Diseccion Poli

7/25/2019 Diseccion Poli

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DISECCIN DE POLGONOS

HORACIO ARANGO MARN

SECRETARA DE EDUCACIN DE ANTIOQUIA


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Dados dos polgonos convexos con rea igual, unadiseccin poligonales una divisin de uno de ellos

en un nmero finito de piezas poligonales, de tal

manera que ellas formen exactamente, medianterotaciones y traslaciones, el otro polgono.

Por ejemplo, se puede dividir un tringulo equiltero

en 4 partes y formar con ellas un cuadrado de rea

igual al tringulo.

DEFINICIN


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Dados dos polgonos cualesquiera de la misma rea,

existe una divisin de uno de ellos en un nmero finito

de piezas poligonales de forma que estas piezas

puedan reordenarse formando exactamente el otro

polgono. Reordenamiento significa poder aplicar una

traslacin y una rotacin a cada pieza poligonal.

Teorema de Bolyai-Gerwien

Demostrado por William Wallace en 1807, por Paul

Gerwein en 1833 y en 1835 Bolyai encontr otraprueba sin conocer las anteriores.


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Existen dos mtodos de diseccin de polgonos:

1. La superposicin de polgonos, con unos puntos de

coincidencia y un ngulo de giro en uno de ellos. Se

busca que las divisiones que se producen entre lospolgonos, den el menor nmero de piezas.

2. A partir de construcciones usando la regla, el

comps y Geogebra se encuentran tambin lasdivisiones de polgonos


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1. CUADRATURA DEL TRINGULO

Una primera solucin (1905) a este problema la logra

Henry Ernest Dudeney (1857-1930).

Fue uno de los creadores de los acertijos y

pasatiempos matemticos a principios del siglo XX.Durante ms de veinte aos tuvo una seccin de

rompecabezas matemticos, en la revista mensual

The Strand Magazine. En espaol estn editados Los

acertijos de Canterbury, Diversiones matemticas y

Acertijos, desafos y tableros mgicos.


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Con regla y comps, como los antiguos griegos,

Dudeney encontr la manera de dividir un tringulo

equiltero en 4 piezas y luego formar con ellas, un

cuadrado de igual rea.

1. Dibujar el tringulo equiltero ABC.

2. Obtener los puntos medios D y E

de AB y BC .

1. CONSTRUCCIN


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1. CONSTRUCCIN

3. Prolongar AD hasta F, para que DF= DB.

4. Hallar el punto medio de AD (ser el punto G). Con

centro en G dibujar el arco AF.

5. Prolongar BC hasta cortar el arco, obteniendo el

punto H.


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6. Con centro en D dibujar un arco de radio DH. Llamar

J al punto en que corte al lado AC. Trazar elsegmento DJ

7. Sobre la base AC del tringulo marcar K, de forma

que JK = BD.

8. Trazar las perpendiculares sobre DJ desde E y K,

obteniendo los puntos L y M.

Nota

El lado del cuadrado es l = a 3

2y

es el lado del tringulo

1. CONSTRUCCIN


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El tringulo se divide en 3

cuadrilteros BDMK (azul),ELJA (amarillo) y CDLE

(verde) y en el tringulo

JMK (granate). Con ellos y

aplicando 2 rotaciones de

180 grados con centro en

E Y D y una traslacin del

tringulo JKM se forma un

cuadrado

1. SOLUCIN


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Disponemos 2 tringulos equilteros y 2 pentgonos

regulares de igual rea, en la siguiente forma

1. Obtenemos los puntos medios P y O de los

polgonos

2. Los superponemos, haciendo coincidir el punto O

de los dos tringulos equilteros con el punto P del

de los pentgonos.

2. DEL TRINGULO AL PENTGONO


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3. El polgono de los pentgonos

se rota 72 con centro en P y en

sentido horario.

En la superposicin, el tringuloequiltero queda dividido en :

Los tringulos FJK, LAI, FKB y

los cuadrilteros CLGF y FGIJ.

2. CONSTRUCCIN


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Coloreamos estas 5 regiones para

ver la diseccin del tringuloABC.

2. SOLUCIN


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Rotando y trasladando las

piezas FGIJ y IHJ seobtiene el pentgono de

rea igual al triangulo

equiltero.

El lado del pentgono en

trminos del lado del

tringulo es:

=

2. SOLUCIN


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Partimos de un tringulo equiltero de lado = 3y

un hexgono regular ( = 3tan 30

6 ), de rea

igual.

1. Convertimos tanto el tringulo como el hexgono en

rombos para usar el mtodo de superposicin como en

el ejemplo anterior.

3. DEL TRINGULO AL HEXGONO CONSTRUCIN


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2. En el tringulo marcamos los puntos medios de doslados contiguos y el punto medio del segmento que

ellos determinan P y en el rombo que obtenemos a

partir de hexgonos, se han sealan los puntos medios

de los lados ms cortos y el punto medio O entre estos

dos.

3. CONSTRUCIN


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3. La solucin con menos piezas, la obtenemos al

superponer los rombos y hacer coincidir el punto P y el

punto O.

3. CONSTRUCIN

4.Luego duplicamos los

rombos formados por

los tringulos y por los

hexgonos y este

ltimo, se gira 45

grados con centro en O

y en sentido horario.


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El tringulo y el hexgono quedan divididos en 5 piezas

que podemos ver en las siguientes imgenescoloreadas.

3. CONSTRUCIN


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3. SOLUCIN

Las 5 piezas forman el tringulo y el

hexgono de rea igual.

4 CUADRATURA DEL PENTGONO


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4. CUADRATURA DEL PENTGONO

Se construye un cuadrado de rea igual a la de un

pentgono regular de lado . Para ello:

1. Por el punto medio F trazamos una recta paralela al

ladoAE. Tomamos la longitud del segmento HE igual

a GD.2. Hallamos el punto medio O de y trazamos la

circunferencia 0de centro en Oy radio .


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4. CONSTRUCCIN

3. Con centro en C y radio trazamos la

circunferencia que corta en J a0

.4. Se traza CJ (de longitud ) HJ y lo prolongamos

hasta cortar el lado AB en K y el lado AE en I.

Sobre el lado DCdefinimos un segmento de longitud

EI igual a DN.

N


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4. CONSTRUCCIN

5. El pentgono se divide en 6 partes: el tringulo EGF

(= LMA), el cuadriltero HIAL (= FCGN), el tringuloHEI(= DGN), el cuadriltero EIJC, el tringulo IKAy el

cuadriltero CJKB.

N

4 SOLUCIN


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4. SOLUCIN

Coloreamos las 6 piezas. Trasladamos con el vector u

las regiones azul, amarilla y granate y con el vector vsetrasladan la fucsia y la cian y as formamos el cuadrado

de igual rea al pentgono

u

v


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5. CUADRATURA DEL HEXGONO,CONSTRUCCIN

Con un hexgono de lado = 3 construir un cuadrado de

rea igual ( su lado l es = 6

4tan 30 )

Para ello: 1. En el hexgono, con centro en y radio l

trazamos una circunferencia que corta el segmento

en y trazamos el segmento BK

2. Desde los puntos medios Gy I

deAFy CDtrazamos rectasperpendiculares al segmento BK

y hallamos los puntos H Y J.


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5. SOLUCIN

3. Coloreamos los cuadrilteros FKGH, HGAB, JBCI,

IDKJy el tringulo DFE.4. Desplazamos con el vector u las regiones amarilla y

azul, la verde con el vector v y con w la regin

fucsia. As, obtenemos la cuadratura del hexgono.

u

v

w

6 CUADRATURA DEL OCTGONO CONSTRUCCIN


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6. CUADRATURA DEL OCTGONO,CONSTRUCCIN

Con un octgono de lado = 3 construimos un

cuadrado de lado de rea igual al octgono.

1. En el centro del octgono trazamos un crculo de

radio a. Desde los puntos medios T,S,RY U trazamos

las rectas tangentes al crculo y con ellas definimos elcuadrado OPQN .

6 SOLUCIN


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2. Coloreamos las regiones RFESP, SDCTQ, TBAUH,

y UHGRO. Con el vector utrasladamos la regin verde,con el vector v la regin amarilla y con el vector w la

verde. La regin roja no se traslada. En el centro se

coloca el cuadrado fucsia . As formamos el cuadrado

de rea igual al octgono.

6. SOLUCIN

7 DEL PENTGONO AL HEXGONO CONSTRUCCIN


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Dados un pentgono y un hexgono regulares de igualrea.

1. El pentgono lo dividimos en un trapecio y en un

tringulo issceles y este lo dividimos en 2 partes

trazando un segmento desde el punto medio de la

base y paralelo a uno de los lados del trapecio

Reordenamos los 3 polgonos obtenidos formando

un rombo.

7. DEL PENTGONO AL HEXGONO, CONSTRUCCIN

7 CONSTRUCCIN


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7. CONSTRUCCIN

2. El Hexgono lo dividimos en un tringulo y un

pentgono.3. Las 3 divisiones del pentgono y las 2 del

hexgono se colocan una tras otra formando 2 series

geomtricas como se indica

7 CONSTRUCCIN


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4. Colocamos las series hacindolas coincidir en el

punto O (ltimo vrtice del hexgono) y el punto P5. La serie de los hexgonos la hacemos girar 43 con

centro en O (sentido horario ) Luego la desplazamos

horizontalmente

7. CONSTRUCCIN

7 CONSTRUCCIN


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6. Para distinguir bien las partes en que se divide el

pentgono, aadimos otra serie de hexgonos (verde)

Este ngulo hace coincidir el punto del vrtice de

hexgonos con un punto de la base mayor de la seriede los trapecios.

7. CONSTRUCCIN

7 SOLUCIN


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Coloreamos las 7

piezas que se obtienen

de la intercesin de las

series.

Reorganizndolas dan

lugar tanto a un

pentgono regular y aun hexgono regular.

7. SOLUCIN

7 DEL PENTGONO AL HEXGONO SOLUCIN


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7. DEL PENTGONO AL HEXGONO, SOLUCIN


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GRACIAS POR SU ATENCIN

MEDELLIN, AGOSTO 2015

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