Diseño de Vigas Continuas

7/26/2019 Diseo de Vigas Continuas

1/50

N2N1

L1

Li

LN

4 DISEO DE VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCION

4.1 GENERALIDADES

La aplicacin mas inmediata de la teora del diseo a flexin del hormign armado escuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa

que trabajan en una direccin, figura 4.. !stos tipos de estructuras son "nicas en el

hormign armado ya que a diferencia de otros materiales los ensambles son

monolticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de

tensiones se reali#a por continuidad estructural.

$ $% $& $4 $i $n

L L% Li Ln

'igura 4..a. (iga continua y modelo de an)lisis estructural

'igura 4..b. Losa en una direccin apoyada en vigas o muros cargueros.

*+


2/50

diferencia del diseo de secciones, en donde solo se consideraba un determinado

momento, en estos casos se debe conocer la variacin del momento flector que

producen las cargas externas en toda la longitud del elemento. !l momento flector

varia considerablemente desde el centro de la lu# hasta los apoyos donde cambia de

signo, es decir la traccin es en la parte superior de la seccin. -gualmente cambia con

la presencia de las cargas vivas, situacin que se debe considerar en el diseo para tener

en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La

variacin del momento en la longitud de los elementos se puede determinar usando el

mtodo aproximado de los coeficientes del /- para revisiones o diseos preliminares

de estructuras o mediante el uso de algoritmos matem)ticos mas o menos complejos que

requieren por lo general la ayuda de una calculadora programable o un computador.

0odos estos procedimientos utili#an por lo general el an)lisis estructural el)stico o de

primer orden. !n la practica existen procedimientos disponibles de an)lisis pl)stico que

consideran la fisuracion de las secciones y la redistribucin inel)stica de tensiones pero

estos no se van a considerar en este texto.

4.% PATRON DE COLOCACIN DE LAS CARGAS

!l primer problema a resolver es la determinacin y colocacin de las cargas que sevan a considerar en el diseo. La carga muerta se estima con base en el peso propiode la estructura y en los elementos que siempre permanecer)n sobre ella, esta carga esconstante y no varia en posicin. La carga viva por el contrario se estima con basesestadsticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupacin de la estructura,

varia continuamente de posicin y el ingeniero debe considerar una disposicin acertadade esta variacin en la estructura. /on el fin de obtener las envolventes de losmomentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las lneas deinfluencia tratadas en los cursos b)sicos del an)lisis estructural. 1n mtodo simple escolocar la carga viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables demomento flector en las mitades de la luces y en los apoyos. $ara las mitades de lasluces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedre#,con esto se logran los mayores momentos positivos, figura 4.%.a y b. Los mayoresmomentos negativos en cada apoyo se logran colocando la carga viva en sus dostramos adyacentes y altern)ndola en el resto de la estructura, figura 4.%.c. !l diseo sereali#a para las condiciones mas exigentes de los momentos negativos y positivos

encontrados anteriormente.

4.& MTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL

/uando se requieran reali#ar comprobaciones r)pidas y dimensionamientos preliminares

de los elementos estructurales antes de proceder a utili#ar mtodos complejos, es

practico y sencillo utili#ar los coeficientes de momento recomendados por el /- los

cuales fueron obtenidos por comprobaciones el)sticas considerando entre otros aspectos

la aplicacin alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los m)ximos

momentos positivos y negativos en la estructura. La expresin general para hallar

los


3/50

momentos tiene la forma de 2 3 coef. q L%

donde q es la carga uniformementedistribuida y L 5 la lu# libre. !l mtodo permite hallar igualmente las fuer#ascortantes

en cada tramo de la estructura continua con la expresin ( 3 coef. q L 6 %.


4/50

qm : Carga muertaqv : Carga viva

$ara la aplicacin adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes

limitaciones geomtricas y de carga en la estructura. /uando no se cumple alguno de

estos requisitos se debe utili#ar un mtodo de an)lisis hiperestatico como el de rigide#,

matricial, solucin de ecuaciones simultaneas.

7e tengan mnimo dos luces Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes

no debe exceder a la menor en mas del %89.

Las cargas sean uniformemente distribuidas La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta Las secciones sean prism)ticas.

: / ; ! '

a< $atrn de carga viva con m)ximos momentos positivos en :, /; y !'.

b


5/50

determinada lu# los m)ximos momentos negativos que se presentan

simult)neamente bajo la accin de las cargas.

0abla 4. /oeficientes /- para el diseo de vigas continuas y losas en una direccin

Momento po!t!"oLuces de borde

7i el borde es discontinuo sin restriccin

q l %u n

7i el borde es discontinuo e integral con el apoyo

q l %u n

Luces interiores

q l %u n

Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ e(te'!o' )e% p'!me' $po*o !nte'!o'

/uando se tienen dos luces

q l %u n

$ara mas de dos luces

q l %u n

Momento ne#$t!"o en %$ ot'$ &$'$ )e %o $po*o !nte'!o'e q l %u n

Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ )e to)o %o $po*o p$'$ a< losascon luces que no excedan de &.8 m y b< (igas en donde la relacin

de suma de las rigide#es de columnas a suma de rigide#es de vigasno exceda de ocho en cada extremo de la lu#.

q l %u n

Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ !nte'!o' )e %o $po*oe(te'!o'e

/uando el apoyo es una viga de borde o de respaldo

q l %u n

/uando el apoyo es una columna

q l %u n

Co't$nte en $% &$'$ !nte'n$ )e% p'!me' $po*o !nte'!o' .?qu l

n

%

Co't$nte en %$ ot'$ &$'$ )e %o $po*o qu ln

ln para momento positivo es la lu# libre entre apoyos y para momento negativo es el

promedio de las dos luces adyacentes. qu es la carga mayorada que act"a sobre la

estructura.

!l valor de la fuer#a cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces

simplemente apoyadas a excepcin de la cara exterior del primer apoyo interior en

donde el valor se incrementa en un ?9 debido al efecto del balance de los momentos


6/50

116

114

116

114

114

116

112

114

112

112

116

112

112

7in restriccin 8

(iga deborde

/olumna

%4 4 8 =

a< (igas con mas de dos luces

7in restriccin 8

8

(iga deborde

/olumna

%4 4 > > 4 %4

b


7/50

d< (igas en donde 7 @igide# de columnas A B x 7 @igide# de vigas en el nudo

'igura 4.& /oeficientes de momento en vigas continuas y losas en una

direccin


8/50

Viga A Viga B Viga C

Direccin

Losa

Losa

Vigas

en vigas continuas

C

.?qu l

n


9/50

Nervios o viguetas

Viga A Viga B Viga C

Losa nervada

Vigas

/uando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la accin estructural es en

dos direcciones. 7in embargo en este caso la accin depende de la relacin lu#

larga,

bl,

a lu# corta, la, la cual indica que para relacionesal

6 lb A % la losa bidireccional se puede

anali#ar como unidireccional porque mas del >89 de la carga se dirige a las vigas enla direccin corta de la losa.

Las losas de hormign armado pueden tambin ser maci#as o aligeradas. !l sistemade losa maci#a es muy utili#ado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios

por las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losasaligeradas son bastante utili#adas en la construccin de edificios por las ventajas quegenera en ahorro de materiales, disminucin del peso y mejora en aislamientostrmicos y ac"sticos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran

patentados por el instituto del acero para el hormign armado de los !stados 1nidos C/@7-< y se les conoce comercialmente como los sistemas nervados C Doist 7ystem< enuna y en dos direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el /@7- E 4%dan los criterios de diseo para diferentes configuraciones de losa lo mismo que lascaractersticas de los aligerantes, recubrimientos y detallado del refuer#o. 1n sistema tpicoaligerado en una direccin se indica en la figura 4.?.

'igura 4.? Losa nervada en una direccin apoyada sobre vigas

Fa que las cargas en las losas unidireccionales van en la direccin corta del modulo opanel de losa, esta se puede anali#ar estructuralmente como una viga continua de

ancho


10/50

A A A B B B CC CD D D 1

2

!

4

! " 4#$ m ! " 4#% m ! " 4#% m ! " 4#$m

unitario si es maci#a o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. 7e puede

utili#ar el mtodo de los coeficientes del /- si se cumplen las hiptesis u otro mtodo

de an)lisis el)stico. !l refuer#o esta constituido en general por dos capas de acero en

forma de malla que atienden las solicitaciones externas C refuer#o principal< y los

problemas de retraccin y cambios de temperatura Crefuer#o secundario


11/50

'igura 4.= $lanta tpica para el ejemplo 4.


12/50

&ran'a t()ica

* +1%$ mm

,

So%-&!/nH La edificacin esta compuesta de prticos viga I columna que conforman elsistema estructural resistente a momento y losas en una direccin que se apoyan en

vigas cargueras intermedias. Las vigas principales ,% ,& y 4 reciben adem)s de su

propio peso las cargas de las vigas intermedias J, 5, :J, :5, /J, /5, ;J, ;5 y las

vigas de amarre espacial , :, / y ; soportan su propio peso.

a< ;imensionamiento de la losa maci#a. 1tili#ando la tabla &.4 para losas maci#as en unadireccin los espesores mnimos sonH

Lu# :h

488

%4

= =K.mm $ara el tramo de borde

h 488= 4&.mm $ara el tramo central

%B

Lu# :/

h

4?8%B= =.mm en todos los tramos

$or simetra el espesor recomendado de la losa es h =K mm. !l valor se deberedondear al m"ltiplo de %? mm mas cercano 7ea h 3 ?8 mm. 7e asume unaancho de franja para el an)lisis estructural y el diseo de b 3 ?88 mm. La seccin de

franja se muestra en la figura 4.K.

'igura 4.K 7eccin de losa maci#a y franja tpica del ejemplo 4.

b< ;imensionamiento de la losa aligerada. -nicialmente se definen las caractersticas del nervioy el tipo de aligerante de acuerdo al numeral B. del cdigo del /-. !n resumen se

debe cumplir queH

el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 88 mm y su altura menor o iguala tres y medio veces el ancho.

!l espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 8.K? m /uando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormign huecos como

aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormign de los nervios,

el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo

de la separacin libre entre nervios o 48 mm. 7i se utili#an otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losasobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de laseparacin de los nervios o ?8 mm.


13/50

!l espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla &.4H

Lu# :h

488

B.?

= %=.mm $ara el tramo de borde

h 488= >8.mm $ara el tramo central

%

Lu# :/

h

4?8%= %4.mm en todos los tramos

$or simetra el espesor recomendado de la losa es h %= mm. !l valor se deberedondear al m"ltiplo de %? mm mas cercano 7ea h 3 %88 mm.

La seleccin del aligerante depende de criterios econmicos y constructivos disponiblesen el sitio de la construccin. !l uso de cajas de madera, bloques de poron C icopor


14/50

$ara el tramo :/ y /;

h &?8

%

= =4&.mm


15/50

La altura se puede asumir como h 3 K88 mm con el fin de tener alguna reserva de

seccin para atender la flexin y la cortante. !l ancho de la viga por lo general se define

con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. !n general este

ancho debe ser al menos 88 mm menor que el de las columnas Cpor refuer#o del nudo.a.

d< ;imensiones de las vigas intermedias. !stas vigas tienen luces de B.8 m y se apoyan

en las vigas principales. ;e la tabla &.4H

$ara los tramos I% y %I&

h B88

B.?

= 4&%.mm

$ara el tramo %I&h

B88

%

= &B.mm

7e puede asumir un espesor de h 3 ?88 mm y un ancho de b 3 &88 mm. La seccin delas vigas intermedias se puede ver en la figura 4.>.b.

88 mm3?88 mm

b 3 &88 mm

b 3 488 mm

a< 7eccin vigas principales b< 7eccin vigas

intermedias 'igura 4.> 7ecciones de vigas del

ejemplo 4.

4.?.% Dete'm!n$&!/n )e %$ &$'#$ en %o$ * "!#$

Las cargas que act"an en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivasdefinidas de acuerdo al tipo de uso y ocupacin de la edificacin. !l peso propio parala losa se determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para

h

h

3

K


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las divisiones interiores, acabados y las instalaciones. !l peso propio de las vigas sedetermina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a losvalores establecidos localmente por estudios estadsticos y se presentan en un cdigo onorma de construccin C *7@I>B


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qm + !#1 -N.m qv + $#/ -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

Eemp%o 4.0 ;eterminar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.. /onsiderarhormign armado con una densidad de %.4 2g 6m

&. !n la losa aligerada usar un peso

de ladrillos de .8 M*6 m%. !n general usar un peso de divisiones de .? M*6 m

%y

acabados e instalaciones de .% M*6 m%.

So%-&!/nH 7e determinaran las cargas para el diseo deH a< losa maci#a b< la losaaligerada c< las vigas intermedias y d< las vigas principales.

a< /argas de diseo de la losa maci#a.

$eso de la

losaHqm ,pp = %.4 8.? >.B = &.?.kN 6 m

%

$eso de divisiones, acabados e

instalacionesH

qm ,adic. = .? + .% = %.KkN 6 m

/arga muerta total en

losaHqm = qm,pp + qm,adic. = &.? + %.K = =.%kN 6 m

R La carga muerta en la losa es de =.% M*6 m%.

R La carga viva es de acuerdo al *7@I>B para vivienda de .B M*6 m%.

$ara una franja de diseo de 8.?8 m la carga muerta es de qm 3 =.% x 8.? 3 &. M*6m yla carga viva es de qv 3 .B x 8.? 3 8.> M*6m.

'igura 4.8 /argas de diseo para la losa maci#a del ejemplo 4.%

b.B = .BkN 6 m

$eso nervioHq

8.8

%

%

%

=


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8.? % %.4 >.B = 8.KkN 6 mm ,nerv.

8.?8


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qm + !#0 -N.m qv + 1#4 -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

$eso aligeranteH q = .8 M*6m%

%

$eso divisiones, acabados e

instalacionesH

qm ,adic. = .? + .% = %.KkN 6 m

R /arga muertatotalH

q = .B + 8.K +.8 + %.K = ?.=kN 6 m % es decir una disminucin

del 89 del peso de la losa maci#a para las mismas condiciones geomtricas.

7i se requiere disminuir el peso propio se puede utili#ar otro aligerante o una

formaleta recuperable. $or ejemplo con cajas de madera com"n no recuperable de

dimensiones ?8 x K?8 x 888 mm se tieneH

qm,rec. 3 .B M*6m% qm,alig.3 8.?

M*6m%

qm,adic. = %.KkN 6 m

8.8 8.? %qm ,nerv. =

8.K? %.4 >.B = 8.4KkN 6 m

qm,torta = 8.8% %.4 >.B = 8.4KkN 6 m

R La carga muerta total es de qm 3 4.>K M*6m%

que equivale a una disminucin delpeso propio en %89 respecto a la losa maci#a equivalente.

7e puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. !n esteultimo caso la carga por peso propio es de qm 3 .B %.K8 8.4K 3 4.&? M*6m

%

con una disminucin del &89 del peso propio de la losa maci#a.

!n este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga porpeso propio de qm 3 4.>K M*6m

%.

R La carga viva es igual al caso de losa maci#aH qv 3 .B M*6m%

/on franjas de ancho 8.K? mqm 3 4.>K x 8.K? 3 &.K M*6m

qv 3 .B8 x 8.K? 3 .4 M*6m

m

m

%

%


20/50

'igura 4. /argas de diseo para la losa aligerada del ejemplo 4.%


21/50

c< /argas de diseo de las vigas intermedias. !stas vigas reciben como carga las

reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. 1tili#ando el mtodo aproximado

de los coeficientes del /- se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa

maci#a y luego la losa aligerada.

(igas y ! H qm=

&. 4.8

% 8.?

+ 8.& 8.? %.4 >.B = %.4 + &.? = ?.>kN 6 m

qv = 8.> 4.8

% 8.?

= &.=kN 6 m

(igas J y ;5 H qm = .?

&. 4.8

% 8.?

+&. 4.

8

% 8.?

+ 8.& 8.? %.4 >.B = &8.%kN 6 m

qv =

.?

8.> 4.8

+% 8.?

8.> 4.8

% 8.?

= K.KkN 6 m

(igas 5 y ;J H qm = %

&. 4.8

% 8.?

+ 8.& 8.? %.4 >.B = %B.&kN 6 m

qv = % 8.> 4.8

% 8.?

= K.%kN 6 m

(iga : H qm

=&. 4.8

+% 8.?

&. 4.?

% 8.?

+ 8.& 8.? %.4 >.B = &>.>kN 6 m

qv = 8.> 4.8% 8.?


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+8.> 4.? % 8.? = K.KkN 6 m

(iga :J y /5 H qm = %

&. 4.?

% 8.?

+ 8.& 8.? %.4 >.B = &.4kN 6 m

qv = % 8.> 4.?

% 8.?

= B.kN 6 m

$or simetra ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.% presenta el resumen.

0abla 4.% /argas de diseo en vigas intermedias del ejemplo 4.%. Losa maci#a mtodo

coeficientes /-

/arga

CM*6m

J

5

: :

J

:

5

/

q ?.> &8.% %B.& &>.> &.4 &.4 &.4

q & K K. K. B B B

q >.? &K.> &?.? 4K.= &>.? &>.? &>.?


23/50

qm + 1%#/ + !/#/ 3 -N.m qv + !#6 + #13 -N.m

1 2 ! 4

#$ m #$ m #$ m

&igura 4#12 Cargas de dise5o en vigas intermedias de e'em)o 4#2

0abla 4.& /argas de diseo en vigas intermedias del ejemplo 4.%. Losa aligerada

(-N

/argaCM*6m

J

5

: :J

:5

/

q &.4 %4.K %&.& %4.? %?.K %?.K %?.K

& B K. K. B B B

K. &%.K &8.B &%.4 &4. &4. &4.

d< /argas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso

propio mas las reacciones de las vigas intermedias. Las vigas principales llevan la

carga a las columnas o muros respectivos. 1tili#ando el mtodo de los coeficientes del /-H

V!#$ 1 * 4H qm = 8.K 8.4 %.4 >.B = =.=kN 6 m

pm ,AJ= &8.%

B.8

%

= %8.Bk

N

pm ,AO

=

%B.&

B.8

%

= &.%kN

pv ,AJ= K.KB.8

%

= &8.BkN

pv,AO

=

K.%

B.8

%

= %B.BkN

pm ,BJ = &.4B.8

% = %?.=kN pm ,BO=


24/50

&.4 B.8 %= %?.=kN

pv ,BJ= B. B.

8

%

= &%.4kN

pv ,B O

=

B.B.8

%

= &%.4kN

Las otras cargas se obtienen por simetraH


25/50

qm + 6#6 -N. m

A B C D

12 m 12 m 12 m 12 m

% M* & M* %= %= M* %= %= & M* % M*& M* %> M* &% &% &% &% %> M* & M*

'igura 4.& /argas de diseo en viga principal E del ejemplo 4.%

% M* & M* %= %= M* %= %= M*& M* %> M* &% &% &% &% M*

qm 3 =.= M*6 m

: / ;

% m % m % m

'igura 4.4 /argas de diseo en viga principal E 4 del ejemplo

4.%

V!#$ 0 * 2H qm = 8.K 8.4 %.4 >.B = =.=kN 6 m

pm,AJ = %.?

&8.%

B.8

%

= %=8kN

pm ,AO = %.?

%B.&

B.8

%

= %4&kN

pv ,AJ = %.?

K.K

B.8

%

= ==kN

pv ,AO = %.?

K.%

B.8

%

= =%kN


26/50

pm,BJ = %.?

&.4

B.8

%

= %K8kN

pm ,BO = %.?

&.4

B.8

%

= %K8kN


27/50

qm + 6#6 -N. m

A B C D

12 m 12 m 12 m 12 m

qm + 6#6 -N. m

A B C D

12 m 12 m 12 m 12 m

pv ,BJ = %.?

B. B.8

%

= K8kN

pv ,BO = %.?

B.B.8

%

= K8kN

Las otras cargas se obtienen por simetraH

%=8 M* %4& M* %K8 %K8 M* %K8 %K8 %4& %=8 M*

== M* =% M* K8 K8 K8 K8 =%M == M*

'igura 4.4 /argas de diseo en viga principal E % del ejemplo 4.%

%=8 M* %4& M* %K8 %K8 M* %K8 %K8 & % M*== M* =% M* K8 K8 K8 K8 %>M & M*

'igura 4.? /argas de diseo en viga principal E 4 del ejemplo 4.%

4.?.& Momento * &o't$nte en %o$ * "!#$

La determinacin de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes

secciones criticas de la estructura se reali#a utili#ando el an)lisis estructural el)stico. 7ise cumplen las hiptesis, el mtodo de los coeficientes del /- es una excelente

herramienta para iniciar el proceso de calculo. 7i se dispone de un procedimiento de


28/50

an)lisis estructural mas elaborado es conveniente utili#arlo en lugar del

mtodo


29/50

aproximado. !s importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos mtodos

para ju#gar la bondad del procedimiento aproximado.

a< Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas tpicas o nervios, con geometra

similar, los cuales se deben anali#ar combinando adecuadamente las cargas muertas yvivas de tal forma que se obtengan los m)ximos momentos positivos y negativos en lasdiferentes secciones de la estructura.

b< (igas. 7e utili#a igualmente el procedimiento de an)lisis disponible y combinandoadecuadamente las cargas se obtienen los m)ximos momentos y cortantes en laestructura.

Eemp%o 4.2 $ara la losa del ejemplo 4. determinar los momentos flectores y lasfuer#as cortantes para el diseo de la losa y las vigas.

So%-&!/nH La losa solo tiene una franja tpica la cual se anali#ara por el mtodo derigide# y por el mtodo de los coeficientes del /-. provechando la simetra solo se

dan los resultados de momento para la mitad de la franja tpica de losa.

a< 2omentos y cortantes en la losa. /onsiderando las posibles combinaciones de carga vivay muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos primeros

para obtener los m)ximos momentos positivos en cada tramo de franja y los seisrestantes para lograr los m)ximos momentos negativos, figura 4.=.

!n la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga

propuestas. -gualmente la tabla 4.? presenta los momentos utili#ando el mtodo

aproximado de los coeficientes del /-. 7e puede notar como la diferencia entre

ambos procedimientos varia entre el 8.?9 y &&9 que en muchos casos pr)cticos es

aceptable dada la variabilidad en la estimacin de las cargas y en el cumplimiento en

obra de la resistencia del hormign y del acero.

0abla 4.4 2omentos de diseo losa maci#a del ejemplo 4.&. 2todo de rigide#

2omentos en M*x m 6 Cancho de franja %. K.=

K 8. =. K.? . ?. 4. =.= %. K. 4. :., 4. =.>

B 8. 4. K.? &. ?. . K. ?. K.K %. =.> 4. :.8

Los valores en negrilla y sombreados son los m)ximos obtenidos en todaslas combinaciones de carga y son los que controlan el diseo.


30/50

1#2 qm 7 1#6 qv + %#16 -N . m1#2 qm + !#02 -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

a3 Com,inacin 8 1 : 9;imos momentos )ositivos en uces 1

%#16 -N.m !#02 -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

,3 Com,inacin 8 2 : 9;imos momentos )ositivos en uces 2


31/50

%#16 -N . m !#02 -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

e3 Com,inacin 8 % : 9;imo momento negativo en B

%#16 -N . m !#02 -N.m

A A A B B B C

4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m

>3 Com,inacin 8 6 : 9;imo momento negativo en B

?.= M* 6 m &.K% M*6m

J

5 : :J :5 /

4.8 m 4.8 m 4.8 4.? 4.? 4.? m

g< /ombinacin E K H 2)ximo momento negativo en :5

h< /ombinacin E B H 2)ximo momento negativo en /

'igura 4.= /ombinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.&. /ontinuacin

?.= M* 6 m &.K% M*6m

J

5 : :J :5 /

4.8 4.8 m 4.8 4.? 4.? 4.? m


32/50

1#2 qm 7 1#6 qv

1 2 ! 4#$ m #$ m #$ m

0abla 4.? 2omentos de diseo losa maci#a del ejemplo 4.&. 2todo coeficientes /-

2omentos en M*x m 6 C ancho de franja8 B.%? K.? ?.= K.? K.? ?.= K.?

>.?

8

=.?& >.?8

2omentos en M*x m 6 Cancho de franja.?8 =.?& >.?8 >.?8 =.?& >.?8

0abla 4.= /omparacin de los momentos de diseo en losa maci#a del ejemplo 4.&

2omentos en M*x m 6 C ancho de nervio. &. K. 4. B.K ?. >.= ?. >.? ?. >.=

pro &. ?. K.B ?. K. ?. B.? =. >.? =. >.? =. >.?

;if. II & K & % 8.% .8

$or simetra no se colocan los valores para las otras luces. !l momento 2 no sepuede comparar por la diferencia de hiptesis en cada mtodo.

b< 2omentos y cortantes en vigas intermedias. !n la tabla 4.% y la figura 4.% se indicaron

las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utili#ando los coeficientes del

/- Csi se dispone de mtodos mas elaborados se pueden precisar mas estos valores,

utili#ando por ejemplo el mtodo de rigide#


33/50

// -N1/4 -N

12 -N 2$! -N241 -N

2$! -N2$! -N

2$! -N2$! -N

12 -N-N

// -N1/4 -N

qm + 0#/ -N. m

A B C D

12 m 12 m 12 m 12 m

0abla 4.K 2omentos 2ayorados en vigas intermedias. 2todo coeficientes del /-

2omentos en M* x m

0abla 4.B /ortantes 2ayoradas en vigas intermedias. 2todo coeficientes del /-/ortantes en M*

V! V1=0 V0=1 V0=2 V2=0 V2=4 V4=2A > > > >A5 % % A6 % % 7 % % % % % %75> 76 > C> C5> C6 % % % % % %D % % % % D5 % % IIIII IIIII

D6 % % IIIII IIIIIE > > IIIII IIIII

c< 2omentos y cortantes en vigas principales. !stas vigas soportan, adem)s de su peso,

las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la

tabla 4.B. Los momentos y cortantes se deben obtener con un mtodo hiperestatico de

an)lisis estructural. !n este ejemplo ya no se puede utili#ar el mtodo de los

coeficientes del /- por la presencia de cargas concentradas en las luces.

'igura 4.B /argas 2ayoradas en viga principal E del ejemplo 4.%

V! M1 M1= M M M0= M M M2= M

A ? 4 4 ? ==A5 %> %% & %B > %B & %% %A6 % %8 %> %= B %= %> %8 %7 = %K &B &? %4 &? &B %K =75> 76> C> C5> C6 &? %& &% %> %8 %> &% %& &D = %K &B &? %4 &? %8 4 B=D5 % %8 &% &% %8 % III III IIID6 %> %% &4 &4 %% % III III IIIE K K III III III

%4


34/50

A B C D

!#% m qm + 0#/ -N . m

12 m 12 m 12 m 12 m

$ara resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de &.?

m y columnas de b 3 h 3 ?88 mm. Las vigas son de 488 x K88 mm.

!l an)lisis estructural se reali#a solo para carga vertical utili#ando el mtodo matricial

de rigide# y los resultados de los momentos y cortantes de diseo se muestran en lastablas 4.> y 4.8 para todos los prticos de la edificacin. dem)s el ejemplo se

resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.> sin reali#ar ninguna combinacin

ya que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo

varia la magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva.

/omo la relacin qv 6 qm es baja C P 8.&8< se puede indicar que el efecto de la carga

viva, en este caso, es leve en la alteracin de los esfuer#os internos de vigas y columnas.

$ort. > > % %8 % % %8 % % B >>$ort. % 4 & ? 4& 4 4 4& 4 ? 4 4 %%B

$ort. % 4 & ? 4& 4 4 4& 4 & B >>

$ort. > > % %8 % % %8 % III II IIII

'igura 4.> /argas en $rticos del ejemplo 4.&. 2todo de rigide#

0abla 4.> 2omentos en los prticos del ejemplo 4.&. 2todo matricial de rigide#

2omentos en M* x m

P/'t!& M MA M M M7 M M MC

M M MD M

& 48 => =? & =% =% & =? => 48 &?

% K K> & % =% % % = & 4 B4 K?

& = K> & % = % & => B? &= &

4 & 48 =B =4 &8 == K% 4& &B III III III


35/50

0abla 4.8 /ortantes en los prticos del ejemplo 4.&. 2todo matricial de rigide#

/ortantes en M*

P/'t!&o VA=7 V7=A V7=C VC =7 VC VD=C VD=E VE=D %8> %=% %?& %4B %4B %?& %=% %8>

% 488 ?8% 4BB 4K> 4K= 4>8 ?& 4%K

& &>> ?84 4B& 4B4 4>> 4=K %K> >%

4 %8 %=8 %4> %?% %K> %% IIII IIII

4.?.4 Dete'm!n$&!/n * e%e&&!/n )e% 'e?-e'@o $ ?%e(!/n en %o$ * "!#$

La determinacin del refuer#o a flexin tanto en la losa como en las vigas se inicia

colocando en cada elemento el refuer#o mnimo necesario para cada seccin ycomprobando si con este refuer#o se cumple la exigencia de momento solicitada por lascargas externas. !n caso afirmativo se coloca este refuer#o mnimo en caso negativo sedebe determinar una cantidad de refuer#o mayor por alguno de los procedimientosexplicados en la teora del diseo a flexin del hormign armado. !n todos los casosse debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de '.2n 3 2u .

$ Re?-e'@o en %$ %o$. !l refuer#o mnimo a flexin en losas se define como el equivalenteal de retraccin y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia del acero

utili#ado.

7i fy 3 %B8 2$a o &?8 2$a Qmin 3 8.88%87i fy 3 4%8 2$a o malla electrosoldadaQmin 38.88B 7i fy A 4%8 2$aQmin 3 C8.88B x 4%8 < 6fy

!n ning"n caso la cantidad de refuer#o en losas debe ser menor que 8.884 C b x h mm%< la separacin de barras es de %> 6 &? x ?88 3 4KB mm.7in embargo como la separacin m)xima es de 4?8 mm la cantidad de acero E 4 quese podra colocar como refuer#o mnimo en la losa esH barras E 4 cada 4?8 mmqueequivalen a %> 6 8.4? 3 %BK mm

%6 m C %BK x 8.? 3 4&.? mm% 6 franja


36/50

% 8.88%& 4%8 =M n = 8.>8 8.88%& 4%8 888%?

8.?>

= &.%8

%

N .mm

!l resultado indica que con barras E 4 cada 8.4? m la capacidad supera a la

requerida por las cargas externas C tabla 4.? y el valor

del momento esH 2n 3 .8 M*.m que aun es alto en esta losa.

Los cdigos /- y *7@ recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad

de refuer#o siempre mayor que 8.884 x b x h 3 %8 mm%

6 m C E & R 8.&? . =. >. =. >.

s E & R

8.&?

E & R

8.&?

E & R

8.&8

E & R

8.&?

E & R

8.&8

E & R

8.&?

E & R

8.&8.2n >. >. 8.>& >. 8.>& >. 8.>&

$erpendicular al refuer#o de flexin se debe colocar el acero de retraccin ytemperatura que equivale a E & R 8.48 m. La figura 4.%8 ilustra la disposicin en

planta y en corte de la colocacin del refuer#o en la losa.

1n valor importante para comparar la economa en el diseo estructural de una losaes la cantidad de refuer#o por metro cuadrado. !ste ndice o factor por lo general variaentre ? Mg y 8 Mg en losas tpicas de edificios comerciales y de vivienda. $ara esteejemplo el valor se obtiene asH

F = C.8+

r

8.&?

.8

8.&? + %

.8


37/50

@6 La cantidad de refuer#o por metro cuadrado de losa es de =.4 Mg.


38/50

A A5 A6 7

1

s flexinE & R 8.&? m rriba

E & R 8.&? m bajo

s retracc.

y 0emp.

E & R 8.&? m

0

E & R 8.&? m E & R 8.&? m E & R 8.&? m E & R 8.&8 m

E & R 8.&? m

E & R 8.&? m E & R 8.&? m E & R 8.&? m

'igura 4.%8 ;etalle del refuer#o en el panel de losa :% del ejemplo 4.4

Eemp%o 4., ;eterminar el refuer#o de la losa aligerada del ejemplo 4. considerandoun hormign de fJc 3 % 2$a y un acero de fy 3 4%8 2$a. 1sar un dJ3 %?8 mm

So%-&!/nH !n la figura 4. se indicaron las cargas de diseo para anali#ar los nerviosde la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuer#o. !n la tabla 4.%se muestran los momentos Cmtodo de los coeficientes< y el refuer#o requerido en cada

nervio utili#ando la metodologa del diseo de secciones no rectangulares. Lafigura

4.%% muestra as mismo el detallado del refuer#o en la losa.

La seccin de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad aflexin de la seccin se indican en la figura 4.%. !l refuer#o mnimo para cada nervioes 8.88B x ?88 x %88 3 B8 mm

%que se puede cubrir con una barra E ? C s 3 %88

mm% M*.m y en el apoyo es de 2n CI< 3 .4 M*.m. /on otras barras la capacidad esH

s 3 % E 4 Cs 3 %?B mm%


39/50

b 3 ?88 mm

hf 3 ?8 mm

c c

h 3 %88

mm

s d 3 K? mm

s 3 t

bG 3 88 mm

'igura 4.% 7eccin tpica de los nervios de la losa aligerada

0abla 4.% 2omentos y refuer#o en losa aligerada del ejemplo 4.?.

N- A Cent'o A5

Cent'o A6

Cent'o 7

2u CM*.m< 4. K. 8.%8 =. >. =. .8

E ? E ? E ? E ? E ? E ? E ?

.2n

N-)o

7 Cent'o 75

Cent'o 76

Cent'o C

2u CM*.m< .8 B. %.&8 B. %.&8 B. %.&8

s E ? E ? % E 4 E ? % E 4 E ? % E 4

.2n

!l refuer#o por retraccin y temperatura, que va perpenticular al de flexin, y estalocali#ado a %? mm del borde superior de la losa, tiene una cuanta de 8.88B x 888x ?8 3 >8 mm

%que equivalen a una barra E & R K 6 >8 3 8.K> m. /omo el

espaciamiento

de este refuer#o debe ser menor o igual a ? x hf 3 ? x ?8 3 %?8 mm 3A se debecolocar una barra E & R 8.%? m para un srt 3 K 6 8.%? 3 %B4 mm% y cuanta Q 3 8.88?K.

3 Re?-e'@o en "!#$ . Fa que las vigas son vaciadas monolticamente con la losa ellas

deben anali#arse como secciones 0 y L para momento positivo y como seccinrectangular para momento negativo C si se anali#an para cualquier momento como

rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga

efecto que produce una disminucin en la capacidad en flexin de la seccin


40/50

8 ! " $#2% m 1 8 %

1 8 % Aigerante

A A5 A6 7

1

'r 3 =.& Mg

0

'igura 4.%% ;etalle del refuer#o en el panel de losa :% del ejemplo 4.?

Eemp%o 4.8 ;isear a flexin las vigas intermedias del ejemplo 4.. /on unacapa de refuer#o a traccin la cuanta de refuer#o mnimo es 8.88&& x &88 x 4&? 3 4&mm

%la cual se puede cubrir con % barras E = C s 3 % x %B4 3 ?=B mm

%


41/50

%K?8=.N.mm

A == K?B.mm%% E B % E K 3 K>4 mm

%

8.>8 4%8

4&?

4%.?

%

= K>4

=(88 4&?)8.88&K

a =8.88&K 4%8 4&?

= &B.mm 8.B? % c =&B

= 4?.mm8.B?

7e comprueba que la hiptesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aletapor lo tanto la seccin es rectangular. 7e pueden perfeccionar mas los c)lculos y asumir

una relacin C c 6 dt < 3 4? 6 4&? 3 8.8& 3A

c 3 8.8& x 4&? 3 4? mm y a 3&B mm

A =8.B? %88 &B

= KKK.mm%

s4%8

s 3 % E B % E K 3 K>4 mm%

a =K>4 4%8

8.B? %88 = &B.mm

c =&B

= 4?.mm8.B?

4&? 4? t = 8.88&

4? = 8.8%=8 > 8.88? Cumple+

.M = 8.>8 8.B? %88 &B

4&? &B

= = %K> 8

N .mm = %K>.kN.m

%

!l requerimiento es 2u 3 %K? M*.m el cual se cumple satisfactoriamente.

$ara momento negativo la seccin es rectangular y el mayor momento se encuentra en

la viga : apoyo E % con un valor de C &B? &?8< 6 % 3 &=B M*.m. 7ea c 6 d t 3 8.&88 3A

c3 8.&88 x 4&? 3 &8.? mm y a 3 &8.? x 8.B? 3 mm.

A =8.B? % &88

= 4?.mm%

A

= %EB + EK = 48K.mm%

s4%8

a =48K 4%8

s

n


42/50

8.B? % &88

= 8.mm

s

c =8

= %>.mm8.B?

= 8.88&

4&? %>

= 8.88K > 8.88? cumple+t %>


43/50

8 =.Mn = 8.>8 8.B? % &88 8 4&?

= %88 .N .mm = %8.kN.m%

7e concluye que la capacidad mec)nica de la viga es un ??9 de la exigida por las

cargas externas, y se debe modificar la seccin. 1na primera alternativa es considerar elrefuer#o a compresin y aumentar al m)ximo admisible la relacin c 6 d t 3A

7ea c 6 dt 3 8.&K? 3A c 3 =& mm y a 3 &> mm

As = 8.B? % &88

&>

4%8

= KK%.mm%

&> =Mn = KK% 4%8 4&?

= %K% 8 .N.mm%

!lMu 3 &=B M*.m A 8.>8 x %K% 3 %4? M*.m 3A seccin con JsH 7ea dJ3 =? mm

.M%= &=B %4? = %&.kN.m

J =& =? Js = 8.88&

=?%& 8=

= 8.884? > 8.88%8

fs = f y

AJ =8.>8 4%8 (4&?

=?)

= BK>.mm% 1sar % E B 3 8%8 mm%

A = KK% + BK> = %=?.mm%1sar % E E > 3 %=B? mm

%

7in embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuer#o positivo de la mitad de lalu# constituido por % E B % E K que se puede utili#ar como refuer#o a compresinen la #ona de momento negativo. !n este caso las dos barras E B se deben llevar hasta

el apoyo para garanti#ar el trabajo del doble refuer#o.

@evisando la seccin doblemente refor#ada se

tieneH

min .= 8.88&&

=%=B?= 8.8%8=

&88 4&? J=

8%8

&88

4&?

= 8.88KB

( J ) = (8.8%8= 8.88KB) = 8.8%B8.B? 8.B? % =?

=%=

s

s


44/50

4%8 4&? (=% 4%8)

8.8K%

7e cumple que ( J

)< 8.8K%

fJ < f

J = =%

8.B? 8.B? % =?

8.8%B 4%8 4&? = &?4.Ma < 4%8Ma

s

f

y

s


45/50

a =%=B? 4%8 8%8 &?4

= 4&.mm8.B? % &88

(4&? =B)

c =4&

= =B.mm8.B?

t= 8.88&

=B= 8.884B 8.88?8

M = (%=B? 4%8 8%8 &?4)

4&?

4&

= + 8%8 &?4 4&? =? = 4%8

N .mm

%

La capacidad de la seccin es 8.>8 x 4% 3 &K M*.m A &=B M*.m 3A 7e acepta.

@evisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.=, sepuede concluir que las dimensiones de &88 x ?88 son adecuadas para las vigasintermedias ya que las cantidades de refuer#o permiten obtener un comportamientod"ctil de la estructura. $rocediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.& se

presentan las cantidades de acero requeridas en todas las vigas intermedias indicadas.

0abla 4.& @efuer#o a flexin en vigas intermedias. fJc 3 % 2$a

V!#$

Apo*o1

Cent'o1=0

Apo*o0

Cent'o0=2

Apo*o2

Cent'o2=4

Apo*o4

A % E =& E =

4 E =% E

4 E =& E

% E =

A5 * A6 % E B& E B

4 E B& E

4 E B& E

% E B% E B % E B

7% E B

4 E B

% E 8

& E

% E 8

4 E

% E B E = E E E =

& E B & E B75> 76> C> C5>C6

% E B

& E B

& E

& E

& E

& E

% E B& E B & E B

D % E B4 E B

& E

8 4 E& E B

4 E% E =

D5 % E B& E B

& E

8 & E

% E = IIII IIII

D6 % E B& E B

& E8 & E

% E = IIII IIII

E % E =& E =

4 E B& E = & E

% E = IIII IIII

n

( )


46/50

1#/ m %#$ mA

2 8 6 4 8 6 4 8 6 2 8 6

! 8 6 2 8 6 ! 8 6

1 #$ m 2 A ! #$ m 4

A2 8 4 8 4 8 2 8

! 8 ! 8 ! 8

1 2 A ! 4

4 E =

4?8 mm Losa

& E =

7eccin IJ

&88 mm

'igura 4.%&.a @efuer#o para la viga intermedia

4 E B

4?8 mm Losa

& E B

7eccin IJ

&88 mm

'igura 4.%&.b @efuer#o para las vigas intermedias J,5

&

&


47/50

A2 8 7 1 8 62 8 1$ 7 1 8 11 2 8 1$ 7 1 8 11 2 8 7 1 8 6

4 8 ! 8 4 8

1 ! 8 2 A ! 4

A2 8 ! 8 1$ ! 8 1$ 2 8

4 8 ! 8 4 8

1 ! 8 2 A ! 4! 8

! 8 1$

4%$ mm Losa

! 8

?eccin A@A

!$$ mm

& E B

Losa % E 8 E

4?8 mm

4 E B

7eccin IJ

&88 mm

'igura 4.%&.c @efuer#o para la viga intermedia :

'igura 4.%&.d @efuer#o para las vigas intermedias :J, :5, /, /J y /5.

&

&


48/50

Eemp%o 4.; ;isear a flexin las vigas principales del ejemplo 4.. 1tili#ar unhormign de fJc 3 % 2$a y un acero de fy 3 4%8 2$a.

7olucinH La seccin de estas vigas es de b 3 488 mm y h 3 K88 mm con una

altura efectiva d 3 =&? mm para refuer#o en una capa y dJ 3 =? mm para el refuer#o acompresin. Las cantidades de refuer#o limite sonH

s min. 3 8.88&& x 488 x =&? 3 B&B mm%% E B 3A 2n 3 %&& M*.m

$ara una relacin c 6 dt 3 8.&88 3A s 3 %K?% mm%4 E 8 3A 2n 3 ==K

M*.m

7e puede apreciar en la tabla 4.> que las vigas y 4 quedan cubiertas por las estascantidades de acero pero las vigas % y & requieren cantidades muy superiores. 7i se

utili#a el doble refuer#o solo se logra aumentar hasta un &89 la capacidad en flexinpor lo que es necesario aumentar las dimensiones de la seccin.

7ea b 3 ?88 mm y h 3 B88 mm 3A

s min. 3 8.88&& x ?88 x K&? 3 %& mm%& E B 3A2n 3 484 M*.m

$ara una relacin c 6 dt 3 8.&88 3A s 3 &>B& mm%B E B 3A 2n 3 >B? M*.m

!n el limite admisible cuando c 6 dt 3 8.&K8 y et 3 8.88?

2n 3 ?8 M*.m para

seccin simplemente refor#ada. 7e concluye que la seccin ?88 x B88 mm para las vigas

% y & es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas.

pesar de que al modificar las dimensiones de la seccin varia la carga muerta por

el aumento del peso propio, es necesario revisar los c)lculos anteriores para hacer las

modificaciones respectivas. !n este ejercicio se continuara el diseo sin esta revisin

con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseo

adecuado. La tabla 4.4 ilustra el refuer#o de las vigas principales y la figura 4.%4

muestra la posicin y el detallado para cada una.

0abla 4.4 @efuer#o en las vigas principales del ejemplo 4.

V!#$ A A=7 7 7= C C= D D= E

1C 488 x

K88

Diseño de Vigas Continuas

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