DOCUMENTO PREPARADO PARA LA ASIGNATURA DE CONTROL AVANZADO 1

Diseño de regulador LQR y observador por filtro deKalman: Sistema Ball and Beam .

Gregory Cárdenas M.Estudiante de Ingeniería Civil Electrónica, Departamento de Ingeniería Eléctrica,Universidad de la Frontera, Temuco-Chile .

Resumen—En el presente artículo se planteara un controladorpor el método LQR (linear quadratic regulator) trabajandosobreel sistema lineal y no lineal, ambos con dos fuentes de ruidoblanco, por otro lado en lo que es diseño de observador deestados usaremos un estimado basado en un filtro de kalman,el cual ya nos permite perfilar el modelo a un modelos másrealista con la aplicación de diferentes perturbaciones, y finalmente para complementar esto se mostrara la implementaciónreal del modelo con sus respectivos sensores y actuadores.

Index Terms—Ball and beam, LQR, Kalman, MatLab,Simulink .

I. INTRODUCTION

LAS señales de ruido pueden afectar en una forma muynegativa a los sistemas de control automático, estas per-

turbaciones a las que están sujetos estos sistemas provocan quesu salida se aleje del comportamiento ideal. Para que el diseñode un sistema se pueda implementar en la vida real, es por estoque un buen diseño debe contemplar medidas que le permitanmantener un desempeño satisfactorio, incluso en presenciade este tipo de señales, las cuales pueden considerarse denaturaleza deterministica o aleatoria.

II. DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS.

En las siguiente dos sub-secciones se darán a conocerlos fundamentos teóricos de los dos métodos utilizados eneste informe, el primero para determinar el controlador quecorresponde al LQG (linear quadratic regulator) y el otro paradeterminar el observador de estados por un filtro de kalman.

II-A. Controlador LGR.

El control LQG presenta un enfoque diferente para a laconstrucción de la ley de control, que se basa en encontraruna ley de control que minimice la suma de los esfuerzos decontrol y las desviaciones de la señal de salida de su valordeseado. Este problema se conoce como el de control óptimo.

Por lo que la formulación del problema Considere unsistema modelado en representación de espacio estados, dela forma:

x (t) = Ax (t) +Bu (t)

y (t) = Cx (t)

Donde x (t) pertenece <n y las señales de entrada y salida(u (t) ; y (t))son escalares.

Se desea encontrar una ley de control uopt (t) que minimice:

J (x, u) =

∞∫0

(xT (t)Qx (t) +Ru2 (t)

)dt

La solución del problema de optimización planteado es:

uopt (t) = −koptx (t) = −R−1BTPx (t)

Donde la matriz P se obtiene de la siguiente ecuaciónalgebraica de Riccati:

ATP + PA− PBR−1BTP +Q = 0

Es decir, la ley de control óptima resulta ser una de reali-mentación de estados en la que la ganancia de realimentaciónse obtiene de una ecuación algebraica de Riccati.

II-B. Observador por Filtro de Kalman.

Sea un sistema SISO, con una entrada de control u (t) y desalida y (t), cuya descripción en espacio estado es :

x = Ax+Bu+ Fv

y = Cx+ w

Donde x es el vector de estados, u es una entrada escalarconocida, y es la salida escalar,v y w son procesos escalaresaleatorios del tipo ruido blanco, cuyas densidades espectralesde potencia son V y W respectivamente. Por lo que elobservador de kalman para el vector de estados, tendría laestructura básica de un observador. Por lo que la ecuaciónque describe el observador es:

x = Ax+Bu+ Lk (y − Cx)

Siendo x el vector de estado estimado y Lk la matriz dediseño del estimador. Si las señales v y w no están correla-cionadas, el valor de Lkse determina mediante la formula:

Lk = PoptCTW−1

Donde Popt (t) es la matriz de covarianza óptima del errordel estimador de estado, obtenida a partir de la ecuación deRiccati:

0 = APopt + PoptAT − PoptC

TW−1CPopt + FV FT

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III. REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA.

Como se comento en el resumen del artículo, para poderimplementar un sistema de control real, es necesario tener encuenta las diversas señales ruidosas que están presentes ennuestros instrumentos de medición y de actuación, una vezpresentados estos antecedentes, recién podemos comenzar eldiseños de nuestro controlador y observador contemplando losdatos de los instrumento errores, rangos, etc .

III-A. Actuación.

El sistema ball and beam presentado desde [1], en suimplementación real requiere de al menos dos componentespara su funcionamiento, en primer lugar un servomotor, el cualestará encargado de entregar el torque necesario para modificarla variable de entrada u (t), para este caso se utilizara unservomotor síncrono 1FK70 Simens, de la firma Simens .

A continuación se presenta la ficha técnica de este instru-mento:

Tención: 300 [V].Torque Máximo Cte : 2,560 Nm.Velocidad φ : 6000 [rpm].Rango : 0 -270°.Error : ≤2 %.

III-B. Medición.

Por otro lado también es necesario poder medir la posicióndel balón dentro del riel y que será el encargado de realimentaral observador de estados del sistema, para esto se utiliza unmedidor de posición, para este caso se utilizara el sensor deposición ultrasónico Sick UM 30-13113, de la firma Sick.

A continuación se presenta la ficha técnica de este instru-mento:

Rango limite : 30-1300[mm].Frecuencia : 200[khz].Resolución : 0.36[mm].Tiempo de respuesta : 110 [ms].

IV. DISEÑO DEL CONTROLADOR Y OBSERVADOR.

IV-A. Diseño del controlador.

MatLab en su toolbox de control, proporciona excelentesherramientas relacionadas a esta área, entre ella el comandolqr(), con el cual permite calcular directamente la matrizde ganancias optima kopt, la ecuación de ricatti asociaday además de entregar los eigen-valores en lazo cerrado delsistema.

La estructura de esta función está dada de la siguienteforma:

[k, S, e] = lqr(A,B,Q,R,N)

Donde A y B son las matrices espacio-estado del sistemaencontrados en [4], y las matrices de ponderación Q y R , que

balancean la importancia relativa de la entrada y el estado enel costo que se pretende optimizar.

En este caso después de correr simulaciones con distintasmatrices de ponderación, se llegaron a las siguientes matrices,esto se baso en los criterios del esfuerzo realizado por elactuador ajustándose a los indicados en la implementación,esto se discutirá más adelante.

Q =

1000 0 0 00 0 0 00 0 10 00 0 0 0

;R = 1;N = 0.

En todos los casos, el valor por defecto de N = 0, estevalor se asume 0 cuando es omitido, como es en este caso.

Con lo que se obtiene el siguiente vector de realimentación:

kopt =[−32,6067 −11,9937 4,4556 0,4677

]IV-B. Diseño del observador.

Al igual que en el caso anterior toolbox de control enMatLab permite calcular directamente la matriz de diseñodel observador optimo mediante la función sys=ss() y lafunción kalman (), la primera permite crear un objeto deltipo sistema en variables de estado, mientras que la segundafunción permite obtener la matriz de diseño del observador deestados .

Para este caso las funciones tienen la siguiente estructura.

sys = ss(A,[B G

], C, 0

)L = kalman (sys,Qn,Rn,Nn)

Siendo el sistema de la forma:

x = Ax+Bu+Gw

y = Cx+Du+Hw + v

Se define la matriz G como:

G =

1111

En donde se asume que el ruido es igual de probable en

todas componentes del sistema y con:

H = 0

Ya que podemos afirmar que los ruidos w y v no estanrelacionados entre si .

Siendo Qn la matriz de covarianza del error provocado porel actuador del sistema, y Rn la matriz de covarianza del errorprovocado por el sensor de posición.

Qn = 0,0036.

Rn = 0,000176.

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La matriz de diseño del observador óptimo corresponde a:

Lopt =

6,402720,2551−28,5813−78,9461

V. RESULTADOS Y ANÁLISIS.

V-A. Regulación del sistema Lineal.

Para la regulación del sistema lineal es fácil ver comoeste nuevo controlador diseñado por el método LQR puedecontrolar el sistema desde condiciones iníciales mucho másalejadas del punto de equilibrio, con una relación de actuaciónsoportada por el actuador al cual se hace referencia.

Figura 1. Respuesta del sistema aplicando el regulador LQR sobre el sistemalineal con dos fuentes de ruido blanco.

En la Figura 1 se muestra la respuesta del sistema cuandola condición de equilibrio se aleja 10 cm de este, como semostro en [2] .

Figura 2. Ley de control (esfuerzo de control), sistemas lineal aplicandocontrol LQR

En la figura 2 se muestra el esfuerzo de control realizado porel servo-motor el cual se encuentra en los rangos de actuacióndel servomotor síncrono 1FK70 Simens, por lo que no habríamayor problema en esa instancia.

V-B. Regulación del sistema no-lineal.

En la regulación del sistema no-lineal podemos ver que elcontrolador LQR es capaz al igual que en el caso anterior

soportar condiciones iníciales mucho más alejadas del puntode equilibrio que en el caso del controlador mostrado en [2].

Figura 3. Respuesta del sistema aplicando el regulador LQR sobre el sistemano-lineal con dos fuentes de ruido blanco.

En la Figura 3 se muestra el regulador LQR sobre el sistemano-lineal, en donde se puede ver que este es capas de regular elsistemas, también se puede ver que en relación al regulador porubicación de polos, este puede controlar el sistema partiendode condiciones iníciales mucho mayores que en el mostrado en[2], al probar el controlador por ubicación de polos al sistemano-lineal con los niveles de ruido utilizados en este articulo,se observa que no es capaz de controlar el sistema, es mas nipartiendo de las condiciones iníciales es posible.

Esto quiere decir que basta con el ruido para que el sistemano sea regulable, por lo que bajo ninguna condición esteregulador serviría para una implementación real.

Figura 4. Ley de control (esfuerzo de control), sistemas no-lineal aplicandocontrol LQR

En la figura 4 se observa el esfuerzo de control que realizael servo-motos, para controlar el sistema, esto se encuentradentro de los rangos de actuación del servomotor síncrono1FK70 Simens, el cual fue el elejido para controlar el sistema,por lo se concluye que con este controlador podria sea usadosin problemas en la implementación de este sistemas, ahora esnecesario tener en cuenta las perturbaciones tomadas encuentaen el artículo son las minimas existentes en cualquier sistemade control .

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

Los método de regulación LQR y observador por filtro deKalman, presentan una forma sencilla y simple de controlar

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sistemas lineales con ruido blanco debido a que el kopt es fácilde encontrar ya que es la solución del una ecuación matricialde coeficientes constantes, lo mismo ocurre para el caso deobservador por filtro de Kalman.

Para la implementación de sistemas de control real, esnecesario tener en cuenta al menos los ruidos que en esteartículo se mencionan ya que son los mínimos que un sistemadebería tener errores en medición y en actuación, y como sepuede observa es necesario contar con estimadores que puedanlidiar con esta clases de perturbación como es el caso del filtrode Kalman si bien aparecen pequeños errores de estimación enlos estados y algunas oscilaciones en la parte de regulación,se cumple con lo fundamental que es regresar el sistema a supunto de equilibrio .

VII. REFERENCIAS

REFERENCES

[1] Gregory Cardenas M,”Modelamiento y Simulación: Sistema Ball andBeam”, Universidad de la frontera, Temuco-Chile .

[2] Gregory Cardenas M,”Diseño de controlador y observador por ubicaciónde polos: Sistema Ball and Beam”, Universidad de la frontera, Temuco-Chile

[3] Shamsher Ali Naz,Reza Katebi and Luisella Balbis. “Implementation ofKalman Filter On Ball And Beam Experiment Using LabView ”.IndustrialControl Unit, Department of Electronics and Electrical EngineeringUniversity of Strathclyde, Glasgow, U.K.

[4] Gregory Cardenas M .”Modelamiento y Simulacion : Sistema Ball andBeam”. Universidad de la Frontera . Temuco-Chile .pp Anexo 1 y Anexo2. 2010.

[5] Universidad Tecnica Federico Santa Maria.“Teoria moderna de controlLineal”. Valparaíso-Chile .2004

[6] ” MatLab/Simulink 7.7.0 R2008b For Unix “. MathWorks Ins .