Diseño delObjeto de

AprendizajeIng. Geól. Zoila Monsalve

PAD – ULA, 2013

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• Ficha del Objeto de Aprendizaje• Intencionalidad• Contenido

-Mapa conceptual sobre Funciones.-Definición de función. Dominio. Rango.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

• Recursos• Actividades• Autoevaluación• Reflexión• Referencias• Créditos

Ficha del Objeto de Aprendizaje

Intencionalidad

Cotidianamente, se hace uso de las funciones reales en el manejo de cifras numéricas reales en correspondencia con otra, incluso sin percatarnos que lo hacemos. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas cotidianos, de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química, de física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Por ejemplo, cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados productos u objetos, con el costo en monedas, para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos a la formulación matemática, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Explorar este espacio ofrece la oportunidad de formarse en un área específica de las matemáticas, permitiendo comprender y apropiarse de los conceptos básicos sobre funciones matemáticas, lo cual es de utilidad en la formulación matemática de problemas, para su aplicación  en  diferentes  contextos o situaciones reales de diversas áreas de conocimiento.

Una función, en matemáticas, es el término utilizado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más conjuntos o cantidades.

Contenido

A continuación se presenta un mapa conceptual que te ayudará en la comprensión del tema de funciones reales. Realice una lectura general de la totalidad del mapa, prestando atención a los conceptos y sus relaciones.

Tenga en cuenta que al hacer clic sobre cualquier lugar en el mapa con la herramienta lupa podrá hacer un acercamiento.

Mapa conceptual.

ContenidoMapa conceptual.

ContenidoPara desarrollar esta temática, inicialmente se presentan los conceptos básicos involucrados en el tema de Funciones Matemáticas Reales. Luego, se definen las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Definición de función.En términos generales, una función es una relación de correspondencia entre dos conjuntos de elementos. En matemática, una función (f) es una relación o correspondencia entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado rango), de forma que a cada elemento x (variable independiente) del dominio, le corresponde uno y sólo un elemento f(x) del rango (y variable dependiente). La notación de función es la siguiente:

f(x)=y; f: X YLas funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de un servicio público que depende de su consumo, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

Contenido

1  12   43 9 4 16

Fíjate que los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. Entonces la regla es "elevar al cuadrado "

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplea la notación:                                           

f(x) = x2 

Contenido (continuación)

Como ya vimos el Dominio de una función es el conjunto de partida o inicial de una función, tratándose del conjunto de existencia de la función, es decir, los valores (x, generalmente) para los cuales la función está definida. Dicho de otro modo, es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El dominio se puede ver gráficamente si observamos los valores de x (eje de las abscisas o eje x).

Para hallar el dominio de una función, debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

- Si la función tiene radicales (raíces) de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

- Si la función es un polinomio, el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

- Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

Dominio y rango de una función.

Contenido (continuación)El Rango de una función es el conjunto de imágenes, es decir, que está constituido por los valores (y) que toma la función para los valores « x » que pertenecen al dominio.

Gráficamente podemos observar el eje de las ordenadas o eje y, para definir el rango de la función. Para determinar el rango analíticamente, se despeja x de la función y se observan los valores de y para los cuales está definida la nueva función (o función inversa), teniendo en cuenta las consideraciones expuestas para hallar el dominio.

Ejemplo: Hallar el dominio y el rango de

Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales  x – 1≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 1.

Dom f:

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Contenido (continuación)Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Dependiendo del modo en que estén relacionados los elementos del dominio con los del conjunto de llegada, las funciones se pueden clasificar en: Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas.

Los términos inyectiva, sobreyectiva y biyectiva dan información sobre el comportamiento de una función. Informalmente, para una función f: A B, estos términos tienen los siguientes significados:

- Inyectiva significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

- Sobreyectiva significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

- Biyectivo significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Tomado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.html

Contenido (continuación)Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

En la siguiente figura, se pueden observar el comportamiento de una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Contenido (continuación)Las definiciones matemáticas formales son las siguientes:

• Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

O equivalentemente:

• Una función f : A → B se dice sobreyectiva (o suprayectiva) si su imagen es igual a su codominio:

• Una función es biyectiva si y sólo sí es inyectiva y sobreyectiva.

RecursosEn este espacio se presentan algunos recursos adicionales que te serán de utilidad para complementar el aprendizaje sobre las Funciones Matemáticas Reales.

A continuación, podrás visualizar un video donde se muestra ?Cómo calcular el dominio y el rango de una función?

Tomado de: http://www.youtube.com/watch?v=28XUF4hRqg8

RecursosEn el siguiente link se encuentra una Guía de ejercicios sobre funciones, que puedes resolver a modo de práctica.

Seguidamente, encontrarás enlaces a sitios web que puedes consultar.Ver: Función: imagen y preimagenVer: Tipos de funciones

También puedes cargar un graficador de funciones en:

http://gdf2004.tripod.com/

Actividades1. Elección múltiple (Selección Simple).

En esta actividad se presentan enunciados, deberás leer atentamente cada enunciado y las opciones correspondiente que se presentan, luego deberás seleccionar la o las opciones que consideres correctas.

Durante el desarrollo de esta actividad de aprendizaje, encontrarás mensajes de realimentación que apoyarán el análisis y la valoración del dominio de la temática.

1. En la figura, se muestra un diagrama que representa la relación entre dos conjuntos, el diagrama corresponde con:

a) Función Inyectivab) Función Sobreyectivac) Función Biyectivad) No representa una función

Actividades2. Selección múltiple.

2. En la figura, se muestra un diagrama que representa la relación entre dos conjuntos, el diagrama corresponde con:

a) Función Inyectivab) Función Sobreyectivac) Función Biyectivad) No representa una función

Actividades3. Completación (Rellenar huecos).

En esta actividad se presentan párrafos en los cuales faltan palabras (espacios en blanco) que deberás completar. Te recomiendo que leas cuidadosamente la frase y pienses en la palabra más adecuada para completar la idea.

Durante el desarrollo de esta actividad de aprendizaje, encontrarás mensajes de realimentación que apoyarán el análisis y la valoración del dominio de la temática.

1. El Dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen imagen .

2. Una función es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas del conjunto de llegada (codominio).

3. El dominio de la función , está constituido por el conjunto de números reales positivos.

4. El rango de la función corresponde con el conjunto de los número reales excepto el cero .

Actividades4. Crucigrama.

En esta actividad se presenta un crucigrama que involucra algunos conceptos básicos sobre funciones. Deberás leer atentamente las definiciones que se presentan para las palabras Horizontales y Verticales, antes de rellenar las casillas con las palabras correspondientes a cada definición.

Para rellenar el crucigrama, al situarte en la casilla inicial de una palabra se desplegará una ventana con la descripción (se indica el sentido). Para el llenado de las casillas, debes tener en cuenta que, se escribe de izquierda a derecha (Horizontales) y de arriba a abajo (Verticales). Puedes utilizar las teclas direccionales (teclas con flechas en el teclado) para desplazarte en las casillas. Adicionalmente, te indico que en la parte superior derecha del crucigrama hay un rectángulo con las letras AB, dándole clic a este rectángulo podrás cambiar la orientación de la escritura de horizontal a vertical y viceversa.

Actividades4. Crucigrama.

AutoevaluaciónEstimado estudiante, a continuación se presenta una autoevaluación que deberás realizar, y en la cual evaluarás tus logros alcanzados en las actividades desarrolladas en el Objeto de aprendizaje.

La autoevaluación consta de 3 partes, la primera corresponde con el contenido, la segunda es sobre tu actitud ante las actividades y por último sobre el desempeño en sí. Para responder seleccione en el indicador que usted considere representa su grado de acuerdo.

Parte I. Contenido.

1. Una función es una relación o correspondencia biunívoca entre los elementos de dos conjuntos.SiNo

2. El Dominio de una función está definido por el conjunto de imágenes obtenido de la función. SiNo

Autoevaluación3. Si en una función, cada elemento del rango es imagen de al menos un elemento del dominio, la función es:a) Inyectivab) Sobreyectivac) Biyectivad) Ninguna de las anteriores

4. La función , es una función: e) Inyectivaf) Sobreyectivag) Biyectivah) Ninguna de las anteriores

Autoevaluación (continuación)Parte II. Actitud para realizar las actividades.

1. Me he comprometido con el trabajo del curso.

a) Muy de acuerdob) De acuerdoc) En desacuaerdod) Muy en desacuerdo

2. Mi actitud hacia las actividades del objeto de aprendizaje ha sido buena.

e) Muy de acuerdof) De acuerdog) En desacuerdoh) Muy en desacuerdo

3. Me esforcé y fui exigente conmigo mismo para realizar todas las actividades

i) Muy de acuerdoj) De acuerdok) En desacuerdol) Muy en desacuerdo

Autoevaluación (continuación)4. Me siento satisfecho (a) con el trabajo realizado

a) Muy de acuerdob) De acuerdoc) En desacuerdod) Muy en desacuerdo

5. He cumplido oportunamente con todas las actividades.

e) Muy de acuerdof) De acuerdog) En desacuerdoh) Muy en desacuerdo

Parte III. Desempeño.

1. ¿Como te parecieron las actividades del objeto de aprendizaje?

a) Excelenteb) Muy buenac) Buenad) Suficientee) Deficiente

2. La calidad de los resultados obtenidos a partir del objeto de aprendizaje es:

a) Excelenteb) Muy buenac) Buenad) Suficientee) Deficiente

Finalmente, reflexiona sobre tu experiencia utilizando el objeto de aprendizaje. ¿Como te sentiste?

Autoevaluación (continuación)

ReflexiónComo pudimos ver en este espacio, las matemáticas tienen un gran número de aplicaciones, por algo es considerada como el lenguaje universal con el que se describen la mayoría de los fenómenos tanto naturales como sociales. Este objeto presenta la oportunidad de formarse en un área específica de las matemáticas, permitiendo comprender y apropiarse de los conceptos básicos sobre funciones matemáticas, lo cual te será de utilidad en la formulación matemática de problemas, para su aplicación  en  diferentes  contextos o situaciones reales de diversas áreas de conocimiento.

En cuanto al contenido,  pudiste aprender las definiciones básicas involucradas en el tema de las Funciones Matemáticas Reales, como: notación matemática de función, dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectivas. Además, te permitió reconocer algunas aplicaciones de las funciones, en la cotidianidad, y  precisamente  la  importancia  del  estudio  de  las funciones radica en su amplia aplicación en diferentes contextos y áreas disciplinares.

En este espacio, sólo presentamos una pequeña parte del mundo de las matemáticas y sus aplicaciones, te invitamos a indagar sobre otras aplicaciones de esta ciencia y adquirir más conocimientos sobre los temas expuestos.

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" 

Galileo Galilei

Referencias

Carreiras, A. (2001, julio). Matemática: Funciones. Monografías. Recuperado de: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#ixzz2l013aH00

Demidovich, B. (1993). Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. España: Paraninfo.

Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos. (2013). Profesor en Línea. Recuperado de: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_ matematicas.html

Herrera, W. (2000). Guía de ejercicios de Funciones. Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales de la Universidad de Los Andes.

Purcell, E. , Varberg, D. & Rigdon, S. (2007) . Cálculo. México, D.F: Pearson.

CréditosEste Objeto de Aprendizaje ha sido elaborado por:

* Monsalve Y., Zoila Y.

* Ingeniero geólogo. Becario Académico de Matemáticas I, de la Escuela de Ingeniería Forestal de la Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales de la Universidad de Los Andes. Participante del Programa de Actualización Docente 2013 (PAD-ULA, 2013).