DISEÑO DE EXPERIMENTOS Ing. Felipe Llaugel Análisis de Varianza.

DISEDISEÑO DE EXPERIMENTOSÑO DE EXPERIMENTOS

Ing. Felipe Llaugel

Análisis de Varianza

Ing. Felipe Llaugel

ANALISIS DE VARIANZA

Este método se emplea para analizar experimentos mas complicados que el ejemplo anterior. La mayoría de los experimentos de la vida real, requieren del estudio de mas de dos tratamientos, y en esos casos hay que usar de herramientas mas poderosas de análisis.

Para mostrar la utilización del análisis de varianza, analicemos el siguiente ejemplo.

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Se desea determinar que efecto tiene en la resistencia a la tensión, el porcentaje de algodón contenido en una fibra textil. Para esto se desea tomar 5 muestras de fibras con los siguientes contenidos de algodón: 15%, 20%, 25%, 30% y 35% respectivamente.

Antes de tomar las muestras, para garantizar la minimizacion del error de medición, se decidió aleatorizar el orden en el que se probarían las muestras, según como se indica en la siguiente tabla:

ANALISIS DE VARIANZA

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ORDEN DE MUESTREO PARA PRUEBA DE TENSIONDE FIBRAS TEXTILES

Numerode

Orden

Porcentajede

algodón

Numerode

Orden

Porcentajede

algodón

Numerode

Orden

Porcentajede

algodón

1 20 9 25 17 352 30 10 30 18 253 20 11 20 19 154 35 12 15 20 255 30 13 25 21 356 15 14 20 22 307 25 15 15 23 358 20 16 35 24 30

25 15

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RESISTENCIA A LA TENSION DE FIBRA TEXTIL(Lb/Pulg.2)

Observaciones

% deAlgodón 1 2 3 4 5 Total Promedio

15 7 7 15 11 9 49 9.820 12 17 12 18 18 77 15.425 14 18 18 19 19 88 17.630 19 25 22 19 23 108 21.635 7 10 11 15 11 54 10.8

376 15.04

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TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA

Donde:

a = Numero de TratamientosN = Numero de Observaciones

Fuentede

Variación

Sumade

Cuadrados

Gradosde

LibertadCuadradoPromedio F0

Entretratamientos

SStratamiento a - 1 MStratamiento MStratamiento/MSe

Dentro delTratamiento

SSe N - a MSe

Total SSt N - 1

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ANALISIS ESTADISTICO

El modelo a utilizar es el siguiente:yij = + i+ ij

Donde:

yij = Es la observación j del tratamiento i. = Es el promedio general. i = Es el efecto del tratamiento i. ij = El error aleatorio del experimento.

Llamemos:

i ijj

n

y y.

1entonces i

iy yn.

. i = 1,2,..., a

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....y yN ..

..y yNentonces

N = an

t ijj

n

i

a

SS y y ( )

..

2

11

tratamientoi

a

SSy yin N

. ..

2

1

2

tratamientotrtamientoMS SSa

1

SSSSSS otratamientte e

eMS SSN a

0F MSMStratamiento

e

Luego:

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Decimos que hay diferencia entre los tratamientos si:

Para nuestro ejemplo:

0 1F F a N a , ,

SSt = (7)2 + (7)2 +....+(15)2 + (11)2 - ((376)2/25) =

636.96

SStratamiento = ((49)2 + ... + (54)2)/5 - (376)2/25 = 475.76

SSe = SSt - SStratamiento = 636.96 - 475.76 = 161.20

MS tratamiento = 475.76 / 4 = 118.94

MS e = 161.20 / 20 = 8.06

F 0 = 118.94 / 8.06 = 14.76

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Buscando en la tabla del estadístico F, para = 0.05,

y 4 y 20 grados de libertad tenemos que F ,a-1,N-a = F

0.05,4,20 = 2.87, lo que indica que hay diferencia entre

los tratamientos y por lo tanto la fibra textil con el

30% de algodón es mas resistente que las demás.

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ESTIMACION DE PARAMETROS DEL MODELO

Recordando el modelo en que se basa el análisis de varianza:

yij = + i+ ij

se pueden estimar los parámetros de este modelo de la siguiente manera:

o sea, el gran promedio es el mejor estimador de

este es el mejor estimador del efecto del tratamiento i

..

y

i iy y

. ..

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Usando estas ecuaciones tenemos que el estimador de la gran media es: 376/25 = 15.04 y los estimadores para cada uno de los tratamientos son:

= 9.80 - 15.04 = -5.24

= 15.4 - 15.04 = + 0.36

= 17.6 - 15.04 = - 2.56

= 21.6 - 15.04 = + 6.56

= 10.8 - 15.04 = - 4.24

1

2

3

4

5

ESTIMACION DE PARAMETROS DEL MODELO

Ejercicio 3.1 con MINITAB (1 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (1 de 9)

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Los señores Kruskal y Wallis en 1952, idearon un método que permite verificar la hipótesis nula de que las medias de los resultados de los tratamientos son iguales, contra la hipótesis alternativa, indicando que son diferentes.

METODOS NO PARAMETRICOS

LA PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS

En situaciones cuando la condición de normalidad en la distribución de los residuos no esta presente, la prueba F del análisis de varianza no brinda resultados satisfactorios. En estos casos se recurre a métodos alternativos para verificar si existe o no diferencia entre los tratamientos usado estadísticas no parametricas.

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PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS

Ordenar las observaciones yij en orden ascendente.

Asígnele a cada observación un numero de orden Rij comenzando con el 1 en la observación mas pequeña. En caso de empate, asígnele un número de orden promedio a cada una de las observaciones empatadas.

Hagamos Ri. la suma de los números de orden en el tratamiento I, entonces el estadístico H es:

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donde ni es el numero de observaciones en el

tratamiento i , N es el número total de observaciones, y S2 es :

HS

Rn

N Ni

ii

a

1

42

2 2

1

1. ( )

2 2

11

2

1

1 4

1S R

N NN

nij

ji

a i

( )

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Nótese que S2 es la varianza de los números de orden. Si no hay empates, S2=N(N+1)/12, y el estadístico H se simplifica a:

HN N

Ni

ii

a Rn

12

13 1

2

1( )( ).

Si ni es mayor o igual a 5, entonces H se distribuye aproximadamente como una distribución . La hipótesis nula será aceptada si

,a 1

2

Ha

, 1

2

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EJEMPLO

Asignación de números de orden a resultados de prueba de tensión

para fibras textilesPORCENTAJE DE ALGODÓN

15 20 25 30 35y1j R1j y2j R2j y3j R3j y4j R4j y5j R5j

7 2.0 12 9.5 14 11.0 19 20.5 7 2.07 2.0 17 14.0 18 16.5 25 25.0 10 5.0

15 12.5 12 9.5 18 16.5 22 23.0 11 7.011 7.0 18 16.5 19 20.5 19 20.5 15 12.59 4.0 18 16.5 19 20.5 23 24.0 11 7.0

Ri. 27.5 66.0 85.0 113.0 33.5



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Aplicando las ecuaciones anteriores tenemos:

y

Dado que que es menor que H, concluimos que la prueba dice que hay diferencia entre los tratamientos.

2

2

1

245497 79

25

453 03

26S

. .

( )H

1

53 035245 0

25

419 25

2

26.

. .( )

0 01 4

213 28

. ,.



Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (1 de 3)Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (1 de 3)

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