Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas,

Director de tesis: Luis L. BonillaDepartamento de Matemáticas,

Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid

Estudio numérico y asintótico del Estudio numérico y asintótico del efecto Gunn en varias dimensiones efecto Gunn en varias dimensiones

descrito por el modelo dedescrito por el modelo deKroemer de convección-difusiónKroemer de convección-difusión

Lectura de Tesis Doctoral

Diodos Gunn

SHF Microwave Parts Co.

Diodos Gunn - Aplicaciones

• medidores de frecuencias

• transmisores y receptores

• interruptores

• radares

• detectores de movimiento

• faros ...

Interés Matemático

• Oscilaciones autosostenidas

• Duplicación del periodo

• Bloqueos de la frecuencia

• Estructuras caóticas

• Modelos de EDP’s no lineales

rutas al caos, lenguas de Arnold ...

con ecuaciones integrales acopladas, condiciones de contorno complicadas, dominios no triviales, soluciones que desarrollan ondas de choque ...

Herramientas

• Análisis Asintótico

• Métodos Numéricos

• Estudio de Sistemas Dinámicos

• Problemas de Frontera Libre

I. El efecto Gunn

II. El modelo

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D

V. El problema de frontera libre

VI. Conclusiones

Teoría y experimentos

1. Ecuaciones2. Geometrías

1. Simulaciones numéricas2. Estados estacionarios3. Análisis asintótico 1. Conclusiones

2. Problemas abiertos

Esquema

Nuevos patrones

1. Planteamiento2. Resolución 1D, 1½D

I. El efecto GunnE(x,t)

X=0 X=L I(t)VX

Experimentos deJ. B. Gunn

(1963)

V

I

t

A

El Mecanismo de transferencia entre valles

Diagrama de bandas del n-GaAs

Banda de conducción

Banda de valencia

mayor masa efectiva:

Mayor masa efectiva

Menor movilidad

Menor velocidad media

Mayor campo eléctrico

no lineal

(Ridley-Watkins 1961, Hilsum 1962)

I. El efecto Gunn

Curva de velocidad de los electrones debida a un campo eléctrico

(Kroemer 1964)

I. El efecto Gunn

Esquema del circuito eléctrico

Zona de acumulación

Reorganización de los electrones en una muestra den-GaAs sometida a una diferencia de potencial constante:

Zona vacía

V

Zona normal

Zona normal

I. El efecto Gunn

La onda del campo eléctrico

Ecuación de Poisson:

luego:

I. El efecto Gunn

Experimentos Patrón 1D

B. Willing, J. C. Maan (1994)

• muestra rectangular de GaAs SI• contactos planos situados en los bordes

(imágenes: tesis de Willing)

Geometría:

Oscilaciones periódicas de la corriente

Velocidad de la onda: constante

Experimentos - Patrón 1D

Experimentos

Patrón 1½D

cátodocátodo ánodoánodoB. Willing, J. C. Maan (1994)

(imágenes: tesis de Willing)

• muestra rectangular de GaAs SI• contactos circulares situados en el interior

Geometría:

Experimentos – Patrón 1½DResultado:

evolucióntemporal:

1, 2, 3, 4.

Patrón radial:- la onda es un anillo - desaparece en el interior

Oscilaciones periódicas de la corriente

La onda acelera

Experimentos – Patrón 1½D

II. El modelo de Kroemer para el efecto Gunnen muestras multidimensionales de n-GaAs

(x,t): Potencial eléctrico

n(x,t): Concentración de electrones• Variables:

alternativamente: E(x,t): Campo eléctrico irrotacional:

• Parámetros:

L: separación entre contactos : voltaje aplicado

rc: radio típico de los contactos vs: velocidad de saturación

: coeficiente de difusión: resistividad de los contactos

II. El modelo multidimensional

1. Ecuación de la continuidad de la carga:

2. Ecuación de Poisson:

En unidades adimensionales

• Ecuaciones:


3. Ecuación de Ampère

En unidades adimensionales

• Alternativamente:

Ecuación de Ampère:

j = la corriente total sólo depende de t

• Condiciones de contorno:

• En los contactos c (cátodos) y a (ánodos):

• En el borde de la muestra:

ley de Ohm:

Neumannhomogéneas:

voltaje constante:

donde N es la normal a .


Difusión: <

• Estudios analíticos 1½D: =0

• Simulaciones numéricas 1½D y 2D: =0.013

Bonilla, Higuera, Phys. D 52 (1991) Higuera, Bonilla, Phys. D 57 (1992)

Para suavizar las ondas de choque.

Los efectos de la difusión están confinados en la capa límite del ánodo, caso idéntico al 1D.


<1, luego:

Resultados de existencia, unicidad y regularidad:

- en n-GaAs:

- en p-Ge: Bonilla, Hernando, Herrero,Kindelan, VelázquezPhys. D 108 (1997)

J. Liang,SIAM J. Math. Anal. Vol. 25, No. 5 (1994)

• En 1D:

• En 1½D y 2D:Problema abierto

Estudios previos:

Hasta los años 90: -- de dos tipos --

- Kroemer (1964-68)- McCumber, Chynoweth (66)

1. Simulaciones numéricas:


- Knight, Peterson (66-67)- Butcher (65-67)

2. Teoría, con J=cte y L=:

• Shaw, Grubin, Solomon (79)

El análisis asintótico es de los años 90:

- Bonilla e HigueraPhys. D 52 (1991), 57 (1992)

-- TODO EN 1D --

- Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan, Velázquez

Phys. D 108 (1997)

- Bonilla, Cantalapiedra, Gomila, Rubí

Phys. Rev. E 56 (1997)

El modelo en 1D - Geometría

E

x L0

L

el modelo

II. El modelo en 1D

E(x,t)

X=0 X=LI

X A

el circuito

Variables: E(x,t): campo eléctricoJ(t) : densidad de corriente

Condiciones de contorno

Condición inicial

Condición del bias

El modelo en 1D - Ecuaciones

Ecuación de Ampère

II. El modelo en 1D

t

0 50

E

El modelo en 1D - Simulación

7

x

J(t)

0.

10.

x

0

50

5000

Magnitudes constantes:

- la altura de la onda y su velocidad

- la corriente durante el viaje de la onda

II. El modelo en 1D

Estudiar el caso 2D:

Objetivo de la tesis

Descripción numérica

Estados estacionarios

Análisis asintótico

1er paso:

2do paso:Soluciones 2D

Soluciones radiales (1½D)

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D


Resultados

- Descripción numérica ----------------- Cap. 7

- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8

- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6

Discos de Corbino

L

ra

rc

E

r rarc

L= rarc

rc: cátodo ra: ánodo

El caso 1½D - Geometría

Problema en 1D

III. El caso 1½D

Enunciado del caso 1½DE(x,t): campo eléctricoJ(t): densidad de corriente

Condiciones de contorno

Condición inicial

Condición del bias

Ecuación de Ampère

Variables:

III. El caso 1½D

Formulación matricial:dos sistemas tridiagonales con la misma matriz T:

T . y = s T . z = v

más dos operaciones.

Algoritmo

[A. Carpio, P. J. Hernando, M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)]

III. El caso 1½D

• Diferencias finitas

• Semi-implícito

• Orden 1 en el tiempo

• Orden 2 en el espacio

• Formulación matricial:

Simulaciones numéricas:

Simulaciones numéricas

Característica corriente-voltaje

Umbral de las oscilaciones

= 2, = 0.013, rc=10, ra=90.

Régimen I:

Régimen II:

Régimen III:

Sols. estacionarias para bajo <

Sols. oscilatorias para <<

Sols. estacionarias para alto > si vs

= 0 si vs > 0

III. El caso 1½D

vs = 0


III. El caso 1½D

Umbral de las oscilaciones

Riqueza de comportamientos:

Oscilaciones periódicas

Oscilaciones complicadas

(entre otros)

Característica corriente-voltaje

vs = 0

Intervalo de oscilaciones periódicas de gran amplitud

J

t

Jc2= 5.39de izda a dcha:

0.36

0.38

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

Valores de :

III. El caso 1½D

señal que parecía periódica hasta t=900

señal periódica

señal aparentemente no periódica

(Jc= 5.77)

Intervalo de oscilaciones complicadas (para vs= 0.1)

III. El caso 1½D

=0.41

=0.411

=0.42

t

10 50

E

1½D

r

• Durante el viaje:

• Durante el relevo:

- la onda decrece- la corriente crece

- el campo exterior crece- la corriente decrece

J(t)

0.

10.

r

10

50

5000

A. Si es suf. grande, la onda llega hasta ra:

t

10 50

E

1½D

7

r

J(t)

0.

10.

r

10

50

5000

• Radio máximo:

• Máximo de la corriente:

rmax

Jc2

indep. de

rmax

B. Si es pequeño, la onda no llega hasta ra:

1. Existe un intervalo (,) de soluciones oscilatorias

2. Existe un valor crítico de la corriente Jc2

3. La corriente varía de manera opuesta a la altura de la onda

4. Existe un radio máximo para el avance de la onda

5. Existen intervalos de patrones complicados de E(r,t) y J(t).

Conclusiones de las simulaciones numéricas

III. El caso 1½D

Resultados:

- Hemos resuelto las ecuaciones para valores fijos de , y rc en

muestras grandes, y para vs = 0 y vs = 0.1, moviendo en (0,1).

- Hemos descrito en detalle la evolución de la onda del campo eléctrico relacionándola con la curva de la corriente.

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D





Resultados

El problema estacionario

1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).

3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.

2. A la vez calculamos con (3) y construimos la

curva característica J-.

Fijamos = 2, rc = 10:

Obtenemos:

- la corriente crítica Jc2

- el umbral de oscilaciones

- la solución exterior

III. El caso 1½D

= 0

El plano de fase - Nuliclina





III. El caso 1½D


E

r

vs >0

Nuliclina:

Aproximación exterior





III. El caso 1½D


E

r

rc

Los estados estacionarios





Valor crítico:

JC2

(1) J < Jc2

(2) J Jc2

(3) J > Jc2

III. El caso 1½D


(1)

(2)

(3)

vs >0

La característica J-




curva característica J-.Umbral de las oscilaciones :

Numéric.J

III. El caso 1½D


Cond. del bias en J=Jc2:-

El plano de fase general





A. Para muestras largas

III. El caso 1½D







B. Para muestras cortas

III. El caso 1½D


Lmin






vs = 0.1

III. El caso 1½D

Num


Stat

Conclusiones del estudio de los estados estacionarios

III. El caso 1½D

- Hemos descrito los estados estacionarios asintóticamente mediante su aproximación exterior y la evolución de una capa límite interior.

- La posición de la capa límite es muy sensible cuando J Jc2, valor crítico de la corriente que hemos caracterizado.

- Hemos aproximado los umbrales y .

(asintótica y numéricamente, respectivamente)

- Hemos construido la curva característica J-, y el plano de

estabilidad general, viendo que existe un tamaño mínimo Lmin

por debajo del cual no hay oscilaciones para ningún valor de .Todo ello, para vs = 0 y vs > 0.

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D





Resultados

Objetivo del análisis:

Interpretar las simulaciones numéricas

- Expresiones explícitas para las variables del problema

- Estimaciones de las magnitudes principales

III. El caso 1½D

• El viaje de la onda:

• La nucleación y desaparición de la onda- similar al caso 1D [BH91,HB92]

Condiciones generales del análisis:

L = ra - rc = 1/Є

• Muestra muy larga:

• Rango del bias:• Difusión nula:

III. El caso 1½D

El pulso lejos de los contactos:

r

E

Rb , Rl , rw ,E- , E+ y J.

Consta de tres partes:

III. El caso 1½D

J/r J/r

1. El choque2. El frente3. El campo

exterior

delimitadas por:

1. El choque:

Regla de las áreas iguales

con vs=0:

v(E)

E

V

E- E+

.

III. El caso 1½D

E+

Rbrw

= 0,

2. El frente delantero:

n=0 es una solución exacta.

Integrando

.se obtiene

E+

Rbrw

Insertando esto y n=0 en la ecuación de Ampère:

≈

III. El caso 1½D

(la zona vacía de electrones)

.

3. El campo exterior:

despreciando las derivadas respecto de r y t en la ecuación de Ampère:

luego ,

,

y .

E+

Rb

J/r

III. El caso 1½D

J/r

4. Condición del Bias:

El bias se descompone en

dentro de la onda,con

y fuera de la onda.

,

Despejando E+:

Є

Є

III. El caso 1½D

Sistema de dos ecuaciones para J(t) y rw (t):

donde .

III. El caso 1½D

Plano de fase - Nuliclina

J

rw

Nuliclina:

III. El caso 1½D

Punto de giro T:

Reducción del sistema - Argumento

Cuando E+ >> 1,

(1)

(2)

El tiempo característico de evolución de J es mucho más pequeño que el de rw, luego

J(t) alcanza un estado pseudo-estacionario en el que el miembro derecho de (2) es igual a cero;

las trayectorias van pegadas a la nuliclina.

III. El caso 1½D

drw/dt >> dJ/dt :

Reducción del sistema - Solución

Queda una sola ecuación, sobre J(t),

que se resuelve con condición inicial J(0)=Jmin:

,

donde

III. El caso 1½D

Reducción del sistema - Comparación

asintóticonumérico

III. El caso 1½D

Estimación del radio máximo rw :III. El caso 1½D

Entonces:

J

rw

• Sobre la nuliclina, las coordenadas de T (rw, JT) son cotas superiores de J y rw.

• Además, J Jc2 luego

rw rw , conJc2

T

max

max

9. El análisis asintótico se completa con:

• Expresiones explícitas para las demás variables

• Descripción de los rangos de Є, rc y

• Estimación de la duración del periodo• Estimación de la amplitud de las oscilaciones

• La fase de relevo• La coexistencia de dos ondas

• El caso rw,max > ra

• El caso Є rc • El caso vs > 0

III. El caso 1½D

Conclusiones del caso 1½D

1. Simulación numérica de las ecuaciones

2. Caracterización de los estados estacionarios

3. Interpretación de los resultados numéricos mediante un análisis asintótico detallado

III. El caso 1½D

- curva característica J-- plano de fase de la estabilidad

- riqueza en comportamientos- descripción detallada viaje + relevo

- expresiones explícitas- estimaciones de magnitudes importantes

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D


- Nuevos patrones -----------------Cap. 7



Resultados

Método numérico del caso 2DIV. El caso 2D

Diferencias finitas.

1. Iteración temporal:

2. Ecuación de Poisson:

a. Método iterativo: método de los espacios de Krylov (GMRES), con preacondicionamiento con LU incompleta.

b. Método directo: descomposición LU con un método multifrontal (UMFPACK)

Método semi-implícito de orden 1(evitando el fenómeno de reducción de orden de los R-K.)

(a) sin iterar sobre k

Algoritmo del caso 2D

(b) iterando sobre k

IV. El caso 2D

(nk, k) (nk+1, k+1)

El caso 2D: Simulaciones numéricas

Muestras rectangulares con

contactos puntuales,

1. El patrón unidimensional

2. El patrón radial

3. Nuevos patrones:3.1 Colisión entre dos ondas3.2 Reducción de patrones3.3 Ondas espirales

variando el número y la posición de los contactos.

2D

Representación:

n(x,t): concentración de electrones

2D

2D

+ _

+ _cátodos ánodos

Patrón 1D Patrón 1½D

_

+

_

_ _

Geometría deldispositivo

+_

_+

¿Periódico?

SíPatrón en “8”

Corriente:


+_

_+

¿Periódico?

...

Los bordes físicos del semiconductor afectan ala formación y evolución

de las ondas.

Patrón en “8” bis

_


++

¿Periódico?

Sí

Los dos cátodos actúancomo un único cátodo colocado entre los dos

Reducción de patrones


+

+ _

_

¿Periódico?

Estacionrio

Cada par de contactos actúa como uno sólo

colocado entre los dos.

Reducción de patrones


+_

+

¿Periódico?

SíNuevos patrones


+_

+

++

+

_

¿Periódico?

SíDisposición pentagonal


+_

+

++

+

_

¿Periódico?

Sí

Ondas espirales?

Perturbación de la disposición pentagonal

Conclusiones del caso 2D:

1. Riqueza de nuevos patrones propios

de la geometría bidimensional

2. Necesidad de tener un buen método

numérico para estudiar estos patrones

3. Para hacer una descripción asintótica,

es necesaria una nueva formulación:

Parte V: El problema de frontera libre

IV. El caso 2D

III. El caso 1½D

IV. El caso 2D


Resultados




Análisis asintótico de las simulaciones del caso 2D en muestras muy grandes.

El Problema de Frontera Libre

Objetivo:

Método:

Validación:

Resolución de los casos 1D y 1½D.

Formulación de un problema de frontera libre para describir el avance de las ondas.

Idea: en muestras muy grandes, se identifica la

línea blanca de la onda con una frontera libre .

El Problema de Frontera Libre

1. Fuera de la onda, la ecuación de Ampère es

j =(1+2)v + Et v(E) E, luego E = 0;

1ª observación

La curva es una superficie dada por:

entonces:

en A y B

Ecuación de Laplace

2. La onda tiene cierto voltaje (es un pulso), luego

el potencial eléctrico experimenta un salto []

a través de la frontera libre : W(x,y,t)=0.

2ª observación

en A y B

.

entonces:


3. La velocidad de es igual a la velocidad de la onda, dada por la regla de las áreas iguales.

3ª observación

en A y B .


entonces:

para vs=0.

4. La derivada total de W es cero, la velocidad

viene dada por V=(x(t),y(t))N, y N=W/|W|.

4ª observación

en A y B .

en


entonces:

..

5. V = (v(E) N)A = (v(E) N)B,

y fuera de la onda: v(E) E =

5ª observación

en A y B .


entonces:

El problema de frontera

libre AB

A BDos

problemas de Laplace

acoplados mediante

una ecuación de Hamilton-

Jacobi

en

La ecuación de Hamilton-Jacobi

La ecuación que define es de la forma:

donde H es el Hamiltoniano dado por:

.

luego:

.

( p1,p2) (q1,q2)


El sistema equivalente

Resolviendo sobre las curvas características:

se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones para cada

punto (x,y) de , equivalente a la ecuación de H-J:

y


• El modelo de convección-difusión

• El problema de frontera libre:

Solución del caso 1D

E

salto

Solución del caso 1D - detalle

t1 t2 t3

Solución del modelo de convección-difusiónSolución del problema de frontera libre


• El modelo de convección-difusión

• El problema de frontera libre:

Solución del caso 1½D

E

dos ondas,dos saltos

Solución 1½D – detalle

t1 t2

modelo convección-difusiónproblema de frontera libre

Queremos reproducir:

El caso 2D

Pensamos utilizar:

Conjuntosde nivel

(level sets method)

El método demarcha rápida

(fast marching method)

y

Osher y Sethian, 1988 Sethian, 90’s

1. Hemos planteado un problema de frontera libre para describir los nuevos patrones 2D

2. Hemos validado el enunciado en los casos 1D y 1½D, dejando el caso 2D como problema abierto de gran interés.

Conclusión


1. Hemos descrito el efecto Gunn en muestras con simetría radial

2. Hemos presentado las primeras simulaciones de patrones bidimensionales

3. Hemos planteado un problema de frontera libre para describir los nuevos patrones

VI. Conclusión General

Principal problema abierto:

• El problema de frontera libre en 2D

1. L. L. Bonilla, R. Escobedo”Two-dimensional oscillatory patterns in semiconductors with point contacts”

Phys. Rev. E 64 036203 (2001)

2. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera”Axisymmetric pulse recycling and motion in bulk semiconductors”

Phys. Rev. E 64 (aparecerá dic. 2001)

3. R. Escobedo, L. L. Bonilla”Wave dynamics in two-dimensional samples of n-GaAs with point contacts”Procs. IC Applied non-linear dynamics, Aristotle Univ. of Thessaloniki 2001.

J. of Chaos, Solitons and Fractals, Ed. Elsevier (2001)

4. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera”Axisymmetric Gunn effect”

Procs. 25th ICPS – Osaka 2000 (Japan) pp 134-135.Eds. N. Miura, T. Ando – Springer (2001)

Publicaciones

modelo de convección-difusión:

con conjuntos de nivel:

El caso 2D

con el fast marching method:

problema abierto

• J. B. Gunn (1963 - 1969) Experiments

• Ridley-Hilsum (1962) theoretical prediction

• H. Kroemer (1964, 66, 68) model, boundary conditions, numerics, N-L criterion, monopole and dipole waves

• Knight-Peterson (1966, 67)

• Butcher (1965-67)

• Bonch-Bruevich (1966, 1974 book)

• Shaw, Grubin and Solomon (1973-79) numerics, book

Fechas - I

• Westervelt and collaborators (1983-1992) experiments: nonlinear dynamics, chaos

• Maan and collaborators (1995 - ...)experiments in semiinsulating n-GaAs

. . . .

• Bonilla and Higuera (1992) asymptotics

• Bonilla and Higuera (1995) Onset of instability

• Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan and Velázquez (1997) Complete theory for p-Ge, domains with flat tops

• P. J. Hernando (2001) Ph. D Thesis

Fechas - II

Unidades: Valores típicos para la adimensionalización

Long.=єER/(en0):

L1 = 0.28 μm є: permitividad

e: carga del electrón

Potencial eléctrico =ERL1: = 0.011 V

Campo eléctrico en VR:

ER= 4 kV/cmVR: máximo de v(E)

Densidad deelectrones:

n0 = 1015 cm-3

Tiempo=L1/(μ0ER):

t = 1.02 ps μ0: movilidad a campo nulo

HeuristicargumentPoisson and charge continuity eqs:

i.e.

with .

(ignoring diffusion)

Instability at x=0

gives

increases

V(E)

E

Jc

E1

E(0)

E/ρ

E1

E(0)

E

x

E1

E(0)

E

x

t

Numerical simulations - IINumerical simulations - II

r

E

J

(a) Large amplitude current self-oscillations(b) Electric field profile at instants marked in (a)

(a)

(b)

Jc

1 2

2

1 0.465

J

4.2

5.7

0.505

Poincaré diagramRegion of aperiodic oscillations

Maximum radiusattainable by the wave

Typical periodic self-oscillations


Corriente Campo eléctrico

=0.18

=0.22

Oscilaciones de pequeña

amplitud

[1] J. B. Gunn, Solid State Comm. 1, 1 (1963)[2] H. Kroemer, IEEE Trans. Elec. Dev. ED-13 (1966)[3] F.–J. Niedernostheide, editor, Nonlinear Dynamics and Pattern Formation in Semiconductors and Devices, Vol. 79 of Springer Proceedings in Physics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (1995)

[4] F. J. Higuera, L. L. Bonilla, Phys. D 57 (1992)[5] A. Carpio, P. J. Hernando and M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)[6] B. Willing, J. C. Maan, Phys. Rev. B 49 (1994)[7] B. Willing, Ph. D Thesis, Univ. Of Nijmegen (1994)[8] L. L. Bonilla, R. Escobedo, Phys. Rev. E (ap. 2001)[9] L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera, Procs. 25th ICPS, Osaka. Ed. Springer, 2001.

References

We have described the repeated generation and motion of axisymmetricwaves in a two-dimensional n-GaAs sample with a Corbino geometry:

• The waves decrease as they advance. Simultaneously, the current increasesuntil a critical value is reached and a new pulse is triggered at the cathode.

• The current signal presents different patterns depending on the applied voltage:- Just above the onset for self-oscillations, their amplitude

is small and the pulse dies off shortly after it is generated;- For larger voltages, the amplitude is larger and pulses may or may not

reach the outer sample boundary, depending on the size thereof and bias;

- Regions of aperiodic oscillations due to multi-pulse dynamics are interspersed with regular periodic oscillations.

• For sufficiently large samples, the pulse radius cannot surpass a maximum value.

ConclusionsConclusions

La EDP de la ecuación de la Continuidad se plantea como un sistema de ODE’s de evolución temporal,

formado por tantas ecuaciones como nodos haya en la discretización del dominio, en las que los coeficientes

dependen del potencial eléctrico y se renuevan cada cierto número de iteraciones con la ecuación de Poisson.

El problema resultante es un problema rígido (stiff).

• Iteración temporal: Iteración temporal: método de Euler explícito con iteraciones para el cálculo de los coeficientes;

(evita el fenómeno de reducción de orden de los Runge-kutta)

• Discretización espacialDiscretización espacial: diferencias finitas de 2º orden, incluidas las condiciones de contorno.

2D El método numérico

2D discretización

i=1,...,Nx

j=1,...,Ny

Ecuación de la Continuidad:

Condicionesde contorno

Ecuación de Poisson:

Condicionesde contorno

Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas,

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