para estudios referentes al movimiento de planetas, naves espaciales y satélites artificiales. Esta postula que existe una fuerza de atracción entre cada par de objetos que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Estas fuerzas, en virtud de la tercera ley de Newton son iguales y opuestas. Una masa puntual m situada en la superficie terrestre es atraída por la Tierra con una fuerza, que se denomina peso, de módulo:

En el caso de que la masa se encuentre a una distancia h de la superficie terrestre, la fuerza con que la Tierra atrae a la masa es:

Al aumentar la distancia desde la superficie terrestre, la fuerza va siendo menor.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO El movimiento de un punto material P(x.y,z) de masa m sobre el que actúa un campo de fuerzas

cuya resultante es queda definido por:

Vector posición:

Vector velocidad:

Vector aceleración:

Según la 2ª Ley de Newton: De esta ecuación vectorial se obtienen tres ecuaciones escalares:

Integrando 2 veces obtendremos la ecuación de la trayectoria del punto:

4. CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL

Vector, producto de la masa por la velocidad, cuya dirección y sentido coinciden con los de la velocidad.

Teorema de la Cantidad de movimiento “La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho punto o partícula móvil”.

Es otra forma de enunciar la segunda Ley de Newton:

La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un punto material es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto.

Para el caso particular de que , resulta , es decir, la cantidad de movimiento del punto se mantiene constante.

Si

5. MOMENTO CINÉTICO O MOMENTO ANGULAR:

Se llama momento cinético o momento angular, con respecto a un punto fijo O, de una partícula al momento respecto a dicho punto de su cantidad de movimiento siendo M la posición del punto móvil en un instante determinado de su movimiento.

Teorema del momento cinético: “La derivada con respecto al tiempo del momento cinético respecto a un punto es igual al momento respecto a dicho punto de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula”.

Teorema de conservación del momento cinético:

Para el caso particular de que entonces,

“Si el momento de las fuerzas que actúan sobre una partícula respecto a un punto es nulo, el momento cinético respecto a tal punto es constante”.

Esto ocurre si la fuerza que actúa sobre el punto material es una fuerza central (fuerzas cuya dirección o línea de acción pasa siempre por un punto fijo llamado centro de fuerzas y es función únicamente de la distancia a dicho punto. Son fuerzas centrales la gravitacional, la recuperadora elástica y la eléctrica), el momento de la fuerza respecto a ese punto es nulo, y en consecuencia, el momento cinético constante en módulo, dirección y sentido. Además se cumple que la trayectoria es plana y cumple la ley de áreas, es decir, en tiempos iguales se barren áreas iguales. Ejemplos de fuerzas centrales: el campo gravitatorio terrestre, la fuerza de atracción de un electrón por el núcleo del átomo y las fuerzas atractivas o repulsivas entre partículas cargadas eléctricamente.

6. CAMPO DE FUERZAS Un campo de fuerzas es toda región del espacio en la que un punto material situado en cualquier lugar del mismo está sometido a la acción de una fuerza perfectamente definida en módulo, dirección y sentido.

Por tanto, las fuerzas dependen sólo de la posición (x,y,z) del punto de manera unívoca, es decir que a cada punto se le asocia una fuerza. El campo de fuerzas es vectorial.

El campo de fuerzas más conocido es el gravitatorio:

7. LÍNEAS DE FUERZA

Son curvas imaginarias que tienen la propiedad de ser tangentes en cada uno de sus puntos a la fuerza que actúa en ese punto. Si en un punto (x,y,z) actúa una fuerza , y el vector tangente en ese

punto (elemento diferencial de arco) es de la definición de línea de fuerza se deduce que estos dos vectores tienen que ser paralelo, luego su producto vectorial nulo, y sus componentes proporcionales:

de donde se obtienen las dos ecuaciones diferenciales que definen una línea de fuerza, su integral nos dará la ecuación de la curva que define la línea de fuerza. * CASO PARTICULAR: Cuando la fuerza es una fuerza central, Las líneas de fuerza son rectas que pasan todas por el centro de fuerzas

8. TRABAJO Considerando un punto material de masa m que se mueve sobre una trayectoria curva, bajo la acción de una fuerza. Durante un tiempo elemental el punto sufre un desplazamiento elemental, desde una posición A a una posición B, de módulo:

Se define el trabajo elemental realizado por una fuerza que actúa sobre una partícula, como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento elemental

El trabajo de una fuerza es igual al trabajo realizado por la componente de la fuerza en sentido del desplazamiento o componente tangencial. La componente normal de la fuerza afecta a la dirección del movimiento pero no a la velocidad.

Si fuera perpendicular a el trabajo sería nulo (puesto que ). El trabajo es una magnitud escalar. Cuando el desplazamiento de la partícula entre dos posiciones A y B no es infinitesimal, el trabajo total, se obtiene por integración (suma de todos los trabajos elementales) de la expresión anterior, es decir la circulación del vector fuerza a través de la trayectoria seguida por la partícula para pasar de un punto A a otro B de la misma.

Si la fuerza es variable y conocemos su valor en función del arco, la expresión anterior equivale a calcular el área rayada bajo la curva. La fuerza variable puede aproximarse a una serie de fuerzas constantes en pequeños intervalos de manera que Trabajo total = suma de áreas

Para el caso particular en el que la fuerza sea constante, el trabajo (o área bajo la curva) es equivalente a un rectángulo. En general, el trabajo depende del camino seguido por el punto para pasar de un punto A a otro punto B. Pero ciertos campos de fuerzas tienen la propiedad de que el trabajo realizado por las fuerzas del campo, al pasar de una posición inicial A a otra final B, no depende del camino recorrido, sino que depende únicamente de la posición inicial y de la final del punto material. A estos campos se les llama conservativos o que tienen o derivan de un potencial, y las fuerzas que actúan en estos campos se les llama fuerzas conservativas. Ejemplo: campo gravitatorio.

9. ENERGIA POTENCIAL Si en cada punto del espacio donde está definido un campo de fuerzas conservativo existe una función escalar U(x,y,z) que es función de la posición del punto y tal que al derivarla se obtiene la fuerza que actúa en dicho punto cambiada de signo, a esa función se le llama energía potencial. Las relaciones entre las componentes de la fuerza y la energía potencial son:

El trabajo elemental en todo campo de fuerzas conservativo es igual a la diferencial exacta de la energía potencial cambiada de signo:

De manera que el trabajo total realizado por la fuerza es:

Puesto que la función subintegral es la diferencial exacta de U(x,y,z) , el trabajo sólo depende de los valores inicial y final del potencial y no depende de la trayectoria, es independiente del camino seguido y sólo depende de la posición inicial y final. El trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria cerrada, desde un punto inicial que es al mismo tiempo el final, en un campo de fuerzas conservativo es nulo.

La energía potencial es escalar, se suman algebraicamente. Los campos de fuerza son funciones vectoriales, éstos se suman vectorialmente. Cuando las fuerzas derivan de un potencial diremos que la fuerza es el gradiente del potencial cambiado de signo:

Donde el operador nabla es el vector simbólico:

Aplicando escalarmente el operador nabla al potencial escalar U(x,y,z), se obtiene su gradiente:

Aplicando vectorialmente el operador nabla al campo vectorial de fuerzas se obtiene su rotacional:

Si se cumple que entonces la fuerza es conservativa. La unidad de trabajo en el sistema internacional es julio (J). Un julio es el trabajo que se realiza cuando se aplica una fuerza de un newton para desplazar una partícula una distancia de un metro en la misma dirección y sentido que la fuerza: 1J= 1N·1m Superficies equipotenciales En un campo de fuerzas conservativo, el lugar geométrico de los puntos en los que el potencial toma el mismo valor se denomina superficie equipotencial, y su ecuación sería

Las superficies de nivel no se cortan aunque pueden estar tan próximas como queramos, es decir, no tienen puntos en común.

10. POTENCIAL GRAVITATORIO O GRAVITACIONAL El potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio es una magnitud escalar que se define como el trabajo por unidad de masa que una fuerza debe realizar para transportar un cuerpo a velocidad constante, desde el infinito, hasta un punto considerado de dicho campo. Su unidad en el SI es el J/kg.

(Fórmula general)

donde

11. FUERZAS DE ROZAMIENTO

Las fuerzas de rozamiento que actúan entre dos superficies rugosas son no conservativas o disipativas:

el trabajo realizado a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo,

el trabajo depende del camino seguido

se oponen al movimiento de un cuerpo sobre la superficie de otro, y actúan paralelamente a la superficie en común.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal ejercida por una superficie sobre la otra.

donde μ: coeficiente de rozamiento estático Para las fuerzas no conservativas no existe energía potencial, ya que el trabajo depende de la trayectoria y no es función de la posición inicial y final.

12. POTENCIA Se llama potencia media de una fuerza al trabajo realizado dividido por el tiempo que emplea en realizarlo.

Se llama potencia instantánea al cociente entre el trabajo elemental y el tiempo que emplea en realizarlo, que es el producto de la fuerza por la velocidad en ese instante.

La unidad del SI de potencia es el watio (W):

Otra unidad muy utilizada es el Caballo de Vapor (CV):

13. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

Supongamos un punto material de masa m que en un instante determinado genérico t, tiene una velocidad . Se llama fuerza viva del punto en ese instante al producto , y se llama semifuerza

viva o energía cinética del punto al producto

. Cuando el punto pasa de la posición A a la B,

durante ese intervalo de tiempo, su energía cinética varía:

Durante ese mismo intervalo de tiempo, la fuerza provoca un desplazamiento elemental , siendo el trabajo elemental realizado por dicha fuerza:

Se cumple que:

Teorema de las fuerzas vivas. “El trabajo total para pasar una partícula desde una posición a otra, es igual a la variación de la energía cinética”. El teorema de las fuerzas vivas se cumple SIEMPRE, tanto si las fuerzas que actúan son conservativas como si son no conservativas. Para el caso particular que las fuerzas sean conservativas:

Como siempre se cumple que:

14. TEOREMA DE CONSEVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA: “Si las fuerzas que actúan sobre un punto material son conservativas, la energía mecánica total del punto se mantiene constante”.

En cada punto, la suma de la energía cinética más la energía potencial se mantiene constante.

Si sobre un punto material actúan fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se mantiene constante. Si sobre una partícula actúan dos fuerzas:

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica total de la partícula Fuerzas no conservativas o disipativas: en estos casos no se conserva la energía mecánica. Ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento; parte de la energía mecánica se disipa en forma de calor. En resumen:

Se cumple siempre

Se cumple sólo para fuerzas conservativas