DISEÑO A FLEXIÓN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

Se detallará a continuación distintos procedimientos para diseñar una viga, que no necesariamente representan la forma correcta de diseñar vigas, pero que mostrarán algunos resultados interesantes y sobre todo, una forma de pensar al momento de analizar las secciones, sus propiedades, y los resultados obtenidos.

La viga a diseñar es la siguiente, una viga simplemente apoyada de 6[m] de luz, sometida a carga viva y carga muerta:

, donde:

qD = 1 [T/m]qL = 2 [T/m]

La sección de la viga se ha definido de la siguiente manera, una sección rectangular con las siguientes medidas:

Utilizando los factores de mayoración de la norma, podemos obtener la carga de diseño:

qU = 1,2· qD + 1,6· qL

qU = 1,2· 1 + 1,6· 2qU = 4,4 [T/m]

Y del diagrama de momentos de la viga simplemente apoyada, obtenemos el momento de diseño:

MU = qU· L2/8MU = 19,8 [Tm]

A.) Diseño Sin Acero A Compresión

En este punto se diseñará la viga sin refuerzo longitudinal superior, o en caso de que lo hubiera, no se considerará la su aporte.

Controlar Momento Nominal (Imponer Mn = Mu/Φ)

La forma usual de diseño es obtener un área de acero con la cual se obtenga la resistencia requerida, o sea, Mn ≥ Mu/Φ. Esto se logra condicionando las 2 ecuaciones de equilibrio de la sección (momento y axial) al momento deseado Mn, y considerando que no hay fuerza axial resultante (flexión pura), considerando también las ecuaciones de compatibilidad geométrica. El análisis de la sección es el siguiente:

Del dibujo, desconocemos: c, a, εs, As, Cc y Ts. Por compatibilidad geométrica (secciones planas), podemos obtener relaciones entre c y εs:

, asumiendo la distribución rectangular de esfuerzos propuesta por la norma, obtenemos a (β1 = 0,85 para fc’ ≤ 280 [kgf/cm2]):

a = β1· c = 0,85· c

Cc y la tensión Ts se obtienen directamente de:

Por lo que nos quedan solamente 2 incógnitas, As y c.Finalmente, del equilibrio de la sección, se obtienen las 2 ecuaciones básicas de flexión

y fuerza axial, y las restringimos a las condiciones de diseño (N = 0, M = Mn), y tenemos un sistema de ecuaciones para obtener As y la fibra neutra c:

Suponiendo que el acero está fluido:

Y reemplazando en la ecuación del momento, y obligando a que el momento nominal cumpla con la resistencia requerida (suponiendo Φ = 0,9):

Reordenando y evaluando:

1535,3125· c2 – 162562,5· c + 2200000 = 0

Despejando la ecuación cuadrática, se obtiene:

c = 15,9299cm

, de lo que se obtiene:

As = 13,7016cm2

εs = 0,00547463333Φ = 0,9

Calculando el momento nominal:

Mn = 22 [Tm] = Mu/Φ

Se comprueba entonces que el acero está fluido (sino tendríamos que suponer lo contrario y volver a despejar las ecuaciones con los términos correspondientes), y que Φ = 0,9 ya que εs > 0,005 (falla en tracción), sino, debería recomenzar con el nuevo factor (o tomar alguna consideración).

Sin embargo el área calculada no necesariamente se puede obtener con fierros, por lo que se debe intentar encontrar una combinación de fierros lo más ajustada posible (sobredimensionando) para no variar mucho los valores anteriores, aunque se debe recalcular de todas formas para comprobar. Se escoge en este caso poner 3 fierros de 16mm y 1 fierro de 32mm (3Φ16+Φ32). Se recalcula:

As = 14,0743cm2

De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):

c = 16,3632cm

Y de la compatibilidad geométrica:

εs = 0,00525022Φ = 0,9

, con lo que se corrobora el factor de reducción Φ y se concluye el diseño. El momento nominal final sería:

Mn = 22,48956 [Tm]

Y se comprueba la hipótesis de diseño:

Mn = 22,48956 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]

FU = Mn/Mu = 1,135836 (factor de utilización)

Controlar Deformación del Acero (Imponer εs = 0,004)

A veces se busca, además de lograr la resistencia requerida a flexión, lograr que el elemento tenga una capacidad de curvatura adecuada (capacidad de deformación, ductilidad), lo cual de alguna forma se puede ver en la deformación unitaria del acero. Si bien se define la falla en tracción (falla dúctil) con una deformación del acero sobre el 0,005, la norma propone obtener una deformación sobre el 0,004.

Teniendo la deformación del acero como dato (y ya no el momento nominal requerido), el eje neutro queda definido por geometría:

c = 19,28571429cm

De la ecuación equilibrio de fuerza axial, y como el acero está fluido, utilizamos la ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero:

As = 16,588cm2

, y con el acero y la fibra neutra definidos, podemos obtener el momento nominal:

Mn = 25,6409 [Tm]

Para una deformación del acero de εs = 0,004, el factor de reducción de resistencia correspondiente es:

Φ = 0,81666

Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:

Mn = 25,6409 [Tm] ≥ Mu/Φ = 24,2449 [Tm]

FU = Mn/Mu = 1,295 (factor de utilización)

Sin embargo, tenemos que restringir el área de acero a una combinación de fierros (un poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ 0,004), intentando no alejarse mucho de la calculada. Se escoge armar la viga a flexión con 4 fierros de 22mm y 1 fierro de 16mm. Podría escogerse una combinación distinta, a criterio del calculista. Se recalcula:

As = 16,3363cm2

De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):

c = 18,99307cm

Y de la compatibilidad geométrica:

εs = 0,0041078562 ≥ 0,004Mn = 25,33717 [Tm] (nótese que disminuyó, ya que disminuimos el área de acero)

Para la deformación del acero obtenida, el factor de reducción de resistencia correspondiente es:

Φ = 0,8256546843

Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:

Mn = 25,33717 [Tm] ≥ Mu/Φ = 23,98097 [Tm]

FU = Mn/Mu = 1,279655 (factor de utilización)

Controlar Deformación del Acero (Imponer εs = 0,005)

Como la falla en tracción está definida con un estiramiento del acero superior al 0,005, a veces se intenta diseñar la viga para que suceda esto. El procedimiento de cálculo es análogo al anterior.

Teniendo la deformación del acero como dato (y ya no el momento nominal requerido), el eje neutro queda definido por geometría:

c = 16,875cm

De la ecuación equilibrio de fuerza axial, y como el acero está fluido, utilizamos la ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero:

As = 14,514509cm2

, y con el acero y la fibra neutra definidos, podemos obtener el momento nominal:

Mn = 23,06038 [Tm]

Para una deformación del acero de εs = 0,005, el factor de reducción de resistencia correspondiente es:

Φ = 0,9

Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:

Mn = 23,06038 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]

FU = Mn/Mu = 1,16466 (factor de utilización)

Sin embargo, al igual que en los casos anteriores, debemos elegir una combinación de fierros que nos den un área parecida a la que requerimos para cumplir con las condiciones impuestas (un poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ 0,005), intentando no alejarse mucho de la calculada. Se arma la viga a flexión con 2 fierros de 25mm y 4 fierro2 de 12mm, y se recalcula:

As = 14,3414cm2

De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):

c = 16,67374cm

Y de la compatibilidad geométrica:

εs = 0,00509656 ≥ 0,005Mn = 22,83686 [Tm] (nuevamente disminuyó, ya que disminuimos el área de acero

calculada)

Para la deformación del acero obtenida, el factor de reducción de resistencia correspondiente es:

Φ = 0,9

Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:

Mn = 22,83686 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]

FU = Mn/Mu = 1,153377 (factor de utilización)

Resumiendo los 3 casos expuestos:

DiseñoCondición Impuesta

As

[cm2] c [cm] εs

Mn

[Tm] FU

Mn = Mu/Φ 14,0743 16,36320,00525

0222,4895

61,13583

6

εs = 0,004 16,336318,9930

70,00410

7925,3371

71,27965

5

εs = 0,005 14,341416,6737

40,00509

6622,8368

61,15337

7

Para esta sección era posible lograr la deformación del acero recomendada por la norma, εs = 0,004, con un factor de seguridad adecuado, sin embargo, para otras condiciones puede que esto sea imposible de lograr.

B.) Diseño Con Fierro A Compresión

En el caso de que consideremos el aporte del acero en compresión (o diseñemos con él), tenemos ahora 2 factores para controlar, As y As’. Por lo que ahora podemos controlar o imponer 2 condiciones a las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Si sólo quisiera controlar el momento, me quedaría una variable dependiente de la otra, y el problema no tendría solución, a menos que tomara alguna hipótesis que me de un dato (tomar armadura superior mínima, etc…). También podría fijar las áreas de acero y variar las propiedades de los materias, o las dimensiones de la sección por ejemplo, sin embargo, normalmente estas vienen previamente definidas por la arquitectura de la obra.

Controlar Momento Nominal Y Deformación Del Acero (Imponer Mn = Mu/Φ y εs = 0,004)

En este caso tenemos una condición geométrica (que finalmente influye en los esfuerzos) y una condición de fuerzas (o de resistencias). En la geometría, imponemos la deformación del acero requerida:

c = 19,28571429cm

, y de la compatibilidad de deformaciones por secciones planas:

εs’ = 0,00222

Ahora, de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas:

, podemos establecer un sistema de ecuaciones en función de ambas áreas de acero, ya que los demás valores son conocidos:

Y así imponemos ambas condiciones, εs = 0,004 obteniendo una fibra neutra c, y Mn = Mu/Φ imponiéndolo en la ecuación de equilibrio de momentos de la sección. Reemplazando y reordenando, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (usando Φ = 0,81666 para εs = 0,004):

-4200· As + 4200· As’ = -69669,6428784000· As + 84000· As’ = 2424489,796 – 1170698,82

En forma matricial (simplificando por fsy = 4200 [kgf/cm2]):

, y despejando, se obtiene:

As = 15,75704663cm2

As’ = -0,83096358cm2

El área de acero a compresión resultó negativa, por lo cual podemos concluir que no necesita acero en compresión para lograr las condiciones deseadas. Este resultado era esperable, ya que en la primera parte comprobamos que, utilizando solamente acero traccionado, se lograba obtener la deformación deseada del acero y cumplir con los requerimientos de resistencia. Nótese también que:

As – As’ = 15,757047cm2 + 0,8309636 cm2 = 16,588 cm2

Al sumar las áreas resultantes, la comprimida negativa pues resta a la tracción, se obtiene el área que se requería sin considerar el acero comprimido. Este resultado también es lógico, pues:

, se puede asimilar a un diseño sin considerar armadura comprimida, aunque la ecuación de momentos pierde sentido, pues ambas áreas no necesariamente tienen el mismo brazo respecto del centro de gravedad de la sección.

Finalmente, esta sección, con las dimensiones dadas, y con las cargas impuestas y los factores considerados, no requiere de acero a compresión (o alguna otra solución) para lograr la resistencia requerida y una deformación del acero adecuada.