Universidad Autnoma de Baja California Centro de Ingeniera y Tecnologa Ingeniera Mecnica Unidad Valle de las Palmas

Banco universal de vibraciones forzadas sus amortiguadas con un grado de libertad Reporte Final Camacho Porras Miguel ngel Cuesta Meza Andrs Tadeo Cortes Rodrguez Mara Vianey Cerezo Snchez Miguel Durazo Rodrguez Juan Bosco Gonzlez Morales Alan Eduardo Flores Moreno Mario Lpez Muoz Alan Isaas Luna Serrano ngel Glenn Soto Mora Maximiliano

Asesores: M.C Mauricio Leonel Paz Gonzlez (Vibraciones Mecnicas), M.C Juan Paz Gonzlez (Diseo), M.C Benjamn Gonzales Vizcarra (Manufactura).

Ing. Mecnica 557. TIJUANA, BAJA CALIFORNIA, MEXICO, 22 de mayo de 2015

ndice de contenido RESUMEN ------------------------------------------------------------------------------------------ 3

CAP 1. INTRODUCCION Y OBJETIVO GENERAL ------------------------------------- 3

CAP 2. ESTADO DEL ARTE --------------------------------------------------------------------- 4

CAP 3. FUNDAMENTOS TEORICOS --------------------------------------------------------- 5

CAP 4. PRUEBAS Y RESULTADOS --------------------------------------------------------- 5

CAP 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS-------------------------------------- 6

REFERENCIAS --------------------------------------------------------------------------------------- 6

R E S U M E N

El rea de vibraciones reviste gran importancia dentro de las materias de aplicacin, debido a que muchos de los problemas en ingeniera mecnica se pueden prevenir, predecir y corregir. En el campo de las vibraciones mecnicas este equipo puede ser de gran ayuda para el anlisis adecuado de vibraciones. En el escrito se muestra el anlisis matemtico de un banco de vibraciones forzadas sub amortiguadas, para sistemas masa-resorte-amortiguamiento o mejor conocido como MAR de un grado de libertad. Para el desarrollo del anlisis se consideran tanto las masas, como tambin el material con que est hecho el resorte para conocer sus propiedades, su constante de rigidez y, en caso necesario, la constante del amortiguador, para as poder obtener un modelo matemtico representativo de una situacin en especfico. Se describen tambin los procesos de manufactura llevados a cabo tanto para el ensamble de las piezas (mediante un mtodo de unin permanente) como del acabado superficial. Finalmente, se describen los planes para continuacin del proyecto.

CAP 1. INTRODUCCION Y OBJETIVO GENERALIntroduccinSistemas de un grado de libertad con vibracin forzada; la cual ocurre cuando dicho sistema oscila debido a la accin de fuerzas externas que lo excitan. Cuando la excitacin es de tipo oscilatorio, el sistema tiende a vibrar de la misma manera y con la misma frecuencia, es decir que la respuesta del sistema estar en funcin de la frecuencia de excitacin. Otra de las necesidades por la cual se dise un banco de vibraciones forzadas con un grado de libertad fue que el semestre pasado se dise uno que no era muy esttico (imagen 1.), que tambin careca de mucha informacin en la parte del diseo, vibraciones y la parte de la manufactura.

Imagen 1. Banco de vibraciones diseado y manufacturadoObjetivo General Disear y construir un banco de vibraciones forzadas y amortiguadas, funcional y que pueda ser utilizado en taller para satisfacer la necesidad de equipo para realizar practicas en la materia de vibraciones.

CAP 2. ESTADO DEL ARTEEs difcil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecnicas, ni si quiera adjudicar a una sola persona el ttulo del padre de la ciencia de las vibraciones ya que a travs de la historia grandes cientficos realizaron importantes aportaciones que hicieron hoy en da del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia. A continuacin se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que hicieron aportaciones sobre el fenmeno de las vibraciones. Remontndose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprenda con grandes e importantes aportaciones filosficas y matemticas, sobre todo en el rea de aritmtica; hoy en da todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su honor conocido como el teorema de Pitgoras. Pitgoras (570 497 a.C.) desarroll la - teora de los nmeros y la teora de la msica y de la armona en donde afirmaba la relacin entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un da pas por una herrera y se qued sorprendido al darse cuenta de la rtmica regularidad con la que el herrero haca repicar el martillo sobre el yunque; tal fue su admiracin que llegado a su casa se puso a experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensin, pero de distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependan de la frecuencia de vibracin, esto mismo Pitgoras lo calcul y concluy que la msica no era ms que una relacin matemtica de las vibraciones medidas segn intervalos. Imagen 1; Pitgoras (570- 497 a. C)

Por otro lado un importante filsofo e investigador llamado Aristteles (374-355 a.C.). Trabajo con las leyes del movimiento, escribi el primer escrito relacionado con la acstica llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

Imagen 2: Aristteles . (1564-1642)

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenmeno es conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pndulo y su frecuencia de oscilacin, adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y frecuencia de vibracin de las cuerdas. Se cuenta que cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la catedral de Pisa Galileo Galilei se interes en medir el tiempo de cada oscilacin comparndolo con el nmero de latidos de su pulso (en esa poca todava no se inventaba R. - 5 - los relojes ni los cronmetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las oscilaciones fueran cada vez ms menores, el tiempo de cada oscilacin era siempre el mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprob lo anterior utilizando un pndulo (una piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando adems que el tiempo de la oscilacin dependa de la longitud de la cuerda.Imagen 3; Galileo Galilei(1564-1642

En la dcada de los 40 del siglo XVII existi uno de los grandes cientficos de la historia llamado Isaac Newton (1642-1727), matemtico y fsico britnico, considerado uno de los ms grandes cientficos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teoras sirvieron de base a la mayor parte de los avances cientficos desarrollados desde su poca. Newton fue, junto al matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemticas denominada clculo. Tambin resolvi cuestiones relativas a la luz y la ptica, formul las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitacin universal. En el campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el anlisis de sistemas y la determinacin de frecuencias de oscilacin. Public su teora en Principios matemticos de la filosofa natural (1687), obra que marc un punto de inflexin en la historia de la ciencia, y con la que perdi el temor a publicar sus teoras. Imagen 4: Isaac Newton. (1642-1727),

Con la aparicin de la obra de Newton The principia implic a Newton en un desagradable episodio con otro gran filsofo y fsico llamado Robert Hooke (1635-1701). En 1687 Hooke afirm que Newton le haba robado la idea central del libro: que los cuerpos se atraen recprocamente con una fuerza que vara inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este cientfico es reconocido por sus investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el tambin llamado Leonardo Ingls, publico el libro: (como el peso as es la tensin) que representa un primer enunciado de su conocida ley de la elasticidad Ya en una poca reciente Daniel Bernoulli (1700-1782), estudio la forma de vibrar de algunos cuerpos usando el principio de superposicin de armnicos. Daniel Bernoulli hizo una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la mecnica de los medios flexibles y elsticos, en particular los problemas de pequeas oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polmica que se abri sobre el tema de la cuerda musical, no slo entre Euler y Daniel, sino con la incorporacin de un joven gemetra Jean le Rond DAlembert, quien pronto fue considerado entre los ms prestigiosos gemetras de Francia en el Siglo de las Luces. El debate sobre la ecuacin de la cuerda, sometida a una vibracin en un mismo plano, es importante desde el punto de vista matemtico, no slo porque representa el primer anlisis de la solucin de una ecuacin diferencial en derivadas parciales, sino adems porque la discusin llev al cuestionamiento de las nociones establecidas de funcin y de representacin de funciones mediante series trigonomtricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen de la teora de representacin en series de Fourier que se estableci en el siglo XIX con los trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros. Pero en el siglo XVIII el matemtico francs Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar una de las aportaciones mas importantes en el rea de las vibraciones, en 1807 envi un artculo a la Academia de Ciencias en Paris, en l presentaba una descripcin matemtica de problemas relacionados con la conduccin de calor. Pese a que el artculo fue rechazado, contena ideas que se convertiran en una importante rea de las matemticas llamada en su honor, el anlisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones ms conocidas podan expandirse en series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportacin es una de las ms interesantes e importantes en el campo de las vibraciones mecnicas ya que en base al algoritmo de la serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibracin. 1

En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibracionesmecnicas como antes no se haba imaginado. Sin embargo no todas las vibraciones son malas, algunas se producen con propsitos especficos en algn proceso industrial y generalmente son controladas, estas vibraciones son llamadas buenas vibraciones; por ejemplo: procesos de centrifugado para separar desechos de materiales, transportacin de material por bandas vibratorias (Figura1.1), acabado y pulido por vibracin, elevadores vibrantes, etc.

Imagen 5:Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesa de Urbar Ingenieros

Pero la aplicacin benfica de las vibraciones va an ms all, en conjunto con cientficos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de investigacin y de aplicacin, hoy en da se oye hablar adems de vibraciones buenas, vibraciones saludables. Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los huesos y los msculos de los astronautas, liberados de la tensin normal de la gravedad, pueden debilitarse en forma alarmante. Los msculos se atrofian, mientras que los huesos se vuelven frgiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solucin: un grupo de cientficos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podran prevenir la prdida de los huesos parndose sobre una plataforma vibrante durante unos 10 20 minutos cada da. Sostenindose sobre ella con la ayuda de unas bandas elsticas, los astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma.Estado del arte: Diseo y construccin de un banco didctico para la medicin de vibracionesSe hizo una tesis previa a la obtencin de titulo de ingeniero mecnico llevada a cabo por Jos Armando Jara Jimbo y Juan Gabriel Snchez Vivar dirigido por el M.C. Rene Vinicio Snchez Los conceptos de vibraciones han sido usadas por muchos siglos en aplicaciones practicas. Muchos de los recientes desarrollos en el campo de vibraciones son motivados quiz por dos razones principales: debido a que las velocidades de operacin de maquinaria se han doblado en los ltimos 50 aos, consecuentemente las cargas de vibracin generadas debido a excitacin rotacional y desbalance pudieran haberse cuadruplicado si las acciones de diseo y control hubiesen sido inapropiadas y la otra por que los diseos ptimos de maquinarias y estructuras consisten de miembros ligeros con altos esfuerzos, tales como puentes, edificios altos, telefricos, aviones. Una visualizacin general revelada que las vibraciones son importantes en diseos. La vibracin es una respuesta repetitiva, peridica u oscilatoria de un sistema mecnico. Las aplicaciones de vibraciones son encontradas en muchas ramas de ingeniera tales como aeronutica y aeroespacial civil, manufactura, mecnica, automotriz e incluso elctrica.En muchos cursos de ingeniera los estudiantes tienen dificultad de visualizar los conceptos presentados. Si un estudiante esta provisto con medios para experimentar y aplicar la teora al mundo real, esto no solo puede conducir a mejorar la visualizacin y entendimiento de los conceptos tericos (Ganatos y Liaw, 1995).El objetivo del trabajo para obtencin de titulo de ingeniero mecnico fue desarrollas una metodologa practica para la enseanza de vibraciones. As como el proceso de adquisicin y procesamiento de datos a travs de una computadora y tecnologa necesaria en el anlisis de vibraciones a travs del diseos de un amortiguamiento dinmico. Este proceso fue implementado en la Universidad simn bolvar (USB), y consigui hasta el momento buenos resultados. Se destaca que en las practica deben tener curso de teora de fundamente el desarrollo de las practicas que se proponen.Las vibraciones se pueden dividir en dos tipos libres y forzadas, ambas con o sin amortiguamiento. Las practicas que se ofrecieron al estudiante son: A) Vibracin libreUna estructura est en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa alguna. Si el sistema, despus de una perturbacin inicial, se le deja vibrar, por s solo, se le conoce como vibracin libre. Tambin se dice que es vibracin libre porque no actan fuerzas externas en el sistema.Si sobre un resorte, colocado verticalmente, y atado del extremo superior, se colocan diferentes cantidades de masa de su extremo libre, se irn produciendo distintos alargamientos que sern proporcionales a los pesos de dichas masas. La relacin entre los alargamientos producidos en el resorte y las fuerzas aplicadas, viene dada por la ley de Hooke, a travs de la constante de elstica del resorte.El amortiguamiento es la prdida de energa que se produce en un sistema mecnico en movimiento o vibracin como consecuencia de efectos dispatelos debidos al movimiento relativo entre sus componentes o a la deformacin de los mismos. El amortiguamiento por friccin describe el fenmeno fsico de friccin entre superficies secas el cual es independiente de la velocidad del movimiento una vez este iniciado. El amortiguamiento viscoso se refiere a la prdida de energa cintica de un cuerpo que se mueve dentro de un fluido.2.1 montaje experimental pndulo libre Imagen 6: Representacin esquemtica del montaje experimental del pndulo libre

B) Vibracin torsional La vibracin torsional es una oscilacin con una posicin angular hacia una lnea central, y es causada por fuerzas de torque oscilatorias por ejemplo, un motor acoplado a una flecha activando un engrane pin en una caja de engranes tendr una variacin de torque, cada vez que un diente se junta con un diente del otro engrane. Este produce una vibracin torsional en la flecha. Es importante cuidar que esas fuerzas no ocurren cerca de las frecuencias de resonancias torsionales, o los niveles de vibracin pueden ser muy altas.La figura 7 muestra el banco de prueba diseado para el estudio de la vibracin torsional, el cual consta de un eje de acero al cual se fijo una galga de deformacin que registra la medicin de la vibracin torsional con la siguiente descripcin: EA-06-250US-350. Factor de ganancia de 2.8 1.0%. El voltaje de salida del transductor del puente de wheatstone es registrado por el equipo de telemetra

Imagen 7: Montaje experimental para anlisis de vibraciones torsional

CAP 3. FUNDAMENTOS TEORICOSOnda de vibracin.Una caracterstica fundamental de los sistemas excitados por fuerzas externas es que su respuesta est conformada por un estado transitorio y un estado permanente. El transitorio se debe a la accin conjunta de la respuesta libre y la respuesta forzada, pero debido a que la respuesta libre es decreciente en el tiempo, despus de alcanzado un cierto tiempo la respuesta del sistema estar nicamente dada en funcin de la respuesta forzada (imagen 8.)Imagen 8. Ejemplifica la onda genera por

Imagen 6. Ejemplifica la onda genera porUna vibracin libre (transitoria) y una forzada (permanente

Una vibracin libre (transitoria) y una forzada (permanente).Vibracin amortiguada.El modelo mecnico ms simple de un solo grado de libertad con excitacin externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes caractersticas equivalentes mEQ, cEQ, kEQ y la fuerza F(t), el cual se ilustra en la imagen 7.imagen 8. Esquema de vibracin amortiguada

Imagen 8. Esquema de vibracin amortiguada

Las vibraciones se caracterizan por su frecuencia y por su amplitud;la frecuencia es el nmero de veces por segundo que se realiza elciclo completo de oscilacin y se mide en Hercios (Hz) o ciclos porsegundo.

La amplitud se puede medir en: Aceleracinm/s2, en velocidad m/s yen desplazamiento m, que indican la intensidad de la vibracin.

Esquema 1) Movimiento vibratorio.

DE ALTA FRECUENCIA:( 20-1000 HZ ) herramientas manuales rotativas elctricas y neumticas como pulidoras, lijadoras, taladros, remachadoras.BAJA FRECUENCIA:( 1-20 HZ ) vehculos de transporte para pasajeros, vehculos industriales ( montacargas, carretillas, gras, trenes, tractores).MUY BAJA FRECUENCIA:( menos 1 HZ ) como aviones, trenes, automviles.

Vibraciones y Ondas

Definicin: el movimiento vibratorio armnico simple es un movimiento generalmente rectilneo basado en oscilaciones o vibraciones peridicas en el que la aceleracin es proporcional a la posicin o desplazamiento pero de sentido contrario a ella. Magnitudes: Elongacin: posicin de la partcula vibrante en cualquier instante con respecto a la posicin de equilibrio. Se mide en metros..

(1) (2) equivale a ) ( 3)

Amplitud: valor mx. que puede tomar la elongacin. Se mide en metros. Se puede hallar a travs de las frmulas de: - velocidad - aceleracin - elongacin energasFase inicial: estado de vibracin para t = 0. ngulo. Se mide en radianes.

(4) Pulsacin: velocidad angular constante del mov. circular hipottico. Se mide en rad/s

(5)En m.a.s: (6)

Se halla tambin desde: velocidad, aceleracin y elongacin. Perodo: cuando una partcula pasa dos veces consecutivas por la misma posicin en el mismo sentido del movimiento. Es constante. Se mide en segundos

desde dinmica (7)

Frecuencia: nmero de vibraciones realizadas en un segundo. Se mide en Hz. ( 8)

Velocidad: valor mx. en el centro de la trayectoria y nula en los extremos. La velocidad es funcin peridica del tiempo. Se mide en m/s. ( 9) (10)

Aceleracin: es peridica. Es proporcional a la posicin, pero de sentido contrario a ella. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la pulsacin. Es nula en el centro y mx. en los extremos. Est desfasada /2 de la velocidad. (11)

Sistema MasaResorteAmortiguador: A continuacin estudiaremos la dinmica de un sistema compuesto por una Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual est unida a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la figura. El resorte tiene constante elstica k y largo natural 0, en tanto que el amortiguador tiene coeficiente de roce viscoso c. Llamemos x a la posicin de la masa M medida desde la pared. Sobre la masa actan solo dos fuerzas en la direccin horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador. Para pequeos desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa est dada por Fres = k(x 0), (12) en tanto que la fuerza que ejerce el amortiguador est dada por Fam = cx. (13) As, la ecuacin de Newton para la masa M est dada por Mx = k(x 0) cx. (14) En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al equilibrio esttico. Para ello, primero determinamos la posicin de equilibrio esttico, caracterizada por las condiciones x = 0 (i.e., el sistema est en reposo) y Ftot = 0, i.e., k(x 0) cx = 0. Imponiendo estas dos condiciones, encontramos de inmediato que la posicin de equilibrio est dada por = 0. (15) Nuestro inters es determinar las pequeas oscilacin es de la masa M con respecto a la posicin de equilibrio, para lo cual es conveniente hacer un cambio de variables. As, introducimos s x = x 0. De aqu obtenemos de inmediato que x = s y x = s. Reemplazando estas ecuaciones en (14) obtenemos la siguiente ecuacin para la variable s(t), Ms+ cs + k s = 0. (16) Esta ecuacin para s es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden para s(t). Con el objeto de determinar la evolucin del sistema, no solo necesitamos la ecuacin (16), sino que adems debemos conocer el estado inicial del sistema, i.e., la posicin y la velocidad inicial de la masa M. En resumen, queremos determinar el comportamiento de la solucin s(t) de (16) dados los valores iniciales para s(0) y s(0). Para ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida por Leonardo Euler (17061783) Recordemos que la funcin exponencial juega un papel fundamental en clculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e., = . Usando la regla de la cadena, vemos as mismo que y = p e (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos una solucion de la forma s(t) = (17) para la ecuacin (16). Usando las propiedades de la funcin exponencial que acabamos de describir, vemos que (17) es solucin de (16) siempre que tengamos (18) para todo t. Como e pt > 0, la condicin anterior implica que p debe ser una solucin de la ecuacin de segundo grado = 0, (19) cuyas soluciones estn dadas por . (20) El tipo de soluciones de la ecuacin (19) depende de los valores relativos de los parmetros del sistema, M, k y c. Vamos a distinguir cuatro casos, los cuales analizaremos separadamente mas adelante:i) c 2/(4M k) > 1: en este caso (19) tiene dos soluciones reales negativas distintas, p1 < p2 < 0.ii) ii) = 1: en este caso (19) tiene una solucin real negativa (repetida), i.e., p1 = p2 < 0. iii) iii) < 1: en este caso (19) tiene un par de soluciones complejas conjugadas. Ambas tienen parte real negativa c/(2M). iv) c = 0: en este caso (19) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e., . Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas y de (19). De este modo, usando la estrategia de Euler, hemos obtenido dos soluciones (t) = ,y(t) = de la ecuacin diferencial (16). Como la ecuacion (16) es lineal, uno puede comprobar de inmediato que cualquier combinacin lineal de (t) y (t) tambin es solucin. De hecho, si las races y son distintas, se puede demostrar que cualquier solucion (i.e., la solucion general) de (16) se puede escribir como (21)en que y son constantes (en general complejos). Usando (21) podemos determinar entonces la solucion de nuestro problema original, encontrando valores apropiados de y de modo que (21) satisfaga las condiciones iniciales. Evaluando (21) en t = 0, obtenemos, + = s(0). (22)

Por otra parte, derivando (10) con respecto a t y luego evaluando en t = 0, obtenemos, p1 + p2 = s(0). (23) Finalmente, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones, (22) y (23) para y . Entonces, si encontramos, (24)

y (25)respectivamente. Reemplazando estos valores obtenidos para y en trminos del estado inicial del sistema en (21), podemos finalmente escribir la solucin de nuestro problema (siempre que), como (26)

Usando la regla de LHopital, podemos incluso obtener la solucin de nuestro problema en el caso p1 = p2. Este caso lo podemos obtener tomando el en la ecuacin anterior. Con un poco de cuidado, obtenemos de inmediato,

, (27) para el caso en que p1 = p2 p = c/(2M). Una vez que hemos encontrado la solucin s(t) al problema de valores iniciales para el sistema masaresorteamortiguador, es conveniente ahora discutir el comportamiento de dicha solucin para distintos valores de los parmetros (i.e., para los cuatro casos introducidos anteriormente). Lo que determina el distinto comportamiento de la solucin en estos cuatro casos es el valor de la expresin El parmetro mide la magnitud relativa del amortiguador comparada con la magnitud del resorte. Ntese que es un parmetro adimensional. Si > 1, el efecto del amortiguador es ms importante que el del resorte. En este caso s(t) muere exponencialmente sin oscilar. Por razones obvias este caso se conoce como Sobre amortiguado. Por otra parte, si < 1 el resorte es ms importante que el amortiguador, la solucin s(t) muere exponencialmente, pero oscila. Este caso, se conoce como subamortiguado. El caso limite entre ambas situaciones, =1 se conoce como amortiguamiento critico. Finalmente, el caso = c=0 corresponde al caso en que no hay amortiguacin y se denomina como el caso oscilatorio.

CAP 4. PRUEBAS Y RESULTADOS

Tabla 1 Descripcin de pruebas y resultados Imagen Descricion

Imagen a) Espectro obtenido por vibracion sub amortiguada

Imagen b) Se muestra el periodo de la vibracion y como se comporta

Imagen c: Prueba con acelermetro 407860, pesa de 300 g. Aceite 20-50 w multigrado

Clculos (Pruebas) Vo=0Masa = 500gr=0.5kgK= 196.2N/mX= 1mmC= 0.014319Ns/m

Velocidad angular

D= 2 = 0.05m r= 0.025m

Mtornillo= 10gr

CAP 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROCONCLUSIN La planeacin es parte fundamental para el desarrollo, desde la seleccin de materiales, geometras y operacin del sistema, adems la distribucin del tiempo de trabajo, as como las actividades a desarrollar por cada integrante del equipo explotando las cualidades y habilidades de cada uno. Se experimento el mtodo de prueba y error, se presentaron complicaciones de ultima hora mismas que se solucionaron utilizando nuestro criterioTRABAJOS A FUTUROi) El software de apoyo (acelerometro 407860) que se utilizara para la comprobacin del anlisis matemtico se encuentra sujeto a cambios actualizaciones y mejoras estou con el fin que decidan cambiar las variables en los sistemas.ii) Es necesario obtener la frecuencia natural de la estructura, debido a que si el motor alcanza la misma, ocurrir el fenmeno de resonancia y es un efecto que deseamos evitar en el sistema iii) Realizar un manual de practicas para futuras generaciones sobre vibracin forzada sub amortiguada

REFERENCIAS [1] Rao, S. (2011). Vibraciones mecnicas. Mxico: Pearson. [2] White, G. (2010). Introduccin al anlisis de vibraciones. Espaa: Azima. [3] Beer, P., Johnston, R. Cornwell, P. y Self, B. (2013). Mecnica vectorial para ingenieros. Mxico: Mc Graw Hill. [4] Rico, J. Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad Sujetos a Vibracin Libre No Amortiguada. Departamento de Ingeniera Mecnica. Facultad de Ingeniera Mecnica Elctrica y Electrnica, Universidad de Guanajuato. [5] Amortiguamiento Obtenido el 21 de Noviembre 2014 de http://www.semantix.com/termino-semantico/amortiguamiento [6] Taylor, J. (2011). Vibration Analysys Handbook. Estados Unidos: Second printing. http://riesgofisico-vibraciones.blogspot.mx/