Diseño de Experimentos II - dpye.iimas.unam.mxF1o... · Unidad experimental ue. Es la subdivisión...

Diseño de Experimentos M. en E. Patricia I. Romero Mares

Departamento de Probabilidad y Estadística IIMAS-UNAM

Cursos PUMA Análisis estadísticos para proyectos de investigación

ambiental 30 julio a 3 agosto 2012

Panorama de la clase

Introducción

Ideas básicas del diseño experimental

Diseño completamente al azar, un factor

Suposiciones

Diseños de bloques al azar, un factor

Diseños factoriales, c.a.

Diseños factoriales, bloques

Otros temas

2 Diseño de experimentos 2012

Introducción

Criterios de clasificación de investigaciones

Según el propósito son Descriptivos o Comparativos

Según la evolución son Transversales o Longitudinales

Según la fuente de información son Prospectivos o Retrospectivos

Según el control del investigador son Observacionales o Experimentales


Introducción

Experimento

Estudio comparativo, 2 o más poblaciones

Longitudinal

Prospectivo

Experimental (el investigador aplica tratamientos)

Observacional (el investigador solo observa el fenómeno)

(Pseudoexperimento)


Introducción

El diseño estadístico de experimentos es el proceso de “planear” el experimento de tal manera que se puedan analizar por métodos estadísticos los datos recolectados y que resulten en conclusiones objetivas y válidas.


Introducción (lineamientos)

Objetivos del estudio Qué se va a estudiar

Qué se va a medir

Cómo se va a medir

A quien se va a estudiar

Población objetivo

Población muestra

Muestra población



Factor. Es la característica cuyo efecto queremos estudiar. (Droga A)

Nivel. Es la categoría o modalidad estudiada del factor. (15mg/kg, 20mg/kg, 30mg/kg)

Si los niveles se determinan por el investigador factor fijo.

Si los niveles son una muestra aleatoria de posibles niveles factor aleatorio.

(muestra aleatoria de profundidades de pozos petroleros)



Tratamiento. Combinación de niveles de los factores estudiados.

Tratamiento testigo o control.

(Droga: a1,a2,a3; Manejo: m1,m2,usual)

Unidad experimental ue. Es la subdivisión menor del material experimental que puede recibir un tratamiento en forma independiente.

(rata de laboratorio, jaula con 5 ratas, pozo, lago)



Definir la variable de respuesta. Es lo que se va a medir en cada unidad

experimental.

Se debe estar seguro que dé información útil acerca del fenómeno estudiado.

Se debe tener cuidado en la toma de las mediciones para eliminar sesgos introducidos por operaciones conscientes o inconscientes. (doble ciego)



Elección del diseño experimental. Es la forma de asignar los tratamientos a

las unidades experimentales.

El diseño determina el modelo y el análisis estadístico a seguir.

Homogeneización. Conseguir ue lo más homogéneas posibles para evitar factores de confusión que entorpezcan la comparación de los tratamientos, pero se pierde validez externa.



Aleatorización. Introducida por Fisher, sirve para controlar factores de variación no incluidas en forma explícita. Se busca eliminar sesgos sistemáticos y justificar la independencia de los errores.

Bloques. Un bloque es un grupo de ue homogéneas.

El uso de bloques es la inclusión en el diseño (modelo) de un factor que, aunque no es de interés, se sabe que puede causar una fuerte variación en las ue.

Tiene como objetivo el control de factores de variación en forma explícita en el modelo, disminuyendo así la varianza de los errores.



Ejemplo en agricultura.

B A E D

C BA E D

Bloque 1

Bloque 2



Determinación del número de repeticiones. Las repeticiones (réplicas) son el número

de ue a las que se les aplica, en forma independiente, un tratamiento.

Dan una estimación de la varianza del error experimental

Incrementan la precisión del experimento. A mayor número de repeticiones menor la varianza de los estimadores



Frecuentemente se utiliza dividir una muestra para generar dos observaciones a las que se les llama réplicas cuando en realidad son submuestras o mediciones repetidas.

Por ejemplo, dos mediciones independientes de la estatura de una persona no dan una medida de la variación de estaturas de la población de personas, sino que dan una medida de la variación de la medición de estatura en esa persona.



Es muy importante distinguir entre una submuestra y una réplica, ya que la varianza del error estimada entre las submuestras es, en general, considerablemente menor que la varianza del error estimada entre réplicas.

Por lo tanto, la estadística F de las pruebas, construida usando la varianza del error calculada de las submuestras, será mucho mayor de lo que debe ser, llevando al investigador a encontrar más diferencias significativas de lo que debería.



Hacer el experimento y colectar datos

Efectuar el análisis estadístico

Obtención de conclusiones


Introducción

El error experimental describe la variación entre ue idéntica e independientemente tratadas. Se origina por:

Variación natural entre ue

Variabilidad en la medición de la respuesta

Incapacidad de reproducir las condiciones de los tratamientos exactamente de una ue a otra

Interacción de tratamientos y ue

Cualquier otro factor externo que afecte las características medidas


Introducción

Lo que se busca es tener un diseño que minimice la varianza del error

experimental



Considere un experimento que involucra t tratamientos y cada tratamiento se aplica a r ue diferentes.

El investigador debe seleccionar rt ue. Mientras más parecidas sean las ue mejores serán las comparaciones entre los tratamientos. (homogeneización)



Si el investigador asigna aleatoriamente cada tratamiento a r de las ue (aleatorización) previene la introducción de sesgos sistemáticos en el experimento. Y en caso de que las ue sean un poco heterogéneas, la aleatorización ayuda a que los tratamientos se asignen en formas parecidas a los diferentes tipos de ue.



En muchas ocasiones es imposible seleccionar rt ue homogéneas, lo que contribuye al error experimental. Estos experimentos se mejoran si se pueden agrupar las ue en grupos homogéneos (bloques).

En el caso de uso de bloques, la variación debida al bloque se toma en cuenta en el análisis, reduciendo la varianza del error.


Estructura de tratamientos

Es el conjunto de tratamientos, combinación de los niveles de los factores bajo estudio, o poblaciones que son seleccionadas por el investigador para comparar.


Estructura de tratamientos Unifactorial. Un solo factor con t niveles (t tratamientos)

Factoriales. Dos o más factores

Cruzados (niveles de un factor conservan su significado en cada nivel de otro factor)

Completos (se estudian todas las combinaciones de los

niveles de los factores) Fraccionales (se estudian solo algunas combinaciones de

los niveles de los factores)



Factoriales dos o más factores

Anidados (niveles de un factor cambian de significado en cada nivel del otro factor)

Factoriales con uno o más testigos


Estructura de diseño

Es la forma en que se agrupan las ue en conjuntos homogéneos.

La estructura de diseño de un experimento involucra el agrupamiento de las ue de tal manera que las condiciones bajo las cuales se observan los tratamientos sean lo más uniformes posibles.



Si todas las ue son homogéneas, entonces solo hay un grupo o bloque de observaciones y las ue pueden ser asignadas a los tratamientos completamente al azar.

Esta estructura de diseño se llama diseño completamente al azar.



Si se requiere más de un grupo de ue para que dentro de cada grupo las ue sean más homogéneas entre sí que entre grupos, entonces la estructura de diseño es algún tipo de diseño de bloques.


Estructura del diseño

Completamente al azar

Bloques al azar

Bloques al azar generalizados

Bloques incompletos

Cuadros latinos, grecolatinos, hipergrecolatinos


Diseño experimental


+




Una vez que se seleccionaron la estructura de tratamientos y de diseño, el diseño experimental se especifica describiendo exactamente el método de asignación aleatoria de los tratamientos a las ue en la estructura de diseño.



El diseño experimental define el modelo que debe usarse para un análisis correcto. Al construir el modelo, se hacen dos suposiciones básicas: Los componentes de la estructura de diseño son

efectos aleatorios. No hay interacción entre los componentes de la

estructura de diseño y los componentes de la estructura de tratamientos. Es decir, se supone que la relación existente entre los tratamientos será consistente de bloque a bloque, o sea, los bloques no influyen en la relación entre los tratamientos.


Diseño completamente al azar un factor con t niveles

Suponga que tenemos un solo factor con t niveles,

es decir, t tratamientos, y al azar se asignan n ue a

cada tratamiento. Las observaciones se pueden representar por el modelo lineal simple con error experimental en la observación j-ésima del tratamiento i-ésimo. Suponemos independencia entre y dentro de las muestras

1, , 1, ,ij i ij i t j ny

ij

2~ 0,ij NID



Se tienen t muestras independientes de tamaño n

2

11 12 1 1

2

21 22 2 2

2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

n

n

t t tn t

y y y N

y y y N

y y y N

es una muestra aleatoria de





El modelo: es el modelo completo ya que incluye una media separada para cada una de las poblaciones definidas por los tratamientos. Si no hay diferencia entre las medias de las poblaciones Se general el modelo reducido

ij i ijy

1 2 t

ij ijy



El modelo reducido representa la hipótesis de no diferencia entre las medias de las t poblaciones

0 1 2: tH

El modelo completo representa la hipótesis alternativa

: a i kH i k para alguna

¿Cuál de los dos modelos describe mejor a los datos del experimento?



Se requiere un método para estimar los parámetros de los dos modelos y con base en algún criterio

objetivo determinar cuál modelo o hipótesis estadística se ajusta mejor a los

datos del experimento.



Método de mínimos cuadrados.

2

1 1

mint n

ij

i j

SCE

Se minimiza la suma de cuadrados del error en cada uno de los dos modelos y se encuentran los estimadores de los parámetros correspondientes.



Para el modelo completo:

.ˆ

i iy

Para el modelo reducido:

2

1 1

mint n

r ij

i j

SCE y

..ˆ y

2

2

1 1 1 1

mint n t n

c ij ij i

i j i j

SCE y



Entonces se tienen las sumas de cuadrados estimadas del error de los dos modelos al incluir los estimadores de los parámetros

2

.

1 1

2

..

1 1

t n

c ij i

i j

t n

r ij

i j

SCE y y

SCE y y



La diferencia entre estas dos sumas de cuadrados es una medida del grado de concordancia entre hipótesis y datos, tambien llamada Reducción de sumas de cuadrados debida a tratamientos

0H trat r cSC SC SCE SCE

Si es “grande” implica falta de concordancia entre la hipótesis y los datos.

0HSC



r total trat cSCE SC SC SCE

2 22

.. . .. .

1 1 1 1 1 1

t n t n t n

ij i ij i

i j i j i j

y y y y y y

Partición de la suma de cuadrados total en una debida a los tratamientos y otra debida al error. Surge la Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)


Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)

F.V. g.l. S.C. C.M. F

Tratamientos

(entre)

t-1

Error

(dentro)

nt-t

Total nt-1

tratSC

SCE

totalSC

/ 1tratSC t

2

/

ˆ

SCE nt t

tratCM

CME


Análisis de varianza (ANOVA)

Si es cierta, entonces 0 1 2: tH

1,~tratc t nt t

E

CMF F

CM

Se fija un nivel de significancia

0 0 I P P H H error tipo rechazar es cierta



Se rechaza si 0 1 2: tH

1,c t nt tF F



Ejemplo de una región de rechazo de H0 (t=5, n=10)

Si Fc > 2.58

se rechaza H0 al

nivel de significancia =0.05



Los paquetes estadísticos calculan el valor p-value (significancia observada) que es la probabilidad de obtener un valor de Fc como el calculado o mayor si la hipótesis nula es cierta.

Si el valor del p-value es pequeño nos lleva a rechazar la hipótesis nula.



Distribución F con 4 y 45 g.l.

F =3.78c

p-value=0.0098 Poco probable haber obtenido este valor de Fc u otro más grande si H0 es

cierta, por lo tanto Se rechaza H0



Una vez que se rechaza sabemos que hay por lo menos una pareja de medias que son diferentes, pero cuáles son?

0 1 2: tH


Comparaciones múltiples

Son pruebas estadísticas que nos permiten contrastar hipótesis del tipo:

0

1, ,

: :i j a i j

i j t

H vs H

Manteniendo fija la probabilidad del error tipo I por experimento E


Comparaciones múltiples

Tukey (DMSH)

Bonferroni

Student-Newman-Keuls (SNK)

Scheffé

Entre otras

Dunnet (cada tratamiento vs control)


Contrastes

Un contraste es una combinación lineal de las medias definido como i

1

t

i i

i

C k

1

0t

i

i

k

donde

Interesa probar o dar un intervalo de confianza para el contraste. Los contrastes son, generalmente, comparaciones de las medias de los tratamientos planeadas de antemano.

0 : 0H C


Contrastes ortogonales

Existe una clase de contrastes, los contrastes ortogonales. Para t tratamientos existe un conjunto de t-1 contrastes ortogonales que hacen una partición de la Suma de cuadrados de tratamientos en t-1 componentes independientes, cada uno con 1 g.l. Lo que implica que estas pruebas son independientes. Dos contrastes, con coeficientes {ki} y {li}

son ortogonales si

1

0t

i i

i

k l


Modelo unifactorial completamente al azar

1, , 1, ,ij i ijy i t j r

Modelo de medias

Modelo de efectos

1, , 1, ,ij i ijy i t j r


Con la hipótesis 0 1 2: tH

Con la hipótesis 0 1 2: 0tH

Suposiciones

Errores independientes (aleatorización) Errores normales (gráfica en papel normal, histograma) Homogeneidad de varianzas (prueba Bartlett, gráfica de valores estimados vs. residuales) En caso de que no se cumplan las suposiciones:

Transformaciones de la variable y

2~ 0,ij N


Ejemplo 1 completamente al azar un factor

Se tienen datos del flujo de petróleo, medido en barriles por día, de tres pozos en el Golfo de México. Se desea saber si, en promedio, dan la misma producción por día y si no es así se quiere saber cuál es el que produce más.



Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3

157 184 143 135 163 103 152 129

183 174 182 199 183 168 193 162

149 193 129 146 126 132 143 154




Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

Pozo 2 6304.3 3152.17 7.894 0.002776

Residuals 21 8385.5 399.31

Analysis of Variance Table Response: y

Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = y ~ pozo) $pozo diff lwr upr p adj

2-1 34.75 9.566 59.934 0.006

3-1 0.75 -24.434 25.934 0.997

3-2 -34.00 -59.184 -8.816 0.007



Bartlett test of homogeneity of variances

data: residual and pozo

Bartlett's K-squared = 2.9697, df = 2, p-value = 0.2265


Diseño de experimentos 2012 64


Se sabe que el dióxido de carbono tiene un efecto crítico en el crecimiento biológico. Cantidades pequeñas de CO2 estimulan el crecimiento de muchos organismos, mientras que altas concentraciones inhiben el crecimiento de la mayor parte de ellos. Este último efecto se utiliza comercialmente cuando se almacenan productos alimenticios perecederos.

Se realizó un estudio para investigar el efecto de CO2 sobre la tasa de crecimiento del Pseudomonasfragi, un corruptor de alimentos.



Se administró CO2 a cinco presiones atmosféricas diferentes. La respuesta es el cambio porcentual en la masa celular después de un tiempo de crecimiento de una hora.

Se utilizaron diez cultivos en cada nivel.

¿Qué conclusiones se deducen del estudio estadístico de estos datos?




Analysis of Variance Table

Response: y


Presion 4 11274 2818.58 101.63 2.2e-16

Residuals 45 1248 27.73



Tukey multiple comparisons of means

95% family-wise confidence level

$presion

diff lwr upr p adj

0.083 – 0 -13.10 -19.792 -6.408 0.00001

0.29 – 0 -22.69 -29.382 -15.998 0.00000

0.5 – 0 -33.67 -40.362 -26.978 0.00000

0.86 – 0 -42.70 -49.392 -36.008 0.00000

0.29 – .083 -9.59 -16.282 -2.898 0.00167

0.5 - 0.083 -20.57 -27.262 -13.878 0.00000

0.86 - .083 -29.60 -36.292 -22.908 0.00000

0.5 – 0.29 -10.98 -17.672 -4.288 0.00026

0.86 – 0.29 -20.01 -26.702 -13.318 0.00000

0.86 – 0.5 -9.03 -15.722 -2.338 0.00341



Bartlett test of homogeneity of variances

data: residual and presion

Bartlett’s K-squared=1.0701, df=4, p-value=0.899

Diseño de bloques

Un bloque es un grupo de ue homogéneas.

Nuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre los tratamientos bajo estudio.

Utilizar bloques es una forma de reducir y controlar la varianza del error experimental para tener mayor precisión.


Diseño de bloques

Una buena elección del criterio de bloqueo resulta en menor variación entre las ue dentro de los bloques comparada con la variación entre ue de diferentes bloques.

Los criterios de bloqueo generalmente son:

Proximidad espacial

Tiempo

Características físicas (edad, peso, sexo)

Manejo de las ue en el experimento


Diseño de bloques

Suponga que se tienen t tratamientos que se quieren comparar en b bloques.

Bloque 1 Bloque 2 Bloque b

11

21

1

...

...

t

y

y

y

12

22

2

...

...

t

y

y

y

...

...

...

...

...

1

2

...

...

b

b

tb

y

y

y


Diseño de bloques

El diseño de bloques completos al azar implica que en cada bloque hay una sola observación de cada tratamiento.

El orden en que se ejecutan los tratamientos dentro de cada bloque es aleatorio (restricción a la aleatorización)


Diseño de bloques

El modelo estadístico para este diseño es:

media general

efecto de i-ésimo tratamiento

efecto del j-ésimo bloque

error experimental del tratamiento i

en el bloque j

1, , 1, ,ij i j ijy i t j b

i

j

ij

2~ 0,ij NID


Diseño de bloques

Se supone que los efectos de tratamientos y bloques son aditivos. Esto significa que no hay interacción entre tratamientos y bloques, es decir, la relación entre los tratamientos es la misma en cada uno de los bloques.


Diseño de bloques

El Análisis de Varianza para este diseño se basa en una descomposición de la variabilidad de las observaciones.

Desv. Total=desv error+desv trat+desv bloques

.. . . .. . .. . ..ij ij i j i jy y y y y y y y y y


Diseño de Bloques. Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)

F.V. g.l. S.C. C.M. F

Tratamientos

t-1

Bloques

b-1

Error

(t-1)(b-1)

Total

bt-1

tratSC

SCE

totalSC

/ 1tratSC t

2

/

ˆ

SCE nt t

tratCM

CME


bloquesSC

Ejemplo 3 Diseño de bloques


Se tienen datos de los depósitos de corcho de 28 árboles en cada de las cuatro direcciones N,S,E,O. Se quiere probar la hipótesis de que las medias de los pesos son iguales en todas las direcciones. Se midió en cada árbol el peso del corcho en las cuatro direcciones, lo que implica que cada árbol es un bloque y los tratamientos son las cuatro direcciones.




direccion 3 569.9 189.96 4.97 0.0032

arbol 27 26135.2 967.97

Residuals 81 3096.4 38.23

Analysis of Variance Table Response: peso



Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level $direccion

diff lwr upr p adj

N-E 4.36 0.02 8.69 0.048

O-E -1.00 -5.33 3.33 0.930

S-E 3.46 -0.87 7.80 0.163

O-N -5.36 -9.69 -1.02 0.009

S-N -0.89 -5.23 3.44 0.949

S-O 4.46 0.13 8.80 0.041



Si no consideramos bloques, es decir, consideramos que tenemos 28x4 árboles diferentes Analysis of Variance Table Response: peso

No hay diferencia significativa entre las 4 direcciones


Direccion 3 569.9 189.96 0.7018 0.553

Residuals 108 29231.6 270.66

Diseño de bloques


Bloques al azar: bloques de tamaño t Bloques al azar generalizados: se repiten los tratamientos en cada bloque Bloques incompletos: los bloques no contienen a todos los tratamientos

Diseño de bloques


Cuadro Latino: Bloqueo en dos direcciones Cuadro Grecolatino: Bloqueo en tres direcciones Cuadro Hipergrecolatino: Bloqueo en cuatro direcciones

Diseños factoriales (estructura de tratamientos)

• Información sobre varios factores. Todas las ue se utilizan para la evaluación de los efectos • Se amplía el rango de validez del experimento al estudiar cada factor en las condiciones representadas por los niveles de los otros factores • Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores


Diseños factoriales (estructura de tratamientos)


• El número de tratamientos es el producto de los niveles de los factores (diseño completo). • Si el número de tratamientos es grande implica que se necesitan muchas ue

Interacción

Ejemplo de un factorial 2x2 sin y con interacción


Diseño factorial

Suponga un experimento con dos factores, A con a niveles Y B con b niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a x b completo, balanceado, efectos fijos)

11 12 1b

21 22 2b

a1 a2 ab

Factor B 1 2 … b Factor A

1 2 . a


Diseño factorial, completamente al azar

El modelo lineal, modelo de medias

2

1, 2, ,

1, 2, ,

~ 0,

ij i ij

ij

i ab

j n

y

N

El modelo de efectos

2

1,2, , 1,2, , 1,2, ,

~ 0,

ijk i j ij ijk

ijk

i a j b k n

y

N


Diseño factorial

•Los dos modelos son equivalentes. •El modelo de efectos está sobreparametrizado así que se hace una reparametrización con variables indicadoras. •En el modelo de medias se realizan las pruebas para los efectos a través de contrastes. •En los dos casos las hipótesis de interés son:

01

02 .

03 .

: 0

: 0

: 0

ij

i i

j j

H i j

H i

H j

para toda y

para toda

para toda


Diseño factorial

• Una interacción significativa oscurece la significancia de los efectos principales • Cuando hay interacción significativa, se deberán estudiar los niveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de los otros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efecto principal de A.


Diseño factorial

Factor A- +

10

20

30

40

50

B+

B-

y


Diseño factorial completamente al azar. Tabla de ANOVA

F.V. g.l. S.C C.M. F A a-1 SSA SSA /(a-1) CMA / CME

B b-1 SSB SSB / (b-1) CMB / CME

AB (a-1)(b-1) SSAB SSAB / (a-1)(b-1) CMAB / CME

Error ab(n-1) SSE SSE / ab(n-1)

Total abn - 1 SSTot


Ejemplo 4 diseño factorial completamente al azar

Se quiere comparar el tiempo de supervivencia de tres especies de truchas cuando se exponen a una mezcla de metales.

Aproximadamente la mitad de las truchas de cada especie (al azar) fueron el grupo control, se mantuvieron en agua limpia por tres semanas antes de ser transferidas al agua con metales.



Las otras truchas de cada especie fueron puestas por tres semanas en una mezcla ligera de metales antes de ser transferidos a la mezcla más fuerte.

La variable de respuesta fue el número de horas de supervivencia en la mezcla fuerte de metales.



Se analizaron estos datos con un modelo 3x2

completamente al azar, sin embargo, no hubo homogeneidad de varianzas entre los 6 grupos.



Se calculó la transformación logaritmo natural del

tiempo, lo que se consideró como variable respuesta y se ajustó el mismo modelo.




1,2 1,2,3 1, ,

ijk i j ijkij

i

y T E TE

i j k n

Media general Efecto del tratamiento Efecto de la especie Efecto de la interacción

iT

jE

ij

TE



Analysis of Variance Table Response: lntiempo


especie 2 4.58 2.29 17.11 1.64e-07

tratamiento 1 14.48 14.48 108.17 <2.2e-16

especie: tratamiento

2 1.52 0.76 5.69 0.004

Residuals 175 23.43 0.13

Diseño factorial en bloques al azar

Suponga un factorial axb en p bloques al azar

ab 11 21 22 31 ...... 13

11 21 ab 12 22 ...... 31

21 11 12 13 31 ...... ab

12 21 ab 11 22 ...... 13

Bloque 1

Bloque 2

Bloque p


Diseño factorial en bloques al azar

El modelo:

1, , 1, , 1, ,

( )ijk i j ij k ijk

i a j b k p

y A B AB

Donde es el efecto de bloque y

2~ 0,ijk N

k


Diseño factorial en bloques al azar Tabla de ANOVA

F.V. g.l. S.C C.M. F

Bloques p-1 SSBloque

A a-1 SSA SSA /(a-1) CMA / CME

B b-1 SSB CMB / CME

AB (a-1)(b-1) SSAB CMAB / CME

Error ab(p-1)-p+1 SSE SSE /gle

Total abp-1 SSTot


Diseño factorial axbxc (c.a.)

1, , 1, , 1, , 1, ,

ijkl i j k

ij ik jk

ijklijk

i a j b k c l n

y


Diseño factorial axbxc (c.a.)

10

20

30

40

50

y

10

20

30

40

50

C3C3

C2 C2C1 C1

y

A- A+

B1 B2 B3 B1 B2 B3

Interacción de tres factores A con 2 niveles, B con 3 y C con 3 niveles


Otros temas

Factores aleatorios

Análisis de covarianza

Diseños cruzados

Varias variables dependientes MANOVA

Mediciones repetidas


Bibliografía

Kuehl, R.O. (2000). Design of Experiments: Statistical Principles of Research Design and Analysis. 2nd ed. Brooks/Cole.

Manly,F.J. (2009). Statistics for Environmental Science and Management. 2nd ed. Chapman & Hall


Bibliografía

Milliken, G.A. and Johnson, D.E. (1992). Analysis of Messy Data, Vol. I: Designed Experiments. Chapman & Hall.

Montgomery D.C. (2005). Design and Analysis of Experiments. 6ª. Ed. John Wiley & Sons.


Bibliografía

Reimann,C.,Filzmoser,P.,Garrett,R.G., Dutter,R. (2008). Statistical Data Analysis Explained. Applied Environmental Statistics with R. John Wiley & Sons.


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